通常情况下，复杂动态网络由众多节点和节点间的相互关系即链路关系组成，它能够模拟许多现实世界的动态系统。在构建现实系统的网络模型时，节点往往代表系统中的个体，链路关系代表个体间的关联。例如，在构建机场之间航线状况的航空网络时，节点表示机场，链路关系表示机场间的航线；在构建一个计算机网络时，节点表示计算机，链路关系表示计算机间的通信介质等。根据节点之间的链路关系是否有方向，网络可分为有向网络和无向网络两种。在有向网络中，把其他节点指向某个节点的链路权值称为该节点的入链权值向量，所有节点的入链动力权值向量动力学方程共同构成了入链子系统。然而，网络是一把双刃剑。一方面，合理利用网络，可以给人们的生活带来便利，例如智能交通、网约汽车等为人们的生活提供了方便；另一方面，网络对人类社会发展具有消极作用，例如新型冠状病毒通过人与人之间的接触而广泛传播。

目前，复杂动态网络正受到学者们的广泛关注。在现实网络中，节点之间的链路关系并不是一种静态关系，而是一种动态关系。例如在卷绕系统^[1-3]和生物神经网络^[4]中，节点间的链路关系会随着节点状态的变化而发生改变。从大系统的角度来看，复杂动态网络可以视为是由节点子系统和入链子系统(双子系统) 相互耦合而成的^[5]，本文称由双子系统相互耦合而成的复杂动态网络为双子系统网络。目前，已有文献讨论了这类网络，如文献[6]讨论了由向量微分方程描述节点子系统动力学方程以及利用矩阵微分方程描述链路子系统动力学方程的双子系统网络的动态行为；文献[7]讨论了由向量微分方程分别描述节点子系统和出链路子系统动力学方程的双子系统网络的动态行为。由于双子系统网络同时考虑节点和入链的动态行为以及两者之间的关系，因此，双子系统网络能更全面地分析网络的动态变化，具有重要的研究意义。

同步是复杂动态网络最重要的群体行为之一，目前人们已经提出并研究了几类同步，例如完全同步^[8-10]、外同步^[11-13]、有界同步^[14-15]、簇同步^[16-17]、部分同步^[18]、输出同步^[19]、投影同步^[20-22]等。投影同步是指网络中每个节点状态的投影随着时间的推移达到一致。值得注意的是，文献[6]和文献[7]仅考虑了由相同节点或相同维数的节点组成的双子系统网络的完全同步问题。事实上，许多现实网络具有不同维数的节点^[23-25]，与由相同节点或相同维数的节点组成的网络相比，具有不同维数节点的复杂动态网络表现出更复杂的动力学行为，但网络仍然可能存在同步现象。例如在大脑神经网络中，每个神经元群里包含30~1000个神经元，如果将神经元群看作节点，将神经元群里含有的神经元的个数看作节点的状态维数，那么虽然每个神经元群的状态维数不同，但它们之间仍然存在同步现象^[26]。这意味着不同维数的节点之间也存在同步现象。在现有文献中，矩阵投影同步常常用于研究不同维数节点之间的同步现象。如文献[20]实现了一类具有不确定非线性结构和不同维数节点的时变扰动网络的矩阵投影同步；文献[22]实现了一类具有关键节点且节点维数不同的离散时间复杂动态网络的矩阵投影同步。然而，文献[20]和[22]并没有考虑双子系统网络。

另一个值得注意的是，复杂动态网络的节点特性多样，链路关系错综复杂，因此复杂动态网络一般无法自发实现同步。针对此类问题，控制作为一种有效的手段已被广泛应用到实现复杂动态网络的同步中。到目前为止，许多控制被用于实现网络同步，如间歇控制、脉冲控制、牵制控制、自适应控制、分散控制等。例如，文献[27]通过设计分散控制器实现了一类双子系统网络的同步跟踪；文献[28]通过设计自适应控制器实现了具有延迟节点和噪声扰动的网络的同步。文献[29]通过设计牵制控制器实现了一类具有时变时滞的网络的同步。上述所提到的控制中分散控制只利用节点本身的状态信息，因此具有更易操作的特点。

受上述讨论启发，本文的复杂动态网络是具有不同维数节点的双子系统网络模型，并且使用入链向量微分方程描述入链动力学，其中入链向量被定义为由其他节点指向某个节点处的所有链路权值组成。本文的目标是通过设计入链动态目标和控制输入实现网络的矩阵投影同步。本文主要优势如下：

