随着社会经济的快速发展，一次能源消耗日益枯竭，温室效应以及大气污染日趋严重，全球能源危机不断加剧，开发新能源和节能减排已经成为实现人类社会可持续性发展亟待解决的问题^[1]。随着电池制作工艺和技术的不断提高，使得可入网电动汽车(HEVs)成为了新能源汽车的主要研究方向。与传统的内燃汽车相比，其可以有效降低一次能源的消耗，与此同时，其CO₂零排放更有利于缓解温室效应带来的全球气候变暖^[2-3]。除此之外，HEVs还可以和风能、光伏等各种新能源实现互补，更为经济合理地利用一次能源^[4-5]。

电动汽车产业的发展是改善全球温室效应和缓解全球能源危机的重要举措，这就使得可入网混合电动汽车的发展在世界各国均受到了普遍重视。HEVs在充电时可以作为负荷，而在闲置时又可将其当作一种分布式电源，将电能反馈给电网。然而，大规模的HEVs入网又给电力系统规划、经济以及安全运行带来了新的挑战^[6]。当HEVs大量使用且其充电行为发生在峰荷时段时，其相应的充电需求会对系统运行造成很大的冲击，甚至可能会造成过负荷现象。因此合理控制HEVs的充电行为非常关键；另一方面，HEVs可以与风能、光伏等新能源相互配合，构成分布式电源向电力系统反向放电，以实现电力系统资源合理配置优化^[7-8]。

近年来，许多专家学者开始研究HEVs入网对电力系统机组组合的影响。文献[9]构建了计及电动汽车接入电网的电力系统机组最优组合模型；文献[10]给出了考虑HEVs放电优化控制的机组最优组合模型，并采用粒子群优化算法进行求解，但是模型只是将电动汽车看作简单的分布式电源。

计及混合电动汽车规模化入网的机组组合优化是一个离散、多峰高维的非线性优化问题，在其可行解的空间分布中存在大量的局部最优点，因此，采用常规随机搜索算法很难收敛到全局最优。本文尝试用连续化的方法建立连续变量和离散变量之间的关系，即用连续函数来表示离散问题，从而只需求解连续优化问题，并根据连续和离散问题之间的关系求出原问题的解。本文利用互补约束和最优化极值理论，将机组组合问题转化为连续空间的非线性规划，构建了计及HEVs规模化入网的电力系统机组组合互补约束优化模型，进而利用光滑NCP函数对所建立的模型进行光滑处理，将其转化为一般的非线性规划问题，再采用原对偶内点法进行求解，从而提高了算法的求解精度和效率。

1 计及HEVs规模化入网的机组组合模型 1.1 目标函数

本文采用与传统机组组合问题相同的目标函数，即以整个系统的火电机组的发电成本最低为目标函数。

$\min F = \sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{t = 1}^T {[f(p_i^t,d_i^t) + S_i^td_i^t(1{\rm{ - }}d_i^{t - 1})]} } ,$

(1)

其中，F为系统总发电费用； ${p_i^t}$ 和 ${d_i^t}$ 为决策变量； ${p_i^t}$ 为发电机i在t时段的有功功率； $d_i^t \in \{ 0,1\} $ ， $d_i^t = 1$ 表示发电机i在t时段为开机状态； $d_i^t = 0$ 表示发电机i在t时段为停机状态； ${f(p_i^t,d_i^t)}$ 为机组i在t时段的运行成本； ${S_i^t}$ 为机组i在t时段的启动费用；N为系统的机组总数；T为总的时段数。

而发电机组的燃料成本函数可以表示为

$f(p_i^t{\rm{,}}d_i^t) = {a_i}{(p_i^t)^2} + {b_i}p_i^t + {c_i}d,$

(2)

其中，a_i ，b_i ，c_i 分别为发电机i的燃料成本系数。

$S_i^t = {K_i} + {B_i}(1{\rm{ - }}{e^{{\rm{ - }}T_i^{{\rm{off}}}(t{\rm{ - }}1)/{T_{{\rm{cold}}}}}}).$

