永磁同步电机(Permanent Magnetic Synchronous Motor, PMSM)具有可靠、高效、损耗小等优点，在许多工业应用中起着至关重要的作用。然而，在传统线性控制方法下，很难满足PMSM系统的控制性能要求。原因在于，传统控制方法难以处理外部扰动、参数扰动和非线性动力等不确定性问题^[1-5]。因此，越来越多的研究学者开始关注PMSM的非线性控制策略，进而提出了很多控制方法，如模糊控制^[6]、鲁棒控制^[7]、自适应控制^[8]、滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)^[9-13]等。

在这些方法中，滑模控制因其较强的抗干扰能力而广受关注。其主要优点是，当系统的状态轨迹进入滑动阶段时，它可以有效地抑制参数扰动和外部扰动的影响。为了进一步提高电机的性能，文献[14]提出了一种积分滑模控制(Integral Sliding-mode Control，ISMC)，并将其用于PMSM的速度调节。虽与SMC相比，ISMC提高了系统的动态响应性能，但ISMC也存在不连续控制项，这导致了抖振现象，并限制了系统的性能。为了有效地抑制抖振，文献[15]提出了一种连续螺旋算法。该算法可以使系统状态在有限时间内稳定到原点，并显著地减少系统的抖振，但控制器的高开关增益会影响系统性能。于是在文献[16]中提出了一种新型ESO，解决了控制器的高开关增益问题，并且在一定程度上提高了PMSM的控制精度与鲁棒性。

为了综合地解决上述PMSM存在的抖振以及控制器增益过大的一系列问题，本文在文献[14-17]的基础上提出了一种基于ESO的连续螺旋滑模控制(CTSMC)方法。本文的主要贡献可以概括为两个方面。一方面是针对期望速度和实际速度之间的误差过大的问题，提出CTSMC。与比例积分(Proportional Integral，PI)控制相比，该控制可以将误差收敛到一定的区域，从而确保PMSM调速系统具有很强的跟踪性能^[18-20]。另一方面是针对CTSMC的高开关增益会带来较差动态性能的问题，提出了一种ESO来估计系统的扰动，从而避免了上述的问题，并且进一步增强了系统的鲁棒性^[21-24]。

1 PMSM矢量控制数学模型

PMSM控制性能的好坏取决于是否可以精确控制电磁转矩，控制电磁转矩的关键是对d、q轴电流(即 $ {i_d} $ 和 $ {i_q} $ )的控制，矢量控制就是对这两个量进行控制。目前传统的矢量控制常见的方法有 $ {i_d} = 0 $ 控制和最大转矩电流比控制^[25-27]。基于 $ {i_d} = 0 $ 永磁同步电机矢量控制过程如图1所示。

PMSM在d、q坐标系下的数学模型可以表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot i}_d} = - \dfrac{{{R_{\text{s}}}}}{{{L_{\text{s}}}}}{i_d} + {n_{\text{p}}}\omega {i_q} + \dfrac{{{u_d}}}{{{L_{\text{s}}}}}} \\\\ {{{\dot i}_q} = - \dfrac{{{R_{\text{s}}}}}{{{L_{\text{s}}}}}{i_q} - {n_{\text{p}}}\omega {i_d} + \dfrac{{{u_q}}}{{{L_{\text{s}}}}} - \dfrac{{{n_{\rm{p}}}{\phi _{\rm{f}}}}}{{{L_{\text{s}}}}}} \\\\ {\dot \omega = \dfrac{{1.5{n_{\text{p}}}{\phi _{\text{f}}}}}{J}{i_q} - \dfrac{B}{J}\omega - \dfrac{{{T_{\text{L}}}}}{J}} \end{array}} \right. $

(1)

式中： $ {u_d} $ 、 $ {u_q} $ 分别为d、q轴电压； $ {\phi _{\text{f}}} $ 为电机的磁链； $ {i_d} $ 、 $ {i_q} $ 分别为d、q轴电流； $ \omega $ 为电角速度； $ {R_{\text{s}}} $ 为定子电阻； $ {T_{\text{L}}} $ 为负载转矩；J为转动惯量；B为摩擦系数； $ {L_{\text{s}}} $ 为定子电感； $ {n_{\text{p}}} $ 为极对数。