(1) 探讨的是由不同维数的节点构成的双子系统网络，其网络模型具有更复杂的动力学行为，这与文献[7]网络模型中探讨的由相同维数的节点或相同节点构成的双子系统网络不同。

(2) 探讨双子系统网络的矩阵投影同步。矩阵投影同步包含了完全同步，是更广泛的同步现象。因此，本文探讨的双子系统网络的同步现象比文献[7]探讨的双子系统的完全同步更广泛。

本文的其余部分组成如下：第1节提出了一类具有不同维数节点的双子系统网络模型，给出了网络矩阵投影同步的定义以及2个假设；第2节通过设计入链动态目标向量和节点子系统的控制输入确保节点子系统实现矩阵投影同步；第3节通过数值仿真验证本文所提出策略的有效性；第4节给出了本文的结论。

符号说明：I_n表示$ n $阶单位矩阵，0_n是$ n $维零向量，R是实数集，R⁺是正实数集，Rⁿ是$ n $维向量集，$ {{\bf{R}}^{m \times n}} $是$ m \times n $型矩阵集。若$ {\boldsymbol{A}} $是矩阵，则A^T表示A的转置矩阵，A⁻¹表示A的逆矩阵。‖·‖表示向量的欧几里得范数。

1 网络模型与准备工作

本文考虑由$ N $个不同维数的节点组成的复杂动态网络，记$ {l_{ij}}(t) \in {\bf{R}} $是第$ j $个节点指向第i个节点的外部链接权值，称为节点i的第$ j $个入链权值。复杂动态网络的节点的动力学方程为

$ {{\boldsymbol{\dot x}}_i} = {{\boldsymbol{A}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} + {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + \sum\limits_{j = 1}^N {{l_{ij}}(t) {{\boldsymbol{B}}_{ij}}{{\boldsymbol{h}}_j}({{\boldsymbol{x}}_j}) } + {{\boldsymbol{u}}_i} $

(1)

式中：$ i,j = 1,2,\cdots,N $，$ {{\boldsymbol{x}}_i} = {({x_{i1}},{x_{i2}},\cdots,{x_{i{n_i}}}) ^{\mathrm{T}}} \in {{\bf{R}}^{{n_i}}} $为第i个节点的状态向量；$ {n_i} $为第i个节点的状态维数；$ {{\boldsymbol{A}}_i} \in {{\bf{R}}^{{n_i} \times {n_i}}} $和$ {{\boldsymbol{B}}_{ij}} \in {{\bf{R}}^{{n_i} \times {n_j}}} $为常数矩阵；$ {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) \in {{\bf{R}}^{{n_i}}} $为非线性向量值函数；$ {{\boldsymbol{h}}_j}({{\boldsymbol{x}}_j}) \in {{\bf{R}}^{{n_j}}} $为节点$ j $的输出向量；$ {{\boldsymbol{u}}_i} \in {{\bf{R}}^{{n_i}}} $为第i个节点的控制输入。

为了简洁和便于理论分析，引入以下记号。记$ {l_{ij}} = {l_{ij}}(t) $，$ {{\boldsymbol{L}}_i} = {({l_{i1}},{l_{i2}},\cdots,{l_{iN}}) ^{\rm{T}}} \in {{\bf{R}}^N} $为节点i的入链向量，$ {{\overline{\boldsymbol H}}_i} = ({{\boldsymbol{B}}_{i1}}{{\boldsymbol{h}}_1}({{\boldsymbol{x}}_1}) ,{{\boldsymbol{B}}_{i2}}{{\boldsymbol{h}}_2}({{\boldsymbol{x}}_2}) ,\cdots,{{\boldsymbol{B}}_{iN}}{{\boldsymbol{h}}_N}({{\boldsymbol{x}}_N}) ) \in {{\bf{R}}^{{n_i} \times N}} $。根据上述记号，运用矩阵运算，式(1) 可改写为

$ {{\boldsymbol{\dot x}}_i} = {{\boldsymbol{A}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} + {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\overline{\boldsymbol H}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} + {{\boldsymbol{u}}_i},i = 1,2,\cdots,N $

(2)

