热声发动机是利用热声效应将热能转化成机械能，由于其内部结构简单、无运动部件、运行可靠性高，与传统的斯特林发动机相比具有制造成本较低、环境友好等优点^[1]，是一种新型热功转换装置，在太阳能、地热、工业废热等低品位热能利用上具有巨大潜力。而行波热声发动机是一种以热声斯特林循环为基础的可逆循环，理论上可以实现高效的热声转换，并且可以与传统的内燃机相媲美^[2-3]。而早期的热声发动机是以驻波为主，由于其热力学循环是不可逆性的，故而无法实现较高的热效率。随后Ceperley^[4]提出了一种行波型热声发动机，是基于可逆的热力学循环，实现高效热回收效率。Yazaki等^[5]根据ceperley的想法，搭建了一台单级环路行波热声发动机，并且可以成功观察到声波震荡现象。荷兰科学家De Blok^[6-7]提出了多级行波热声发动机的想法，通过在发动机中设置多个热声单元，可以在较低的温度下获得更多的声功，为热声发动机在低温的条件下提供新方向。Yu等^[8]成功地搭建了一台单级行波热声热机发电系统，并在环路中加入一支旁支管来调节相位，获得1.4%的热电转换效率。Kang等^[9]利用热声编码软件对一台双级行波热声发电机进行了数值模拟计算，该双级行波热声发电机将扬声器作为一种声−电转换器，并在环形管路中添加谐振支管的结构，从而调整双级行波热声发电机的工作特性。浙江大学杨睿等^[10]通过研究阻性管对单级行波热声发动机环路的影响，利用deltaEC(Design Environment for Low-amplitude ThermoAcoustic Energy Conversion)软件得出在特定的位置下加入阻性管可以调节相位，有利于消除环路的一些不利因素。Jin等^[11-12]通过利用阻性管和容性管针对单级环路行波热声发动机进行研究，并通过模拟和实验获得其起振特性与稳态工况，并获得了较低的起振温度和较高的声功。Kruse等^[13]通过数值模拟对容性腔和侧支管对比，综合阐述了两者在声场中的区别与共同点，从根本上分析其作用。

本课题组通过热声模拟软件deltaEC构建出一个双级行波热声环路系统的数值模型，成功获得了系统内声场、声功流及总能流的沿程分布规律，探究了热声各部件参数对净声功、输入功率、热效率及压比的影响^[14-15]。本文将通过对双级行波热声发动机进行数值模拟，探究变径管不同内直径、长度、位置对热声热机单元性能的影响。

1 系统结构

本文的双级行波热声发动机由2个热声单元所组成，在谐振管中对称加入2根变径管。此双级行波热声发动机为中心对称结构，如图1所示。

每个热声单元由冷端换热器、回热器、热端换热器、热缓冲管、锥形管所组成。图1结构中省略其他结构，又因为是中心对称，故只画出其中单侧变径管的位置。每个单元的结构尺寸如表1所示。

2 计算模型

本文利用DeltaEC 6.2热声计算模拟软件。此软件是基于经典线性热声学理论，根据自身的实验平台，在模拟软件中调用相应的模块以及部分进出口参数，根据一维线性热声波动方程进行数值计算，在此过程中需设置猜测值和目标值，并利用打靶法求解。根据经典线性热声波动方程理论，其控制方程为^[16]

$\frac{{{\rm{d}}{p_1}}}{{{\rm{d}}x}} = - \frac{{{\rm{i}}\omega {\rho _{\rm{m}}}}}{{1 - {f_{\rm{v}}}}}\frac{{{U_1}}}{A}$

(1)

$ \begin{split} \frac{{{\rm{d}}{U_1}}}{{{\rm{d}}x}} = & - \frac{{{\rm{i}}\omega A}}{{\gamma {p_{\rm{m}}}}}\left[ {1 + \frac{{(\gamma - 1){f_{\rm{k}}}}}{{1 + \xi }}} \right]{p_1} + \\& \frac{{{f_{\rm{k}}} - {f_{\rm{v}}}}}{{(1 - {f_{\rm{v}}})(1 - \sigma )(1 + \xi )}}\frac{{{U_1}}}{{{T_{\rm{m}}}}}\frac{{{\rm{d}}{T_{\rm{m}}}}}{{{\rm{d}} x}} \end{split} $

(2)

