近年来，无线通信技术的快速发展使得无线通信设备的数量急剧增加，而各种无线设备的数据都需要在一定的频谱上进行传输，频谱需求日益增长，传统的频谱固定分配政策已无法满足目前的频谱需求，这给稀缺的频谱资源带来了巨大的挑战^[1-2]。认知无线电技术作为一种动态频谱接入技术^[3-5]，被认为在不干扰主用户正常通信的前提下，允许次用户共享授权给主用户的频谱，最大限度地提高频谱的利用率。目前常用的频谱共享方式可以分为覆盖(overlay)方式和衬底(underlay)方式^[6-7]。在overlay频谱共享方式中，次用户可以使用主用户授权的空闲频谱资源，但是次用户需要帮主用户提高通信质量。在underlay频谱共享方式中，次用户需要保证其发射功率对主用户的干扰功率小于一个阈值，才可以与主用户共享频谱同时进行通信。另一方面，各种复杂的通信环境以及移动终端用户能量受限等问题暴露了传统供电方式的弊端。具体来说，传统的能量收集来源于太阳能、风能、热能等，但由于这些方法依赖于一些特定气候和环境，能量收集可能存在间歇性，无法可靠地提供永久的能源供应。为了延长无线通信网络的生命周期，人们发现环境中的射频信号可以携带能量信号，从射频信号中获取能量的无线能量传输技术被认为是一种有前途的解决方案^[8-9]。随着射频信号能量采集电路的发展，能量采集效率不断提高，研究者们提出将无线信息传输和无线能量传输结合起来同时考虑，因此无线携能通信技术(Simultaneous Wireless Information and Power Transfer, SWIPT)^[10]应运而生。

为了应对大规模无线设备数量激增和电池能量受限所带来的频谱和能量使用效率低下的问题，认知SWIPT技术由于其结合了认知无线电技术和无线携能通信技术的特点而受到了广大学者的关注^[11-14]。具体来说，认知SWIPT既可以动态使用频谱资源又可以实现能量和信息的同时传输。文献[11]首次提出了利用主用户发射机的射频信号为次用户供能的通信模型，网络中次用户具有能量收集功能，可以从主用户传输的信号中收集并存储能量，当主用户空闲时，次用户再利用收集到的能量进行数据通信。文献[12]考虑了一种改进的认知无线携能通信模型，其中次用户可以从主用户收集能量，并以覆盖的共享方式接入主用户授权的频谱，以传输认知无线携能通信网络数据。文献[13]研究了一种次用户网络为主用户网络无线供电的认知无线电网络。在这网络中，次用户网络可以获得恒定的能量供应，并且为了获得更多的频谱接入机会，除了对主用户网络的无线充电外，还与主用户网络一起协同传输数据，从而增强了主用户网络的传输可靠性。因此，主用户网络可以忍受更多来自次用户网络的干扰，获得更多的能量，并以更高的功率进行传输。文献[14]考虑了在认知无线携能中继中，通过联合优化功率分割系数和中继的能量分配来最大化认知网络的吞吐量。

智能反射平面(Intelligent Reflecting Surfaces, IRS)被认为是实现无线智能网络和可重构信号传播环境的关键技术^[15-18]。具体来说，IRS是由大量低成本的无源反射单元组成的超表面，这些反射单元可以独立地实现对反射信号相位及幅度的控制，从而有效地增强目标信号，抑制干扰信号。目前，已有很多关于IRS辅助的通信系统研究：文献[15]考虑了一种IRS辅助的多输入单输出无线携能通信系统，其中基站向不同的用户分别发送信息和能量，通过交替优化基站的发射波束和IRS的相移矩阵以最大化所有能量收集用户收集到的能量；文献[16]提出了一种基于半正定松弛(Semi-definite Relaxation, SDR)的算法，次用户网络与多个单天线主用户接收机共享频谱资源，通过联合优化次用户发射机的波束成形矢量和IRS的相移矩阵以最大限度地提高次用户接收机的数据传输速率；文献[17]研究了一个IRS辅助的多用户认知无线通信系统，其中部署IRS来改善信道环境，从而降低次用户对主用户的干扰信号强度，主要通过对基站处的波束成形矢量和IRS的相移矩阵进行了联合优化，使得次用户网络的和速率最大化；文献[18]考虑了一个IRS辅助的次用户多输入单输出无线携能通信模型，次用户网络以衬底方式与一个主用户网络共享频谱，仿真结果表明，IRS能有效抑制次用户网络通信时对主用户网络的干扰。然而，文献[15]并没有考虑到频谱资源稀缺的问题；文献[16-17]并没有考虑到无线能量传输的场景；文献[18]仅考虑在衬底方式下的频谱共享通信系统，而在这种模式下系统存在一个问题，为了尽可能的减少对主用户的干扰，受次用户发射功率的限制，会导致次用户网络的吞吐量较低。因此，对于衬底方式下的无线携能通信系统，可能存在能量需求和信息传输速率的难以权衡，系统结构难以设计的问题。与衬底系统不同的是，覆盖方式下的认知无线携能通信系统对于次用户的发射功率没有严格的限制，这有效地促进覆盖方式下的认知无线携能通信技术与其他关键技术的结合，提高了系统模型设计的灵活性。然而，文献[11]研究了一个覆盖方式下的认知无线电模型，但是还需要考虑各节点之间的距离以及主次网络范围和当前节点的状态，复杂度较高。文献[13]研究了一个特殊的认知无线携能通信网络，次用户为主用户供能并协助主用户传输信息，在该网络中要求次用户的发射功率尽可能大，才能保证主次用户网络通信质量要求，这给有限的能量资源带来了挑战。因此，这促使我们对覆盖方式下的认知无线携能通信系统展开进一步的研究。

为此，本文研究一个IRS辅助的认知无线携能通信网络，其中次用户网络以新颖的覆盖方式与主用户网络共享频谱资源。具体来说，次用户发射机以无线携能技术为主用户发射机供电的同时并与次用户接收机传输信息，主用户发射机再利用获得的功率传输自己的信息给主用户接收机，作为回报，主用户网络允许次用户网络占用空闲的频谱，其中次用户发射机有恒定的能量供应，主用户发射机为功率受限节点。传输过程中IRS通过动态调整反射相位来辅助主次用户网络进行通信，从而使得次用户网络在该种协作方式中提高了吞吐量和扩大了覆盖范围，同时为能量受限的主用户发射机提升了传输所需的能量。本文的主要研究工作如下：

(1) 针对认知无线携能通信网络中次用户网络吞吐量较低，模型设计复杂度高的问题，提出基于覆盖的频谱接入方式和IRS性能增强方案。

(2) 以最大化次用户网络的总吞吐量为研究目的，提出了联合优化次用户发射机的发射波束成形，传输时隙时间以及两个传输时间下IRS的相移矩阵的优化问题。考虑到该问题的非凸性，引入交替迭代算法将其分解为3个子问题。首先推导得出主用户传输阶段的IRS反射相位的闭式解，再采用半正定规划(Semidefinite Programming, SDP)、半正定松弛和连续凸逼近(Successive Convex Approximation, SCA)等方法将非凸优化问题转化为可解的凸优化问题，最后采用交替优化(Alternating Optimization, AO)和高斯随机法求得问题的高质量可行解。