2 PMSM转速环控制器设计

从以上分析可以看出，状态模型是控制设计的基础。传统PMSM的速度调节器使用速度PI控制器来产生相应的参考电流。然而，当负载发生突变以及内部参数发生扰动时，PI控制器的性能并不理想^[28-29]。SMC具有对外部干扰和参数扰动不敏感、强鲁棒性和快速响应等优点。因此，提出了一种CTSMC，能够为PMSM的调速提供快速准确的参考输入。此外，CTSMC还可以进一步提高系统的性能和收敛速度。

2.1 CTSMC设计

PMSM系统的主要控制目标是在有负载扰动的情况下提高系统的跟踪精度。将调速系统的跟踪误差定义为

$ {x_1} = \omega - {\omega _{\text{r}}} $

(2)

式中： $ {\omega _{\text{r}}} $ 为参考角速度。

由式(1)~(2)得

$ {x_2} = {\dot x_1} = \dot \omega - {\dot \omega _{\text{r}}} = bu + d(t) $

(3)

式中： $b = \dfrac{{{k_{\text{t}}}}}{J}$ ， $ {k_{\text{t}}} = 1.5n{}_{\text{p}}{\phi _{\text{f}}} $ ，u为参考电流 $ i_q^ * $ ， $d(t) = - \dfrac{{{T_{\text{L}}}}}{J} - {\dot \omega _{\text{r}}}$ 为总扰动。

假设1 　系统(3)中的总干扰 $ d(t) $ 是可微的，并且存在一个正常数 $ {D_{\max }} $ ，使得 $| {\dot d(t)} | \leqslant {D_{\max }}$ 。

对于PMSM的调速系统(3)，设计了一个连续螺旋控制器，表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = - {\lambda _1}{\lfloor {{x_1}} \rfloor ^{1/3}}- {\lambda _2}{{\lfloor {{x_2}} \rfloor }^{1/2}} + \xi } \\\\ {\dot \xi = - {\lambda _3}{{\lfloor {{x_1}} \rfloor }^0} - {\lambda _4}{{\lfloor {{x_2}} \rfloor }^0}} \end{array}} \right. $

(4)

式中： $ {\lambda _1} $ 、 $ {\lambda _2} $ 、 $ {\lambda _3} $ 和 $ {\lambda _4} $ 均为正常数，对于任意的 $ x \in R $ 和 $ m > 0 $ 都有 ${\lfloor x \rfloor ^m} = {| m |^m}{\text{sign}}(x)$ 。式(4)中的第二个方程具有螺旋控制器的结构，其目的是阻止Lipschitz扰动的导数。

为了简化稳定性分析，定义虚拟状态为

$ {x_3} = \xi + d(t) $

(5)

基于新的状态 $ {x_3} $ ，对式(3)~(4)进行重新构造，得到式(6)的形式。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = {x_2}} \\\\ {{{\dot x}_2} = - {\lambda _1}{{\lfloor {{x_1}} \rfloor }^{1/3}} - {\lambda _2}{{\lfloor {{x_2}} \rfloor }^{1/2}} + {x_3}} \\\\ {{{\dot x}_3} = - {\lambda _3}{{\lfloor {{x_1}} \rfloor }^0} - {\lambda _4}{{\lfloor {{x_2}} \rfloor }^0} + \dot d(t)} \end{array}} \right. $

(6)

定理1可以确保控制器(4)在有限时间内将 $ d(t) = 0 $ 时系统(6)的状态 $ {\boldsymbol{x}} = ({x_1},x{}_2,{x_3}) $ 收敛到0。

定理1 　系统(6)在无扰动状态( $ d(t) = 0 $ )下，如果选择合适的增益 $ {\lambda _1} $ 、 $ {\lambda _2} $ 、 $ {\lambda _3} $ 和 $ {\lambda _4} $ ，则状态向量x将在有限时间内收敛到0。