(3)

其中， ${S_i^t}$ 为机组i在t时段的启动燃料消耗量；K_i 、B_i 和T_cold分别为机组的启动耗量参数； ${T_i^{{\rm{off}}}(t{\rm{ - }}1)}$ 为发电机i在时段t之前连续停止运行的时间。

1.2 约束条件

含HEVs规模化入网的机组组合问题需要满足如下约束条件：

(1) 功率平衡约束：

$\sum\limits_{i = 1}^N {d_i^t} p_i^t + {p_{{\rm{dis}}}}N_{{\rm{dis}}}^t = p_D^t + {p_{{\rm{chr}}}}N_{{\rm{chr}}}^t,$

(4)

其中， $p_D^t$ 表示t时段整个系统的总负荷，p_dis为单辆HEVs的放电平均功率，p_chr为单辆HEV的充电平均功率， $N_{{\rm{dis}}}^t$ 表示在t时段接入电网放电的HEVs数量， $N_{{\rm{chr}}}^t$ 分别表示在t时段接入电网充电的HEVs数量。

(2) 机组开停机状态约束：

$d_i^t \in \{ 0,1\}.$

(5)

(3) 系统备用容量约束：

$\sum\limits_{i = 1}^T {d_i^t} {p_{i{\rm{max}}}} + {p_{{\rm{dis}}}}N_{{\rm{dis}}}^t \geqslant p_D^t + R_D^t + {p_{{\rm{chr}}}}N_{{\rm{chr}}}^t,$

(6)

其中， $R_D^t$ 为t时段系统总备用容量。

(4) 发电机组出力约束：

$d_i^t{p_{i{\rm{min}}}} \leqslant p_i^t \leqslant d_i^t{p_{i{\rm{max}}}},$

(7)

其中，p_imin表示发电机i的最小有功出力，p_imax表示发电机i的最大有功出力。

(5) 机组爬坡速率限制约束：

${D_i} \leqslant p_i^t - p_i^{t - 1} \leqslant {U_i},$

(8)

其中，D_i 为发电机i的最大上调有功出力，U_i 为发电机i的最大下调有功出力。

(6) 机组最小在线时间约束：

$[T_i^{{\rm{on}}}(t - 1) - T_i^{{\rm{on}}}](d_i^{t - 1} - d_i^t) \geqslant 0,$

(9)

其中， $T_i^{{\rm{on}}}$ 为机组i的最小在线运行时间； $T_i^{{\rm{on}}}(t - 1)$ 为机组i在t时段前的持续在线运行时间。

(7) 机组最小离线时间约束：

$[T_i^{{\rm{off}}}(t - 1) - T_i^{{\rm{off}}}](d_i^t - d_i^{t - 1}) \geqslant 0,$

(10)

其中， $T_i^{{\rm{off}}}$ 为机组i的最小离线时间； $T_i^{{\rm{off}}}(t - 1)$ 为机组i在t时段前的持续离线时间。

(8)t时段内HEVs最大充(放)电数量约束：

$\left\{ \begin{array}{l}N_{{\rm{dis}}}^t \leqslant N_{{\rm{dis}},t}^{{\rm{max}}},\\N_{{\rm{chr}}}^t \leqslant N_{{\rm{chr}},t}^{{\rm{max}}}.\end{array} \right.$

(11)

其中， $N_{{\rm{chr}},t}^{{\rm{max}}}$ 为t时段内全网可充电的HEVs数量， $N_{{\rm{dis}},t}^{{\rm{max}}}$ 为t时段内全网可放电的EHV数量。