(3) 为了降低求解问题的复杂度,提出了一种基于IRS反射单元分组的低复杂度算法。

仿真结果表明，本文所提算法获得的次用户发射机到次用户接收机的总吞吐量均优于其他的基准方案。

1 系统模型

如图1所示，本文考虑一个由IRS辅助的多用户认知无线携能通信网络，它由一个次用户网络、一个主用户网络以及一个具有$ N $个无源反射元件的IRS组成。其中次用户网络包括一个具有M根天线的次用户发射机和K个单天线的次用户接收机，主用户网络包括一个单天线的主用户发射机和一个单天线的主用户接收机。部署IRS是为了改善各发射机与接收机之间的通信环境，从而提高系统性能。主用户网络以覆盖方式与次用户网络共享频谱。作为交换，拥有稳定电源供应的次用户发射机帮助无固定电源供应的主用户接收机从次用户发射机发射的信号中获得能量，实现向主用户接收机的信息传输。具体来说，整个传输包括两个阶段，在第一个阶段，次用户发射机以无线携能技术为主用户发射机供能，并同时发送信息给所有的次用户接收机，在第二阶段主用户发射机利用收集的功率来发送自己的信号给主用户接收机。

如图2所示，$ T $表示信息完整传输的传输块持续时间，并且被分成两个持续时间隙：$ \tau $和$ T - \tau $，其中$ \tau $为次用户传输阶段，$ T - \tau $为主用户传输阶段。在时隙$ \tau $内，次用户发射机分别发送信息和能量给次用户接收机和主用户发射机，IRS的反射相移矩阵为${{{{\boldsymbol{\varTheta}}}} _1}{\text{ = }}{\rm{diag}}\left( {{\boldsymbol{\phi}} _1^{\rm {H}}} \right)$,其中$ {{\boldsymbol{\phi }}_1} = {\left[ {{q_{1,1}},\cdots,{q_{N,1}}} \right]^{\rm {H}}} $,$ {q_{n,1}} = {\beta _{n,1}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\theta _{n,1}}}} $，$ n = \left\{ {1,2, \cdots ,N} \right\} $，$ {\beta _{n,1}} \in \left[ {0,1} \right] $和$ {\theta _{n,1}} \in \left[ {0,2{\text{π}} } \right) $分别表示IRS在时隙$ \tau $内的第$ n $个反射单元的幅度和相移。在时隙$ T - \tau $内，主用户发射机利用从$ \tau $时隙中获得的能量发送自己的信息给主用户接收机，此时IRS的相位矩阵定义为${{{{\boldsymbol{\varTheta}}}} _2}{\text{ = }}{\rm{diag}}\left( {{\boldsymbol{\phi}} _2^{\rm {H}}} \right)$，其中$ {{\boldsymbol{\phi }}_2} = {\left[ {{q_{1,2}}, \cdots ,{q_{N,2}}} \right]^{\rm {H}}} $，$ {q_{n,2}} = {\beta _{n,2}}{{\rm{e}}^{{\rm {j}}{\theta _{n,2}}}} $，$ n = \left\{ {1, \cdots ,N} \right\} $，$ {\beta _{n,2}} \in \left[ {0,1} \right] $和$ {\theta _{n,2}} \in \left[ {0,2{\text{π}} } \right) $分别表示IRS在时隙$ T - \tau $时第$ n $个反射单元的幅度和相移。为了实现最大反射能量增益^[19]，本文假设所有反射元件的反射幅度为1。

定义次用户发射机到IRS、次用户接收机$ k $和主用户发射机的信道系数分别表示为$ {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} \in {\mathbb{C}^{N \times M}} $，$ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}} $和$ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}} $，其中$ {\mathbb{C}^{x \times y}} $表示$ x \times y $维度的复值矩阵集合；IRS到次用户接收机$ k $、主用户发射机以及主用户接收机的信道系数分别表示为$ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times N}} $、$ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times N}} $，$ {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} \in {\mathbb{C}^{1 \times N}} $，$ k = \left\{ {1, \cdots ,K} \right\} $，主用户发射机到主用户接收机的信道系数为$ {\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times 1}} $。考虑所有信道均为准静态平坦衰落信道，无线信道在一个特定时间段内保持不变，且为了研究系统的性能极限，本文假设所有信道的信道状态信息(Channel State Information, CSI)完全已知^[20-21]。

在传输时隙$ \tau $中，次用户发射机发射的信号为$ {\boldsymbol{x}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^K {{{\boldsymbol{v}}_k}{s_k}} $，其中$ {s_k} \in C $表示次用户发射机传输给次用户接收机$ k $的信息，$ {{\boldsymbol{v}}_k} $表示对应的波束成形矢量，$ {s_k} $是单位功率信号，满足$ {\rm{E}}[|{s_k}{|^2}] = 1 $，$ {\rm{E}} $表示数学期望运算。次用户接收机$ k $收到的信号可以表示为

$ {y_k} = ({\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {\boldsymbol{x}} + {n_k} $

(1)

式中，$ {n_k} $表示在次用户接收机$ k $端接收到的天线噪声，其服从均值为0，方差为$ \delta _{n,k}^2 $的循环对称复高斯分布。因此次用户接收机$ k $处的接收信干噪比(Signal-to-interference-plus-noise ratio, SINR)为

$ {{\rm{SINR}}_k} = \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}} $

(2)

因此，在单位带宽下，次用户发射机到次用户接收机$ k $的吞吐量可以表示为

$ {R_{{\rm {s}},k}} = \tau {\log _2}\left( {1 +{ {\rm{SINR}}_k}} \right) $

(3)

在时隙$ \tau $中主用户发射机收集到的能量^[22]可以表示为

$ {{{E}}_{{\rm{PT}}}} = \tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|}^2}} $

(4)

式中，$ \eta \left( {0 \leqslant \eta \leqslant 1} \right) $为主用户发射机的能量转化效率。

忽略微小的能量损耗，主用户发射机将收集到的能量全部用于下行传输信息给主用户接收机。因此，在主用户传输时隙$ T - \tau $中主用户发射机的发射功率为

$ {P_{\rm{PT}}} = \frac{{{E_{\rm{PT}}}}}{{T - \tau }} $

(5)

在时隙$ T - \tau $中主用户接收机接收到的信号为

$ {y_{\rm{PR}}} = \sqrt {{P_{\rm{PT}}}} \left( {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right) {s_{\rm{pr}}} + {n_{\rm{pr}}} $

(6)

式中，$ {s_{\rm{pr}}} $表示主用户发射机发送的信号，它是单位功率，且满足$ {\rm{E}}[|{s_{\rm{pr}}}{|^2}] = 1 $；$ {n_{\rm{pr}}} $表示主用户接收机处的加性高斯白噪声，其服从均值为0，方差为$ \delta _{\rm{pr}}^2 $的循环对称复高斯分布。于是，在单位带宽下，定义主用户发射机到主用户接收机的吞吐量为主用户网络的吞吐量，可以表示为

$ {R_{\rm{PR}}} = \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \frac{{{P_{\rm{PT}}}{{\left| {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right|}^2}}}{{\delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) $

(7)

在单位带宽下，次用户网络总吞吐量定义为次用户发射机到所有次用户接收机的吞吐量之和，可以表示为

$ R = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{R_{{\rm {s}},k}}} $

(8)

2 问题阐述

为了提高次用户网络的总吞吐量，本文提出在保证满足次用户发射机的最小发射功率约束，次用户接收机的最小信干噪比约束，主用户网络的最小吞吐量约束、时隙时间约束以及不同时隙的IRS反射相位约束下，联合优化次用户发射机的发射波束成形矢量$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $、传输时隙时间$ \tau $以及不同时隙IRS的相移矩阵$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $和$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _2} $。因此，优化问题(P1) 可以描述为

$ \mathop {\max }\limits_{\tau ,\left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\},{{\boldsymbol{\varTheta}} _1},{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{R_{{\rm {s}},k}}} $