证明 　当 $ d(t) = 0 $ 时，使用Lyapunov函数(7)来证明系统(6)的状态在有限时间内收敛到0。

$ \begin{split} V\left( {\boldsymbol{x}} \right) =& {k_1}{| {{x_1}} |^{3/5}} + {k_2}{x_1}{x_2} + {k_3}{| {{x_2}} |^{2/5}} + \\\\ & {k_4}{x_1}{\lfloor {{x_3}} \rfloor ^2} - {k_5}{x_2}x_3^3 + {k_6}{| {{x_3}} |^5} \\ \end{split} $

(7)

沿着系统(6)，对(7)求导为

$ \begin{split} W\left( {\boldsymbol{x}} \right) = & {a_1}{| {{x_1}} |^{4/3}} + {a_2}{x_1}{\lfloor {{x_2}} \rfloor ^{1/2}} - {a_3}{x_1}^{2/3} + \\\\ &{a_4}{x_1}^{1/3}{\lfloor {{x_2}} \rfloor ^{3/2}} + {a_5}{| {{x_2}} |^2} - {a_6}{x_1}{x_3} + \\\\ &{a_7}| {{x_1}}|| {{x_3}} | + {a_8}{x_1}{\lfloor {{x_2}} \rfloor ^0}{| {{x_3}} |^2} - \\\\ &{a_9}{\lfloor {{x_2}} \rfloor ^{3/2}}{x_3} - {a_{10}}{x_2}{\lfloor {{x_3}} \rfloor ^2} - \\\\ &{a_{11}}{\lfloor {{x_1}} \rfloor ^0}{x_2}{| {{x_3}} |^2} - {a_{12}}| {{x_2}} |{| {{x_3}} |^2} - \\\\ &{a_{13}}{\lfloor {{x_1}} \rfloor ^{1/3}}{\lfloor {{x_3}} \rfloor ^3} - {a_{14}}{\lfloor {{x_2}} \rfloor ^{1/2}}{\lfloor {{x_3}} \rfloor ^3} + \\ \\ &{a_{15}}{| {{x_3}} |^4} + {a_{16}}{\lfloor {{x_1}} \rfloor ^0}{\lfloor {{x_3}} \rfloor ^4} + \\\\ &{a_{17}}{\lfloor {{x_2}} \rfloor ^0}{\lfloor {{x_3}} \rfloor ^4} \end{split} $

(8)

式中：

$ \dot V\left( {\boldsymbol{x}} \right) = - W({\boldsymbol{x}}) $

(9)

$ \begin{split} & {\alpha _1} = {k_2}{\lambda _1},{\alpha _2} = {k_2}{\lambda _2},{\alpha _3} = \frac{{5{k_1}}}{3},{\alpha _4} = \frac{{5{k_3}{\lambda _1}}}{2} \hfill \\ & {\alpha _5} = \frac{{5{k_3}{\lambda _2}}}{{2 - {k_2}}},{\alpha _6} = {k_2},{\alpha _7} = 2{k_4}{\lambda _3},{\alpha _8} = 2{k_4}{\lambda _4} \hfill \\ & {\alpha _9} = \frac{{5{k_3}}}{2},{\alpha _{10}} = {k_4}{\alpha _{11}} = 3{k_5}{\lambda _3},{\alpha _{12}} = 3{k_5}{\lambda _4} \hfill \\ & {\alpha _{13}} = {k_5}{\lambda _1},{\alpha _{14}} = {k_5}{\lambda _2},{\alpha _{15}} = {k_5},{\alpha _{16}} = 5{k_6}{\lambda _3} \hfill \\ & {\alpha _{17}} = 5{k_6}{\lambda _4} \hfill \\ \end{split} $

(10)

下文使用文献[12]中提出的Pólya’s定理来确定参数 ${k_i}(i = 1,\cdots,6)$ 和增益 $ {\lambda _1} $ 、 $ {\lambda _2} $ 、 $ {\lambda _3} $ 和 $ {\lambda _4} $ 的值，得到的Lyapunov函数(7)是正定的，且其导数(8)是负定的。

