1 基本介绍

在Dirichlet级数增长性和相关方面，众多数学工作者已经取得了一系列重要研究成果^[1-4]。其中有很多关于整函数的研究，例如，Ritt定义了由Dirichlet级数所确定的增函数的级和下级，用来描述级数的增长性。随后，2010年孔荫莹和甘会林^[5]通过引入一族函数，定义了更精确的广义级，并得到广义级与其系数和指数之间的关系。另一方面，徐洪焱和易才凤^[6]从Dirichlet多项式估计Dirichlet级数时得到的误差着手，探讨了其与Dirichlet级数的级之间的关系。随机Dirichlet级数本质上是一族Dirichlet级数。1932年，Paley和Zygmund研究了Steinhaus-Dirichlet级数和Rademacher-Dirichlet级数两类以独立随机变量序列为系数的随机Dirichlet级数的收敛性。随后，余家荣^[7]进一步讨论了以独立随机变量序列为系数的随机Dirichlet级数的收敛性问题。丁晓庆和肖益民^[8]借助Dirichlet级数研究了系数为独立且一致非退化的随机Dirichlet级数的自然边界问题。2012年，孔荫莹和霍颖莹^[9]在广义级的基础上，探讨了一类以独立随机变量序列为系数的随机Dirichlet级数的最大模与最大项指标之间的关系。但在现实中，独立这一条件并不具有普遍性，而且也难以检验。自然的想法是，当随机变量序列为非独立时，随机Dirichlet级数会具有什么性质？本文将在此基础上，去研究一类系数是非独立的随机变量序列 $\varphi $ 混合序列的随机Dirichlet级数的广义逼近。其中， $\varphi $ 混合序列是由Ibragimov^[10]引入的，表明了变量在指标之差趋于无穷时渐进独立，关于其更多的性质可以参考文献[10-11]。

下面给出与本文相关的定义与记号，为了方便起见，本文将 $C$ 表示为一个常数，并且出现先后表示不同的常数。其他记号请参看文献[1]。

定义1^[1] 　设Dirichlet级数

$ g(s) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {b_n}{{{\rm{e}}} ^{ - {\lambda _n}s}}$

(1)

式中： $\{ {b_n}\} $ 是一正实数数列， $ 0 < {\lambda _n} \uparrow \infty ,{\text{ }}s = \sigma + {\rm{i}}t $ 表示一复变量。

假设级数 $ g(s) $ 满足

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\ln {b_n}}}{{{\lambda _n}}} = 0$

(2)

$ \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} ({\lambda _{n + 1}} - {\lambda _n}) = h > 0$

(3)

那么由式(3)和文献[1]中引理3.1.1可得

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{n}{{{\lambda _n}}} = D < + \infty $

(4)

式(3)、(4)中： $Dh \leqslant 1$ 。从而有

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\ln n}}{{{\lambda _n}}} \leqslant \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\ln (D + \varepsilon ) }}{{{\lambda _n}}} = 0 $

若令 ${\sigma _c},{\text{ }}{\sigma _u},{\text{ }}{\sigma _a}$ 分别表示级数 $ g(s) $ 的收敛、一致收敛和绝对收敛横坐标，则由Valiron公式

$ \begin{gathered} \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\ln {b_n}}}{{{\lambda _n}}} \leqslant {\sigma _c} \leqslant {\sigma _u} \leqslant {\sigma _a} \leqslant \\ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\ln {b_n}}}{{{\lambda _n}}} + \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{\ln n}}{{{\lambda _n}}} \\ \end{gathered} $

可得

$ {\sigma _c} = {\sigma _u} = {\sigma _a} = 0$

即级数 $g(s) $ 在右半平面是收敛、一致收敛和绝对收敛的。因此，对于任意的 $\sigma > 0$ ，可以分别定义级数 $g(s) $ 的最大模、最大项以及最大项指标为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {M(\sigma ,g) = \sup \left\{ {\left| {g(\sigma + it) } \right|:{\text{ }}t \in \bf{R}} \right\}} \\ {m(\sigma ,g) = \max \left\{ {\left| {{b_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }}:{\text{ }}n \in \bf{N}} \right\}} \\ {n(\sigma ) = n(\sigma ,g) = \max \left\{ {n:{\text{ }}\left| {{b_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} = m(\sigma ,g) } \right\}} \end{array} $

为了描述慢增长 $(\rho = 0) $ 整函数的增长性，下面引入广义级和广义型。令 $\varLambda $ 表示满足以下两个条件的函数 $\alpha (x) $ 所构成的集合。

条件1 　 $\alpha (x) $ 是定义在 $( - \infty ,{\text{ }} + \infty ) $ 上的函数，当 $x \leqslant 0$ 时， $\alpha (x) $ 为常数；当 $x > 0$ 时， $\alpha (x) $ 为严格递增，取值为正的可微函数。

条件2 　令 ${\text{d}}$ 表示微分符号，存在 $p \in \bf{N}$ ，使得

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{{{\text{d}}\alpha (x) }}{{{\rm{d}}({{\ln }^{[p]}}x)}} = k \in (0,\infty ) $

式中： $ {\ln ^{\left[ p \right]}}x = {\ln ^{\left[ {p - 1} \right]}}\ln x $ 。

定义2^[12] 　设 $\alpha (x) \in \varLambda $ ，则级数 $g(s) $ 的广义级为

$ \rho = \rho (\alpha ,g) = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\alpha \left( {\ln M(\sigma ,g) } \right) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} $