(9)

$ {\rm{s.t.}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left\| {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\|}^2}} \leqslant {P_{{\rm{ST}}}} $

(10)

$ {{\rm{SINR}}_k} \geqslant {\gamma _k},\forall k $

(11)

$ {R_{\rm{PR}}} \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} $

(12)

$ 0 \leqslant \tau \leqslant T $

(13)

$ \left| {{q_{n,1}}} \right| = 1,\forall n \in \left\{ {1, \cdots ,N} \right\} $

(14)

$ \left| {{q_{n,2}}} \right| = 1,\forall n \in \left\{ {1, \cdots ,N} \right\} $

(15)

式中，$ {P_{\rm{ST}}} $表示次用户发射机的最大发射功率，$ {\gamma _k} $是次用户接收机$ k $的最小信干噪比要求，$ {\beta _{\rm{PR}}} $为主用户网络的最小吞吐量阈值。由于目标函数中的优化变量和约束(10) 、(12) 、(13) 中优化变量$ \tau $，$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $和$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _2} $高度耦合，并且约束(15) 和(16) 等式左侧不是线性函数，因此该优化问题是非凸优化问题，难以求得最优解。在下一节中，给出了解决原问题的具体算法。

3 算法设计

为了方便求解，本节将原问题(P1) 转换为多个子问题进行求解。首先，考虑到在时隙$ T - \tau $中，只有主用户发射机与单个次用户接收机进行通信，可通过单独优化$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _2} $获得主用户发射机与单个次用户接收机最大信道增益，推导得出主用户传输阶段IRS反射相位的闭式解，进而简化原问题(P1) ；其次，将简化后的问题(P1) 转化为单独优化$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $和$ \tau $的3个子问题，再采用半正定规划、半正定松弛和连续凸逼近等方法将非凸优化问题转化为可解的凸优化问题；最后，通过交替优化算法求得3个子问题的高质量可行解。

3.1 主用户传输阶段的IRS相移矩阵优化

本节旨在优化主用户传输阶段的IRS相移矩阵，推导得出IRS反射相位的闭式解。首先，给定$ \tau $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $，$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $优化$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _2} $时，问题(P1) 可以简化为一个只优化$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _2} $的问题，其可以转化为问题(P2) ，具体表示为：

$ \mathop {\max }\limits_{{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}} {\left| {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right|^2} $

(16)

$ {\rm{s.t.}} \left| {{q_{n,2}}} \right| = 1,\forall n \in \left\{ {1, \cdots ,N} \right\} $

(17)

由于恒模约束(17) 的存在，使得问题(P2) 是一个非凸问题，但可利用目标函数的特殊结构得到闭式解^[23]。具体来说，问题(P2) 中的目标函数可以满足以下不等式：

$ \left| {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right| \leqslant \left| {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}}} \right|{\text{ + }}\left| {{\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right| $

(18)

式中，当且仅当$ \arg\left( {{\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right) = \arg \left( {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}}} \right) $时等式成立，$ \mathrm{arg}(·) $表示求向量的相位角。在不等式(18) 中，总存在一个$ {q_{n,2}} $满足约束(17) 。其次，重新定义$ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} = q_2^{\rm {H}}h $，其中$ {{\boldsymbol{q}}_2} = {\left[ {{{\rm{e}}^{{\rm {j}}{\theta _{1,2}}}}, \cdots ,{{\rm{e}}^{{\rm {j}}{\theta _{n,2}}}}} \right]^{\rm {H}}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}} $，$ {\boldsymbol{h }}= {\rm{diag}}\left( {{\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}} \right) {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}} $，问题(P2) 可以重新转化为问题(P3)，如式(19)~式(21)所示：

$ \mathop {\max }\limits_{{q_2}} \left| {{\boldsymbol{q}}_2^{\rm {H}}{\boldsymbol{h}}} \right| $

(19)

$ {\rm{s.t.}}\; {\rm{arg}}\left( {{\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right) = \arg \left( {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}}} \right) $

(20)

$ \left| {{q_{n,2}}} \right| = 1,\forall n \in \left\{ {1, \cdots ,N} \right\} $

(21)

可以得到问题(P3) 的最优解$ {\boldsymbol{q}}_2^{\text{*}}{\text{ = }}{{\rm{e}}^{{\rm {j}}\left( {\arg \left( {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}}} \right) - \arg \left( h \right) } \right) }} $，因此在时隙时间$ T - \tau $中，IRS的第$ n $个反射相位的闭式最优解为

$ \theta _{n,2}^{opt} = \arg \left( {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}}} \right) - \arg \left( {{\boldsymbol{G}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{t}}}^{\rm {H}}} \right) - \arg \left( {{{\boldsymbol{g}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{p}}}}} \right) $

(22)

式中，$ {\boldsymbol{G}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{t}}}^{\rm {H}} $为$ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} $的第$ n $个元素，$ {{\boldsymbol{g}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{p}}}} $为$ {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} $的第$ n $个元素。从式 (22) 可以看出，通过设计第$ n $个反射相移，使得主用户发射机到IRS与IRS到主用户接收机链路上的信号相位相对齐以实现相干信号组合。最后，在获得最优解$ {\boldsymbol{q}}_2^{\text{*}} $以后，可得到主用户发射机到主用户接收机的最大信道增益为

$ {{G}}_{\rm{PR}}^* = {\left| {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{\boldsymbol{\varTheta}} _2^*{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right|^2} $

(23)

那么问题(P1)可重新表述为联合优化$ \tau $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $，$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $的问题(P4)，(P4)具体如式(24)~式(25)所示：

$ \mathop {\max }\limits_{\tau ,\left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\},{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}}} \right) } $

(24)

$ \begin{array}{c} {\rm{s.t.}}\; (10) ,(11) ,(13) ,(14) ,(15)\\ \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \dfrac{{\tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|}^2}} {\boldsymbol{G}}_{\rm{PR}}^*}}{{\left( {T - \tau } \right) \delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} \end{array}$

(25)

问题(P4) 为非凸问题，难以求解，于是本文采用交替优化的方法来解决问题(P4) 。具体来说，将问题(P4) 分成3个子问题：其中子问题1给定$ \tau $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $优化$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $；子问题2给定$ \tau $，$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $优化$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $；子问题3给定$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $优化$ \tau $。3个子问题进行交替迭代求解，直到目标函数值收敛为止。

3.2 次用户发射机的波束成形矢量优化

在这一节中，给定优化变量$ \tau $，$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $，优化$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $的子问题可以表示为问题(P5) :

$ \mathop {\max }\limits_{\left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}}} \right) } $

(26)

$ {\rm{s.t.}}\; \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left\| {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\|}^2}} \leqslant {P_{\rm{ST}}} $

(27)

$ \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}} \geqslant {\gamma _k},\forall k $

(28)

$ \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \frac{{\tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|}^2}} {\boldsymbol{G}}_{\rm{PR}}^*}}{{\left( {T - \tau } \right) \delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} $

(29)

定义$ {{\boldsymbol{V}}_k} = {{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}} $，$ \overline {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{\left( {N + 1} \right) \times 1}} $，${{\boldsymbol{Q}}_1} = \left( \overline {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} *\right. \left. {{\overline {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} }^{\rm {H}}} \right) \in {\mathbb{C}^{\left( {N + 1} \right) \times \left( {N + 1} \right) }}$,${{\boldsymbol{L}}_k} = \left[ \begin{gathered}{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{ {\boldsymbol{H}}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} \\ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} \\ \end{gathered} \right]$，${\boldsymbol{J}} = \left[ \begin{gathered}{\rm{ diag}}({\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}) {{ {\boldsymbol{H}}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} \\ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} \\ \end{gathered} \right]$，其中$ {\rm{Tr}}\left( \cdot \right) $表示矩阵的迹，$ {\left[ \cdot \right]^{\rm{T}}} $中的$ {\rm{T}} $为转置符号，那么可以得到以下等式