引理1 　Pólya’s Theorem ：令 $ F:{R_n} \to R $ 是多项式形式，并且 $P = ({y_1},\cdots, {y_n})|{{{y}}_i} \geqslant 0,{\boldsymbol{y}} \ne 0$ 。如果F在P上是齐次正定的，则存在一个足够大的P，使得 $ Q({\boldsymbol{y}}) $ 的系数均为正数，其中

$ Q\left( {\boldsymbol{y}} \right) = {\left( {{y_1} + {y_2} + \cdots + {y_n}} \right)^P}F({\boldsymbol{y}}) $

(11)

通过以上定理允许找到关于F的系数条件，使得它是正定的。可以将Pólya’s定理应用于式(7)~(8)，但首先必须用 $ {R^3} $ 的每个1/8为一组的形式来表示这些函数。因此，得到了齐次形式的 $ {V_j}({\boldsymbol{y}}) $ 和 $ {W_j}({\boldsymbol{y}}) $ ，它们在每个1/8 $j(j = 1,\cdots,8)$ 中，都具有相同的 $ V({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ W({\boldsymbol{x}}) = - \dot V({\boldsymbol{x}}) $ 。例如，对于第一个1/8， $ {x_1} $ 、 $ {x_2} $ 、 $ {x_3} $ 可以通过式(12)的坐标变换来实现。

$ y_1^3 = | {{x_1}} |,y_2^2 = | {{x_2}} |,{y_3} = | {{x_3}} |,{\boldsymbol{y}} = ( {{y_1}{\text{,}}{y_2}{\text{,}}{y_3}} ) $

(12)

将式(12)分别应用在式(7)和式(9)上，可以得到第1个1/8的 $ V({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ W({\boldsymbol{x}}) $ 的值。

$ {V_1}( {\boldsymbol{y}} ) = {k_1}y_1^5 + {k_2}y_1^3y_2^2 + {k_3}y_2^5 + {k_4}y_1^3y_3^2 - {k_5}y_2^2y_3^3 + {k_6}y_3^5 $

(13)

$ \begin{split} {W_1}\left( {\boldsymbol{y}} \right) =& {\alpha _1}y_1^4 + {\alpha _2}y_1^3{y_2} - {\alpha _3}y_1^2y_2^2 + {\alpha _4}{y_1}y_2^3 + {\alpha _5}y_2^4 - \\\\ & \left( {{\alpha _6} - {\alpha _7} - {\alpha _8}} \right)y_1^3{y_3} - {\alpha _{13}}{y_1}y_3^3 - {\alpha _9}y_2^3{y_3} - \\\\ & \left( {{\alpha _{10}} + {\alpha _{11}} + {\alpha _{12}}} \right)y_2^2y_3^2 - {\alpha _{14}}{y_2}y_3^3 + \\\\ & \left( {{\alpha _{15}} + {\alpha _{16}} + {\alpha _{17}}} \right)y_3^4 \\ \end{split} $

(14)

在第1个1/8中 $ {y_1} > 0 $ ， $ {y_2} > 0 $ ， $ {y_3} > 0 $ 。将引理1应用于P的某些值的 $ {V_1}({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ {W_1}({\boldsymbol{y}}) $ 上，将得到关于 $ V({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ \dot V({\boldsymbol{x}}) $ 的系数 $ {k_i} $ 和 $ {\alpha _j} $ 的一组线性不等式，它们足以使 $ {V_1}({\boldsymbol{y}}) $ 和 $ {W_1}({\boldsymbol{y}}) $ 在引理的集合P中是正定的。

每一个1/8都使用以上的方法，结果会得到一组关于 $ V({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ \dot V({\boldsymbol{x}}) $ 的系数 $ {k_i} $ 和 $ {\alpha _j} $ 的线性不等式，这些不等式足以使 $ V({\boldsymbol{x}}) $ 正定和 $ \dot V({\boldsymbol{x}}) $ 负定。注意，由于系数 $ {\alpha _j} $ 在系数 $ {k_i} $ 中是线性的，在增益 $ {\lambda _i} $ 中也是线性的，因此不等式组在 $ {k_i} $ 和 $ {\lambda _i} $ 中是双线性的。由于不等式组太大，所以不在文中详细写出，但可以使用求解线性不等式的标准运算迭代求解。