若 $\rho \in \left( {0,{\text{ }}\infty } \right) $ ，则级数 $g(s) $ 的广义型为

$ \tau = \tau (\alpha ,g) = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} {\mkern 1mu} \frac{{\beta \left( {\ln M(\sigma ,g) } \right) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}}$

式中： $\beta (\ln x) = \alpha (x) $ 。特别地，当 $ \alpha (x) = \ln x $ 时，广义级和型分别为Ritt级和Ritt型。此外，根据参考文献[12]中的引理2.3可知，对于级数 $g(s) $ ，当 $E \in (0,\infty ) $ 时，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln M(\sigma ,g) } \right) }}{{{{\left[ {\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^E}}} = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln m(\sigma ,g) } \right) }}{{{{\left[ {\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^E}}} $

为了证明本文所得到的结论，在这里将构造与级数相应的Newton多边形，并得到与级数式(1)具有相同广义级和广义型的Dirichlet级数。具体作法如下。

第1步 　取定 $\sigma > 0$ ，过 $XOY$ 平面上点列

$ \left\{ {{A_n}} \right\} = \{ ({\lambda _n},- \ln {b_n}) \} $

中的每一点，作斜率为 $ - \sigma $ 的直线，进而可以得到斜率为 $ - \sigma $ 的直线所构成的集合

$ \left\{ {L(\sigma ) } \right\} = \{ y|y = - \sigma x - \ln {b_n}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }}\} $

由于每一条直线都对应一个在 $y$ 轴的截距，因此可以得到级数 $g(s) $ 在 $\sigma $ 时的最大项满足

$ \begin{split} \ln m\left( {\sigma ,g} \right) =& \max \left\{ {\ln {b_n}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }}:n \geqslant 1} \right\} = \\ & \min \left\{ { - \ln {b_n}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }}:n \geqslant 1} \right\} \end{split} $

第2步 　根据 $\sigma $ 的任意性，便可以得到对于任意的一个 $\sigma > 0$ ，级数 $g(s) $ 的最大项 $ m(\sigma ,g) $ 和最大项指标 $n(\sigma ) $ 。又 $n(\sigma ) $ 为关于 $\sigma $ 的增函数，从而为阶梯函数且至多只有可数个间断点，其间断点集记为 $\left\{ {{\sigma _l}} \right\}$ ，相应地， $n({\sigma _l}) = {n_{l + 1}}$ 。最后再通过依次连接最大项指标所对应的点

$ {A_{n(\sigma ) }} = \left( {{\lambda _{n(\sigma ) }}, - \ln {b_{n(\sigma ) }}} \right) $

便得到级数 $g(s) $ 所对应的Newton多边形 $\varPi (g) $ 。

由Newton多边形 $\varPi (g) $ 的作法，不难发现 $\varPi (g) $ 的顶点是点列 $\left\{ {{A_n}} \right\}$ 中的部分点，因此不妨设 $\varPi (g) $ 的顶点为

$ \left\{ {{A_{{n_l}}}} \right\} = \left\{ {({\lambda _{{n_l}}}, - \ln {b_{{n_l}}}) } \right\} $

若令

$ - {\sigma _l} = \frac{{ - \ln {b_{{n_{l + 1}}}} + \ln {b_{{n_l}}}}}{{{\lambda _{{n_{l + 1}}}} - {\lambda _{{n_l}}}}}$

则

$ \ln m({\sigma _l},g) = \ln {b_{{n_l}}} - {\lambda _{{n_l}}}{\sigma _l} = \ln {b_{{n_{l + 1}}}} - {\lambda _{{n_{l + 1}}}}{\sigma _l} $

此外，由 ${\sigma _l}$ 的作法可知，对于任意的 $\sigma > 0$ ，存在 ${\sigma _l}$ 和 ${\sigma _{l + 1}}$ ，使得 $\sigma \in \left( {{\sigma _{l + 1}},{\sigma _l}} \right]$ ，有 $n(\sigma ) = {n_l}$ 。

从而得到级数

$ \overline g\left( \sigma \right) = \sum\nolimits_{l = 0}^\infty {\mkern 1mu} {b_{{n_l}}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{{n_l}}}\sigma }}$

(5)

式中： $\left\{ {{n_l}} \right\} \subset \left\{ n \right\}$ ，则对于任意的正数 $\sigma $ ，存在 ${\sigma _l}$ ，满足 $\sigma \in \left( {{\sigma _{l + 1}},{\sigma _l}} \right]$ ，从而

$ \ln m(\sigma ,g) = \ln {b_{n(\sigma ) }}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{n(\sigma ) }}\sigma }} = \ln {b_{{n_l}}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{{n_l}}}\sigma }} = \ln m(\sigma ,\overline g) $

即级数 $g(s) $ 和 $\overline g(s) $ 有相同的广义级和广义型。

下文还需要给出级数误差的定义。

定义3^[6] 　令 ${\phi _k}$ 表示阶数不大于 $k$ 的所有Dirichlet多项式所构成的集合，则对于任意给定的 $\alpha (0 < \alpha < \infty ) $ 和正整数 $n$ ，可以定义级数 $g(s) $ 的误差为

