Kirchhoff方程属于微分方程中的重要问题类型，在弹性理论和流体动力学等领域有着广泛的应用，还在解决非线性振动及电磁波传播等现代科学问题中显示出其重要性，因此探究Kirchhoff方程对理解这些领域的物理现象具有深远的意义。

Kirchhoff方程是由Kirchhoff在1883年提出的，是经典波动方程D'Alembert's方程的推广。随后Lions^[1]在Kirchhoff方程变分结构方面做出了创新性工作，引起了许多数学家的关注^[2-3]。本文主要研究了Kirchhoff方程在扩散情形下规范解的存在问题，如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \left( {a + b\displaystyle\int_{{{\mathbf{R}}^3}} {|\nabla u{|^2}} {\text{d}}x} \right) \Delta u = \lambda u + \mu |u{|^{q - 2}}u + |u{|^{p - 2}}u,} \\ {\displaystyle\int_{{{\mathbf{R}}^3}} {|u{|^2}} {\text{d}}x = c,} \end{array}} \right. $

(1)

其中，a, b是正常数，2 < q < p$\leqslant$ 6，μ∈R，c表示u的质量约束，λ作为约束问题的Lagrange乘数。

特殊地，如果a = 1, b = 0，那么问题(1) 就简化成经典的Schrödinger方程。

$ - \Delta u = \lambda u + \mu |u{|^{q - 2}}u + |u{|^{p - 2}}u $

(2)

对于Schrödinger方程规范解的研究已经有很全面的结果。Soave等^[4-5]给出了p, q在不同情况下问题(2)规范解的存在性和多重性，并提出了多个猜想。

如果$ \mu \gt 0 $，在物理背景下，问题(1)被称为凝聚情形，在此情形下对于2 < q < p <6的研究已经有很多结果。Li等^[6]建立了在2 < q < 10/3, 14/3 < p < 6情况下，问题(1) 存在多个规范解的结果。Hu和Mao^[7] 通过最小化方法证明问题(1) 的规范解在以下两种情况下：2 < q < 10/3, 2 < p < 14/3和14/3 < q <p< 6的存在性。此外，他们还讨论了μ, p和q如何影响问题(1) 的规范解的存在性。

本文考虑$ \mu < 0 $的扩散情形，对于以下两种情况2< q < p, 10/3$\leqslant $ p $\leqslant $14/3以及2 < q $\leqslant $14/3 <p < 6已经有相关结果，参见文献[7-8]。对于p, q满足2 < q <p <10/3的情形，目前还没有相关结果。本文主要运用极小化和集中紧性原理回答了上述问题，证明了问题(1) 规范解的存在性。

1 预备知识及结果

由变分理论^[9]知道，研究问题(1) 规范解的存在性，可以转化为考虑下列泛函

$ {E_\mu }(u) : = \dfrac{a}{2}||\nabla u||_2^2 + \dfrac{b}{4}||\nabla u||_2^4 - \dfrac{\mu }{q}||u||_q^q - \dfrac{1}{p}||u||_p^p $

(3)

在约束条件下

$ {S_c}: = \{ u \in {H^1}({{\mathbf{R}}^3}) :\displaystyle\int_{{{\mathbf{R}}^3}} {|u{|^2}} {\text{d}}x = c\} $

(4)

临界点的存在性。其中${H^1}({{\mathbf{R}}^3}) $表示的是希尔伯特空间，${H^1}({{\mathbf{R}}^3}) : = \{ v \in {L^2}({{\mathbf{R}}^3}) |Dv \in {L^2}({{\mathbf{R}}^3}) \} $，其中$ Dv $表示$ v $的一阶弱导数。对于任意的测试函数p(x)，${L^r}({{\mathbf{R}}^3}) : = \left\{ {\displaystyle\int_{{{\mathbf{R}}^3}} | p(x) {{\text{|}}^r}{\text{d}}x \lt + \infty } \right\}$, $ \Vert \cdot {\Vert }_{r} $表示的是${L^r}({{\mathbf{R}}^3}) $, $r \in [1, + \infty ) $空间中标准范数。

接下来，考虑下面的极小化问题

$ m(c) : = \mathop {\inf }\limits_{{S_c}} {E_\mu }(u) $

(5)

如果$u \in {S_c}$是问题(5)的极小值点，由临界点理论^[10]可知，存在一个与之对应的$ {\lambda _c} \in {\mathbf{R}} $作为Lagrange乘数，使得