$\frac{{{\rm{d}}\mathop {\dot{H_2}} }}{{{\rm{d}}x}} ={\dot {q }} $

(3)

$ \begin{split} {\dot H _2} = & \frac{1}{2}{\rm{Re}} \left[ {{p_1}{U_1}(1 - \frac{{{f_{\rm{k}}} - {f_{\rm{v}}}}}{{(1 - {f_{\rm{v}}})(1 - \sigma )(1 + \xi )}})} \right] + \\& \frac{{{\rho _{\rm{m}}}{c_{\rm{p}}}{{\left| {{U_1}} \right|}^2}}}{{2A\omega (1 - \sigma ){{\left| {1 - {f_{\rm{v}}}} \right|}^2}}}\frac{{{\rm{d}}{T_{\rm{m}}}}}{{{\rm{d}}x}} \times \\& {\rm{Im}} \left[ {{f_{\rm{v}}} + \dfrac{{({f_{\rm{k}}} - {f_{\rm{v}}})\left(1 + \xi \dfrac{{{f_{\rm{v}}}}}{{{f_{\rm{k}}}}}\right)}}{{(1 + \xi )(1 - \sigma )}}} \right] - (Ak + {A_{\rm{s}}}{k_{\rm{s}}})\frac{{{\rm{d}}{T_{\rm{m}}}}}{{{\rm{d}}x}} \end{split} $

(4)

$\frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}x}} = - \frac{{{r_{\rm{v}}}}}{2}\left| {{U_1}} \right| - \frac{1}{{2{r_{\rm{k}}}}}{\left| {{p_1}} \right|^2} + \frac{1}{2}{\rm{Re}} \left[ {g{{\tilde p}_1}{U_1}} \right]$

(5)

其中：

$ {r_{\rm{v}}} = \dfrac{{\omega {\rho _{\rm{m}}}}}{A}\dfrac{{{\rm{Im}} \left[ { - {f_{\rm{v}}}} \right]}}{{{{\left| {1 - {f_{\rm{v}}}} \right|}^2}}}$

${r_{\rm{k}}} = \frac{\gamma }{{\gamma - 1}}\frac{{{p_{\rm{m}}}}}{{\omega A{\rm{Im}} \left[ { - {f_{\rm{k}}}} \right]}}$

$g = \frac{{({f_{\rm{k}}} - {f_{\rm{v}}})}}{{(1 - {f_{\rm{v}}})(1 - \sigma )}}\frac{1}{{{T_{\rm{m}}}}}\frac{{{\rm{d}}T_{\rm{m}}}}{{{\rm{d}}x}}$

式(1)~(5)中：r_v、r_k和g分别为黏性阻力、热驰豫阻力和源项，p₁和U₁分别为压力振幅和体积流率， $\omega $ 是角频率，i为虚数符号，ρ_m、p_m、T_m分别为工质气体的平均密度、压力和温度，A为工质气体流经管道的截面积，c_p、σ、γ、k分别表示气体的定压比热容、普朗特数、比热比、热导率，ƒ_k与ƒ_v分别是分布函数与工质的物理性质与管道的几何参数有关，A_s和k_s表示固体流道的截面积与热导率，ξ是壁面热物理性质参数的修正系数，H₂和q分别表示总能流与单位长度加热量，“·”代表物理量随时间的变化率。

根据上述的内容，对于中心对称的双级双变径管的热声发动机而言，计算中其入口与出口的压力波动与体积流率的相位差为180°。本文只需对其一半进行模拟，并且下文的所有计算参数都是针对单个热声核结构，由于是中心对称结构，故只对其中一个热声热机单元进行模拟，亦可达到模拟整个环路的目的。

3 模拟结果与分析 3.1 无负载时变径管热声发动机的模拟结果分析

本节主要研究在无负载的情况下，变径管的内直径、长度、位置对双级行波热声发动机的系统性能影响。在此数值模拟计算中每个热端换热器将恒定为1 000 W，并采用氦气作为工作气体，工作频率约为150 Hz，主冷端换热器与次冷端换热器固定壁温为293.15 K。

