近年来，复杂网络引起了学界越来越多的关注。多变复杂的系统可以用复杂网络加以描述，如神经网络、电力网络、通信网络等。同步作为复杂网络的典型集群动力学行为备受关注，现有相关理论研究已被应用在保密通讯^[1]、信号处理^[2]、机器人列队^[3]等诸多实际领域。复杂网络的同步可以简单理解为网络中或者网络之间的节点系统通过相互作用或外部调控，使状态逐步接近，最后达到同一状态。

在实际应用中，复杂网络不可避免地会受到各种因素的影响，如环境中的外部干扰、通讯时延等，这些因素可以使原来稳定的系统变得不稳定^[4]。对于如何衡量外部干扰对系统的影响，鲁棒H_∞控制则具有较好的描述与处理方法，其控制思想是把系统输出控制在外部干扰的某一特定范围之内，所以对鲁棒H_∞同步的研究尤为重要。文献[5]考虑切换复杂网络的鲁棒H_∞同步问题，文献[6]通过分布式脉冲控制方法，得到了时滞复杂网络实现鲁棒H_∞同步的充分条件，文献[7]考虑复杂网络的鲁棒H_∞有限时间同步问题, 文献[8]在文献[7]的基础上考虑复杂网络结构不确定时的鲁棒H_∞有限时间同步问题，需要指出的是，上述文献只针对单权重复杂网络。

现实中，由于复杂网络节点间的连接具有非单一性，如人际网络中，个体间的通讯可以通过网络、电话、传真等多种方式实现。每种方式具有各自的特点，多权重复杂网络可以更精确地描述这类系统的动态特性，即网络的节点间存在多个连接边(权重)。文献[9-12]研究了多权重时滞复杂网络的同步和鲁棒H_∞同步问题，文献[13]研究了多权重复杂网络存在自适应状态耦合时的鲁棒H_∞同步问题，文献[14-15]通过运用牵引控制方法，得到了多权重复杂网络的实现鲁棒H_∞同步的充分条件。

如上所述，已有众多方法用于处理多权重复杂网络的鲁棒H_∞同步问题，如反馈控制、牵引控制、自适应控制。在众多控制方法中，脉冲控制作为一种非连续控制，能有效降低控制成本，增强系统抗干扰性能，具有很强的实用性^[16]。本文将通过脉冲控制方法考虑一类多权重复杂网络的鲁棒H_∞同步问题。受文献[5-6]启发，本文设计了新颖的分布式脉冲控制器，通过在分布式脉冲控制器中添加误差状态反馈项，以保证网络实现鲁棒H_∞同步。通过模型变换, 利用Lyapunov稳定性理论分析网络的鲁棒H_∞同步特性, 以线性矩阵不等式(LMIs)的形式给出了多权重复杂网络实现鲁棒H_∞同步的充分条件，仿真结果验证了结论的正确性。

1 问题描述与预备知识

考虑一类含有 $N$ 个节点的多权重复杂网络，根据节点间内部耦合形式的不同，将网络划分为 $g$ 个单权重子网络， $g$ 为正整数。 ${{{\varGamma }}_h} > 0$ 为第 $h$ 个子网络的内部耦合矩阵， $h = \{ 1,2, \cdots ,g\} $ ，模型为

$\left\{ \begin{split} & {{\dot {{x}}}_i}(t) = {{f}}(t,{{{x}}_i}(t)) + \sum\limits_{h = 1}^g {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_h}b_{ij}^h{{{\varGamma }}_h}{{{x}}_j}(t - \tau (t))} } +\\&\qquad\quad {{{u}}_i}(t)+ {{{D}}_i}{{w}}(t),{\rm{ }}t \geqslant {t_0} \\& {{{y}}_i}(t) = {{C}}{{{x}}_i}(t),{\rm{ }}i \in \tilde N \\& {{{x}}_i}({t_0} + \theta ) = {{{\eta}} _i}(\theta ),{\rm{ }} - \bar \tau \leqslant \theta \leqslant 0 \end{split} \right.$

(1)