$ {E_n}(g,\alpha ) = \mathop {\inf }\limits_{p \in {\phi _k}} {\mkern 1mu} {\left| {\left| {g - p} \right|} \right|_\alpha }$

式中： ${\left| {\left| {g - p} \right|} \right|_\alpha } = \mathop {\sup }\limits_{t \in \bf{R}} {\mkern 1mu} |g(\alpha + it) - p(\alpha + it) |$ 。

为了证明本文提出的结论，还要给出 $\varphi $ 混合序列的定义。

定义4^[10] 　 $\{ {X_n}\} $ 是定义在概率空间 $ (\varOmega ,{\text{ }}\mathcal{F},{\text{ }}\mathbb{P}) $ 上的复值随机变量， $\mathbb{P} $ 为 $\mathcal{F} $ 上的概率，对于任意的 $n,{\text{ }}m \in \bf{N}$ ，当 $n \to \infty $ 时，若

$ \varphi (n) = \mathop {\sup }\limits_{m \in \bf{N}} \mathop {\sup }\limits_{A \in \mathcal{F}_1^m,B \in \mathcal{F}_{m + n}^\infty } \left| {\mathbb{P}(B{\text{|}}A) - \mathbb{P}(B) } \right| \to 0$

则称 $\{ {X_n}\} $ 是 $\varphi $ 混合序列，其中

$ \mathcal{F}_j^k = \sigma ({X_n}:n = j,j + 1, \cdots ,k) $

为 $\sigma $ 域。

通过 $\varphi $ 混合序列的定义不难发现，如果对于任意的 $n \in \bf{N}$ ，都满足 $\varphi (n) = 0$ ，那么对于任意的 $A \in \mathcal{F}_0^m, B \in \mathcal{F}_{m + n}^\infty $ ，可以得到

$ \mathbb{P}(AB) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B) $

即随机序列 $\{ {X_n}\} $ 独立。

定义5^[1] 　设随机Dirichlet级数

$ {f_\omega }(s) = \sum\nolimits_{n = 0}^\infty {X_n}(\omega ) {{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}s}}$

式中： $ 0 < {\lambda _n} \uparrow \infty ,{\text{ }}s = \sigma + {{{\rm{i}}t}}(\sigma ,{\text{ }}t \in \bf{R}) $ ， $\{ {X_n}\} $ 是定义在概率空间 $ (\varOmega ,{\text{ }}\mathcal{F},{\text{ }}\mathbb{P}) $ 上的 $\varphi $ 混合序列，并且满足 ${({\rm{MZ}}) ^{\text{*}}}$ ^[13]条件，即对于任意的正整数 $n$ ，存在正数 $d_1$ ，使得

$ 0 \leqslant {d_1^2}b_n^2 = {d_1^2}E{\left| {{X_n}} \right|^2} \leqslant {E^2}\left| {{X_n}} \right| < \infty $

(6)

本文假设随机Dirichlet级数 ${f_\omega }(s) $ 满足式(2)、(3)、(6)，那么对于级数 ${f_\omega }(s) $ 而言，可以得到有关于它的收敛性的结论。

定理1 　对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，级数 ${f_\omega }(s) $ 在右半平面上收敛、一致收敛、绝对收敛，即

$ {\sigma _c}(\omega ) = {\sigma _u}(\omega ) = {\sigma _a}(\omega ) = 0,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.,$

式中： ${\sigma _c}(\omega ) $ ， ${\sigma _u}(\omega ) $ ， ${\sigma _a}(\omega ) $ 分别为级数 ${f_\omega }(s) $ 的收敛、一致收敛和绝对收敛横坐标。

此外，本文还得到误差与级之间的关系。

定理2 　对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，级数 ${f_\omega }(s) $ 和 $g(s) $ 的偏差在右半平面上的广义级一致，即

(1) 当 $p = 1$ 时，

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln M(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} + 1= \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}}}} \right) }} $

(2) 当 $p = 2,{\text{ }}3,{\text{ }} \cdots $ 时，

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln M(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }}= \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}}}} \right) }} $

定理3 　若级数 ${f_\omega }(s) $ 的广义级 $\rho \in (1,\infty ) $ ，则对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，级数 ${f_\omega }(s) $ 和 $g(s) $ 的误差在右半平面上的广义型一致，即

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta (\ln M(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} =\mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}}}} \right) } \right]}^\rho }}} $

推论1 　设级数 $ {f_\omega }(s) $ 满足式(2)、(3)、(6)，则对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

(1) 当 $p = 1$ 时，

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln M(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }}{\text{ + 1 = }}\mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln |{b_n}|}}} \right) }} $

(2) 当 $p = 2,{\text{ }}3,{\text{ }} \cdots $ 时，

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln M(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }}{\text{ = }}\mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln |{b_n}|}}} \right) }} $

推论2 　设级数 $ {f_\omega }(s) $ 满足式(2)、(3)、(6)，并且级数 $ {f_\omega }(s) $ 的广义级 $\rho \in (1,\infty ) $ ，则对于任意的 $\omega \in \varOmega , {\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta (\ln M(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}}{\text{ = }}\mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln |{b_n}|}}} \right) } \right]}^\rho }}} $

2 一些引理

引理1^[14] 　若 $\{ {X_n}\} $ 是 $\varphi $ 混合序列，并且满足式(6)，则对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，存在 $N(\omega ) > 0 $ ，当 $n > N(\omega ) $ 时，有