$ E_\mu ^\prime (u) = {\lambda _c}u $

也就是说$u \in {S_c}$, $ {\lambda _c} \in {\mathbf{R}} $是问题(1) 的解。

下面介绍本篇文章要用到一些定义。

定义1　一个泛函$I:X \to {\mathbf{R}}$是定义在Banach空间$X$上的，泛函$I$强制,如果满足下面条件: 对每一个序列${\{ {u_k}\} _{k \in {\mathbf{N}}}} \subset X$，当${\left\| {{u_k}} \right\|_X} \to + \infty $时，能够得到$I({u_k}) \to + \infty$，其中${\left\| {\;} \right\|_X}$表示$X$中的范数。

定义2　在Banach空间$X$，泛函$I$是弱下半连续的，对每一个序列${\{ {u_k}\} _{k \in {\mathbf{N}}}} \subset X$弱收敛到$u \in X$，有

$ I(u) \leq \underset{k\to \infty }{\mathrm{lim}\;\mathrm{inf}}I\left({u}_{k}\right) $

定义3　Banach空间$X$连续嵌入$Y$$(X \prec Y) $，如果

(1) $X \subseteq Y$;

(2) 映射$j:X \to Y$是一个连续算子。即存在一个正数$C \gt 0$使得$\left\|j(u) \right\|_{Y}\leqslant C\left\|u\right\|_{X}$，表示为 $\left\|u\right\|_{Y}\leqslant C\left\|u\right\|_{X}$，对每一个$u \in X$。其中，$ \Vert \;{\Vert }_{Y} $表示空间Y所对应的范数。

在介绍主要结果之前，首先回顾Gagliardo-Nirenberg^[11-12]不等式。

对所有$u \in {H^1}({{\mathbf{R}}^3}) $, $2 \lt t\leqslant 6$, 有下面不等式

$ \left|\right|u|{|}_{t}^{t}\leqslant{C}_{t}^{t}||\nabla u|{|}_{2}^{{\gamma }_{t}t}\left|\right|u|{|}_{2}^{\left(1-{\gamma }_{t}\right) t} $

(6)

其中,$C_t^t: = t/(2||Q||_2^{t - 2}) $，且${\gamma _t}: = 3(t - 2) /(2t) $,其中$Q$满足

$ ||\nabla Q||_2^2 = ||Q||_2^2 = 2||Q||_p^p/p $

由Gagliardo-Nirenberg不等式确定了$p = 14/3$是Kirchhoff方程的质量临界指数。更准确地说，当 $2 \lt p \lt 14/3$时，泛函${E_0}(u) $在流形${S_c}$上是有下界的。然而，当$14/3 \lt p \lt 6$时，泛函${E_0}(u) $在${S_c}$上没有界。

下面介绍本文中的定理。

定理1　假设$\mu \lt 0$且$2 \lt q \lt p \lt 10/3$。那么问题(1) 对于任何$c \gt 0$都存在规范解。

注：Carriao等^[8]证明了当μ<0, 2<q$ \leqslant $14/3 < p <6时,问题(1) 存在一个基态解。对于14/3< q < p <6是否也存在一个基态解？甚至是存在多解, 相关的问题都待解决。

在本文中，使用以下符号: $ {B_w}(u) $是以$u$为中心，半径为$w > 0$的开球，${B_w}: = {B_w}(0) $。${o_n}(1) $表示一个实数序列，满足${o_n}(1) \to 0$当$n \to + \infty $时。$ \rightharpoonup $和$ \to $分别表示在相关函数空间中的弱收敛和强收敛。

2 相关引理及证明

本节给出证明定理1所需要的引理及其对应的证明。

引理1^[13]　(消失引理) 设${t_1} > 0$，并且$2\leqslant m < 6$，如果$\{ {u_n}\} $在${H^1}({{\mathbf{R}}^3}) $中有界，还满足

$ \mathop {\sup }\limits_{y \in {{\mathbf{R}}^3}} \displaystyle\int_{B(y,{t_1}) } {{{\left| {{u_n}} \right|}^m}} {\text{d}}x \to 0,n \to \infty $

那么${u_n} \to 0$在${L^j}({{\mathbf{R}}^3}) $，其中$2 \lt j \lt 6$。

引理2^[13]　设$h$是在$[0,z]$一个实值函数，满足$h(\theta \alpha ) \lt \theta h(\alpha ) $，对所有$\alpha \in (0,z) $,$\theta \in (1,z/\alpha ]$。那么有$h(z) < h(\alpha ) + h(z - \alpha ) $。