其中， ${{{x}}_i}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ 表示第 $i$ 个节点状态变量， ${{{u}}_i}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ 是控制输入， ${{{y}}_i}(t) \in {{\bf{R}}^q}$ 是控制输出， ${{w}}(t) \in {{\bf{R}}^m}$ 是外部干扰， ${{f}}( \cdot ):{\bf{R}}_+ \times{{\bf{R}}^n} \to {{\bf{R}}^n}$ 为连续非线性向量函数并且满足 ${{f}}(t,0) \equiv 0$ 。 $\tau (t)$ 为时变耦合时延, 表示节点间信息传输过程中存在的通讯时延， $0 \leqslant \tau (t) \leqslant \bar \tau$ ( $\bar \tau $ 为大于0的常数)。 ${t_0} \geqslant 0$ 为初始时刻， $\tilde N = \{ 1,2, \cdots ,N\} $ 。 ${{{\eta}} _i}(\theta ) \in $ $ {{\varLambda}} ([ - \bar \tau ,0];{{\bf{R}}^n})$ 为各节点初始状态，其中 ${{{{\varLambda}}}} ([ - \bar \tau ,0];{{\bf{R}}^n})$ 表示一类从 $[ - \bar \tau ,0]$ 映射到 ${{\bf{R}}^n}$ 的向量函数，满足如下2个条件：（1）它在 $( - \bar \tau ,0]$ 上至多有有限个跳跃的不连续点，即在这些点上，函数的左极限和右极限是有限值但不相同。（2）它在 $[ - \bar \tau ,0)$ 上的所有点是右连续的。 ${a_h}$ 表示第 $h$ 个子网络的权重强度, ${{{B}}^h} = {({b_{ij}})}_{N \times N}^h$ 表示第 $h$ 个子网络的拓扑结构，其中 $b_{ij}^h$ 表示节点 $i$ 和 $j$ 在第 $h$ 个子网络中的连接权重，具体定义为当节点 $i$ ， $j$ 间存在连接，且连接由节点 $j$ 指向 $i$ $(j \ne i)$ ，则元素 $b_{ij}^h > 0$ ，否则， $b_{ij}^h = 0$ 且 $b_{ii}^h = - \displaystyle\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {b_{ij}^h}$ ， $\forall i,j \in \tilde N$ 。令 ${{\bar {{E}}}} = $ $ \{ (i,j):{b_{ij}} > 0, i,j \in \tilde N\}$ ， ${{{\tilde N}}_i} = \{ j \in \tilde N:(i,j) \in {{\bar E}}\} $ 。 ${{C}} \in {{\bf{R}}^{q \times n}}$ ， ${{{D}}_i} \in {{\bf{R}}^{n \times m}}$ 为已知常数矩阵。

假设1 　连续非线性向量函数 ${{f}}( \cdot )$ 满足Lipschitz条件。即对任意向量 ${{{x}}_1},{{{x}}_2} \in {{\bf{R}}^n}$ ，存在合适维数的矩阵 ${{L}}$ 使式 $||{{f}}(t,{{{x}}_1}) - {{f}}(t,{{{x}}_2})|| \leqslant ||{{L}}({{{x}}_1} - {{{x}}_2})||$ 成立。

假设2 　外部干扰 ${{w}}(t) \in {{\bf{R}}^p}$ 平方可积，即对任意 $t \geqslant 0$ ， $\displaystyle \int_0^t {||{{w}}(t)|{|^2}} {\rm{d}}t < + \infty$ 。

引理1^[17] 　符号“ $ \otimes $ ”表示Kronecker积，存在常数 $a$ 和矩阵 ${{A}}$ ， ${{B}}$ ， ${{C}}$ ， ${{D}}$ 满足下列运算性质。

$(a{{A}}) \otimes {{B}} = {{A}} \otimes (a{{B}})$

$\;\;\;\;({{A}} + {{B}}) \otimes {{C}} = {{A}} \otimes {{C}} + {{B}} \otimes {{C}}$

$({{A}} \otimes {{B}})({{C}} \otimes {{D}}) = ({{AC}}) \otimes ({{BD}})\;\;\;\,$

${({{A}} \otimes {{B}})^{\rm{T}}} = {{{A}}^{\rm{T}}} \otimes {{{B}}^{\rm{T}}}$

引理2^[18] 　(Schur补引理)对给定的实对称矩阵 ${{S}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{S}}_{{\rm{11}}}}}&{{{{S}}_{{\rm{12}}}}} \\ {{{S}}_{{\rm{12}}}^{\rm{T}}}&{{{{S}}_{{\rm{22}}}}} \end{array}} \right]$ ，其中 ${{{S}}_{11}}$ 是方阵，以下3个命题是等价的。