$ \left|{X}_{n}(\omega ) \right|\le n{b}_{n}$

(7)

且对于 $\{ {X_n}\} $ 的任意子列 $\{ {X_{{n_k}}}\} $ ，有

$ \mathbb{P}\left( {\left\{ {|{X_{{n_k}}}{\text{|}} \geqslant \frac{d_1}{2}{b_{{n_k}}}} \right\},{\text{ }}{\rm{i}}.{\rm{o}}.} \right) = 1 $

(8)

为了证明所提出的结论，还需要用到误差与系数、最大项之间的关系。

引理2^[6] 　若级数 $g(s) $ 满足式(2)、(3)，那么对于任意的 $n \in {\bf{N}}$ ，任意的 $\alpha (0 < \alpha < \infty ) $ 以及充分小的正数 $\sigma < \dfrac{\alpha }{2}$ ，有

$ \left| {{b_n}} \right|{{\text{e}}^{ - {\lambda _n}\alpha }} \leqslant 2{E_{n - 1}}(g,\alpha ) \leqslant Tm(\sigma ,g) {{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}(\alpha - \sigma ) }}$

式中： $T$ 是与 $\sigma ,{\text{ }}n$ 无关的常数。

其次，广义级函数有以下性质。

引理3^[12] 　设 $\alpha (x) \in \varLambda $ ，则

(1) 对于任意的正数 ${C_1},{\text{ }}{C_2}$ 以及实数 $A$ ：

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\alpha ({C_1}x + {C_2}) }}{{\alpha (x) }} = 1,{\text{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\alpha ({x^A}) }}{{\alpha (x) }} = A $

(2) 对于任意的 $0 < {A_1},{A_2} < {A_3}$ ：

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_1}\alpha (x) } \right]{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_2}\alpha (x) } \right]}}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_3}\alpha (x) } \right]}} = 0 $

(3) 当 $p = 1$ 时，对任意 $A > 0$ ，存在 $ 0 < B < \dfrac{1}{2} $ ，

使得

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln Ax}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {B\alpha (x) } \right]}}}}{\text{ = }}0 $

(4) 当 $p = 2,{\text{ }}3,{\text{ }} \cdots $ 时，对任意的正数 ${A_1}$ ， ${A_2} < 1$ ，存在 $ 0 < B < \dfrac{1}{2} $ ，使得

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln {A_1}x}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_2}\alpha ({x^B}) } \right]}}}}{\text{ = }}0 $

证明 　对于该引理(1)、(2)的证明，可以参考文献[12]中的引理2.2。下证明(3)、(4)。

首先，由 $\alpha (x) $ 的性质

$ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\alpha (x) }}{{{{\ln }^{\left[ p \right]}}x}} = k \in (0,\infty ) $

可知，对任意正数 $\delta $ ，存在 $X(\delta ) > 0 $ ，当 $x > X(\delta ) $ 时，

$ {{\text{α }}^{ - 1}}\left[ {{A_1}\alpha (x) } \right] < {\exp ^{\left[ p \right]}}\left\{ {\frac{{{A_1}(k + \delta ) {{\ln }^{\left[ p \right]}}x}}{{(k - \delta ) }}} \right\} $

下文先证明引理3(3)。

当 $p = 1$ 时，由 $\dfrac{1}{2}\ln x \leqslant \sqrt x - 1$ 可得

$ \frac{{\ln x}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {B\alpha (x) } \right]}}}} \leqslant {x^{\tfrac{{B(k + \delta ) }}{{(k - \delta ) }}}}(2{x^{\tfrac{1}{2}}} - 2) \leqslant 2{x^{\tfrac{{B(k + \delta ) }}{{(k - \delta ) }} - \tfrac{1}{2}}} $

因此，当正数 $\delta $ 充分小且 $ 0 < B < \dfrac{1}{2} $ 时，

$ \begin{gathered} 0 \leqslant \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln Ax}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {B\alpha (x) } \right]}}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {B\alpha (x) } \right]}}}} \leqslant\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2{x^{\tfrac{{B(k + \delta ) }}{{(k - \delta ) }} - \tfrac{1}{2}}} = 0 \\ \end{gathered} $

下文再证明引理3(4)。

当 $p = 2,3，\cdots $ 时，若 $ 0 < B < \dfrac{1}{2} $ ，则由 $\alpha (x) $ 的单调性以及 $ \dfrac{1}{2}\ln x \leqslant \sqrt x - 1 $ 可得

$ \begin{gathered} \frac{{\ln x}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_1}\alpha ({x^B}) } \right]}}}} \leqslant \frac{{2\sqrt x - 2}}{x}{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_1}\alpha (\sqrt x ) } \right] \leqslant\\ \frac{1}{{\sqrt x }}{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_1}\alpha (\sqrt x ) } \right] \\ \end{gathered} $

又由引理3(2) 可得

$ \begin{gathered} 0 \leqslant \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln {A_1}x}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_2}\alpha ({x^B}) } \right]}}}}{\text{ = }}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln x}}{{\dfrac{x}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_2}\alpha ({x^B}) } \right]}}}} \leqslant \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_2}\alpha (\sqrt x ) } \right]}}{{\sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {{A_2}\alpha (\sqrt x ) } \right]}}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\alpha (\sqrt x ) } \right]}} = 0 \end{gathered} $