引理3^[10]　(Brézis-Lieb引理) 设K是${{{\bf{{{R}}}}}^3}$上的一个开区间, $\{ {u_n}\} \subset {L^{{p_1}}}(K) $, $1\leqslant{p}_{1} < \infty$。如果满足下面两个条件

(1) $\{ {u_n}\} $在${L^{{p_1}}}(K) $中有界,

(2) ${u_n}$在$ K $中几乎处处收敛到$ u $,

有下式成立

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {||{u_n}||_{{p_1}}^{{p_1}} - ||{u_n} - u||_{{p_1}}^{{p_1}}} \right) = ||u||_{{p_1}}^{{p_1}} $

引理4　(Sobolev嵌入定理) 当3$\leqslant$N时，下式成立

${H^1}({{\mathbf{R}}^{\mathbf{N}}}) \prec {L^{{q_1}}}({{\mathbf{R}}^{\mathbf{N}}}) $对所有${q_1} \in [2,2{\mathbf{N}}/({\mathbf{N}} - 2) ]$。

当$2 \lt q \lt p \lt 10/3$时，注意到

$ 0 \lt q{\gamma _q} \lt p{\gamma _p} \lt 2 $

引理5　对于指数满足$2 \lt q \lt p \lt 10/3$时，极小化问题(5)的下确界$ m(c) \lt 0 $。此外，泛函${E_\mu }(u) $在${S_c}$上强制。

证明　对于$s \gt 0$，设

$ {u_s}(x) : = {c^{1/2}}{s^{3/4}}Q({s^{1/2}}x) /||Q|{|_2} $

那么${u_s} \in {S_c}$，并且通过计算得

$\begin{split} &\left\|\nabla u_s\right\|_2^2=c s, \\ &\left\|u_s\right\|_p^p=p c^{p / 2} s^{p \gamma_p / 2} /\left(2\|Q\|_2^{p-2}\right), \\ &\left\|u_s\right\|_q^q=q c^{q / 2} s^{q \gamma_q / 2} /\left(2\|Q\|_2^{q-2}\right) 。\end{split} $

由上述结果，可得

$ \begin{split}{e}_{\mu }\left(s\right) :=&{E}_{\mu }({u}_{s}) =\dfrac{a}{2}cs+\dfrac{b}{4}{c}^{2}{s}^{2}-\mu {c}^{\tfrac{q}{2}}{s}^{\tfrac{q{\gamma }_{q}}{2}}/(2|\left|Q\right|{|}_{2}^{q-2}) -\\ &{c}^{\tfrac{p}{2}}{s}^{\tfrac{p{\gamma }_{p}}{2}}/(2|\left|Q\right|{|}_{2}^{p-2}) \end{split} $

由$ p{\gamma _p}/2 \lt 1 $，显然存在一个足够小的${s_0} \gt 0$使得${e_\mu }({s_0}) \lt 0$。因此，$m(c) \lt 0$，结论成立。

通过Gagliardo-Nirenberg不等式，得出

$ \begin{split}{E}_{\mu }(u) =&\dfrac{a}{2}\left|\right|\nabla u|{|}_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}||\nabla u|{|}_{2}^{4}-\dfrac{\mu }{q}\left|\right|u|{|}_{q}^{q}-\dfrac{1}{p}|\left|u\right|{|}_{p}^{p}\geqslant\\ &\dfrac{a}{2}\left|\right|\nabla u|{|}_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}||\nabla u|{|}_{2}^{4}-\dfrac{1}{p}\left|\right|u|{|}_{p}^{p}\geqslant\\ &\dfrac{a}{2}\left|\right|\nabla u|{|}_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}||\nabla u|{|}_{2}^{4}-\dfrac{1}{p}{C}_{p}^{p}{c}^{\tfrac{p(1-{\gamma }_{p}) }{2}}\left|\right|\nabla u|{|}_{2}^{p{\gamma }_{p}}\end{split} $

所以，当$||\nabla u|{|_2} \to \infty $时，${E_\mu }(u) \to \infty $。证毕。

引理6　对于指数满足$2 \lt q \lt p \lt 10/3$时，$m(c) $关于质量c是连续的。

证明　要证明$m(c) $关于质量c是连续的，只需要证明如果${c_n} \to c$，有$m({c_n}) \to m(c) $成立即可。根据引理5，有$m(c) \lt 0$。