3.1.1 无负载时变径管对两端换热器温差的影响

在其他参数相同时，通过改变变径管的长度、内直径和位置，探究变径管对双级行波热声发动机回热器温差的影响。

图2给出了在添加变径管后，变径管处的相位变化。在谐振管添加不同内直径的管子，可以有效地调节相位变化。随着变径管内直径不断增大，其压力相位逐渐变小，体积流率的相位则不断变大。这是因为在变径管处内直径不断变大，其截面积A也随之变大，那么结合热声理论波动方程(1)、(2)可知，谐振管处压力的变化率是与截面积A成反比，与体积流率成正比。所以当变径管处内直径不断增大时，压力相位逐渐变小，而体积流率相位不断变大。

在回热器中的相位变化从根本上影响着热声发动机的整体性能。在回热器中声波的产生可以用E=0.5|p₁||U₁|cos θ来表示，所以当热声发动机的自身损耗一定时，回热器中行波的成分越大，其单位长度产生的能量就越大，换言之其所需的热量也就越小。

从图3中可以看出，在不同位置中添加变径管，对系统温差也会产生不同的影响。例如在图2中可知，其无变径管时相位差为77°，那么通过添加内直径为7 cm的变径管可以有效地将相位差调节至69°，使其可以更加贴近于行波相位。而对于图3中的回热器高温差的现象，是因为不恰当地调节相位，使得回热器间的相位远离行波的相位，故而需要更大的热量才可以达到平衡状态。

而对于双级行波热声发动机来说，更低的稳定温度意味着可以使用的热源范围越大。通过在合适的位置上，加入变径管去调节其热声发动机回热器中的相位，使得回热器能够在更合适的相位中运行，从而降低温差，有利于热声发动机在工业余热、太阳能等低品位热源中发挥作用。

3.1.2 无负载时变径管对回热器能量产出的影响

在双级行波热声发动机中添加了变径管会使得回热器中的相位发生改变，在热声发动机系统损耗一定时，使得回热器的稳定温差发生变化。如图4中所示，在位置2中随着变径管内直径的增大，回热器的稳定温差下降。而从E=0.5|p₁||U₁|cos θ可知，由于回热器间相位θ趋向于0°，热声发动机系统损耗一定时，产生能量与损耗达到动态平衡，由于cos θ变大，那么|p₁|、|U₁|的值也会发生变化。而根据图4中亦可知随着内直径变大cos θ值变大，|p₁|逐渐变小。又因为变径管内直径变大，使得截面积A变大，故而导致|U₁|略微上升。若相反地采用内直径较小的变径管会使得cos θ值变小，从而|p₁|变大，又因为变径管截面积变小，故而|U₁|的值也随之变得更小。但是不合理地调节相位会使回热器的温度过高，从而使热声发动机产生的能量变小，导致|p₁|、|U₁|急速下降，进而影响回热器能量的产生。

图5给出了不同长度下各个位置的变径管对回热器产生能量的影响。从图中可知，在位置1、2处随着变径管内直径增大，回热器产生的能量也随之减少；位置4、5处回热器产生的能量则随着变径管内直径的增大而增大；而位置3处回热器产生的能量变化则较为平稳。这是因为不同的内直径会导致该处的相位发生改变，而又因为不同位置中的相位存在差异，所以在不同位置上需要采用不同的变径管，从而使得相位趋向于0。而回热器所产生的能量不仅受到|p₁|、|U₁|、cos θ的影响，过高的温度也会使其性能大幅下降，其相位远离行波，导致热声发动机整体温度上升，从而导致回热器中产生的能量大幅度下降。根据这一特点，可在合适的范围内使用一定长度的变径管，结合温度、|p₁|、|U₁|与相位的变化调节回热器的工作性能，并根据热声发动机实际使用的各种梯度的热源，使热声发动机可以在一个与热源温度所匹配的工作状态中产生更多的能量。

3.1.3 无负载时变径管对相对卡诺效率的影响

从以上论述可知，变径管通过改变其内直径大小来影响回热器中的相位、压力幅值、体积流率幅值等。而这些因素都会对热声发动机回热器中的稳定温度和产生的能量造成影响。那么可以在恒定功率的条件下结合两种因素，综合分析变径管对于双级行波热声发动机在无负载时的相对卡诺效率。相对卡诺效率是热效率与卡诺效率的比值，它是衡量热声热机性能的一个重要指标，能够综合地评价热声发动机的性能。