${ \begin{split} & {\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|^2} =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) }^{\rm {H}}}} \right) =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{\phi}}_1^{\rm {H}}{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol H}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) } \right. \left. {{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{\phi}}_1^{\rm {H}}{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) }^{\rm {H}}}} \right) =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},k}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\left( {{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) }^{\rm {H}}}{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \right.+ \\ & {\boldsymbol{\phi}}_1^{\rm {H}}{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},k}}+ \\ & \left. { {\boldsymbol{\phi}}_1^{\rm {H}}{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\left( {{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) }^{\rm {H}}}{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \right) =\\ & {\rm{ Tr}}\Bigg( \left[ \begin{gathered} {{\boldsymbol{\phi}}_1} \\ 1 \\ \end{gathered} \right]\left[ {{\boldsymbol{\phi}}_1^{\rm {H}}1} \right]\left[ \begin{gathered} {\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} \\ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} \Bigg.\\ \end{gathered} \right] \\ &\Bigg. {{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{\rm{ diag}}({\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}) {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) }^{\rm {H}}}} {{{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},k}}} \end{array}} \right] \Bigg) =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) \end{split}} $

(30)

同理可得

$ {\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|^2} ={\rm{ Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{JV}}_k}{{\boldsymbol{J}}^{\rm {H}}}} \right) $

(31)

根据等式(30) 、(31) 将问题(P5) 变形为问题 (P6)：

$ \mathop {\max }\limits_{\left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}} \right\}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) }}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2}}} \right) } $

(32)

${\rm{ s.t.}}\quad \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{V}}_k}} \right) } \leqslant {P_{\rm{ST}}} $

(33)

$ \frac{{{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) }}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2}} \geqslant {\gamma _k},\forall k $

(34)

$ \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \frac{{\tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}J{{\boldsymbol{V}}_k}{J^{\rm {H}}}} \right) } {{G}}_{\rm{PR}}^*}}{{\left( {T - \tau } \right) \delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} $

(35)

$ {\rm{rank}}\left( {{{\boldsymbol{V}}_k}} \right) = 1,\forall k $

(36)

$ {{\boldsymbol{V}}_k} \succcurlyeq 0,\forall k $

(37)

由于问题(P6) 的目标函数(32) 关于优化变量$ {{\boldsymbol{V}}_k} $为非凸函数，因此需要对式(32) 进行一阶泰勒展开以得到一个凸的目标函数，其转化过程如下

$\begin{split} & R = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) }}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2}}} \right) } =\\ & \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_i}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } - \\ & \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } =\\ & {F_1}\left( {\boldsymbol{V}} \right) + {F_2}\left( {\boldsymbol{V}} \right) \end{split} $

(38)

式中，${\boldsymbol{ V}} $表示集合${\boldsymbol{ V}} \triangleq \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_1},{{\boldsymbol{V}}_2}, \cdots ,{{\boldsymbol{V}}_K}} \right\} $，此外

$ {F_1}\left( { \boldsymbol{V}} \right) = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_i}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } $

(39)

$ {F_2}\left( { \boldsymbol{V}} \right) = - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } $

(40)

由于目标问题为最大化关于$ {\boldsymbol{V}} $的函数，显然$ {F_1}\left( { \boldsymbol{V}} \right) $是关于$ { \boldsymbol{V}} $的凹函数，$ {F_2}\left( { \boldsymbol{V}} \right) $是关于$ { \boldsymbol{V}} $的凸函数，因此需要对$ {F_2}\left( { \boldsymbol{V}} \right) $函数进行一阶泰勒展开获得其下界$ F_2^{\rm{LB}}\left( {{\boldsymbol{V}},{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) $，具体如下：

$\begin{split} & {F_2}\left( { \boldsymbol{V}} \right) \geqslant {F_2}\left( {{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) + \displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}} \left( {\nabla _{{{\boldsymbol{V}}_j}}^{\rm {H}}{F_2}\left( {{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) \left( {{{\boldsymbol{V}}_j} - {\boldsymbol{V}}_j^{\left( t \right) }} \right) } \right) \triangleq\\ & F_2^{\rm{LB}}\left( {{\boldsymbol{V}},{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) \end{split}$

(41)

式中，$\nabla _{{{\boldsymbol{V}}_j}}^{\rm {H}}{F_2}\left( {{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) = - \dfrac{1}{{\ln 2}}\frac{{{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}}}{{\displaystyle\sum\nolimits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2}}$，$ {{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }} $表示一阶泰勒展开的可行点，上标$ \left( t \right) $表示优化变量的迭代次数。为此，可采用连续凸逼近的方法，通过迭代的方式求解得到$ R $的近似解。用$ F_2^{\rm{LB}}\left( {{\boldsymbol{V}},{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) $替代$ {F_2}\left( { \boldsymbol{V}} \right) $可将问题(P6) 的目标函数转化为

$ R \cong {F_1}\left( { \boldsymbol{V}} \right) + F_2^{\rm{LB}}\left( {{\boldsymbol{V}},{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) $

(42)

由于$ F_2^{\rm{LB}}\left( {{\boldsymbol{V}},{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) $关于$ { \boldsymbol{V}} $为仿射函数，因此等式(40) 为凹函数。此外，为了便于求解，对约束(33) 进一步变形为

$ \frac{1}{{{\gamma _k}}}{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) - \displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } \geqslant \delta _{n,k}^2,\forall k $

(43)

然而，由于秩一约束(36)的存在，使得问题(P6)依然非凸。因此，采用半正定松弛技术，即忽略约束(36)，得到(P6)松弛后的问题(P7)如式(44)~式(48)所示：

$ \mathop {\max }\limits_{\left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}} \right\}} {F_1}\left( { \boldsymbol{V}} \right) + F_2^{\rm{LB}}\left( {{\boldsymbol{V}},{{\boldsymbol{V}}^{\left( t \right) }}} \right) $

(44)

$ {\rm{s.t.}}\; \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{V}}_k}} \right) } \leqslant {P_{\rm{ST}}} $

(45)

$ \frac{1}{{{\gamma _k}}}{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) - \displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } \geqslant \delta _{n,k}^2,\forall k $

(46)

$ \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \frac{{\tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}J{{\boldsymbol{V}}_k}{J^{\rm {H}}}} \right) } {\boldsymbol{G}}_{\rm{PR}}^*}}{{\left( {T - \tau } \right) \delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} $

(47)

$ {{\boldsymbol{V}}_k} \succcurlyeq 0,\forall k $

(48)

问题(P7) 是关于$ \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}} \right\} $的凸优化问题，可使用内点法求解。一般情况下，通过求解问题(P7) 获得的最优解不满足秩一约束，因此，应进一步利用高斯随机方法^[23]获得问题秩一近似解。

3.3 次用户传输阶段的IRS相移矩阵优化

给定优化变量$ \tau $，$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $，优化$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $的子问题可以表示为问题(P8) :

$ \mathop {\max }\limits_{{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}}} \right) } $

(49)

$ {\rm{s}}.{\rm{t}}. \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}} \geqslant {\gamma _k},\forall k $

(50)

$ \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \frac{{\tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|}^2}} {\boldsymbol{G}}_{\rm{PR}}^*}}{{\left( {T - \tau } \right) \delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} $