对于$n \in {\mathbf{N}}$，设$\{ {u_n}\} \subset {S_{{c_n}}}$是$m({c_n}) $的极小化序列，则满足

$ {E_\mu }\left( {{u_n}} \right) \lt m\left( {{c_n}} \right) + 1/n \lt 1/n $

由泛函${E_\mu }$在${S_c}$上具有强制性，$\{ {u_n}\} $在${H^1}({{\mathbf{R}}^3}) $中是有界的，并且由Sobolev嵌入定理可知，$\{ {u_n}\} $在${L^{{q_1}}}({{\mathbf{R}}^3}) $中对于${q_1} \in [2, 6]$也是有界的。此外，由$\{ c{u_n}/{c_n}\} \subset {S_c}$，可得

$ \begin{split}& m(c) \leqslant E_\mu\left(\frac{c u_n}{c_n}\right) = \frac{a}{2}\left(\frac{c u_n}{c_n}\right)^2\left\|\nabla u_n\right\|_2^2 + \frac{b}{4}\left(\frac{c u_n}{c_n}\right)^4\left\|\nabla u_n\right\|_2^4 -\\ & \frac{\mu}{q}\left(\frac{c u_n}{c_n}\right)^q\left\|u_n\right\|_q^q-\frac{1}{p}\left(\frac{c u_n}{c_n}\right)^p\left\|u_n\right\|_p^p = E_\mu\left(u_n\right)+o_n(1) <\\ & m\left(c_n\right)+\frac{1}{n}+o_n(1) \end{split} $

另一方面，设$\{ {v_n}\} \subset {S_c}$为$ m(c) $的极小化序列，那么

$m\left({c}_{n}\right) \leqslant{E}_{\mu }\left(\dfrac{{c}_{n}{v}_{n}}{c}\right) ={E}_{\mu }\left({v}_{n}\right) +{o}_{n}(1) = m(c) +{o}_{n}(1) $

因此，$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } m({c_n}) = m(c) $。证毕。

引理7　对于指数满足$2 \lt q \lt p \lt 10/3$时，有下式成立:

$ m(c) \lt m(\alpha ) + m(c - \alpha ) , 其中0 \lt \alpha \lt c $

证明　设$\{ {u_n}\} \subset {S_c}$为$ m(c) $的极小化序列。由于${E_\mu }$在${S_c}$上具有强制性，因此$\{ {u_n}\} $在${H^1}({{\mathbf{R}}^3}) $中是有界的。

接下来断言: 存在一个常数${k_1} \gt 0$，使得$ \Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{2} \gt {k}_{1} $。实际上，如果$ \Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}\to 0 $，那么

$ \begin{split}&0 \geqslant{E}_{\mu }\left({u}_{n}\right) =\dfrac{a}{2}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{4}-\dfrac{\mu }{q}\Vert {u}_{n}{\Vert }_{q}^{q}-\\ & \dfrac{1}{p}\Vert {u}_{n}{\Vert }_{p}^{p} \geqslant\dfrac{a}{2}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{4}- \dfrac{{C}_{p}^{p}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{{\gamma }_{p}p}{c}^{\tfrac{p(1-{\gamma }_{p}) }{2}}}{{p}}\to 0,\end{split} $

得到矛盾。故断言成立。

对于每个$u \in {S_c}$，设${u^\theta }(x) = u({\theta ^{ - 1/3}}x) $，$\theta \gt 0$,那么${u^\theta }$，$u_n^\theta \in {S_{\theta c}}$。设$\theta \gt 1$，那么

$ \begin{split} & m(\theta c) \leqslant E_\mu\left(u_n^\theta\right)=\frac{a}{2} \theta^{\tfrac{1}{3}}\left\|\nabla u_n\right\|_2^2+\frac{b}{4} \theta^{\tfrac{2}{3}}\left\|\nabla u_n\right\|_2^4-\frac{\mu}{q} \theta\left\|u_n\right\|_q^q -\\ & \frac{1}{p} \theta\left\|u_n\right\|_p^p=\theta E_\mu\left(u_n\right) +\theta\bigg[\frac{a}{2}\left(\theta^{-\tfrac{2}{3}}-1\right)\left\|\nabla u_n\right\|_2^2+\\ &\frac{b}{4}\left(\theta^{-\tfrac{1}{3}}-1\right)\left\|\nabla u_n\right\|_2^4\bigg] \leqslant \theta E_\mu\left(u_n\right)+\theta\bigg[\frac{a}{2}\left(\theta^{-\tfrac{2}{3}}-1\right) k_1+\\ &\frac{b}{4}\left(\theta^{-\tfrac{1}{3}}-1\right) k_1^2\bigg] < \theta E_\mu\left(u_n\right), \end{split} $