证毕。

引理4 　对于级数 ${f_\omega }(s) $ ，当 $E \in (0,\infty ) $ 时，对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln M(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{{{\left[ {\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^E}}} = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{{{\left[ {\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^E}}} $

证明 　与参考文献[12]中的引理2.3类似，此处不再证明。

引理5^[15] 　级数 $g(s) $ 满足式(2)、(3) ，则

(1) 当 $p = 1$ 时：

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln M(\sigma ,g) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} + 1 = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to {\text{ + }}\infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}}}} \right) }} $

(2) 当 $p = 2,{\text{ }}3,{\text{ }} \cdots $ 时：

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln M(\sigma ,g) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to {\text{ + }}\infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}}}} \right) }} $

(3) 若级数 $g(s) $ 的广义级 $\rho \in \left( {1,\infty } \right) $ ，则

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta (\ln M(\sigma ,g) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to {\text{ + }}\infty } \frac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}}}} \right) } \right]}^\rho }}} $

最后，还需要用到以下结论。

引理6^[7] 　设 $b,{\text{ }}\sigma \in (0, +\infty )$ ，则函数

$ h(x) = - bx{\text{ln}}x - x\sigma $

在 $x = {{\rm{e}}^{ - \left( {\tfrac{\sigma }{b} + 1} \right) }}$ 处，取得最大值 $b{{\rm{e}}^{ - \left( {\tfrac{\sigma }{b} + 1} \right) }}$ 。函数

$ h(x) = {x^{ - b}} + \sigma x $

在 $x = {\left( {\dfrac{b}{\sigma }} \right) ^{\tfrac{b}{{b + 1}}}}$ 处，取得最小值 $(b + 1) {\left( {\dfrac{\sigma }{b}} \right) ^{\tfrac{b}{{b + 1}}}}$ 。

3 定理证明

定理1证明 　首先由式(4) ，即

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to {\text{ + }}\infty } {\mkern 1mu} \frac{n}{{{\lambda _n}}} = D < \infty $

和式(7)可知，对于任意的 $\varepsilon > 0$ 和任意的 $\omega \in \varOmega , {\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，存在 ${N_1} \in {\bf{N}} $ ，当 $n > {N_1}$ 时，

$ \begin{gathered} \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln |{X_n}|}}{{{\lambda _n}}} \leqslant \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln n}}{{{\lambda _n}}} + \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln {b_n}}}{{{\lambda _n}}} \leqslant \\ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln (D + \varepsilon ) {\lambda _n}}}{{{\lambda _n}}} + \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln {b_n}}}{{{\lambda _n}}} = 0. \\ \end{gathered} $

其次由式(8)可知，序列 $\{ {X_n}\} $ 存在一子列 $\{ {X_{{n_k}}}\} $ 满足

$ |{X_{{n_k}}}| \geqslant \frac{d_1}{2}{b_{{n_k}}} $

因此，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\ln \left| {{X_n}} \right|}}{{{\lambda _n}}} \geqslant \mathop {{\lim \sup }}\limits_{k \to + \infty } \frac{{\ln \left| {{X_{{n_k}}}} \right|}}{{{\lambda _{{n_k}}}}} \geqslant \mathop {{\lim \sup }}\limits_{k \to + \infty } \frac{{\ln \dfrac{d_1}{2}{b_{{n_k}}}}}{{{\lambda _{{n_k}}}}} = 0 $

最后由Valiron公式可得

$ {\sigma _c}(\omega ) = {\sigma _u}(\omega ) = {\sigma _a}(\omega ) = 0,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}{\text{.}} $

证毕。

定理2证明 　首先，根据引理4可知，对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ， $M(\sigma ,{f_\omega }) $ 可以用 $m(\sigma ,{f_\omega }) $ 替换。

下记 ${A_{n,\alpha }}(g,\alpha ) = {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}$ 。并令

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{\alpha \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {A_{n,\alpha }}(g,\alpha ) }}} \right) }} = L$

(9)

则对任意的正数 $ \varepsilon $ ，存在 $N(\varepsilon ) > 0$ ，使得当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，有

$ \ln {A_{n,\alpha }}(g,\alpha ) < \frac{{{\lambda _n}}}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + \varepsilon }}} \right]}} $

再由引理2可得

$ \ln \left| {{b_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} < \frac{{{\lambda _n}}}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + \varepsilon }}} \right]}} - {\lambda _n}\sigma + \ln 2 $

最后由式(7)和式(4)可得，对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N(\varepsilon ) > 0$ ，使得当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，对任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \begin{gathered} \ln |{X_n}{\text{|}}{{{\rm{e}}} ^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant \ln {b_n}{{{\rm{e}}} ^{ - {\lambda _n}\sigma }} + \ln n \leqslant\\ \frac{{{\lambda _n}}}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + \varepsilon }}} \right]}} - {\lambda _n}\sigma + \ln 2(D + \varepsilon ) {\lambda _n} \\ \end{gathered} $

(10)

情形(1) 　当 $p = 1$ 时，首先由 $\alpha (x) $ 的单调性，引理3(3)以及式(10)可得，存在 $B > \max \left\{ {1,\dfrac{{2 - L}}{\varepsilon }} \right\}$ ，对于任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N(\varepsilon ) > 0$ ，使得当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，对于任意的 $ \omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}. $ ，有