(9) HEVs充（放）电时间约束：

$\left\{ \begin{array}{l}\sum\limits_{t = {\rm{1}}}^T {T_{{\rm{dis}}}^t} \leqslant T_{{\rm{dis}}}^{{\rm{max}}},\\\sum\limits_{t = {\rm{1}}}^T {T_{{\rm{chr}}}^t} \leqslant T_{{\rm{chr}}}^{{\rm{max}}}.\end{array} \right.$

(12)

其中， $T_{{\rm{chr}}}^{{\rm{max}}}$ 为HEVs在一个调度周期内充电总小时数， $T_{{\rm{dis}}}^{{\rm{max}}}$ 为HEVs在一个调度周期内放电总小时数。

(10) 接入电网的HEVs总数量约束：

$N_{{\rm{dis}}}^t + N_{{\rm{chr}}}^t \leqslant {N_{{\rm{HEVs}}}},$

(13)

其中，N_HEVs为系统中HEVs的总数。

1.3 含HEVs的机组组合模型

由式(1)-(13)所组成的含EHVs的机组组合模型可以表示为如下一般形式：

$\begin{array}{l}{\rm{min}} F{(}x{)}\\{\rm s}{. {\rm t}}{. }\left\{ \begin{array}{l}g{(}x{) = 0,}\\h{(}x{)} \geqslant {0,}\\d_i^t\left\{ {{0,1}} \right\}{.}\end{array} \right.\end{array}$

(14)

其中，x为包含状态变量和控制变量的列向量；F(x)为系统总发电成本的表达式；g(x)包含约束条件(4)~(5)；h(x)包含不等式约束条件(6)~(13)。

2 计及HEVs规模化入网的机组组合优化 2.1 互补问题

互补问题^[11-13]是运筹学与数学交叉的一个研究领域。假如某个问题的两组决策变量之间满足的是一种“互补关系”，则称其为互补问题，互补关系可用符号“⊥”表示。

互补问题一般的数学描述如下：

$G(x) \geqslant 0,H(x) \geqslant 0,G{(x)^{\rm{T}}}H(x) = 0,$

(15)

其中，G(x)，H(x)： Rⁿ→ R是两个连续映射。

2.2 计及HEVs入网的机组组合互补约束优化模型

根据式(5)可以看出，优化后的机组状态变量取值一定为0或1，而由式(7)可以看出，在线机组的有功出力是介于其出力下限和上限之间的一个连续变量。对于这种同时含有连续变量和离散变量的组合优化问题，目前还没有一种算法能有效地处理此类问题。本文将建立含互补约束的电力系统机组组合的非线性优化模型，建模的基本思路为：首先对机组开停机状态变量的取值进行约束，即融入0-1离散约束条件；其次，借鉴互补优化理论建立含机组状态变量的互补约束机组组合优化模型；再次，利用光滑函数对所建立模型中互补约束条件进行光滑化处理；将其转化为含互补约束的非线性优化模型，最后，利用原对偶内点法进行求解。

实际上，表示机组运行的状态变量具有互斥性，即机组i在t时段的运行状态变量 $d_i^t$ 不可能同时为0或者1，因此可以构建辅助互补约束条件将式(5)等价影射为连续空间的机组组合优化模型，其机组运行状态的离散互补约束的互补模型为

$d_i^t(1 - d_i^t) = 0.$

(16)

由式(16)中可以看出在优化过程中无需要求决策变量的离散性，在获得最优解时都可以确保最终的决策变量的取值为0或者1。

本文将机组开停机状态约束条件转化为互补约束的形式：

$d_i^t \bot (1 - d_i^t) = 0.$

(17)

式(17)可以表示机组开停机状态变量约束(0或1)，将式(17)替换(1)式中的 $d_i^t \in \{ 0,1\} $ ，则可以建立连续空间的计及电动汽车入网的机组组合互补约束模型，其可以表示为

$\begin{array}{*{20}{l}}{\min F(x),}\\{{\rm{s}}.{\rm{t}}.\left\{ \begin{array}{l}g(x) = 0,\\H(x)\geqslant0,\\d_i^t\geqslant0,\\(1 - d_i^t)\geqslant0,\\d_i^t(1 - d_i^t) = 0.\end{array} \right.}\end{array}$