${{S}} < 0$

${{{S}}_{11}} < 0,{\rm{ }}{{{S}}_{22}} - {{S}}_{12}^{\rm{T}}{{S}}_{11}^{ - 1}{{{S}}_{12}} < 0$

${{{S}}_{{\rm{22}}}}{\rm{ < 0, }}{{{S}}_{{\rm{11}}}}{\rm{ - }}{{{S}}_{{\rm{12}}}}{{S}}_{{\rm{22}}}^{{\rm{ - 1}}}{{S}}_{{\rm{12}}}^{\rm{T}}{\rm{ < 0}}$

本文的主要目标是通过脉冲控制令网络式(1)中各节点状态 ${{{x}}_i}(t)$ 在 $t \to \infty $ 时趋向 ${{s}}(t)$

$ \dot {{s}}(t) = {{f}}(t,{{s}}(t)),{\rm{ }}t \geqslant {t_0},\;\;{{s}}(t) \in {{\bf{R}}^n} $

其中 ${{s}}(t)$ 为孤立节点的解，即为同步状态。

设计如下分布式脉冲控制器

${{{u}}_i}(t) ={{H}} \sum\limits_{k = 1}^\infty {\delta (t - {t_k})} ,{\rm{ }}i \in \tilde N$

(2)

${{H}} = \sum\limits_{j \in {{{{\tilde N}}}_i}} {{v_{ij}}({{{x}}_j}(t) - {{{x}}_i}(t))} + z_i({{{x}}_i}(t) - {{s}}(t))$

其中 ${{Q}} = {({v_{ij}})_{N \times N}}$ 为需要被设计的网络外部耦合矩阵，当 $j \in {{{\tilde N}}_i}$ 且 $j \ne i$ 时, ${v_{ij}} > 0$ ，否则， ${v_{ij}} = 0$ 且 ${v_{ii}} = - \displaystyle\sum\limits_{j = 1,j \ne i}^N {{v_{ij}}}$ 。 ${{{Z}}_{N \times N}} = {\rm{diag\{ }}z_1,z_2, \cdots ,z_N\}$ 为节点状态变量与同步状态 ${{s}}(t)$ 间的误差反馈增益矩阵， $z_i$ 为小于等于零的常数。 $\{ {t_k}, $ $ k \in {{\bf{N}}^ + }\}$ 为脉冲序列，满足 $0 \leqslant {t_0} < {t_1} < \cdots < {t_k} < {t_{k + 1}} < \cdots$ 且 ${\lim\nolimits_{k \to + \infty }}{t_k} = + \infty $ ， $\delta ( \cdot )$ 是狄拉克函数。

将式(2)代入式(1)，结合狄拉克函数 $\delta ( \cdot )$ 的性质，得到脉冲时滞微分方程式(3)。

$ \left\{ \begin{aligned} & {{\dot {{x}}}_i}(t) = {{f}}(t,{{{x}}_i}(t)) + \sum\limits_{h = 1}^g {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_h}b_{ij}^h{{{\varGamma }}_h}{{{x}}_j}(t - \tau (t))} } + \\&\qquad\quad {{{D}}_i}{{w}}(t),{\rm{ }}t \ne {t_k} \\& \Delta {{{x}}_i}({t_k}) = \sum\limits_{j \in {{{{\tilde N}}}_i}} {{v_{ij}}({{{x}}_j}(t_k^ - ) - {{{x}}_i}(t_k^ - ))} + z_i({{{x}}_i}(t_k^ - ) - \\&\qquad\qquad {{s}}(t_k^ - )),k \in {{\bf{N}}^ + } \\& {{{y}}_i}(t) = {{C}}{{{x}}_i}(t),{\rm{ }}i \in \tilde N \\& {{{x}}_i}({t_0} + \theta ) = {{{\eta}} _i}(\theta ),{\rm{ }} - \bar \tau \leqslant \theta \leqslant 0 \end{aligned} \right. $

(3)

其中 $\Delta {{{x}}_i}({t_k}) = {{{x}}_i}(t_k^ + ) - {{{x}}_i}(t_k^ - )$ ， $\Delta {{s}}({t_k}) = {{s}}(t_k^ + ) - $ ${{s}}(t_k^ - )$ ，不失一般性，假设 ${{{x}}_i}({t_k}) = {{{x}}_i}(t_k^ + )$ ， ${{s}}({t_k}) = {{s}}(t_k^ + )$ , $i \in \tilde N$ ，即脉冲时滞微分方程式(3)中所有的解是右连续的。