注1　相比于文献[7]，本文网络节点的维数是不同的，这能更好地模拟现实网络。此外，当本文网络节点的维数相同时，式(1)或式(2)可用于描述维数相同的节点子系统，故本文的网络模型更具一般性。

定义1　考虑式(1)或式(2)中的网络节点。对给定可微且有界的目标向量$ {\boldsymbol{s}}(t) \in {{\bf{R}}^n} $，$ n \leqslant \min \{ {n_1},{n_2},\cdots, {n_N}\} $，若存在行满秩矩阵$ {{\boldsymbol{M}}_i} \in {{\bf{R}}^{n \times {n_i}}} $，使得

$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) } \right\| = 0 $

(3)

对所有的$ i = 1,2,\cdots,N $都成立，则称网络的节点实现了矩阵投影同步。

注2　(1) $ {{\boldsymbol{M}}_i} $为行满秩矩阵意味着存在矩阵$ {\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} \in {{\bf{R}}^{{n_i} \times n}} $，使得$ {{\boldsymbol{M}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} = {{\boldsymbol{I}}_n} $。(2) 定义1中$ {\boldsymbol{s}}(t) $与节点的状态和动力学无关。(3) 由定义1可知，当$ {n_i} = n $，$ {{\boldsymbol{M}}_i} = {{\boldsymbol{I}}_n} $时，矩阵投影同步描述的是完全同步，所以矩阵投影同步相比于文献[7]中的完全同步更具普遍性。

假设1　式(2)中的$ {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) $可以是未知的，但必须有界，即存在已知的$ {\eta _i}({{\boldsymbol{x}}_i}) \in {{\bf{R}}^ + } $，使得$ \left\| {{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } \right\| \leqslant $$ {\eta _i}({{\boldsymbol{x}}_i}) $，$ (i = 1,2,\cdots,N) $成立。

假设2　式(2)中的$ {{\overline{\boldsymbol H}}_i} $有界且已知，在控制输入$ {{\boldsymbol{u}}_i} $的设计中入链向量$ {{\boldsymbol{L}}_i} $不可用但$ {{\boldsymbol{x}}_i} $可用。

注3　(1) 在实际网络中，节点的非线性动力学特征往往无法精确地建模，因此本文不要求精确获知$ {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) $，只要求其范数界$ \eta ({{\boldsymbol{x}}_i}) $已知即可。(2) 入链权值常常因为无法观测或者成本昂贵而不能被精确获知，故本文假设入链权值和入链向量在$ {{\boldsymbol{u}}_i} $中不可用是非常有必要的。

对于任意给定的Hurwitz矩阵$ {{\boldsymbol{P}}_i} \in {{\bf{R}}^{N \times N}} $和任意给定的正定矩阵$ {{\boldsymbol{Q}}_i} \in {{\bf{R}}^{N \times N}} $，一定存在正定矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_i} \in {{\bf{R}}^{N \times N}} $，使得

$ {\boldsymbol{P}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_i} + {{\boldsymbol{C}}_i}{{\boldsymbol{P}}_i} = - 2{{\boldsymbol{Q}}_i},i = 1,2,\cdots,N $

(4)

成立。

基于式(4)中的$ {{\boldsymbol{P}}_i} $和$ {{\boldsymbol{C}}_i} $，并借鉴文献[7]，本文网络的入链动力学模型设计为

$ {{\boldsymbol{\dot L}}_i} = {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{C}}_i^{ - 1}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i},i = 1,2,\cdots,N $

(5)

于是由式(2)和式(5)共同构成本文研究的双子系统网络模型，即

$ {{\dot{{\boldsymbol{x}}}}_i} = {{\boldsymbol{A}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} + {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\overline{\boldsymbol{H}}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} + {{\boldsymbol{u}}_i} $

(6a)

$ {{\boldsymbol{\dot L}}_i} = {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{C}}_i^{ - 1}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} $

(6b)

式中：$ i = 1,2,\cdots,N $。

2 控制器设计与主要结论

控制目标：考虑双子系统网络(6) 。设计控制输入$ {{\boldsymbol{u}}_i} $，使得$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) } \right\| = 0 $成立，即实现网络节点的矩阵投影同步，同时保证入链向量$ {{\boldsymbol{L}}_i} $有界。

为保证入链向量$ {{\boldsymbol{L}}_i} $有界，本文采用$ {{\boldsymbol{L}}_i} $跟踪有界的入链动态目标向量$ {\boldsymbol{L}}_i^* $，其中$ {\boldsymbol{L}}_i^* $的方程为

