随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。随机过程的统计特性可用随机过程的分布族完整描述，但是随机过程的分布族在实际应用中往往难以确定。因而，在研究随机过程时，通常利用随机过程的数字特征函数，如均值函数、方差函数、自相关函数、互相关函数来描述随机过程的重要特征^[1-2]。

文献[3]首次采用可拓理论来刻画随机事件的概率，文献[4-5]定义了随机事元的概念，对随机事件和随机变量的概率分布进行了研究。文献[6]用参变量事元和集合理论建立了随机过程的可拓模型，并利用可拓理论对随机过程的均值函数和方差函数的拓展性进行了研究。在随机过程中，仅研究均值函数和方差函数往往是不够的，某些现实矛盾问题需要通过研究随机过程中的自相关函数和互相关函数才能得到解决。在解决实际问题时，往往同一过程中，两个时刻的自相关函数值，或者在两个过程中，两个时刻的互相关函数值为某一确定值时，矛盾问题无法得到解决，但当自相关函数或互相关函数的值变为另一个函数值时，矛盾问题将会得到解决。文献[7]定义了复杂信息元和复杂信息元集，为工程中解决矛盾问题提供依据。例如，在信号传输过程中，往往需要降低同一信号不同时刻的自相关性，或者降低同一时刻发射的两种不同信号的互相关性，进而减少信号之间相互干扰。

可拓学是以形式化的模型，研究事物的可拓展规律，并用于解决现实中的矛盾问题。本文利用可拓理论^[8-9]和随机过程的可拓模型对随机过程的自相关函数和互相关函数进行研究，通过寻找主动变换，利用其传导性，使随机过程在参变量取某值的状态发生改变，从而使随机过程的自相关函数或互相关函数发生相应的传导变换，为一类涉及随机过程的自相关函数或互相关函数的矛盾问题提供一种新的处理方法。

1 过程元集及其自相关函数与互相关函数

文献[5]中用过程元集 $ W \!\! = \!\! \left\{ {\left. {A(t)} \right|A(t) \in \left( {{O_a},C,U(t)} \right),} \right. $ $ \left. {U(t) \in V(C),(t \in T)} \right\} $ 刻画随机过程，并对均值函数和方差函数进行了拓展研究，其中

$A(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{O_a},}&{{c_1},}&{{u_1}(t)}\\ {}&{{c_2},}&{{u_2}(t)}\\ {}& \vdots & \vdots \\ {}&{{c_n},}&{{u_n}(t)} \end{array}} \right),(t \in T).$

本文将用过程元集 ${W_1}$ 和 ${W_2}$ 分别刻画随机过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 和 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ ，并对同一过程的自相关函数和两个过程的互相关函数进行拓展研究。其中，

${W_1} \! = \! \left\{ {\left. {{A_1}(t)} \right|{A_1}(t) \! \in \! \left( {{O_{a1}},C,{U_1}(t)} \right),{U_1}(t) \! \in \! {V_1}(C),} \right.\left. {(t \! \in \! T)} \right\},$

(1)

${W_2} \! = \! \left\{ {\left. {{A_2}(t)} \right|{A_2}(t) \! \in \! \left( {{O_{a2}},C,{U_2}(t)} \right),{U_2}(t) \! \in \! {V_2}(C),(t \! \in \! T)} \right\}.$

(2)

定义 1 设随机过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 为二阶矩过程，若 ${R_X}(t,s)$ 是过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 的自相关函数，则称 ${R_X}({W_1}) = {R_X}(t,s)$ ， $(t,s \in T)$ 是过程元集 ${W_1}$ 的自相关函数。

定义 2 设随机过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ ， $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 均为二阶矩过程， ${W_1}$ 和 ${W_2}$ 分别为过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 和 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 对应的过程元集，若 ${R_{XY}}(t,s)$ 是过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 和 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 的互相关函数，则称 ${R_{XY}}({W_1},{W_2}) = {R_{XY}}(t,s)$ ， $(t,s \in T)$ 为过程元集 ${W_1}$ 和 ${W_2}$ 的互相关函数。