(18)

简单的线性互补约束优化问题也是一个NP难问题。式(17)在该问题的求解过程中不能直接使用，而利用互补光滑函数可以将互补约束条件进行等价替换^[14-15]，将其进一步等效转换为一般非线性规划问题。因此本文利用光滑互补函数对所建立模型中的互补约束条件进行光滑化处理。

3 求解计及HEVs规模化入网的机组组合互补约束优化模型 3.1 光滑NCP函数

光滑函数是指在变量的空间中能够无穷可导的一种函数，即存在所有的有限阶的导数。对于含非线性互补约束的优化问题，由于其不满足可行点的(MFCQ)^[16]约束条件，所以利用其KKT条件来求解目标函数就变得很困难。而对于非线性互补优化问题，一种很重要的求解思路就是利用非线性互补问题(NCP)函数将其等价地转化为较容易求解的最优化问题。

设函数θ： R²→ R，对于任意(a，b)^T∈ R²，若θ(a，b)=0等价于a≥0，b≥0，ab=0，则称函数θ是一个NCP函数。

本文采用NCP函数对互补约束条件进行等价转化。以下是两个常用的NCP函数。

(1) 带扰动因子的NCP函数：

$\begin{aligned}\varPsi (\mu ,{a,b}) = a + b - \sqrt {{{(a - b)}^2} + 4{\mu ^2}}.\\\varPsi :{{\mathbf{R}}^2} \to {\mathbf{R,}}\mu 0, \forall (a,b) \in {{\mathbf{R}}^2}.\end{aligned}$

(19)

当μ→0时，式(17)等价于a≥0，b≥0，ab=0。

(2) F-B函数：

$\begin{aligned}\phi (a,b) = a + b - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\\\phi :{{\mathbf{R}}^2} \to {\mathbf{R,}} \forall (a,b) \in {{\mathbf{R}}^2}.\end{aligned}$

(20)

由于NCP函数是一个非光滑函数，所以含有NCP函数的优化问题不能采用常规方法直接求解。而解决这类问题一种有效的途径就是对其进行光滑化处理。

3.2 计及HEVs规模化入网的机组组合互补约束模型光滑化处理

将机组开停机状态变量约束条件表示为式(17)的互补约束条件，则将含有{0，1}离散变量的机组组合优化问题可以等价转化为互补约束条件的非线性规划问题，再利用F-B函数将互补约束条件(17)转化为：

$\varphi (d_i^t,(1 - d_i^t)) = 1 - \sqrt {{{(d_i^t)}^2} + {{(1 - d_i^t)}^2}} .$

(22)

将约束条件(17) 和(22)加入到机组组合模型(14)中：

$\begin{array}{*{20}{l}}{\min F(x),}\\{{\rm{s}}.{\rm{t}}.\left\{ \begin{array}{l}g(x) = 0,\\\underline h\leqslant h(x)\leqslant \bar h,\\\varphi (d_i^t,(1 - d_i^t)) = 1 - \sqrt {{{(d_i^t)}^2} + {{(1 - d_i^t)}^2}} = 0.\end{array} \right.}\end{array}$

(21)

其中，g(x)为等式约束条件；h(x)为不等式约束条件； $\underline h $ 为不等式约束的下限， $\overline h $ 为不等式约束的上限。