$ {\dot{{\boldsymbol{L}}}}_{i}^{*}={{\boldsymbol{P}}}_{i}{{\boldsymbol{L}}}_{i}^{*}-{{\boldsymbol{C}}}_{i}^{-1}{\overline{{\boldsymbol{H}}}}_{i}^{{\mathrm{T}}}{{\boldsymbol{M}}}_{i}^{{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{s}}(t) ,i=1,2,{\cdots},N $

(7)

式中：$ {{\boldsymbol{P}}_i} $与式(6b) 中的相同。

注4　由于式(7)中$ {{\boldsymbol{P}}_i} $是Hurwitz矩阵，$ {{\overline{\boldsymbol H}}_i} $有界，$ {\boldsymbol{s}}(t) $有界，故根据文献[7]可知$ {\boldsymbol{L}}_i^* $有界。可以验证，若

$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{L}}_i^*} \right\| = 0,i = 1,2,\cdots,N $

(8)

成立，则入链向量$ {{\boldsymbol{L}}_i} $有界。

记$ {{\boldsymbol{e}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) $为节点i的矩阵投影同步误差，$ {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} = {{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{L}}_i^* $为入链向量$ {{\boldsymbol{L}}_i} $的跟踪误差，则$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) \right\| = 0 $等价于$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\boldsymbol{e}}_i}} \right\| = 0 $，式(8)等价于$ \mathop {{\mathrm{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} \right\| = 0 $。

本文的控制输入$ {{\boldsymbol{u}}_i} $设计如下：

$ {{\boldsymbol{u}}_i} = - {{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{\boldsymbol{s(t) }} - {{\overline{\boldsymbol H}}_i}{\boldsymbol{L}}_i^* + {\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}({\boldsymbol{\dot s}}(t) - {{\boldsymbol{K}}_i}{{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{v}}_i}) $

(9a)

$ {{\boldsymbol{v}}}_{i}=\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} -\Vert {{\boldsymbol{M}}}_{i}\Vert \cdot \dfrac{{{\boldsymbol{e}}}_{i}}{\Vert {{\boldsymbol{e}}}_{i}\Vert }\cdot {\eta }_{i}({{\boldsymbol{x}}}_{i}) ,　&{{\boldsymbol{e}}}_{i}\ne {{\bf{0}}}_{n}\\ {{\bf{0}}}_{n},　　&{{\boldsymbol{e}}}_{i}={{\bf{0}}}_{n} \end{array}} \right.$

(9b)

式中：$ {{\boldsymbol{K}}_i} \in {{\bf{R}}^{n \times n}} $为可调矩阵，且满足$ {{\boldsymbol{K}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - $$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $，$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} \in {{\bf{R}}^{n \times n}} $为任意给定的负定矩阵。

定理1　考虑由不同维数节点构成的双子系统网络(6)。如果假设1和假设2成立，则在入链动态(5)的辅助下，当入链向量跟踪上式(7)的目标时，控制器(9)能保证复杂动态网络(6)实现节点的矩阵投影同步，同时可以保证入链向量是有界的。

证明　由$ {{\boldsymbol{e}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) $，式(6a)和式(9a)可得节点同步误差对时间$ t $的导数为

$ \begin{split} &{{\boldsymbol{\dot e}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{\dot x}}_i} - {\boldsymbol{\dot s}}(t) = {{\boldsymbol{M}}_i}[{{\boldsymbol{A}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} + {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\overline{\boldsymbol H}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} + {{\boldsymbol{u}}_i}] - {\boldsymbol{\dot s}}(t) =\\ &{{\boldsymbol{M}}_i}[{{\boldsymbol{A}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} + {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\overline{\boldsymbol H}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} - {{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{\boldsymbol{s}}(t) - {{\overline{\boldsymbol H}}_i}{\boldsymbol{L}}_i^* +\\ &{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}({\boldsymbol{\dot s}}(t) - {{\boldsymbol{K}}_i}{{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{v}}_i}) ] - {\boldsymbol{\dot s}}(t) = {{\boldsymbol{M}}_i}[({{\boldsymbol{A}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{\boldsymbol{s}}(t) ) +\\ &{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\overline{\boldsymbol H}}_i}({{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{L}}_i^*) ] + {\boldsymbol{\dot s}}(t) - {{\boldsymbol{K}}_i}{{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{v}}_i} - {\boldsymbol{\dot s}}(t) \end{split} $