2 传导自相关函数和传导互相关函数

在实际问题中，通常需要改变同一过程两个时刻的自相关性，或者改变不同过程的互相关性来解决矛盾问题。例如，商品在市场买卖过程中，厂家需通过不断的改进技术来提高商品的性能，进而降低同一商品买卖过程中不同时期的产品性能的相似度或者相关性来吸引顾客购买；或者降低同一时期买卖的两种不同商品的互相关性，进而减少两种商品买卖时相互之间的干扰。这时需要通过可拓推理寻找主动变换，改变随机过程在参变量为 $t(t \in T)$ 时的过程元 $A(t)$ 中某个特征 ${c_i}$ 的量值 ${u_i}(t)$ ，由主动变换的传导性，可使 $A(t)$ 和过程元集 $W$ 发生传导变换，从而使同一过程的自相关函数 ${R_X}(W)$ 或不同过程的互相关函数 ${R_{XY}}({W_1},{W_2})$ 发生改变。

若在过程元集为 ${W_1} = \left\{ {\left. {{A_1}(t)} \right|{A_1}(t) \in \left( {{O_{a1}},C,} \right.} \right.$ $\left. {\left. {U_1}{(t)} \right),{U_1}(t) \in {V_1}(C),(t \in T)} \right\}$ 的过程中，假设实施主动变换 ${\varphi _1}$ ，使 ${\varphi _1}{u_{1i}}(t) = {u'_{1i}}(t)$ ， $(t \in T)$ ，根据可拓变换的传导性和蕴含性，得到

$\mathop {{\varphi _1}}\nolimits_{{u_{1i}}(t)} \Rightarrow {}_{{u_{1i}}(t)}{\varphi _1}_{{A_1}(t)},$

使

${}_{{u_{1i}}(t)}{\varphi _1}_{{A_1}(t)}{A_1}(t) = {A'_1}(t),$

则在变换 ${\varphi _1}$ 下的自传导过程元集^[5]为

$\begin{aligned} _{{u_{1i}}(t)}{\varphi _1}_{{W_1}}{W_1} = W_1',\\ _{{u_{1i}}(t)}{\varphi _1}_{{R_X}({W_1})}{R_X}({W_1}) = R_X'(W_1') .\end{aligned}$

为研究两个过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 和 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 在传导变换下的互相关函数的性质，设它们对应的过程元集分别由式(1)、式(2)定义。

假设实施主动变换 ${\varphi _k}$ ， $(k = 1,2)$ ，使 ${\varphi _k}{u_{ki}}(t) = {u'_{ki}}(t)$ ， $(t \in T,k = 1,2)$ ，根据可拓变换的传导性和蕴含性，得到

$\mathop {{\varphi _k}}\nolimits_{{u_{ki}}(t)} \Rightarrow {}_{{u_{ki}}(t)}{\varphi _k}_{{A_k}(t)},k = 1,2,$

使

$_{{u_{ki}}(t)}{\varphi _k}_{{A_k}(t)}{A_k}(t) = A_k'(t),k = 1,2.$

则在变换 ${\varphi _k}\;\;(k = 1,2)$ 下的自传导过程元集为

${}_{{u_{ki}}(t)}{\varphi _{k\;}}_{{W_k}}{W_k} = W_k',k = 1,2.$

在上述变换中，可对两个过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 和 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 中的一个过程进行变换而另一个过程不变，也可两个过程同时实施主动变换，本文仅对单个过程变换的互相关函数进行研究。

当过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 进行变换，而过程 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 不变时，在变换 ${\varphi _1}$ 下的自传导过程元集为

${}_{{u_{1i}}(t)}{\varphi _{1\;}}_{{W_1}}({W_1}) = W_1',$

则变换 ${\varphi _1}$ 下的互相关函数为

${}_{{u_{1i}}(t)}{\varphi _{1\;}}_{{R_{XY}}({W_1},{W_2})}{R_{XY}}({W_1},{W_2}) = {R'_{XY}}({W'_1},{W_2}).$

同理当过程 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 进行变换，而过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 不变时，在变换 ${\varphi _2}$ 下的自传导过程元集为

${}_{{u_{2i}}(t)}{\varphi _{2\;}}_{{W_2}}({W_2}) = {W'_2},$

则变换 ${\varphi _2}$ 下的互相关函数为

${}_{{u_{2i}}(t)}{\varphi _{2\;}}_{{R_{XY}}({W_1},{W_2})}{R_{XY}}({W_1},{W_2}) = {R'_{XY}}({W_1},{W'_2}).$

定义 3 称 ${}_{{u_{1i}}(t)}{\varphi _{1\;}}_{{R_X}({W_1})}{R_X}({W_1})$ 为变换 ${\varphi _1}$ 下自传导过程元集 ${W'_1}$ 的传导自相关函数。