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant {\lambda _n}\left\{ {\frac{2}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + B\varepsilon }}} \right]}} - \sigma } \right\} $

(11)

其次，由 $\alpha (x) $ 的性质

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{\rm{d}}\alpha ({x}) }}{{\rm{d}}({{{\ln }^{\left[ p \right]}}{x}})} = k \in (0,\infty ) $

可知，对于任意的正数 $\delta $ ，存在 $N(\delta ) > 0$ ，使得当 $n > N(\delta ) $ 时，有

$ {\exp ^{\left[ p \right]}}\left\{ {\frac{{(k - \delta ) {{\ln }^{\left[ p \right]}}{\lambda _n}}}{{(L + B\varepsilon ) (k + \delta ) }}} \right\}{\text{ < }}{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\frac{1}{{L + B\varepsilon }}\alpha ({\lambda _n}) } \right]$

由式(11)及引理6可得，当 $ x=C\left(\dfrac{1}{\sigma }\right) { }^{\tfrac{(k+\delta ) (L+B\epsilon ) }{k-\delta }} $ 时，有

$ \begin{gathered} \ln \left| {{X_n}} \right|{{\text{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant {\lambda _n}\left\{ {\frac{2}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + B\varepsilon }}} \right]}} - \sigma } \right\} \leqslant\\ \mathop {\max }\limits_{x \in {\bf{R}}} \left\{ {x\left[ {2{{\left( {\frac{1}{x}} \right) }^{\tfrac{{k - \delta }}{{(k + \delta ) (L + B\varepsilon ) }}}} - \sigma } \right]} \right\} =\\ C{\left( {\frac{1}{\sigma }} \right) ^{\tfrac{{(k + \delta ) (L + B\varepsilon ) - (k - \delta ) }}{{k - \delta }}}} \\ \end{gathered} $

最后，当 $\sigma > 0$ 充分小时，有 $n(\sigma ) > N(\varepsilon ) $ ，由 $\alpha (x) $ 的单调性以及引理3(1) 可得，对于任意的 $\omega \in \varOmega $ ， ${\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} \leqslant L - 1 $

情形(2) 　当 $p = 2,{\text{ }}3,{\text{ }} \cdots $ 时，首先由 $\alpha (x) $ 的单调性，引理3(4) 以及式(10)可得，存在 $B \in \left( {0,\dfrac{1}{2}} \right) $ ，对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N(\varepsilon ) > 0$ ，当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant {\lambda _n}\left\{ {\frac{2}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha (\lambda _n^B) }}{{L + B\varepsilon }}} \right]}} - \sigma } \right\} $

且

$ {\alpha ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\alpha (\lambda _n^B) }}{{L + \varepsilon }}} \right] \geqslant 2 $

因此，当 $\sigma > 0$ 充分小时，

$ \frac{2}{{{\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha (\lambda _n^B) }}{{L + \varepsilon }}} \right]}} - \sigma \leqslant 1 $

当 $ \sigma > 0 $ 充分小时，令

$ H = H\left( \sigma \right) = {\alpha ^{ - 1}}\left[ {\left( {L + \varepsilon } \right) \alpha \left( {\frac{2}{\sigma }} \right) } \right]$

则对任意 $ n > N(\varepsilon ) $ ，当 ${\lambda _n} \leqslant H$ 时，有

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant {\alpha ^{ - 1}}\left[ {(L + \varepsilon ) \alpha \left( {\frac{2}{\sigma }} \right) } \right] $

(12)

当 ${\lambda _n} > H$ 时，有 $\dfrac{2}{\sigma } \leqslant {\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + \varepsilon }}} \right]$ 。从而

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} < \frac{{{\lambda _n}}}{2}(\sigma - \sigma ) = 0 $

所以对于任意的 $n > N(\varepsilon ) $ ，式(12)成立，因此对于任意的 $\omega \in \varOmega $ ， ${\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} \leqslant L $

下证等式成立。

情形(1) 　由Newton多边形作法和引理5(1)可知，存在级数式(5)，满足

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln m(\sigma ,\overline g) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} = \mathop {\lim \sup }\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln m(\sigma ,g) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }}{\text{ = }}L - 1 $

再选取序列 $\{ \sigma \} $ 的子列 $\{ {\sigma _l}\} $ ，使得

$ \mathop {\lim }\limits_{l \to + \infty } \frac{{\alpha (\ln m({\sigma _l},\overline g) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{{{\sigma _l}}}} \right) }}{\text{ = }}L - 1$

(13)

并记 $n({\sigma _l}) = {n_l}$ 。记

$ F = \left\{ {\omega :\mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln m(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} < L - 1} \right\}$

$ {F_\varepsilon } = \left\{ {\omega :\mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha (\ln m(\sigma ,{f_\omega }) ) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} < L - 1 - \varepsilon } \right\} $

于是， $F = \bigcup\limits_{\varepsilon > 0}^{} {F_\varepsilon }$ 。

若 $\mathbb{P}(F) > 0$ ，则存在 ${\varepsilon _0} > 0$ ，使得 $\mathbb{P}({F_{{\varepsilon _0}}}) > 0$ 成立，即对于任意的 $\omega \in {F_{{\varepsilon _0}}}$ ，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\alpha \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) }} < L - 1 - {\varepsilon _0} $