(10)

由$ {{\boldsymbol{e}}_i} \;=\; {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) \;=\; {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {{\boldsymbol{M}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{\boldsymbol{s}}(t) \;=\; {{\boldsymbol{M}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{\boldsymbol{s}}(t) )$可得

$ {{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{\boldsymbol{s}}(t) = {\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{{\boldsymbol{e}}_i} $

(11)

将式(11)代入式(10)可得

$ \begin{split} &{{\boldsymbol{\dot e}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1}{{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\boldsymbol{M}}_i}{{\overline{\boldsymbol H}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} - {{\boldsymbol{K}}_i}{{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{v}}_i} =\\ &({{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{K}}_i}) {{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{M}}_i}{{\overline{\boldsymbol H}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} + {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\boldsymbol{v}}_i} \end{split} $

(12)

由$ {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} = {{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{L}}_i^* $，式(6b)和式(7)可得入链向量跟踪误差对时间$ t $的导数为

$ \begin{split} &{{\boldsymbol{\dot e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} = {{\boldsymbol{\dot L}}_i} - {\boldsymbol{\dot L}}_i^* = {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{C}}_i^{ - 1}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - ({{\boldsymbol{P}}_i}{\boldsymbol{L}}_i^* -\\ &{\boldsymbol{C}}_i^{ - 1}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{s}}(t) ) = {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} - {\boldsymbol{C}}_i^{ - 1}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{e}}_i} \end{split}$

(13)

选取Lyapunov函数为

$ V(t) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}} {{\boldsymbol{e}}_i} + \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} $

(14)

式中：$ {{\boldsymbol{C}}_i} $满足式(4)，则$ V(t) $沿式(12)和式(13)的解对时间$ t $的导数为

$ \begin{split} &\dot V(t) = \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}} {{\boldsymbol{\dot e}}_i} + \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^N {({\boldsymbol{\dot e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} + } {\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_i}{{\boldsymbol{\dot e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}) =\\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}} [({{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{K}}_i}) {{\boldsymbol{e}}_i} + {{\boldsymbol{M}}_i}{{\overline{\boldsymbol H}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} + {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) + {{\boldsymbol{v}}_i}] + \\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}\frac{{{\boldsymbol{P}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_i} + {{\boldsymbol{C}}_i}{{\boldsymbol{P}}_i}}}{2}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{C}}_i}( - {\boldsymbol{C}}_i^{ - 1}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{e}}_i}) } = \\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}({{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{K}}_i}) {{\boldsymbol{e}}_i} + } \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{{\overline{\boldsymbol H}}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} +\\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{v}}_i}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } - \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} - \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{e}}_i}} \end{split}$

(15)

注意到$ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{{\overline{\boldsymbol H}}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} \in {\bf{R}} $，故

$ \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{{\overline{\boldsymbol H}}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} = \sum\limits_{i = 1}^N {{{({\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{{\overline{\boldsymbol H}}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}) }^{\rm{T}}} = } \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{\overline{\boldsymbol H}}_i^{\rm{T}}{\boldsymbol{M}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{e}}_i}} $

(16)

当$ {\boldsymbol{e}}{}_i = {{\bf{0}}_n} $时，

$ \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{v}}_i}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } = 0 $

(17)

当$ {{\boldsymbol{e}}_i} \ne {{\bf{0}}_n} $时，由假设1和式(9b)可得

$ \begin{split} &\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{v}}_i}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } = - \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}} \left\| {{{\boldsymbol{M}}_i}} \right\| \cdot {\left\| {{{\boldsymbol{e}}_i}} \right\|^{ - 1}}{{\boldsymbol{e}}_i}{\eta _i}({{\boldsymbol{x}}_i}) +\\ &\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } \leqslant - \sum\limits_{i = 1}^N {\left\| {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}} \right\|} \cdot \left\| {{{\boldsymbol{M}}_i}} \right\| \cdot {\eta _i}({{\boldsymbol{x}}_i}) +\\ &\sum\limits_{i = 1}^N {\left\| {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}} \right\| \cdot } \left\| {{{\boldsymbol{M}}_i}} \right\| \cdot \left\| {{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } \right\| \leqslant 0 \end{split} $

(18)