(51)

$ \left| {{q_{n,1}}} \right| = 1,\forall n \in \left\{ {1, \cdots ,N} \right\} $

(52)

由于约束(52)为模一约束，难以求解。因此，根据3.2定义的变量，可知约束(52) 可以等价为式(53)~式(55)：

$ {{\boldsymbol{Q}}_{n,n,1}} = 1,\forall n \in \left\{ {1, \cdots ,N + 1} \right\} $

(53)

$ {\rm{rank}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) = 1. $

(54)

$ {{\boldsymbol{Q}}_1} \succcurlyeq 0 $

(55)

式中，$ {{\boldsymbol{Q}}_{n,n,1}} $是矩阵$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $中第$ n $行第$ n $列的元素。从而可将问题(P8)变形为问题(P9)：

$\begin{split} &\mathop {\max }\limits_{{{\boldsymbol{Q}}_1}} \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) }}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k} {{\rm{Tr}}{{\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) }^2} + \delta _{n,k}^2} }}} \right) }\\ &\qquad {\rm{s.t.}} \;\;(46) ,(47) ,(53) ,(54) ,(55) \end{split}$

(56)

然而，由于问题(P9) 中的目标函数关于优化变量$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $为非凸函数，因此需要对其进行变形，具体如式(57)所示：

$ \begin{split} & R = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) }}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2}}} \right) } = \\ & \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_i}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } - \\ & \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } = \\ & {D_1}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) + {D_2}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) \end{split}$

(57)

式中，

$ {D_1}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_i}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } $

(58)

$ {D_2}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) = - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2} \right) } $

(59)

由于目标问题为最大化关于$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $的函数，显然$ {D_1}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) $是关于$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $的凹函数，$ {D_2}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) $是关于$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $的凸函数，因此需要对$ {D_2}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) $函数进行一阶泰勒展开获得其下界$ D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) $，具体为

$ \begin{split} & {D_2}\left( {\boldsymbol{Q}} \right) \geqslant {D_2}\left( {{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) +{\rm{ Tr}}\left( {\nabla _{{{\boldsymbol{Q}}_1}}^{\rm {H}}{D_2}\left( {{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) \left( {{{\boldsymbol{Q}}_1} - {\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) } \right) \triangleq\\ & D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) \end{split} $

(60)

式中，

$ \nabla _{{{\boldsymbol{Q}}_1}}^{\rm {H}}{D_2}\left( {{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) = - \frac{1}{{\ln 2}}\frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{j \ne k}^K {{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{j \ne k}^K {{\rm{Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\boldsymbol{L}}_k}{{\boldsymbol{V}}_j}{\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) } + \delta _{n,k}^2}} \text{，} $

$ {\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) } $表示一阶泰勒展开的可行点，上标$ \left( t \right) $表示优化变量的迭代次数。同理，可采用连续凸逼近的方法，通过迭代的方式求解得到$ {D_2}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) $的近似解$ D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) $。用$ D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) $替代$ {D_2}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) $可将问题(P9) 的目标函数转化为

$ R = {D_1}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) + D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) $

(61)

由于$ D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) $关于$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $为仿射函数，因此等式(61)为凹函数。然而，由于秩一约束(54)的存在，使得问题(P9)依然非凸。因此，采用半正定松弛技术，即忽略约束(54)，得到(P9)松弛后的问题(P10)如式(62)所示：

$ \mathop {\max }\limits_{{{\boldsymbol{Q}}_1}} {D_1}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}} \right) + D_2^{\rm{LB}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1},{\boldsymbol{Q}}_1^{\left( t \right) }} \right) $

(62)

$ {\rm{s.t.}}\;\; (47) ,(48) ,(54) , (56)$

问题(P10) 是关于$ {{\boldsymbol{Q}}_1} $的凸优化问题，可以使用内点法求解。一般情况下，通过求解问题(P10) 获得的最优解不满足秩一约束，因此，可应用高斯随机方法^[23]获得问题秩一近似解。

3.4 传输时隙时间$ \mathit{\tau } $优化

给定优化变量$ {{\boldsymbol{\varTheta}} _1} $，$ \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\} $，优化$ \tau $的子问题可以表示问题(P11) ，具体表示为

$ \mathop {\max }\limits_\tau \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {\tau {{\log }_2}\left( {1 + \frac{{{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|}^2}}}{{\displaystyle\sum\limits_{j \ne k}^K {{{\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_j} \right|}^2}} + \delta _{n,k}^2}}} \right) } $

(63)

$ {\rm{s.t.}} \;0 \leqslant \tau \leqslant T $

(64)

$ \left( {T - \tau } \right) {\log _2}\left( {1 + \frac{{\tau \eta \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{{\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|}^2}} {{G}}_{\rm{PR}}^*}}{{\left( {T - \tau } \right) \delta _{\rm{pr}}^2}}} \right) \geqslant {\beta _{\rm{PR}}} $

(65)

由于目标函数是一个关于$ \tau $的仿射函数，约束(65) 左边的式子关于$ \tau $为凸函数，因此该约束为凸约束，问题(P11) 是一个凸问题，可以使用内点法进行求解。

4 算法实现

综上所述，本文提出交替迭代求解问题(P4) 、问题(P10) 和问题(P11) 的方法，从而获得原问题的最优解。令目标函数$ R = f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}} \right\},\tau ,{{\boldsymbol{\varTheta}} _1},{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}} \right) $，交替迭代求解问题(P4) 、问题(P10) 和问题(P11) 的步骤如算法1所示。

算法1　求解问题(P10) 的算法

1) 通过等式(22) 获得$ { {{\boldsymbol{\varTheta}} _2}^* }$,初始化$ { \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}^{\left( 0 \right) }} \right\} }$，$ { {\tau ^{\left( 0 \right) }} }$，$ { {{\boldsymbol{\varTheta}} _1}^{\left( 0 \right) } }$，目标函数$ { {R^{\left( 0 \right) }} = f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}^{\left( 0 \right) }} \right\},{\tau ^{\left( 0 \right) }},{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}^{\left( 0 \right) }} \right) }$，迭代次数$ { i = 0 }$，收敛阈值$ { {\varepsilon _0} = 1 \times {10^{ - 3}} }$。

2) 循环：

(a) 给定$ { {\tau ^{\left( i \right) }} }$，$ { {{\boldsymbol{\varTheta}} _1}^{\left( i \right) } }$，通过解决问题(P7) 获得$ { \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( {i + 1} \right) }} \right\} }$。

(b) 给定$ { \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( {i + 1} \right) }} \right\},{\tau ^{\left( i \right) }} }$，通过解决问题(P10) 获得$ { \left\{ {{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( {i + 1} \right) }} \right\} }$。

(c) 给定$ { \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( {i + 1} \right) }} \right\} }$，$ { \left\{ {{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( {i + 1} \right) }} \right\} }$，通过解决问题(P11) 获得$ { \left\{ {{\tau ^{\left( {i + 1} \right) }}} \right\} }$。

(d) 令$ { i = i + 1 }$。

3) 直到$ { \frac{{f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( i \right) }} \right\},{\tau ^{\left( i \right) }},{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( i \right) }} \right) - f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( {i - 1} \right) }} \right\},{\tau ^{\left( {i - 1} \right) }},{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( {i - 1} \right) }} \right) }}{{f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( i \right) }} \right\},{\tau ^{\left( i \right) }},{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( i \right) }} \right) }} \leqslant {\varepsilon _0} }$时，跳出循环，获得最优的$ { \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^*} \right\},{\tau ^*},{{\boldsymbol{Q}}_1}^* }$。