例如，通过求解不等式，可以证明一组系数 $ {k_i} $ 和增益 $ {\lambda _i} $ 呈现的 $ V({\boldsymbol{x}}) $ ，具体步骤为

$\left\{ \begin{array}{l} {k_1} = 0.85,{k_2} = 0.377,{k_3} = 0.571\;1 \hfill \\ {k_4} = - 0.829\;2,{k_5} = 0.866\;8,{k_6} = 0.341\;42 \hfill \\ \end{array} \right. $

(15)

$ {\lambda _1} = 0.967\;5,{\lambda _2} = 1.407\;2,{\lambda _3} = 0.008\;4,{\lambda _4} = 0.004\;6 $

(16)

注意， $ V({\boldsymbol{x}}) $ 是5阶齐次的，权重为[3，2，1]，而 $ \dot V({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ W({\boldsymbol{x}}) $ 是4阶齐次的。这意味着函数

$ \varphi \left({\boldsymbol{ x }}\right) = \frac{{W\left( {\boldsymbol{x}} \right)}}{{{V^{4{\text{/}}5}}\left( {\boldsymbol{x}} \right)}} $

(17)

是0阶齐次的，对于每个 $ \lambda \geqslant 0 $ ，都有

$ \varphi ( {{\lambda ^3}{x_1},{\lambda ^2}{x_2},\lambda {x_3}} ) = {\lambda ^0}\frac{{W\left( {\boldsymbol{x}} \right)}}{{{V^{4/5}}\left( {\boldsymbol{x}} \right)}} = \varphi \left( {\boldsymbol{x}} \right) $

(18)

也就是说 $ \varphi ({\boldsymbol{x}}) $ 的所有值都是在 $ {R^3} $ 的单位球面 $S = \left\{ {{\boldsymbol{x}} \in {R^3}|\left\| {\boldsymbol{x}} \right\| = 1} \right\}$ 上得到的。因为 $ W({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ V({\boldsymbol{x}}) $ 是正定的，所以函数 $ \varphi ({\boldsymbol{x}}) $ 可以在单位球面S上有界，因此全局有界，可以表达为

$ 0 < {{\boldsymbol{x}}}_{\mathrm{min}} \leqslant \varphi \left({\boldsymbol{x}}\right)=\frac{W\left({\boldsymbol{x}}\right)}{{V}^{4\text{/}5}\left({\boldsymbol{x}}\right)}=-\frac{\dot{V}\left({\boldsymbol{x}}\right)}{{V}^{4\text{/}5}\left({\boldsymbol{x}}\right)} \leqslant {{\boldsymbol{x}}}_{\mathrm{max}} $

(19)

因此，可得到

$ \dot{V}\left({\boldsymbol{x}}\right) \leqslant -{{\boldsymbol{x}}}_{\mathrm{min}}{V}^{4/5}\left({\boldsymbol{x}}\right) $

(20)

从不等式(20)中，能得出系统(6)的轨迹可以在有限时间内收敛到0。

当 $ d(t) \ne 0 $ 时，Lyapunov函数(7)沿系统(6)的轨迹求导，可以得到

$ {{\dot V}_1} = - W({\boldsymbol{x}}) + U({\boldsymbol{x}})\dot d(t) = - (1 - \frac{{U({\boldsymbol{x}})}}{{W({\boldsymbol{x}})}} \dot d (t))W({\boldsymbol{x}}) $

(21)

式中：

$ U({\boldsymbol{x}}) = 2{k_4}{x_1}\left| {{x_3}} \right| - 3{k_5}{x_2}{\left| {{x_3}} \right|^2} - 5{k_6}{\left\lfloor {{x_3}} \right\rfloor ^4} $

(22)