综合式(17)和式(18)恒有

$ \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{v}}_i}} + \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } \leqslant 0 $

(19)

把式(16)和式(19)代入式(15)，可得

$ \dot V(t) \leqslant \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}({{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{K}}_i}) {{\boldsymbol{e}}_i} - } \sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} $

(20)

由于$ {{\boldsymbol{K}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $，$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $为任意给定的负定矩阵，故$ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}({{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{K}}_i}) {{\boldsymbol{e}}_i}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{\varLambda }}_i}{{\boldsymbol{e}}_i}} \lt 0 $，由$ {{\boldsymbol{Q}}_i} $为正定矩阵，可得$ - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{Q}}_i}{{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}}} \lt 0 $。从而由式(20)可知

$ \dot V(t) \lt 0 $

(21)

根据式(21)和Lyapunov稳定性理论可得$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } {{\boldsymbol{e}}_i} = {{\bf{0}}_n} $，$ \mathop {{\mathrm{lim}}}\limits_{t \to + \infty } {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} = {{\bf{0}}_N} $，即$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{x}}_i} - {\boldsymbol{s}}(t) } \right\| = 0 $，$ \mathop {{\mathrm{lim}}}\limits_{t \to + \infty } \left\| {{\boldsymbol{L}}_i} - {\boldsymbol{L}}_i^* \right\| = 0 $。这意味着网络(6)的节点实现了矩阵投影同步，同时保证了节点的入链向量有界。因此，定理1在理论上得到了严格的证明。

注5　本文和文献[20]都是探讨具有不同维数节点的复杂动态网络的矩阵投影同步控制方案。从定理1可以看出，本文的控制策略需要节点i、参考轨迹和入链向量的信息，但不需要限制网络节点具有文献[20]中的相似性；而文献[20]中的控制方案需要节点i、参考轨迹和节点间的相似性的信息。另外，本文除对节点施加控制外，还采用了入链向量动态辅助的方式实现网络节点的矩阵投影同步，而文献[20]仅通过对节点施加控制来实现。

注6　对给定的双子系统网络(6)，应用定理1实现网络(6)的节点矩阵投影同步时，可按照如下步骤进行。

步骤1：给定可微有界的目标向量$ {\boldsymbol{s}}(t) $。

步骤2：通过求解式(4)可得到正定矩阵$ {{\boldsymbol{C}}_i} $；给出负定矩阵$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $，根据$ {{\boldsymbol{K}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $可得到矩阵$ {{\boldsymbol{K}}_i} $。

步骤3：将上述步骤得到的参数和矩阵代入到入链动力学方程(5)、入链动态目标(7)和控制器(9)中，即可实现网络的节点矩阵投影同步，同时保证入链向量是有界的。

3 仿真实例

本文通过Matlab软件平台，使用一个数值仿真例子来验证本文结论的正确性。考虑网络(6)由9个节点组成。

(1) 本文双子系统模型参数选择如下：

$ {{\boldsymbol{A}}_1} = {\mathrm{rand}}(3,3) , {{\boldsymbol{A}}_j} = j \cdot {\mathrm{rand}}(4,4) $

(22a)

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{f}}_1}({{\boldsymbol{x}}_1}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}({x_{12}} - {x_{11}}) } \\ {({c_1} - {a_1}) {x_{11}} - {x_{11}}{x_{13}} + {c_1}{x_{12}}} \\ {{x_{11}}{x_{12}} - {b_1}{x_{13}}} \end{array}} \right] \\ {{\boldsymbol{f}}_j}({{\boldsymbol{x}}_j}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}({x_{j2}} - {x_{j1}}) + {x_{j4}}} \\ { - {x_{j1}}{x_{j3}} + {c_2}{x_{j2}}} \\ {{x_{j1}}{x_{j2}} - {b_2}{x_{j3}}} \\ {{x_{j1}}{x_{j3}} + {d_j}{x_{j4}}} \end{array}} \right] \\ \end{gathered} \right. $

(22b)

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{h}}_1}({{\boldsymbol{x}}_1}) = {{\text{[}}\sin ({x_{11}}) ,0,\cos ({x_{13}}) {\text{]}}^{\rm{T}}} \\ {{\boldsymbol{h}}_j}({{\boldsymbol{x}}_j}) = {{\text{[}}\sin ({x_{j1}}) ,0,\cos ({x_{j3}}) ,\tanh ({x_{j2}}) {\text{]}}^{\rm{T}}} \\ \end{gathered} \right. $