4) 再利用高斯随机方法将$ { \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^*} \right\} }$，$ { {{\boldsymbol{Q}}_1}^* }$矩阵分别恢复为秩一向量$ { \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}^*} \right\} }$和$ { {{\boldsymbol{\phi}}_1}^* }$，将$ { {\tau ^*} }$，$ { \left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}^*} \right\} }$，$ { {{\boldsymbol{\phi}}_1}^* }$和$ { {{\boldsymbol{\varTheta}} _2}^* }$代入原目标函数，获得最优解$ { f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{v}}_k}^{\left( * \right) }} \right\},{\tau ^{\left( * \right) }},{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}^{\left( * \right) },{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}^{\left( * \right) }} \right) }$。

在算法1中，$ f\left( {\left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( i \right) }} \right\},{\tau ^{\left( i \right) }},{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( i \right) }} \right) $表示第$ i $次迭代中求解问题(P4) 得到目标值，$ \left\{ {{{\boldsymbol{V}}_k}^{\left( i \right) }} \right\},{\tau ^{\left( i \right) }},{{\boldsymbol{Q}}_1}^{\left( i \right) } $分别为第$ i $次迭代过程中的变量，$ {\varepsilon _0} $为收敛阈值。在第$ i $次迭代过程中，通过执行步骤(a) 、步骤(b) 和步骤(c) 的目标值是非单调递减的，可保证其收敛性。此外，由于算法的复杂度^[24]主要集中在执行步骤(a) 和步骤(b) ，其中执行步骤(a) 和步骤(b) 的复杂度分别为$ o\left( {{K^{3.5}}{M^{7.5}}} \right) $和$ o\left( {{N^{6.5}}} \right) $。因此，整体算法的复杂度为$ o\left( {{K^{3.5}}{M^{7.5}} + {N^{6.5}}} \right) $。

5 IRS反射单元分组的低复杂度方法

为了降低整体算法的复杂度，提出一种基于IRS反射单元分组的低复杂度方法，即将相邻的IRS反射单元划分多个子组，每个子组中的所有反射单元被视为单个反射单元^[25]。

基于IRS反射单元分组的方法，假设每个子组中的IRS发射单元数量相同，$ B $表示总组数，满足$ 1 \leqslant B \leqslant N $，$ J $表示每个子组中的反射单元数量，则$ J = {N \mathord{\left/ {\vphantom {N B}} \right. } B} $。定义分组比为$ \varsigma = J^{-1} = B/N $，其中$ 0 < \varsigma \leqslant 1 $。为了方便理解，参考如图3所示的IRS反射单元分组示意图，分组比$ \varsigma = 1/3 $，其中$ {N_x} $和$ {N_y} $分别表示分组前每一行和每一列反射单元个数，$ {J_x} $和$ {J_y} $分别表示分组后每个子组中行和列的反射单元个数，并满足$ 1 \leqslant {J_x} \leqslant {N_x} $和$ 1 \leqslant {J_y} \leqslant {N_y} $。

由于各子组中的IRS反射单元采用共同的反射系数，单个子组的IRS反射系数可以表示为

$ {{\boldsymbol{\phi}}_1} = \tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \otimes {1_{J \times 1}} $

(66)

$ {{\boldsymbol{\phi}}_2} = \tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_2}} \otimes {1_{J \times 1}} $

(67)

式中，$ {\tilde {\boldsymbol{\phi}}_1} = {\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{\phi }}}_{1,1}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{\phi }}}_{b,1}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{\phi }}}_{B,1}}} \right]^{\rm {H}}} \in {\mathbb{C}^{B \times 1}} $和${\tilde {\boldsymbol{\phi}}_2} = \left[ {{\tilde {\boldsymbol{\phi }}}_{1,2}}, \cdots , {{\tilde {\boldsymbol{\phi }}}_{b,2}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{\phi }}}_{B,2}} \right]^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{B \times 1}}$分别表示次用户传输阶段和主用户传输阶段的IRS反射单元分组后的反射系数，$ {\tilde {\boldsymbol{\phi}}_{b,1}} $表示次用户传输阶段第$ b $个子组的公共反射系数，$ {\tilde {\boldsymbol{\phi}}_{b,2}} $表示主用户传输阶段第$ b $个子组的公共反射系数$ b = \left\{ {1,2, \cdots ,B} \right\} $，$ \otimes $表示克罗内克积。此外，令$ {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} $，$ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} $，$ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} $，$ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} $和$ {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} $的第$ n $列元素分别为$ {{\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},n}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}} $，$ {\boldsymbol{h}}_{n,k}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times 1}} $，$ {\boldsymbol{g}}_{n,{\rm{t}}}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times 1}} $，$ {\boldsymbol{G}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{t}}}^{\rm {H}} \in {\mathbb{C}^{1 \times 1}} $和$ {{\boldsymbol{g}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{p}}}} \in {\mathbb{C}^{1 \times 1}} $。定义次用户发射机到IRS与IRS到次用户接收机$ k $的组合反射信道矩阵为${\wideparen{{\boldsymbol{H}}} _{{\rm {r}},k}} = {\left[ {{{\wideparen{{\boldsymbol{h}}} }_{1,k}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\wideparen{{\boldsymbol{h}}} }_{N,k}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{N \times M}}$，其中$ {\wideparen{{\boldsymbol{h}}} _{n,k}} = {\boldsymbol{h}}_{n,k}^{\rm {H}} * {{\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},n}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}} $，$ n \in \left\{ {1,2, \cdots ,N} \right\} $；次用户发射机到IRS与IRS到主用户发射机的组合反射信道矩阵为$ {\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{{\rm {r}},{\rm{t}}}} = {\left[ {{{\wideparen{{\boldsymbol{G}}} }_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\wideparen{{\boldsymbol{G}}} }_{N,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{N \times M}} $，其中${\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{n,{\rm{t}}}} = {\boldsymbol{g}}_{n,{\rm{t}}}^{\rm {H}} * {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},n}} \in {\mathbb{C}^{1 \times M}}$；主用户发射机到IRS与IRS到主用户接收机的组合信道为${\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{{\rm {r}},{\rm{p}}}} = {\left[ {{{\wideparen{{\boldsymbol{g}}} }_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\wideparen{{\boldsymbol{g}}} }_{N,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{N \times 1}}$，其中${\wideparen{{\boldsymbol{g}}} _{n,{\rm{t}}}} = {\boldsymbol{G}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{t}}}^{\rm {H}} * {{\boldsymbol{g}}_{{{\rm{r}}_n},{\rm{p}}}} \in {\mathbb{C}^{1 \times 1}}$。

本文假设每个子组中的IRS反射单元索引是连续的，即第$ b $组的反射单元是由第$ \left( {\left( {b - 1} \right) J + 1} \right) $个反射单元到第$ \left( {bJ} \right) $个反射单元组成。为了方便求解运算，将组合信道${\wideparen{{\boldsymbol{H}}} _{{\rm {r}},k}}$重新改写为${\tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}} = {\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{h}}}_{1,k}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{h}}}_{B,k}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{B \times M}}$，其中${\tilde {\boldsymbol{h}}_{b,k}} = {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^J {\wideparen{{\boldsymbol{h}}} } _{j + \left( {b - 1} \right) \times J,k}}$表示次用户接收机$ k $与第$ b $个IRS子组相关的组合反射信道；再将组合信道${\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{{\rm {r}},{\rm{t}}}}$重新改写为${\tilde {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} = {\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{B,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{B \times M}}$，其中${\tilde {\boldsymbol{G}}_{b,{\rm{t}}}} = {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^J {\wideparen{{\boldsymbol{G}}} } _{j + \left( {b - 1} \right) \times J,{\rm{t}}}}$表示次用户传输阶段主用户发射机与第$ b $个IRS子组相关的组合反射信道；最后将组合信道${\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{{\rm {r}},{\rm{p}}}}$重新表述为${\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{{\rm {r}},{\rm{p}}}} = {\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{g}}}_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{g}}}_{B,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{B \times 1}}$，其中${\tilde {\boldsymbol{g}}_{b,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, = {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^J {\wideparen{{\boldsymbol{g}}} } _{j + \left( {b - 1} \right) \times J,{\rm{t}}}}$表示主用户传输阶段主用户发射机与第$ b $个IRS子组相关的组合反射信道。