令$n \to \infty $，得到

$ m(\theta c) \lt \theta m(c)$

(7)

由引理2和式(7)，可得$m(c) \lt m(\alpha ) + m(c - \alpha )$，证毕。

3 定理的证明

设$\{ {u_n}\} \subset {S_c}$为$ m(c) $的极小化序列。由于${E_\mu }$ 在${S_c}$上具有强制性，那么$\{ {u_n}\} $在${H^1}({{\mathbf{R}}^3}) $中是有界的。因此，

$ \delta : = \mathop {\lim }\limits_{{\text{n}} \to \infty } \mathop {\sup }\limits_{y \in {{\mathbf{R}}^3}} {\mkern 1mu} \displaystyle\int_{{B_1}(y) } {{{\left| {{u_n}} \right|}^2}} {\text{d}}x > 0 $

否则，根据引理1得到${u_n} \to 0$在${L^j}({{\mathbf{R}}^3}) $。那么

$ 0\leqslant\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\left(\dfrac{a}{2}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}\Vert \nabla {u}_{n}{\Vert }_{2}^{4}\right) =\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}{E}_{\mu }\left({u}_{n}\right) $

这与$ m(c) \lt 0 $相矛盾。因此，存在一个序列 $\{ {y_n}\} \subset {{\mathbf{R}}^3}$使得

$ \displaystyle\int_{{B_1}\left( {{y_n}} \right) } {{{\left| {{u_n}} \right|}^2}} {\text{d}}x > \delta > 0 $

设${v_n}: = {u_n}\left( {x + {y_n}} \right) $，则

$ \displaystyle\int_{{B_1}} {{{\left| {{v_n}} \right|}^2}} {\text{d}}x \gt \delta $

(8)

此外，$\{ {v_n}\} \subset {S_c}$也是$ m(c) $的一个有界的极小化列。

设

$ \left\{ \begin{aligned} &{v}_{n}\rightharpoonup {v}_{0}&& {{ H}}^{1}({{\bf{R}}}^{3}) ,\\& {v}_{n}\to {v}_{0}&& \text{ }{L}_{\text{loc}}^{t}({{\bf{R}}}^{3}) ,t\in [1,6) ,\\& {v}_{n}(x) \to {v}_{0}(x) && \text{ }几乎处处x\in {{\bf{R}}}^{3} \end{aligned}\right. $

(9)

式(8)表明${v_0} \ne 0$。因此，$\alpha : = ||{v_0}||_2^2 \in (0,c]$。现在证明$\alpha = c$。假设$\alpha \lt c$，根据式(9)和引理3有

$ c = ||{v_n}||_2^2 = ||{v_0}||_2^2 + ||{v_n} - {v_0}||_2^2 + {o_n}(1) $

(10)

由式(10)可得

$ \begin{split}&m(c) =\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}{E}_{\mu }\left({v}_{n}\right) =\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}(\dfrac{a}{2}||\nabla {v}_{0}|{|}_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}\Vert \nabla {v}_{0}{\Vert }_{2}^{4}-\\ &\dfrac{\mu }{q}\left|\right|{v}_{0}|{|}_{q}^{q}-\dfrac{1}{p}|\left|{v}_{0}\right|{|}_{p}^{p}+\dfrac{a}{2}\Vert \nabla ({v}_{n}-{v}_{0}) {\Vert }_{2}^{2}+\dfrac{b}{4}\left|\right|\nabla ({v}_{n}-{v}_{0}) |{|}_{2}^{4}-\\&\dfrac{\mu }{q}||{v}_{n}-{v}_{0}|{|}_{q}^{q}- \dfrac{1}{p}\left|\right|{v}_{n}-{v}_{0}|{|}_{p}^{p}+\dfrac{b}{2}||\nabla {v}_{0}|{|}_{2}^{2}\left|\right|\nabla ({v}_{n}-{v}_{0}) |{|}_{2}^{2})\geqslant \\&{E}_{\mu }\left({v}_{0}\right) +\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}{E}_{\mu }\left({v}_{n}-{v}_{0}\right) \geqslant m(\alpha ) +m(c-\alpha ) \end{split} $

这与引理7相矛盾。所以，$\alpha = c$，即${v_0} \in {S_c}$。

最后，由泛函的弱下半连续性得

$ m(c) \leqslant{E}_{\mu }({v}_{0}) \leqslant\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\;\mathrm{inf}{E}_{\mu }({v}_{n}) =m(c) $

那么${v_0} \in {S_c}$是$m(c) $的一个极小值点。证毕。