因为 $ W({\boldsymbol{x}}) $ 和 $ U({\boldsymbol{x}}) $ 是4阶齐次的，并且 $ W({\boldsymbol{x}}) $ 是正定的，所以 $\dfrac{{U({\boldsymbol{x}})}}{{W({\boldsymbol{x}})}}$ 是0阶齐次的，它的所有值都可以在单位球面S上取得，即单位球面上有一个最大值

$ 0 < \tau = \mathop {\max }\limits_S \frac{{U({\boldsymbol{x}})}}{{W({\boldsymbol{x}})}} $

(23)

式(23)中的不等式 $ \tau > 0 $ 为 $ U({\boldsymbol{x}}) $ 取正值时的结果。如果 $d(t) < \dfrac{1}{\tau }$ ，那么意味着 $ {\dot V_1} $ 是负定的，结论如下。

如果扰动界 $ d(t) $ 是已知的，那么式(24)的比例由CTSMC的增益 $\mu$ 决定

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = - {\mu ^{2/3}}{\lambda _1}{{\left\lfloor {{x_1}} \right\rfloor }^{1/3}} - {\mu ^{1/2}}{\lambda _2}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^{1/2}} + \xi } \\\\ {\dot \xi = - \mu ({\lambda _3}{{\left\lfloor {{x_1}} \right\rfloor }^0} + {\lambda _4}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^0})} \end{array}} \right. $

(24)

基于式(3)和式(5)，可将式(24)重写为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = {x_2}} \\\\ {{{\dot x}_2} = - {\mu ^{2/3}}{\lambda _1}{{\left\lfloor {{x_1}} \right\rfloor }^{1/3}} - {\mu ^{1/2}}{\lambda _2}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^{1/2}} + {x_3}} \\\\ {{{\dot x}_3} = - \mu ({\lambda _3}{{\left\lfloor {{x_1}} \right\rfloor }^0} + {\lambda _4}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^0}) + \dot d(t)} \end{array}} \right. $

(25)

尽管Lipschitz扰动满足假设1，但系统(25)可以在有限时间内稳定。

定理2 　如果增益 $ {\lambda _1} $ 、 $ {\lambda _2} $ 、 $ {\lambda _3} $ 和 $ {\lambda _4} $ 使得系统(6)的原点对于满足假设1中 $ {D_{\max }} $ 的扰动是有限时间稳定的，那么系统(25)的原点对于每个大小为 $\mu {D_{\max }}$ 的扰动都是有限时间稳定的。

证明 　考虑以下坐标变换

$ {\eta _1} = \frac{{{x_1}}}{\mu },{\eta _2} = \frac{{{x_2}}}{\mu },{\eta _3} = \frac{{{x_3}}}{\mu } $

系统(25)在新坐标 $ \eta $ 的作用下，可以得到新的形式为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot \eta }_1} = {\eta _2}} \\\\ {{{\dot \eta }_2} = - {\lambda _1}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^{1/3}} - {\lambda _2}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^{1/2}} + {\eta _3}} \\\\ {{{\dot \eta }_3} = - {\lambda _3}{{\left\lfloor {{x_1}} \right\rfloor }^0} - {\lambda _4}{{\left\lfloor {{x_2}} \right\rfloor }^0} + \dot d(t)/t} \end{array}} \right. $

根据此表达式可以证明定理2。

2.2 基于ESO的转速环复合控制器设计

为了提高系统的抗干扰能力和收敛速度，在速度系统中设计了一个观测器。在本节中，首先建立了一个ESO，用来估计PMSM调速系统的扰动。然后，将CTSMC与ESO的估计值相结合，构成复合控制器。

首先，对转速环设计二阶ESO，可表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{e_1} = {{z}_1} - \omega } \\\\ {{{{\dot z}}_1} = {z_2} - {\mu _1}{\rm{fal}}(e,a,\delta )} \\\\ {{{\dot z}_2} = - {\mu _2}{\rm{fal}}(e,a,\delta )} \end{array}} \right. $

(26)