综上，可以得到次用户发射机通过IRS到次用户接收机$ k $的复合信道为$ {\hat {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}} $，次用户发射机通过IRS到主用户发射机的复合信道为$ {\hat {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} $，主用户发射机通过IRS到主用户接收机的复合信道为$ {\hat {\boldsymbol{G}}_{\rm{pr}}} $可以分别表示为

$ \begin{split} & {\hat {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}} = {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{{\boldsymbol{ H}}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} = {\left( {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \otimes {1_{J \times 1}}} \right) ^{\rm {H}}}{\left[ {{{\wideparen{{\boldsymbol{h}}} }_{1,k}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\wideparen{{\boldsymbol{h}}} }_{N,k}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} = \\ & \tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}{\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{h}}}_{1,k}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{h}}}_{B,k}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} = {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}^{\rm {H}}}{\tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}} \end{split} $

(68)

$\begin{split} & {\hat {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} = {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} = {\left( {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \otimes {1_{J \times 1}}} \right) ^{\rm {H}}}{\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{N,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} = \\ &\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}{\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{B,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} = {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}^{\rm {H}}}{\tilde {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} \end{split} $

(69)

$ \begin{split} & {\hat {\boldsymbol{G}}_{\rm{pr}}} = {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _2}{{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} = {\left( {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_2}} \otimes {1_{J \times 1}}} \right) ^{\rm {H}}}{\left[ {{{\wideparen{{\boldsymbol{g}}} }_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\wideparen{{\boldsymbol{g}}} }_{N,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} =\\ & \tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_2}}{\left[ {{{\tilde {\boldsymbol{g}}}_{1,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}, \cdots ,{{\tilde {\boldsymbol{g}}}_{B,{\rm{t}}}}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} = {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_2}}^{\rm {H}}}{\wideparen{{\boldsymbol{G}}} _{{\rm {r}},{\rm{p}}}} \end{split} $

(70)

与第4节算法类似，IRS反射单元分组算法也是基于交替优化算法，将原问题(P1) 分解为3个子问题进行迭代优化求解，直到收敛。

首先，根据等式(23) 和(70) 可将主用户传输阶段中主用户发射机到主用户接收机的最大信道增益重新表述为

$ {\boldsymbol{G}}_{\rm{PR}}^* = {\left| {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} + {\wideparen{{\boldsymbol{G}}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right|^2} $

(71)

其次，令$ {{\boldsymbol{V}}_k} = {{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}} $，$ \widehat \phi = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}}&1 \end{array}} \right]^{\rm{T}}} \in {\mathbb{C}^{\left( {Z + 1} \right) \times 1}} $，$ {{\boldsymbol{Q}}_1} = \left( {\widehat \phi *{{\widehat \phi }^{\rm {H}}}} \right) \in {\mathbb{C}^{\left( {Z + 1} \right) \times \left( {Z + 1} \right) }} $，根据式(68) 和(69) 可以重新得到

$ \begin{split} & {\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|^2} = {\left| {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {{\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}}^{\rm {H}}}{{\tilde H}_{{\rm {r}},k}}} \right) {\boldsymbol{v}}_k} \right|^2} =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {{\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}}^{\rm {H}}}{{\tilde H}_{{\rm {r}},k}}} \right) {{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}{{\left( {{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} + {{\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}}^{\rm {H}}}{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{{\rm {r}},k}}} \right) }^{\rm {H}}}} \right) =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {\left[ \begin{gathered} \tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \\ 1 \\ \end{gathered} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}}^{\rm {H}}}}&1 \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{{\rm {r}},k}} \\ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} \\ \end{gathered} \right]{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}\left[ {\tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}} {{\boldsymbol {H}}_{{\rm {s}},k}}} \right]} \right) =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}{{\widehat{\boldsymbol{ L}}}_k}{{\boldsymbol{V}}_k}\widehat {\boldsymbol{L}}_k^{\rm {H}}} \right) \end{split} $

(72)

同理可得到

$ \begin{split} & {\left| {({\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} + {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _1}{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}) {{\boldsymbol{v}}_k}} \right|^2} =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {\left[ \begin{gathered} \tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}} \\ 1 \\ \end{gathered} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {{{\boldsymbol{\phi}}_1}}}^{\rm {H}}}}&1 \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} \\ {\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} \\ \end{gathered} \right]{{\boldsymbol{v}}_k}{\boldsymbol{v}}_k^{\rm {H}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde {\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} }&{{{\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}}} \end{array}} \right]} \right) =\\ & {\rm{ Tr}}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_1}\widehat {\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{V}}_k}{{\widehat {\boldsymbol{J}}}^{\rm {H}}}} \right) \end{split} $

(73)

其中${\widehat {\boldsymbol{L}}_k} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{H}}}_{{\rm {r}},k}}}&{{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$，$\widehat {\boldsymbol{J}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\tilde {\boldsymbol{G}}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}}}&{{\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$。从而更新$ {{\boldsymbol{L}}_k} = {\widehat {\boldsymbol{L}}_k} $，$ {\boldsymbol{J}} = \widehat {\boldsymbol{J}} $。然后将式(71) ，(72) 和(73) 重新代入到问题(P7) 、(P10) 和(P11) 中。最后，通过交替优化求解问题(P7) 、(P10) 和(P11) 直到目标值收敛，可求出在IRS反射单元的分组情况下得到的最优解。

求解(P7) 、(P10) 和(P11) 的算法实现与上文第4节类似，此处不再赘述。与此同时，可得到基于IRS反射单元分组算法的复杂度为$ o\left( {{K^{3.5}}{M^{7.5}} + {B^{6.5}}} \right) $。