此外，由式(8)可知，存在 ${\varOmega _0}$ 满足 $\mathbb{P}({{{\varOmega }}_0}) = 0$ ，使得对任意的 $\omega \in {{(\varOmega }} - {{{\varOmega }}_0}) $ ，有

$ \omega \in \{ |{X_{{n_l}}}{\text{|}} \geqslant \frac{d_1}{2}{b_{{n_l}}},{\rm{i}}.{\rm{o}}.\} $

并且由 $\mathbb{P}({F_{{\varepsilon _0}}}) > 0$ 得， ${{(\varOmega }} - {{{\varOmega }}_0}) \cap {F_{{m_0}}} \ne \phi $ 。从而存在 ${\omega _0} \in ({{\varOmega }} - {{{\varOmega }}_0}) \cap {F_{{m_0}}}$ ，对序列 $\{ {X_{{n_l}}}{{(}}{\omega _0}{\text{) }}\} $ 存在的子列，不妨仍记为 $\{ {X_{{n_l}}}{{(}}{\omega _0}{\text{) }}\} $ ，满足

$ \left| {{{\text{X}}_{{n_l}}}({\omega _0}) } \right| \geqslant \frac{d_1}{2}{b_{{n_l}}} $

从而

$ \frac{d_1}{2}m{\text{(}}{s_l}{\text{,}}\overline g{\text{) = }}\frac{d_1}{{\text{2}}}{b_{{n_l}}}{{\text{e}}^{{\text{ - }}{\lambda _{{n_l}}}{s_l}}} \leqslant \left| {{X_{{n_l}}}({\omega _0}) } \right|{{\text{e}}^{{\text{ - }}{\lambda _{{n_l}}}{s_l}}} \leqslant m({\sigma _l},{f_{{\omega _0}}}) ,$

即

$ \text{ln}m\text{(}{s}_{l}\text{,}\overline{g}\text{) < }{\alpha }^{-1}\left[(L-1-{ϵ}_{0}) \alpha \left(\frac{1}{{\sigma }_{l}}\right) \right] $

因此

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{l \to + \infty } \frac{{\alpha \left( {\ln m({\sigma _l},\overline g) } \right) }}{{\alpha \left( {\dfrac{1}{{{\sigma _l}}}} \right) }} < L - 1$

与式(13)式矛盾。证毕。

情形(2) 　同情形1证明类似，此处不再证明。

定理3证明 　首先由引理4可知，对于任意的 $\omega \in \varOmega $ ， ${\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ， $M(\sigma ,{f_\omega }) $ 可以用 $m(\sigma ,{f_\omega }) $ 替换。

下记 ${A_{n,\alpha }}(g,\alpha ) = {E_{n - 1}}(g,\alpha ) {{\rm{e}}^{{\lambda _n}\alpha }}$ 。并令

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{{{\lambda _n}}}{{\ln {A_{n,\alpha }}(g,\alpha ) }}} \right) } \right]}^\rho }}} = \tau $

(14)

则对于任意的正数 $ \varepsilon $ ，存在 $ N(\varepsilon ) > 0 $ ，使得当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，有

$ \ln {A_{n,\alpha }}(g,\alpha ) < \frac{{{\lambda _n}}}{{{\beta ^{ - 1}}\left\{ {{{\left[ {\dfrac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{\tau + \varepsilon }}} \right]}^{\tfrac{1}{\rho }}}} \right\}}} $

又由引理2可得

$ \ln \left| {{b_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} < \frac{{{\lambda _n}}}{{{\beta ^{ - 1}}\left\{ {{{\left[ {\dfrac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{\tau + \varepsilon }}} \right]}^{\tfrac{1}{\rho }}}} \right\}}} - {\lambda _n}\sigma + \ln 2 $

最后由式(4)，即

$ \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to + \infty } {\mkern 1mu} \frac{n}{{{\lambda _n}}} = D < \infty $

和式(17)可得，对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N(\varepsilon ) > 0$ ，使得当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，对任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \begin{gathered} \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant \ln {b_n}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} + \ln n \leqslant \\ \frac{{{\lambda _n}}}{{{\beta ^{ - 1}}\left\{ {{{\left[ {\dfrac{{\beta ({\lambda _n}) }}{{\tau + \varepsilon }}} \right]}^{\tfrac{1}{\rho }}}} \right\}}} - {\lambda _n}\sigma + \ln 2(D + \varepsilon ) {\lambda _n} \\ \end{gathered} $

(15)

由于 $\beta (\ln x) = \alpha (x) $ ，因此由引理3(4) 以及式(15)可得，存在 $0 < B < \dfrac{1}{2}$ ，对于任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N(\varepsilon ) > 0$ ，使得当 $n > N(\varepsilon ) $ 时，对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant \frac{{2{\lambda _n}}}{{{\beta ^{ - 1}}\left\{ {{{\left[ {\dfrac{{\beta (\lambda _n^B) }}{{\tau + \varepsilon }}} \right]}^{\tfrac{1}{\rho }}}} \right\}}} - {\lambda _n}\sigma $

且

$ {\beta ^{ - 1}}\left\{ {{{\left[ {\frac{{\beta (\lambda _n^B) }}{{\tau + \varepsilon }}} \right]}^{\tfrac{1}{\rho }}}} \right\} \geqslant 2$