式中： $ {z_1} $ 为系统中转速的跟踪信号， $ {z_2} $ 为系统中扰动的跟踪实时估计， $ {e_1} $ 为转速信号的误差， ${\mu _1}$ 、 ${\mu _2}$ 为ESO输出误差增益的校正。非线性函数fal()的数学表达式为

$ {\text{fal}}(e,a,\delta ) = \left\{ \begin{split} & {{{\left| e \right|}^a}{\text{sign}}(e),\left| e \right| > \delta } \\ \\ & {\dfrac{e}{{{\delta ^{1 - a}}}},\left| e \right| \leqslant \delta } \end{split} \right. $

(27)

式中：

$ {\text{sign}}(e) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;\;\;\;\;e > 0} \\ \\ {0,\;\;\;\;\;e = 0} \\ \\ { - 1,\;\;e < 0} \end{array}} \right. $

然后，结合之前构建的CTSMC，得到复合控制器。

综上所述，基于ESO的永磁同步电机CTSMC控制原理图如图2所示。

3 仿真与实验

为了证明所提出控制器的有效性，在永磁同步电机系统上完成了PI控制器和CTSMC的仿真和实验。该平台采用的是型号为130ST-M10015的三相电机和RTU-BOX204实时数字控制器。系统参数如表1所示。

3.1 仿真结果

本文采用 $ {i_d} = 0 $ 的矢量控制，为了公平，可以任意调整所提出控制器的参数，以实现其最佳性能。CTSMC的开关增益选择为 $ { \lambda _1} = 3.5 $ 、 $ { \lambda _2} = 0.5 $ 、 $ { \lambda _3} = 0.23 $ 和 $ { \lambda _4} = 0.11 $ 。此外，无论在速度回路中使用哪种控制器，仿真中两个电流回路的PI控制器参数都是相同的。比例和积分增益分别为20和1 500。参考转速为500 r/min。为了验证所提出控制器的抗干扰性能，本文考虑了负载转矩变化(2.4 N·m)。3种控制方法在负载突变情况下的仿真结果如图3~5所示。从图3~4中可以看出，PI控制器的抗超调能力比CTSMC的差，且CTSMC控制策略在稳定性和抗干扰性能方面优于PI方法。此外，在CTSMC+ESO控制下，电机明显具有更好的抗负载性能。从图5中可以看出，在起动阶段，与CTSMC相比PI控制器的启动电流明显过大。

3.2 实验结果

为了进一步研究CTSMC+ESO控制器的有效性，进行了一些实时实验。将ESO和CTSMC应用于PMSM的调速问题以提高系统性能。电流回路的PI控制器的参数同步选择为比例增益0.05和积分增益3000。此外，控制器的参数与仿真中的参数相同。

首先比较了PI控制器和CTSMC的系统性能。两者的参数与仿真中的参数相同。电机在500 r/min的转速并且无负载的条件下，实验结果如图6~7所示。从图6~7可以看出，CTSMC无论在转速还是电流上都表现出更小的超调量和更好的抗干扰性能。

为了验证加了ESO系统后的性能，对PI控制器、CTSMC和ESO+CTSMC在突加负载下的系统性能进行了比较。从图8~10中可以看出，当添加干扰负载时，可以观察到CTSMC下永磁同步电机系统的转速响应波动较小，并且虽然ESO+CTSMC具有较小的开关增益，但它的最大转速波动远小于CTSMC的最大转速波动。此外，可以很容易地观察到，CTSMC以及ESO+CTSMC下的a相电流和q轴电流波动有所减小。

4 结论

本文介绍了一种基于ESO的复合连续螺旋滑模控制方案在永磁同步电机系统中的应用。首先在转速环部分采用CTSMC方法，提高了负载扰动的鲁棒性，有效减少了系统的抖振。其次，在此控制器的基础上加入ESO，利用CTSMC和ESO的前馈补偿构造复合控制器，可以避免开关增益过高导致的动态性能不理想问题。最后，仿真和实验结果都验证了CTSMC+ESO控制器的有效性。未来的工作可以在控制器设计中采用自适应连续螺旋控制算法，使控制器自动地调节增益。