(22c)

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{B}}_{11}} = 10{\mathrm{rand}}(3,3) ,{{\boldsymbol{B}}_{1j}} = 10{\mathrm{rand}}(3,4) \\ {{\boldsymbol{B}}_{j1}} = 10{\mathrm{rand}}(4,3) ,{{\boldsymbol{B}}_{kj}} = 10{\mathrm{rand}}(4,4) \\ \end{gathered} \right. $

(22d)

定义1中的矩阵$ {{\boldsymbol{M}}_i} $取为

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{M}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/2}&1&{1/10} \\ 1&{1/2}&0 \\ 0&{1/2}&{1/2} \end{array}} \right] \\ {{\boldsymbol{M}}_j} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {j/2}&0&{j/10}&0 \\ 1&{j/2}&0&0 \\ 0&0&{j/2}&1 \end{array}} \right] \\ \end{gathered} \right. $

(22e)

假设1中的$ {\eta _i}({{\boldsymbol{x}}_i}) $取为

$ {\eta _i}({{\boldsymbol{x}}_i}) = 5\left\| {{{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) } \right\| $

(22f)

式中：$ i = 1,2,\cdots,9 $，$ k,j = 2,\cdots,9 $，$ {a_1} = 35 $，$ {b_1} = 3 $，$ {c_1} = 28 $，$ {a_2} = 36 $，$ {b_2} = 3 $，$ {c_2} = 20 $，$ {d_j} = 1.4 - 0.05j $；$ {\mathrm{rand}}(3,3) $，$ {\mathrm{rand}}(4,4) $，$ {\mathrm{rand}}(3,4) $和$ {\mathrm{rand}}(4,3) $分别表示在区间$ \left[ {0,1} \right] $内取值的随机数构成的3阶方阵、4阶方阵、$ 3 \times 4 $阶矩阵和$ 4 \times 3 $阶矩阵。根据文献[20]可知，向量$ {{\boldsymbol{f}}_i}({{\boldsymbol{x}}_i}) $是有界的。

(2) 选目标向量$ {\boldsymbol{s}}(t) $为3D神经网络^[20]，其动力学模型如式(23)所示。

$ {\boldsymbol{\dot s}}(t) = {\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{s}}(t) ) = - {\boldsymbol{s}}(t) + {\boldsymbol{W}}\varphi ({\boldsymbol{s}}(t) ) $

(23)

式中：$ {\boldsymbol{s}}(t) = {({s_1}(t) ,{s_2}(t) ,{s_3}(t) ) ^{\rm{T}}} $，$ {\boldsymbol{W}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.25}&{ - 3.2}&{ - 3.2} \\ { - 3.2}&{1.1}&{ - 4.4} \\ { - 3.2}&{4.4}&1 \end{array}} \right] $，$ \varphi ({\boldsymbol{s}}(t) ) \,=\, {({\varphi _1}({s_1}(t) ) ,{\varphi _2}({s_2}(t) ) ,{\varphi _3}({s_3}(t) ) ) ^{\rm{T}}} $，$ {\varphi _i}({s_i}(t) ) \,=\,\dfrac{1}{2}(| {s_i} $$ (t)+ 1 | - \left| {{s_i}(t) - 1} \right|) $，根据文献[20]知目标向量$ {\boldsymbol{s}}(t) $是有界的。

(3) 式(4) 中的$ {{\boldsymbol{P}}_i},{{\boldsymbol{Q}}_i} $选取如式(24)所示。

$ {{\boldsymbol{P}}_i} = {\lambda _i}{{\boldsymbol{I}}_9} $

(24a)

$ {\boldsymbol{Q}}{}_i = {\rho _i}{{\boldsymbol{I}}_9} $

(24b)

式中：$ i = 1,2,\cdots,9 $，$ {\rho _i} = 100 + i $，$ {\lambda _i} $是可调的负参数，本文选取$ {\lambda _i} = - (100 + i) $。通过求解式(4) 可得$ {{\boldsymbol{C}}_i} = {{\boldsymbol{I}}_9} $。

(4) 定理1中的负定矩阵$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $选取如式(25)所示。

$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} = {\omega _i}{{\boldsymbol{I}}_3} $

(25)