令误差状态变量 ${\tilde {{x}}_i}(t) = {{{x}}_i}(t) - {{s}}(t)$ ，输出变量 ${\tilde {{y}}_i}(t) = {{{y}}_i}(t) - {{C}}{{s}}(t)$ ， $\tilde {{f}}(t,{\tilde {{x}}_i}(t)) = {{f}}(t,{{{x}}_i}(t)) - {{f}}(t,{{s}}(t))$ ，误差状态变量初始值 ${{{\phi}} _i}(\theta ) = {{{\eta}} _i}(\theta ) - {{s}}({t_0})$ 。结合式(3)，得到同步误差系统式(4)。

$ \left\{ \begin{aligned} & {{\dot {\tilde {{x}}}}_i}(t) = \tilde {{f}}(t,{{\tilde {{x}}}_i}(t)) + \sum\limits_{h = 1}^g {\sum\limits_{j = 1}^N {{a_h}b_{ij}^h{{{\varGamma }}_h}{{\tilde {{x}}}_j}(t - \tau (t))} } + \\ &\qquad\quad {{{D}}_i}{{w}}(t),{\rm{ }}t \ne {t_k} \\ & \Delta {{\tilde {{x}}}_i}({t_k}) = \sum\limits_{j \in {{{{\tilde N}}}_i}} {{v_{ij}}({{\tilde {{x}}}_j}(t_k^ - ) - {{\tilde {{x}}}_i}(t_k^ - ))} + z_i{{\tilde {{x}}}_i}(t_k^ - ),k \in {{\bf{N}}^ + } \\ & {{\tilde {{y}}}_i}(t) = {{C}}{{\tilde {{x}}}_i}(t),{\rm{ }}i \in \tilde N \\ & {{\tilde {{x}}}_i}({t_0} + \theta ) = {{{\phi}} _i}(\theta ),{\rm{ }} - \bar \tau \leqslant \theta \leqslant 0 \end{aligned} \right. $

(4)

令 $\tilde {{x}}(t) = {(\tilde {{x}}_1^{\rm{T}}(t),\tilde {{x}}_2^{\rm{T}}(t), \cdots ,\tilde {{x}}_N^{\rm{T}}(t))^{\rm{T}}}$ ， $\tilde {{y}}(t) = (\tilde {{y}}_1^{\rm{T}}(t)$ ， $\tilde {{y}}_2^{\rm{T}}(t), $ $ \cdots ,\tilde {{y}}_N^{\rm{T}}(t){)^{\rm{T}}}$ ， $\tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t)) = ({\tilde {{f}}^{\;\rm{T}}}(t,{\tilde {{x}}_1}(t)),{\tilde {{f}}^{\;\rm{T}}}(t,{\tilde {{x}}_2}(t)), \cdots$ ， ${\tilde {{f}}^{\;\rm{T}}} (t, $ $ {\tilde {{x}}_N}(t)))^{\rm{T}}$ ， ${{D}} = {({{D}}_1^{\rm{T}},{{D}}_2^{\rm{T}}, \cdots ,{{D}}_N^{\rm{T}})^{\rm{T}}}$ ， ${{M}} = {{Q}} + {{Z}}$ ， ${{\phi}} (\theta )=({{\phi}} _1^{\rm{T}}(\theta ), $ $ {{\phi}}_2^{\rm{T}}(\theta ), \cdots , {{\phi}}_N^{\rm{T}}(\theta ))^{\rm{T}}$ 。

由引理1，同步误差系统式(4)可重写成式(5)。

$\left\{ \begin{split} & \dot {\tilde {{x}}}(t) = \tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t)) + \sum\limits_{h = 1}^g {{a_h}({{{B}}^h} \otimes {{{\varGamma }}_h})} \tilde {{x}}(t - \tau (t))+ \\[-5pt]&\qquad\quad {{D}}{{w}}(t),{\rm{ }}t \ne {t_k} \\& \Delta \tilde {{x}}({t_k}) = ({{M}} \otimes {{{I}}_n})\tilde {{x}}(t_k^ - ),{\rm{ }}k \in {{\bf{N}}^ + } \\& \tilde {{y}}(t) = ({{{I}}_N} \otimes {{C}})\tilde {{x}}(t) \\& \tilde {{x}}({t_0} + \theta ) = \;{{\phi}}\; (\theta ),{\rm{ }} - \bar \tau \leqslant \theta \leqslant 0 \end{split} \right.$