6 仿真结果

本节主要通过计算机仿真验证算法的性能。本文设置次用户发射机的天线数$ M = 4 $，次用户接收机数$ K = 4 $。所有的次用户接收机具有相同的信干噪比阈值，即$ {\gamma _k} = \gamma = 1 $ dB；其他参数$ T = 1 $ s，$ \eta = 1 $，$ \delta _{n,k}^2 = \delta _{\rm{pr}}^2 = - 80 $ dBm，$ \forall k $。在仿真中，次用户发射机的坐标为(0, 0) m，IRS的坐标为(3, 4) m，主用户发射机的坐标为(0, 5) m，主用户接收机的坐标为(20, 8) m，所有次用户接收机随机分布在以坐标(125, 5) m为中心坐标半径为5 m的圆内。各信道系数分别设置为${{\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {s}}r}}}}} {\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}$，${\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},k}^{\rm {H}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {s}},k}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {s}}k}}}}} {\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},k}}$，${\boldsymbol{G}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {s}},{\rm{t}}}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {s}}t}}}}} {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}}$，$ {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}^{\rm {H}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {r}},k}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {r}}k}}}}} {\tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {r}},k}} $，${\boldsymbol{G}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}^{\rm {H}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {r}},{\rm{t}}}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {r}}t}}}}} {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}}$，$ {{\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {r}},{\rm{p}}}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {r}}p}}}}} {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} $，${\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}^{\rm {H}} = \sqrt {{\zeta _0}{{\left( {{d_0}/{d_{{\rm {t}},{\rm{p}}}}} \right) }^{{\alpha _{{\rm {t}}p}}}}} {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}}$，其中$ {\zeta _0} = - 30 $ dB定义为参考距离$ {d_0} = 1 $ m处的路径损耗，$ {d_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} $，$ {d_{{\rm {s}},k}} $，$ {d_{{\rm {s}},{\rm{t}}}} $，$ {d_{{\rm {r}},k}} $，$ {d_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} $，$ {d_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} $和$ {d_{{\rm {t}},{\rm{p}}}} $分别为次用户发射机到IRS，次用户发射机到次用户接收机$ k $，次用户发射机到主用户发射机，IRS到次用户接收机$ k $，IRS到主用户发射机，IRS到主用户接收机以及主用户发射机到主用户接收机之间的距离，${\alpha _{{\rm {sr}}}} = {\alpha _{{\rm {r}}k}} = {\alpha _{{\rm {rt}}}} = {\alpha _{{\rm {rp}}}} = 3.0$，${\alpha _{{\rm {s}}k}} = {\alpha _{{\rm {st}}}} = {\alpha _{{\rm {tp}}}} = 2.2$分别为对应各信道的路径损耗指数，${\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}$，${\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},k}}$，$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}} $，${\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {r}},k}}$，$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} $，$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} $和$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}} $分别为对应各信道的小尺度衰落分量。此外，将所有信道建模为莱斯衰落信道，则莱斯信道${\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}}$可由式(74)得到：

$ {\tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} = \sqrt {\frac{{{\beta _{{\rm {s}},{\rm{r}}}}}}{{1 + {\beta _{{\rm {s}},{\rm{r}}}}}}} \tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}^{{\rm{Los}}} + \sqrt {\frac{1}{{1 + {\beta _{{\rm {s}},{\rm{r}}}}}}} \tilde {\boldsymbol{H}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}^{{\rm{NLos}}} $

(74)

式中，$ {\beta _{{\rm {s}},{\rm{r}}}} $为莱斯因子，设置为5；$ \tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}^{{\rm{Los}}} $为直射分量，$ \tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}^{{\rm{NLos}}} $为服从复高斯分布的非直射分量，满足均值为0，方差为1的随机变量。莱斯信道$ {\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},k}} $，$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {s}},{\rm{t}}}} $，$ {\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {r}},k}} $，$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{t}}}} $，$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {r}},{\rm{p}}}} $和$ {\tilde {\boldsymbol{g}}_{{\rm {t}},{\rm{p}}}} $均通过与$ {\tilde {\boldsymbol{h}}_{{\rm {s}},{\rm{r}}}} $类似的方法得到，各信道的莱斯因子^[26]均设为5。定义“所提算法”为本文所提方案，并且将其与以下6种基准方案进行比较：

(1) “上界”：交替求解去掉秩一约束的松弛问题(P7) 、问题(P10) 和问题(P11) ，以获得所提算法次用户网络的总吞吐量上界。

(2) “优化$ \theta \left( {\theta = {\theta _1} = {\theta _2}} \right) $”：两个传输阶段共用一个IRS相移矩阵，再通过所提算法进行优化求解以获得次用户网络的总吞吐量。

(3) “固定$ {\theta }_{1}、{\theta }_{2} $”：两个传输阶段的IRS相移矩阵设为全1矩阵，再进行迭代优化求解以获得次用户网络的总吞吐量。

(4) “低复杂度算法(1/2) ”：IRS分组比为1/2，再进行迭代优化求解以获得次用户网络的总吞吐量。

(5) “低复杂度算法(1/4) ”：IRS分组比为1/4，再进行迭代优化求解以获得次用户网络的总吞吐量。

(6) “无IRS”：两个传输阶段的IRS相移矩阵设为全0矩阵，再进行迭代优化求解以获得次用户网络的总吞吐量。

以下结果是在200个随机生成的信道样本上进行计算机仿真后得到的平均结果。

如图4所示为次用户网络总吞吐量随主用户网络最小吞吐量阈值增大的变化趋势图。从图中可以看出，所有方案的次用户网络总吞吐量随着主用户最小吞吐量阈值的增大而下降，其中无IRS方案下降趋势最明显，其余6种方案下降趋势并不明显，这是因为随着主用户最小吞吐量阈值的增大，次用户发射机需要传输更多的能量信号给主用户发射机，从而降低了自己的传输数据性能。此外，本文所提算法的性能非常接近于上界方案，并显著优于其他5种对比方案，优化$ \theta \left( {\theta = {\theta _1} = {\theta _2}} \right) $方案、低复杂度算法1/2以及低复杂度算法1/4”方案优于固定$ {\theta }_{1}、{\theta }_{2} $方案，这是因为优化的各时隙下的IRS反射相位越多，提供的信道空间自由度就越大，获得的信道增益就越大，体现了本文所提方案的有效性。

如图5所示为次用户网络的总吞吐量随IRS反射单元数量增加的变化趋势图。由图可知，本文所提算法非常接近于上界方案并远高于其他方案，体现出本文所提算法的优越性。除了无IRS方案的次用户网络总吞吐量随反射数量增加不变以外，其余6种方案的次用户网络总吞吐量随反射单元数量的增加而增加，这说明了部署IRS对提高系统性能是非常有效的，且随着IRS反射单元数量的增加，系统会获得更高的信道增益。此外，观察可知，两个传输时隙的IRS相移矩阵共用一个IRS相移矩阵进行相位优化的方案比固定两个传输时隙的IRS相移矩阵的方案要好，且随着反射单元数量增加，获得的信道增益越大，IRS提高系统性能的效果更明显。最后，可发现在相同的IRS反射单元数量下，所提出的低复杂度算法1/2、低复杂度算法1/4方案远高于无IRS方案，但低于本文所提算法，这表明本文所提出的低复杂度算法可以有效权衡系统性能与复杂度之间的关系。

图6为次用户网络总吞吐量随次用户发射机的最大发射功率阈值增大的变化趋势图。从图中可以看出所有方案的次用户网络的总吞吐量随着次用户发射机最大发射功率阈值的增大而增大，其中本文所提算法的性能接近于上界方案，且显著优于其他5种方案，这说明了本文所提算法对发射波束成形、时隙时间以及两个传输时隙的IRS相移进行了合理的优化。此外，可发现随着最大发射功率阈值的增大，与无IRS方案相比，其余各方案提高总吞吐量的幅度逐渐降低，这是因为随着发射功率阈值的增大，次用户发射机带来的有源波束成形增益已经足够其满足各约束，因此通过部署IRS带来的无源增益对系统性能的提升并不显著，但却远优于无IRS方案。

7 结论

本文研究了一个IRS辅助的认知无线携能通信网络，其中次用户网络以覆盖方式与主用户网络共享频谱，次用户发射机同时为主用户发射机供能并传输自己的信息。通过联合优化次用户发射机的波束成形矢量，时隙时间和IRS的相移矩阵，最大化次用户网络的总吞吐量。针对难以直接求解的原非凸优化问题，首先通过将原问题转化为3个易于处理的子问题；其次采用引入松弛变量，一阶泰勒展开、高斯随机以及连续凸逼近等方法对各子问题进行求解；最后交替优化3个子问题求得原问题的高质量可行解。仿真结果表明，与其他基准方案相比，本文所提算法能够有效地增大次用户网络的总吞吐量。