定义 4 称 ${}_{{u_{1i}}(t)}{\varphi _{1\;}}_{{R_{XY}}({W_1},{W_2})}{R_{XY}}({W_1},{W_2})$ 为变换 ${\varphi _1}$ 下自传导过程元集 ${W'_1}$ 与 ${W_2}$ 的传导互相关函数。

定义 5 称 ${}_{{u_{2i}}(t)}{\varphi _{2\;}}_{{R_{XY}}({W_1},{W_2})}{R_{XY}}({W_1},{W_2})$ 为变换 ${\varphi _2}$ 下自传导过程元集 ${W'_2}$ 与 ${W_1}$ 的传导互相关函数。

3 案例分析

例 某数字通信系统甲传送的信号为余弦波脉冲信号，脉冲幅度 $X(t) = {B_1}\cos ({\omega _1}t + \theta )$ 随时间t的变化是一个随机过程，其中B₁为振幅， ${\omega _1}$ 为角频率，相位 $\theta $ 服从( $( - {\rm{\pi ,\pi }})$ )上的均匀分布。

该过程用过程元集描述为 ${W_1} = \left\{ {\left. {{A_1}(t)} \right|{A_1}(t) \in } \right.$ $\left( {{O_{a1}},C,} \right.{U_1}\left. {\left. {(t)} \right),{U_1}(t) \in {V_1}(C),(t \in T)} \right\}$ ，其中

${A_1}(t){\rm{ = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{传送,}&\text{支配对象,}&{{M_1}(t)}\\ {}&\text{施动对象,}&{{D_1}} \end{array}} \right),$

这里，

$\begin{aligned} & {M_1}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{余弦波信号},&\text{振幅},&{B_1}\\ {}&\text{频率,}&{\omega _1}\\ {}&\text{相位,}&{\theta (t)} \end{array}} \right),\\ & \theta (t) = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{X_t}{B_1}} \right) - {\omega _1}t \sim U( - {\rm{\pi ,\pi }}),\\ & {D_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{数字通信系统甲,}&\text{信源,}&{x_{11}}\\ {}&\text{信源,}&{x_{12}}\\ {}&\text{噪声源},&{x_{13}}\\ {}&\text{信宿},&{x_{14}}\\ {}& \vdots & \vdots \end{array}} \right).\\ {R_X}(t,s) = & E({A_1}(t){A_1}(s)) = \\ & \frac{1}{{2\rm{\pi } }}\int_\rm{\pi }^\rm{\pi } {B_1^2\cos ({\omega _1} t + \theta )\cos ({\omega _1} s + \theta )\rm{d}\theta } = \\ & \frac{{B_1^2}}{2}\cos {\omega _1}(t - s), \end{aligned}$

则过程元集 ${W_1}$ 下的自相关函数为 ${R_X}({W_1}) = {R_X}(t,s) = \displaystyle \frac{{B_1^2}}{2}\cos {\omega _1}(t - s)$ 。

当 ${B_1} = 2$ ， ${\omega _1} = \displaystyle \frac{\rm{\pi }}{4}$ 时， ${R_X}({W_1}) = 2\cos \displaystyle \frac{{\pi (t - s)}}{4}$ ， $\left( {t,s \in T} \right)$ 。特别地当 $t = s$ 时， ${\left. {{R_X}({W_1})} \right|_{t = s}} = 2$ ；当 $t = 2$ ， $s = 1$ 时， ${\left. {{R_X}({W_1})} \right|_{_{\begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\[-3pt] {s = 1} \end{array}}}} \!\!\!\! = \sqrt 2 $ ；当 $t = 4$ ， $s = 1$ 时， ${\left. {{R_X}({W_1})} \right|_{\begin{array}{*{20}{c}} {t = 4}\\[-3pt] {s = 1} \end{array}}} \!\!\!\! = - \sqrt 2 $ 。

又设另一数字通信系统乙传送的信号为正弦波脉冲信号，脉冲幅度 $Y(t) = {B_2}{\rm{sin}}({\omega _2}t + \theta )$ 也为一随机过程，其中 ${B_2}$ 为振幅， ${\omega _2}$ 为角频率， $\theta $ 也是服从 $\left( { - \rm{\pi },\rm{\pi }} \right)$ 上的均匀分布。