图6给出了在不同长度下，各个位置不同内直径变径管的相对卡诺效率变化。从图中可以看出，合适地添加变径管有利于提高双级行波热声发动机的相对卡诺效率。

而变径管在位置1、2、4、5中，利用变径管相位的调节，最高可以使得热声发动机的相对卡诺效率从59.4%上升至69.8%，而在位置3的变化则不太明显，这是因为位置3距离回热器较远，无法更好地调节回热器间的相位。而从不同长度的变径管来看，变径管的长度在5，10 cm处效率逐步上升，在5 cm处可能存在更高的卡诺效率，而在15 cm与20 cm时，不同内直径对相对卡诺效率的影响较大，在实际应用中难以实现精准调节。所以在实际应用中，可以选择一些较短的变径管，这更有利于达到最高的相对卡效率。

3.2 外接负载时变径管对双级热声发动机的影响 3.2.1 外接负载时变径管对换热器温差的影响

在双级行波热声发动机中加入负载，相对于无负载时热声系统的整体声场都会发生变化，而且外接负载可以更好地应用到实际。

从图7的模拟结果来看，换热器间的温差变化趋势与无负载时相若。但从温度变化的角度来看，变径管对于外接负载时热声发动机的影响较无负载时大。这是因为在外接负载时，热声发动机的整体阻抗较无负载时大，那么其可优化程度比无负载时广。那么利用合适的变径管可以更好地降低回热器间的温差。从模拟结果来看，最高可以使得回热器间的温差从428 K降至276 K，降低了35.66%。所以在应用中添加变径管可以更有利于低品位热源的使用。

3.2.2 外接负载时变径管对负载输出的影响

在外接负载的情况下，负载所消耗的能量与回热器所产生的能量息息相关。如前文所述，在不改变负载阻抗的前提下，变径管的位置与内直径大小会影响回热器产生的能量。

在热声发动机系统中加入负载，利用变径管的特性可以探究负载提取的能量变化。从图8可知，通过利用变径管改变回热器的相位、压力幅值、体积流率幅值并利用外接负载来模拟实际应用，探究在外接负载下变径管对热声发动机的作用。在外接负载的情况下，负载提取的能量变化与无负载时回热器产生能量的变化趋势一致，在位置1、2时，随着变径管的内直径减少，相同负载所提取的能量越多，而在位置4、5变径管的内直径逐渐增加，负载所提取的能量变小，在位置3处，随着变径管内直径变大，负载提取能量略微上升，但变化程度不大。而在15 cm与20 cm中，由于回热器的相位远离行波，导致热声发动机的整体性能下降，而过大的负载导致热声系统损失大量声能，以致无法高效地维持热声振荡，导致其所提取的能量也大幅下降。所以在外接负载时，需要结合负载的阻抗，添加合适长度的变径管，才能有利于提高负载输出。

3.3 deltaEC模型的可靠性分析

在本计算模型中，冷端换热器温度、平均压力、加热功率均设置为定值，各结构尺寸大小均与模型相若，利用双级行波热声实验台，针对本模型进行实验验证。表2列举了其中一个实验与模拟的值，并作出了相对误差分析。实验结果显示，此数值模型的模拟数据与实验值的相对误差均在10%以内。这是因为在实验中可能存在必不可少的摩擦损失、加热棒与热端换热器不充分接触等其他无法避免的因素所造成的误差。综上所述，此数值模型可以有效地分析双级行波热声发动机的性能参数，对双级热声发动机的优化起指导作用。

4 结论与讨论

本文探究变径管在中心对称的情况下对双级行波热声发动机的性能影响，利用数值模拟软件deltaEC，对变径管的长度、内直径与位置进行分析，并分别考察其在无负载和外接负载时对热声发动机性能的影响。

(1) 不同内直径的变径管添加至双级行波热声发动机中，变径管内直径增大，其回热器相位差呈正相关。而不同长度的变径管可以加快相位的变化区域。回热器的相位变化会直接影响热声发动机的稳定温差、体积流率幅值、压力幅值，从而影响回热器所产生的能量。

(2) 在谐振管中，压力与体积流率波动起伏，其各处相位亦有所不同。所以在不同的位置中，需要根据该处相位放置不同内直径的变径管，合理地调节回热器相位，使得热声发动机能高效运行。

(3) 在外接负载的条件下，添加变径管后换热器两端的温差下降幅度较无负载时大，负载提取能量的变化较大，与无负载时回热器产生的能量有相同的变化趋势，但过长的变径管会使整体性能下降，所以需根据整体阻抗去添加合适长度的变径管，这说明了合适长度的变径管对双级行波热声发动机具有较好的优化作用。