式中：$ i = 1,2,\cdots,9 $，$ {\omega _i} = - (10 + i) $。通过$ {{\boldsymbol{K}}_i} = {{\boldsymbol{M}}_i}{{\boldsymbol{A}}_i}{\boldsymbol{M}}_{i{\bf{R}}}^{ - 1} - $$ {{\boldsymbol{\varLambda }}_i} $可得$ {{\boldsymbol{K}}_i} $的值。

注7　由式(22)可得，网络(6)中的节点具有不同的状态维数。经过验证，上述参数满足假设1、假设2以及定理的条件。

在仿真时，节点子系统、目标向量、入链向量和入链动态目标的初值分别选择如下：

$ \begin{split} &{{\boldsymbol{x}}_1}(0) = 5{\mathrm{rand}}(3,1) , {{\boldsymbol{x}}_j}(0) = 5{\mathrm{rand}}(4,1) ,\\ &{\boldsymbol{s}}(0) = {(5,8,7) ^{\rm{T}}} , {{\boldsymbol{L}}_i}(0) = 5{\mathrm{rand}}(9,1) , {\boldsymbol{L}}_i^*(0) = 5{\mathrm{rand}}(9,1) \end{split} $

式中：$ i = 1,2,\cdots,9 $，$ j = 2,\cdots,9 $。$ {\mathrm{rand}}(3,1) $，$ {\mathrm{rand}}(4,1) $和$ {\mathrm{rand}}(9,1) $分别表示在区间$ \left[ {0,1} \right] $内取值的随机数构成的3维、4维和9维的列向量。

令$ {{\boldsymbol{e}}_i} = {({e_{i1}},{e_{i2}},{e_{i3}}) ^{\rm{T}}} $和$ {{\boldsymbol{e}}_{{{\boldsymbol{L}}_i}}} = {({e_{{L_{i1}}}},{e_{{L_{i2}}}},\cdots,{e_{{L_{i9}}}}) ^{\rm{T}}} $，其中$ i = 1,2,\cdots,9 $。为了说明本文中矩阵投影同步方案的有效性，图1和图2分别给出了无控制作用下和本文定理1所示控制方案作用下的节点子系统的矩阵投影同步误差曲线。

双子系统网络同时考虑节点子系统和入链子系统，为直观地观察入链子系统的动态行为，图3给出入链向量的跟踪误差曲线：

从图1~2可以看出，在无控制作用下，节点子系统的矩阵投影同步误差不能趋于0。而在本文定理1给出的控制方案下，节点子系统的矩阵投影同步误差收敛于0。故在入链动态辅助下，具有参数(22)~(25)的双子系统网络实现了矩阵投影同步，即验证了定理1的同步控制方案是有效的。

从图3可以看出，在本文控制作用下入链向量的跟踪误差收敛于0，这意味着本文的入链向量跟踪上了有界的入链动态目标，故入链向量是有界的。

由于文献[20]也是探讨具有不同维数节点的复杂动态网络的矩阵投影同步，因此，为了展示本文控制策略的优势，本文接下来将分别用文献[20]和本文的控制方案实现具有参数(22)~(25) 的复杂动态网络(6)的矩阵投影同步。记$ {\boldsymbol{E}} = {\boldsymbol{E}}(t) = {({\boldsymbol{e}}_1^{\rm{T}},{\boldsymbol{e}}_2^{\rm{T}},\cdots,{\boldsymbol{e}}_9^{\rm{T}}) ^{\rm{T}}} $。为简洁和方便对比，仿真图中仅展示$ \left\| {\boldsymbol{E}} \right\| $的时间响应曲线图。

由图4可以直观地看出，相比文献[20]中的控制策略，本文的控制策略能使具有参数(22)~(25)的双子系统网络(6)更快地实现矩阵投影同步，即在收敛速度上具有一定的优势。

4 结论

本文针对由不同维数节点构成的双子系统网络，首先借助向量微分方程分别描述了节点子系统和入链子系统的动态方程；其次基于Lyapunov稳定性理论，设计了入链子系统的动态辅助跟踪目标和节点子系统的控制输入，使得当入链子系统跟踪上辅助跟踪目标时，节点子系统实现了矩阵投影同步。最后数值仿真结果验证了本文理论结果的有效性。在未来的工作中，为降低控制成本，将进一步考虑使用间歇控制或脉冲控制实现双子系统网络的矩阵投影同步。