用过程元集可描述为 ${W_2} = \left\{ {\left. {{A_2}(t)} \right|{A_2}(t) \in \left( {{O_{a2}},C,} \right.} \right.$ ${U_2}\left. {\left. {(t)} \right),{U_2}(t) \in {V_2}(C),(t \in T)} \right\}$ ，其中

${A_2}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{传送},&\text{支配对象},&{{M_2}(t)}\\ {}&\text{施动对象},&{{D_2}} \end{array}} \right),$

(3)

这里，

${M_2}(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{正弦波信号,}&\text{振幅,}&{{B_2}}\\ {}&\text{频率,}&{{\omega _2}}\\ {}&\text{相位,}&{\theta (t)} \end{array}} \right),$

(4)

$\theta (t) = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{{Y_t}}}{{{B_2}}}} \right) - {\omega _2}t\sim U( - \rm{\pi },\rm{\pi }),$

(5)

${D_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{数字通信系统乙,}&\text{信源,}&{{x_{21}}}\\ {}&\text{信道,}&{{x_{22}}}\\ {}&\text{噪声源,}&{{x_{23}}}\\ {}&\text{信宿,}&{{x_{24}}}\\ {}& \vdots & \vdots \end{array}} \right).$

(6)

$\begin{aligned} {R_{XY}}(t,s) = & E({A_1}(t){A_2}(s)) = \\ & \frac{1}{{2\rm{\pi } }}\int_{ - \rm{\pi } }^{\rm{\pi }} {{B_1}{B_2}\cos ({\omega _1}t + \theta )\sin({\omega _2}s + \theta ){\rm{d}}\theta } = \\ & \frac{{{B_1}{B_2}}}{2}\sin ({\omega _2}s - {\omega _1}t),\end{aligned}$

则过程元集 ${W_1}$ 和 ${W_2}$ 下的互相关函数为 ${R_{XY}}({W_1},{W_2}) = {R_{XY}}(t,s) =\displaystyle \frac{{{B_1}{B_2}}}{2}{\rm {sin}}({\omega _2}s - {\omega _1}t)$ 。

当 ${B_1} = 2$ ， ${B_2} = 3$ ， ${\omega _1} = \displaystyle \frac{\rm{\pi }}{2}$ ， ${\omega _2} = \rm{\pi }$ 时， ${R_{XY}}({W_1},{W_2}) = 3{\rm{sin}}(\rm{\pi } s - \displaystyle \frac{\rm{\pi } }{2}t)$ ， $\left( {t,s \in T} \right)$ 。特别当 $t = s = 1$ 时， ${\left. {{R_{XY}}({W_1},{W_2})}\right|_{ \begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\[-3pt] {s = 1}\end{array}}} \!\!\!\! =3$ ；当 $t = 2$ ， $s = 1$ 时， ${\left. {{R_{XY}}({W_1},{W_2})}\right|_{ \begin{array}{*{20}{c}} {t = 2}\\[-3pt] {s = 1} \end{array}}} \!\!\!\! =0$ ；当 $t = 2$ ， $s = \displaystyle \frac{1}{2}$ 时， ${\left. {{R_{XY}}({W_1},{W_2})}\right|_{ \begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\[-3pt] {s = 1/2}\end{array}}} \!\!\!\! =-3$ 。

在过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 中，当 ${B_1} = 2$ ， ${\omega _1} = \displaystyle \frac{\rm{\pi }}{4}$ ， $t = 2$ ， $s = 1$ 时， ${\left. {{R_{X}}({W})}\right|_{ \begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\[-3pt] {s = 1}\end{array}}} \!\!\!\! = \sqrt 2$ 。但在解决矛盾问题时，若要将数字通信系统甲所传达的余弦波信号不同时刻 $t = 2$ ， $s = 1$ 的自相关函数值变为 $b(b < 0)$ ，通过可拓推理方法，寻找主动变换 $\varphi $ ，改变数字通信系统甲的信号源 ${x_{11}}$ ，由主动变换的传导性，使余弦波频率 ${\omega _1}$ 的值变为 $\displaystyle \frac{{3\rm\rm{\pi }}}{4}$ ，则有变换

${\varphi _{{x_{11}}}} \Rightarrow {}_{{x_{11}}}{\varphi _{{D_1}}} \Rightarrow {}_{{D_1}}{\varphi _{{\omega _1}}} \Rightarrow {}_{{\omega _1}}{\varphi _{{M_1}(t)}},$