利用原对偶内点法对上述模型进行求解，原对偶内点法的计算过程以及详细步骤见文献[17]。

4 算例仿真与分析 4.1 算例描述

为了验证本文所提出方法的有效性，本文采用Matlab2010b对由10机组和60 000辆HEVs组成的电力系统在一个调度周期24个时段内进行仿真分析。仿真条件如下：计算机基于WinXP/Intel平台，其主频为2.6 GHz，内存为1.96 GB。假定所有入网的HEVs都参与充电优化控制，申请参与调度的HEVs一天内向电网充(放)电总量为定值，且充(放)电各一次。每辆HEV的平均充电功率为1.8 kW，充电时长为6 h，充电总量为10.8 kW·h；只有50%的HEVs可以向电网反向充电，每辆HEV平均放电功率为1.7 kW，放电时长为6 h，放电总量为10.2 kW·h^[18]；单位时间内HEVs的最大放电数量不超过可放电HEVs总数的95%。给定系统旋转备用容量需求 $R_D^t$ 为系统各时段负荷值的10%。本文所涉及机组特性数据和24 h负荷以及备用数据详见文献[19]。

4.2 仿真分析

分别考虑以下两种情况：(1)不考虑HEVs接入电网的机组组合优化；(2)计及HEVs规模化入网的机组组合优化。其仿真优化结果分别如表(1)和(2)所示。

表1和表2优化结果显示了HEVs是否接入电网对机组组合的影响，在机组组合方面，由上述优化结果可知，机组1~4在整个调度周期内均处于停机状态，由于其机组容量较小，具有响应速度快但是运行成本高的特点，所以，其一般用来满足系统不确定性负荷的波动以及峰荷的需求，与此同时还可以作为整个系统的暗备用。而在整个调度周期内机组8~10均一直处于开机状态并且基本都是接近满负荷运行，其机组容量大，具有运行费用低但是启停时间长等特点，因此，一般用来满足基本负荷的需求，不适合进行频繁的开停机操作。机组5~7用来应对日常的负荷波动，其具有较快的爬坡速率和响应速度，改善了响应速度快运行成本高的机组的组合，从而有效的降低了系统的运行成本，提高运行的经济性。

图1为10机组系统在不同HEVs渗透率下的负荷曲线，通过分析对比无HEVs接入和60 000辆HEVs接入电网的仿真结果可以看出，首先，优化后HEVs的充电时段主要是在负荷低谷时段；在电网负荷高峰时段向电网进行放电；从而使得日负荷曲线比HEVs未接入电网时更加平缓。另一方面，系统的负荷率由80.65%提高到83.31%，峰谷差率由43.00%下降到35.30%。从不同HEVs渗透率下的日负荷曲线可知，HEVs并网可以对日负荷起到“削峰填谷”的作用，使得日负荷曲线趋于平稳，提高了机组的利用效率以及电力系统运行的稳定性。

5 结论

(1) 电动汽车的规模化入网将对电力系统运行和规划产生重要的影响。电动汽车的充电需求显著增加了电网的负荷，其储能特性使得电网能源出现了双向流动，通过合理的调度和控制策略来优化电动汽车的充放电行为，可以对新能源的间歇性和不确定性起到了平抑和缓冲作用。实现系统资源配置结构性优化，从而有效降低系统发电成本，提高新能源发电利用率。

(2) 本文通过互补约束来描述表示机组开停机状态的整数变量，并将其构造成互补约束条件。系统的测试结果表明，采用本文方法得到机组的开停机状态变量全为整数值，不需要人为地重新修正，显示了其较高的求解效率。

(3) 本文利用互补约束条件、光滑互补函数和最优化极值理论构建的机组组合优化数学模型，不仅实现了离散优化空间向连续寻优空间的等价影射变换，避开了直接对离散变量的优化决策，且以其为基础构建的非线性互补约束模型，将离散和连续变量统一在互补模型直接进行求解，得到了其最优解。

(4) 优化结果表明，本文所提出的方法能有效地缓解大规模的HEVs接入电网充电对电网运行造成的冲击，进而使得系统的日负荷曲线趋于平缓，实现了对电网负荷的“削峰填谷”作用。在今后的工作中将考虑HEVs随机充电行为以及其与风电等不确定性新能源合理组成的分布式能源系统对机组组合的影响。