因此，当 $\sigma > 0$ 充分小时，

$ \frac{2}{{{\beta ^{ - 1}}\left\{ {{{\left[ {\dfrac{{\beta (\lambda _n^B) }}{{\tau + \varepsilon }}} \right]}^{\tfrac{1}{\rho }}}} \right\}}} - \sigma \leqslant 1 $

当 $\sigma > 0$ 充分小时，令

$ H = H(\sigma ) = {\beta ^{ - 1}}\left\{ {(\tau + \varepsilon ) {{\left[ {\beta \left( {\frac{2}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }} \right\}$

则对任意 $n > N(\varepsilon ) $ ，当 ${\lambda _n} \leqslant H$ 时，有

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} \leqslant {\beta ^{ - 1}}\left\{ {(\tau + \varepsilon ) {{\left[ {\beta \left( {\frac{2}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }} \right\}$

(16)

当 ${\lambda _n} > H$ 时，有 $\dfrac{2}{\sigma } \leqslant {\alpha ^{ - 1}}\left[ {\dfrac{{\alpha ({\lambda _n}) }}{{L + \varepsilon }}} \right]$ 。从而

$ \ln \left| {{X_n}} \right|{{\rm{e}}^{ - {\lambda _n}\sigma }} < \frac{{{\lambda _n}}}{2}(\sigma - \sigma ) = 0 $

所以对任意 $n > N(\varepsilon ) $ ，式(16)成立，因此对于任意的 $\omega \in \varOmega ,{\text{ }}{\rm{a}}.{\rm{s}}.$ ，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} \leqslant \tau $

下证等式成立。由Newton多边形作法和引理5(3)可知，存在级数式(5)，满足

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta (\ln M(\sigma ,\overline g) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} = \mathop {{\lim \sup }}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\beta (\ln M(\sigma ,g) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} = \tau $

再选取序列 $\{ \sigma \} $ 的子列 $\{ {\sigma _l}\} $ ，使得

$ \mathop {{\text{lim}}}\limits_{l \to + \infty } \frac{{\beta (\ln M({\sigma _l},\overline g) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{{{\sigma _l}}}} \right) } \right]}^\rho }}} = \tau $

(17)

并记 $n({\sigma _l}) = {n_l}$ ，记

$ F = \left\{ {\omega :\mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} < \tau } \right\}$

$ {F_\varepsilon } = \left\{ {\omega :\mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} < \tau - \varepsilon } \right\}$

于是， $ F = \bigcup\limits_{\varepsilon > 0} {{F_\varepsilon }} $ 。

若 $\mathbb{P}(F) > 0$ ，则存在 ${\varepsilon _0} > 0$ ，使得 $\mathbb{P}({F_{{\varepsilon _0}}}) > 0$ 成立，即对于任意的 $\omega \in {F_{{\varepsilon _0}}}$ ，有

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{\sigma \to {0^ + }} \frac{{\beta \left( {\ln m(\sigma ,{f_\omega }) } \right) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{\sigma }} \right) } \right]}^\rho }}} < \tau - {\varepsilon _0} $

此外，由式(8)可知，存在 ${\varOmega _0}$ 满足 $\mathbb{P}({{{\varOmega }}_0}) = 0$ ，使得对任意的 $\omega \in {{(\varOmega }} - {{{\varOmega }}_0}) $ ，有

$ \omega \in \{ |{X_{{n_l}}}{\text{|}} \geqslant \frac{d_1}{2}{b_{{n_l}}},{\rm{i}}.{\rm{o}}.\} $

且由 $\mathbb{P}({F_{{\varepsilon _0}}}) > 0$ 得， ${{(\varOmega }} - {{{\varOmega }}_0}) \cap {F_{{m_0}}} \ne \phi $ 。从而存在 ${\omega _0} \in ({{\varOmega }} - {{{\varOmega }}_0}) \cap {F_{{m_0}}}$ ，对序列 $\{ {X_{{n_l}}}{\text{(}}{\omega _0}{\text{) }}\} $ 存在的子列，不妨仍记为 $\{ {X_{{n_l}}}{\text{(}}{\omega _0}{\text{) }}\}$ ，满足

$ \left| {{{\text{X}}_{{n_l}}}({\omega _0}) } \right| \geqslant \frac{d_1}{2}{b_{{n_l}}} $

从而

$ \frac{d_1}{2}m{\text{(}}{s_l}{\text{,}}\overline g{\text{) = }}\frac{d_1}{{\text{2}}}{b_{{n_l}}}{{\text{e}}^{-{\lambda _{{n_l}}}{s_l}}} \leqslant \left| {{X_{{n_l}}}({\omega _0}) } \right|{{\text{e}}^{-{\lambda _{{n_l}}}{s_l}}} \leqslant m({\sigma _l},{f_{{\omega _0}}}) $

即

$ {\text{ln}}m{\text{(}}{{\text{s}}_l}{\text{,}}\overline g{\text{) < }}{\beta ^{ - 1}}\left\{ {(\tau - {\varepsilon _0}) {{\left[ {\beta \left( {\frac{1}{{{\sigma _l}}}} \right) } \right]}^\rho }} \right\} $

因此

$ \mathop {{\lim \sup }}\limits_{l \to + \infty } \frac{{\beta (\ln M({\sigma _l},\overline g) ) }}{{{{\left[ {\beta \left( {\dfrac{1}{{{\sigma _l}}}} \right) } \right]}^\rho }}} < \tau $

与式(17)矛盾。证毕。