使

$ \begin{aligned} \varphi {x_{11}} = x_{11}',{}_{{x_{11}}}{\varphi _{{D_1}}}{D_1} = D_1',{}_{{D_1}}{\varphi _{{\omega _1}}}{\omega _1} =\omega _1', \\ {}_{{\omega _1}}{\varphi _{{M_1}(t)}}{M_1}(t) = M_1'(t),\quad \quad \quad \quad \quad \end{aligned} $

则

$\begin{aligned} & \quad \quad\quad \quad \quad {}_{{x_{11}}}{\varphi _{{A_1}(t)}}{A_1}(t) = A_1'(t),\\ & \quad \quad \quad\quad \quad \quad {}_{{x_{11}}}{\varphi _{{W_1}}}{W_1} = W_1' = \\ & \left\{ {\left. {A_1'(t)} \right|A_1'(t) \in \left( {{O_{a1}},C,U_1'(t)} \right), U_1'(t) \in V_1'(C),(t \in T)} \right\}, \end{aligned}$

其中

$A_1'(t){\rm{ = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{传送,}&\text{支配对象,}&{M_1'(t)}\\ {}&\text{施动对象,}&{D_1'} \end{array}}\right),$

(7)

$M_1'(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{余弦波信号,}&\text{振幅,}&{{B_1}}\\ {}&\text{频率,}&{\omega _1'}\\ {}&\text{相位,}&{\theta (t)} \end{array}}\right),$

(8)

$\theta (t) = {\cos ^{ - 1}}(\frac{{{X_t}}}{{{B_1}}}) - {\omega _1}t \sim U( -\rm{\pi } ,\rm{\pi }),$

(9)

$D_1' = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \text{数字通信系统甲,}&\text{信源,}&{x_{11}'}\\ {}&\text{信源,}&{{x_{12}}}\\ {}&\text{噪声源,}&{{x_{13}}}\\ {}&\text{信宿,}&{{x_{14}}}\\ {}& \vdots & \vdots \end{array}}\right).$

(10)

进而，随机过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 在变换 $\varphi $ 下自传导过程元集 $W_1'$ 的传导自相关函数为

${}_{{x_{11}}}{\varphi _{{R_X}({W_1})}}{R_X}({W_1}) = R_X'(W_1') = \frac{{B_1^2}}{2}\cos \omega _1'(t - s),$

(11)

当 ${B_1} = 2$ ， $\omega _1' = \displaystyle \frac{{3 \rm{\pi }}}{4}$ 时， $R_X'(W_z') = 2\cos \displaystyle \frac{{3{\rm\rm{\pi }}(t - s)}}{4}$ ， $(t,s \in T)$ 。当 $t = 2$ ， $s = 1$ 时， ${\left. {R_X'(W_1')} \right|_{ \begin{array}{*{20}{c}}{t = 2}\\[-3pt] {s = 1}\end{array}}} \!\!\!\! = - \sqrt 2 $ 。可见通过变换，该随机过程的自相关函数值减小为 $ - \sqrt 2 $ ，此时同个过程两个时刻的自相关函数值变为负值，有效地降低了同一过程不同时刻的的相关性，减少了信号间的相互干扰，保证信号的发射质量，进而达到解决实际问题的目的。

在两个过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ ， $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 中，当 ${B_1} = 2$ ， ${B_2} = 3$ ， ${\omega _1} = \displaystyle \frac{{\rm\rm{\pi }}}{2}$ ， ${\omega _2} = {\rm\rm{\pi }}$ ， $t = s = 1$ 时， ${\left. {{R_{XY}}({W_1},{W_2})}\right|_{ \begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\[-3pt] {s = 1}\end{array}}} \!\!\!\! =3$ 。但在解决矛盾问题时，若要将数字通信系统甲、乙所传达的信号在同一时刻 $t = 1$ ， $s = 1$ 的互相关系数变为 $b'(b' < 0)$ ，通过可拓推理方法，可寻求主动变换 ${\varphi _k}$ ， $(k = 1,2)$ 改变过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ 或 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ ，使得矛盾问题得以解决。

寻找主动变换 ${\varphi _k}$ ， $(k = 1,2)$ ，单独改变数字通信系统甲或乙的信源 ${x_{k1}}$ ， $(k = 1,2)$ ，由主动变换的传导性，可使信号波频率 ${\omega _1}$ 或 ${\omega _2}$ 的值改变。不妨设仅单独改变数字通信系统甲，则有变换