(5)

当 ${{w}}( \cdot ) = 0$ ，式(5)变为同步误差系统式(6)。

$\left\{ \begin{split} & \dot {\tilde {{x}}}(t) = \tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t)) + \sum\limits_{h = 1}^g {{a_h}({{{B}}^h} \otimes {{{\varGamma }}_h})} \tilde {{x}}(t - \tau (t)),{\rm{ }}t \ne {t_k} \\& \Delta \tilde {{x}}({t_k}) = ({{M}} \otimes {{{I}}_n})\tilde {{x}}(t_k^ - ),{\rm{ }}k \in {{\bf{N}}^ + } \\& \tilde {{y}}(t) = ({{{I}}_N} \otimes {{C}})\tilde {{x}}(t) \\& \tilde {{x}}({t_0} + \theta ) = \;{{\phi}}\; (\theta ),{\rm{ }} - \bar \tau \leqslant \theta \leqslant 0 \end{split} \right.$

(6)

系统初始值 $\;{{\phi}}\; (\theta ) \in {{\varLambda}} ([ - \bar \tau ,0];{{\bf{R}}^{nN}})$ 。

备注1 　通过构建同步误差系统，将网络式(1)的鲁棒H_∞同步问题转化为同步误差系统式(5)的稳定性和有限 ${L_2} - $ 增益问题。

为推导本文结论，给出定义1和定义2。

定义1 　 $\tilde {{x}}(t,{t_0},\;{{\phi}}\; )$ 表示同步误差系统式(6)在初始状态 $({t_0},\;{{\phi}}\; )$ 时的解。 $\zeta (\rho )$ 表示一组脉冲时刻序列 $\{ {t_k}\} $ ，其中 $0 < \rho $ 且 $0 < {t_k} - {t_{k - 1}} \leqslant \rho $ ， $k \in {{\bf{N}}^ + }$ 。给定脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ ，若在任意初始条件下，对任意 $\{ {t_k}\} \in \zeta (\rho )$ ，存在一对正实数 $c$ 和 $K$ ，有式

$||\tilde {{x}}(t,{t_0},\;{{\phi}}\; )|| \leqslant K{{\rm{e}}^{ - c(t - {t_0})}}||\;{{\phi}}\; ||,{\rm{ }}t \geqslant {t_0}$

成立，其中 $||\;{{\phi}} \;|| = {\sup _{ - \bar \tau \leqslant \theta \leqslant 0}}||\;{{\phi}} (\theta )\;||$ ，e为自然常数，则称同步误差系统式(6)在脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ 下是全局指数稳定的，同步误差系统式(5)是内部全局指数稳定的。

定义2 　当下列2个条件同时满足时，称多权重复杂网络式(1)实现鲁棒H_∞同步。

条件1为同步误差系统式(5)是内部全局指数稳定的。

条件2是在零初始条件下，对任意 ${t_p} \geqslant 0$ ，同步误差系统式(5)的控制输出 $\tilde {{y}}(t)$ 满足

$\int_{\;{t_0}}^{{t_p}} {||\tilde {{y}}(t)|{|^2}{\rm{d}}t \leqslant {\gamma ^2}\int_{\;{t_0}}^{{t_p}} {||{{w}}(t)|{|^2}} } {\rm{d}}t,$

$\gamma $ 为给定常数。

2 主要结果

定理1 　考虑满足假设1的同步误差系统式(6)。若对于给定常量 $0 < \mu $ ， $0 < \vartheta < 1$ ， $N \times N$ 维矩阵 ${{M}}$ 和脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ ，存在一个矩阵 ${{P}} > 0$ 和常量 $\alpha > 0$ 。有下列LMIs式(7)、式(8)成立，则同步误差系统式(6)是全局指数稳定的。

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varTheta }}&{{{PS}}}&{{P}}\\ * &{ - \mu {{P}}} & 0 \\ * &*&{ - \alpha {{I}}} \end{array}} \right]< 0 $

(7)

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \vartheta {{P}}} &{{{({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n}))}^{\rm{T}}}{{P}}} \\ * & { - {{P}}} \end{array}} \right] < 0$

(8)