$\mathop {{\varphi _1}}\nolimits_{{x_{11}}} \Rightarrow {}_{{x_{11}}}{\varphi _1}_{{D_1}} \Rightarrow {}_{{D_1}}{\varphi _1}_{{\omega _1}} \Rightarrow {}_{{\omega _1}}{\varphi _1}_{{M_1}(t)},$

使

$ \begin{aligned} {\varphi _1}{x_{11}} = & x_{11}',{}_{{x_{11}}}{\varphi _1}_{{D_1}}{D_1} = D_1',{}_{{D_1}}{\varphi _1}_{{\omega _1}}{\omega _1} =\omega _1', \\ & {}_{{\omega _1}}{\varphi _1}_{{M_1}(t)}{M_1}(t) = M_1'(t), \end{aligned} $

则

$\begin{aligned} {}_{{x_{11}}}{\varphi _{1\;}}_{{A_1}(t)}{A_1}(t) = A_1'(t),\\ {}_{{x_{11}}}{\varphi _{1\;}}_{{W_1}}^{}({W_1}) = W_1', \end{aligned}$

其中

$\begin{aligned} & W_1' \! = \! \left\{ {\left. {A_1'(t)} \right|A_1'(t) \! \in \! \left( {{O_{a1}},C,U_1'(t)} \right), \! U_1'(t) \! \in \! V_1'(C),(t \in T)} \right\} \! . \end{aligned}$

其中 ${A_2}(t)$ 由式(3)~式(5)定义，而 $A_1'(t)$ 由式(7)~式(10)定义。

当仅改变过程 $\left\{ {X(t),t \in T} \right\}$ ，而 $\left\{ {Y(t),t \in T} \right\}$ 不变时，则在变换 ${\varphi _1}$ 下自传导过程元集 $W_1'$ 与 ${W_2}$ 的传导互相关函数为 $_{{x_{11}}}{\varphi _{{R_{XY}}({W_1},{W_2})}}{R_{XY}}({W_1},{W_2}) \!=\! {R_{X{Y}}'}({W_{1}'},{W_2}) \!=$ ${\displaystyle \frac{{B_1}{B_2}}{2}}\sin({\omega _2}s - {\omega _{1}'}t)$ ， $(t,s \in T)$ 。当 ${B_1} = 2$ ， ${B_2} = 3$ ， $\omega _1' = \displaystyle {\frac{5\rm{\pi } }{4}}$ ， ${\omega _2} = {\rm{\pi }}$ 时，则 $R_{XY}'(W_1',{W_2}) =3{\rm {sin}}$ $({\rm{\pi }}s - \displaystyle {\frac{{5{\rm{\pi }}}}{4}}t)$ 。当 $t = 1,$ ， $s = 1$ 时，传导互相关函数值可减小为 ${\left. {R_{XY}'(W_1',{W_2})}\right|_{ \begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\[-3pt] {s = 1}\end{array}}} \!\!\!\! = - \displaystyle {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}}$ ，此时两个过程同一时刻的互相关函数值变为负值，有效地降低了两个过程的相关性，减少了两信号间的相互干扰，保证信号的发射质量，进而达到解决实际问题的目的。

运用过程元集的传导自相关函数和传导互相关函数来解决信号互干扰问题时，由于数字通信系统在每一时刻发射信号的内部结构可用过程元来清晰地刻画，可通过过程元的可拓变换和传导变换来改变同一信号过程的自相关性和不同信号过程的互相关性来解决矛盾问题，并且可对变换过程进行清晰的刻画。

4 结束语

本文利用随机过程的可拓模型，给出了传导自相关函数和传导互相关函数的概念。通过寻找主动变换, 改变过程元中某一个或多个特征的量值，由传导变换使随机过程的自相关函数或互相关函数发生改变，为解决依赖于随机过程的自相关函数或互相关函数的矛盾问题寻求一种新途径。文中利用可拓 理论对单个过程的自相关函数和两个过程的单过程变换时的互相关函数进行了深入研究，但未对两个过程同时变换的互相关函数的可拓学表示进行研究，也未对可拓理论在具体随机过程如马氏过程、泊松过程等中的应用进行研究，后续将进一步研究；其次，传导自相关函数和传导互相关函数在其他领域的应用还有继续研究的空间。