其中

${{\varTheta }} = \left(\frac{\mu }{\vartheta } + \frac{{\ln \vartheta }}{\rho }\right){{P}} + \alpha ({{{I}}_N} \otimes {{{L}}^{\rm{T}}}{{L}})$

${{S}} = \sum\limits_{h = 1}^g {{a_h}({{{B}}^h} \otimes {{{\varGamma }}_h})} $

证明 　对于足够小的数 $\ell > 0$ 和 $c > 0$ ，其中 $\vartheta + \ell < 1$ ，可以从式(7)得到下式(9)。

${{\varXi }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\varTheta '}}} & {{{PS}}} & {{P}} \\ * & { - \mu {{\rm{e}}^{ - 2c\bar \tau }}{{P}}} & 0 \\ * & * &{ - \alpha {{I}}} \end{array}} \right] < 0$

(9)

其中

${{\varTheta '}} = \left(\frac{\mu }{\vartheta } + \frac{{\ln (\vartheta + \ell )}}{\rho } + 2c\right){{P}} + \alpha ({{{I}}_N} \otimes {{{L}}^{\rm{T}}}{{L}})$

用 $\tilde {{x}}(t) \triangleq \tilde {{x}}(t,{t_0},\;{{\phi}}\; )$ 表示同步误差系统式(6)在初始状态 $({t_0},\;{{\phi}}\; )$ 时的解，考虑Lyapunov函数

$V(t) = {\tilde {{x}}^{\rm{T}}}(t){{P}}\tilde {{x}}(t)$

(10)

令 ${{\lambda} _1} = {{\lambda} _{\max }}({{P}})$ ， ${{\lambda} _0} = {{\lambda} _{\min }}({{P}})$ ， $\varsigma > \dfrac{{{{\lambda} _1}}}{{{{\lambda} _0}\vartheta }}$ 是一个确定的数， $\varphi = - \dfrac{{\ln (\vartheta + \ell )}}{\rho }$ ，可知 $\vartheta < {{\rm{e}}^{ - \varphi \rho }} < 1$ 和 $\vartheta {{\rm{e}}^{\varphi \rho }} < 1$ 。取 $\bar V(t) = $ $ {{\rm{e}}^{2c(t - {t_0})}}V(t)$ 。当 $\theta \in [ - \bar \tau ,0]$ 时，可得

$\bar V({t_0} + \theta ) \leqslant {{\lambda} _1}||\;{{\phi}}\; |{|^2} < \vartheta {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2} < {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}$

(11)

下文证明式(12)成立。

$\bar V(t) < {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2},{\rm{ }}\forall t > {t_0}$

(12)

首先证明

$ \bar V(t) < {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2},{\rm{ }}t \in ({t_0},{t_1}) $

(13)

假设式(13)不成立, 存在时刻 $t \in ({t_0},{t_1})$ ，使得 $\bar V(t) \geqslant {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}$ 。

令 ${t^ * } = \inf \{ t \in ({t_0},{t_1}):\bar V(t) \geqslant {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}\}$ ，有

$\bar V({t^ * }) = {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2},{\rm{ }}\bar V(t) < {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2},{\rm{ }}\forall t \in [{t_0} - \bar \tau ,{t^ * })$

(14)

令 $t' = \sup \{ t \in ({t_0},{t^*}):\bar V(t) \leqslant \vartheta {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}\} $ ，有

$\bar V(t') = \vartheta {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2} $

当 $t \in (t',{t^*})$ 时，有

$\bar V(t) \geqslant \vartheta {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2} \geqslant \vartheta \bar V(t + \theta ),\;\theta \in [ - \bar \tau ,0] $

可得

$0 < [{\tilde {{x}}^{\rm{T}}}({t^ * }){{P}}\tilde {{x}}({t^ * }) - \vartheta {{\rm{e}}^{ - 2c\bar \tau }}{\tilde {{x}}^{\rm{T}}}({t^ * } - \tau ({t^ * })){{P}}\tilde {{x}}({t^ * } - \tau ({t^ * }))]$

鉴于 $\mu > 0$ ，可得

$ 0<\left[\frac{\mu }{\vartheta }{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}({t^ * }){{P}}\tilde {{x}}({t^ * })-\mu {{\rm{e}}^{ - 2c\bar \tau }}{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}({t^ * }-\tau ({t^ * })){{P}}\tilde {{x}}({t^ * }-\tau ({t^ * }))\right] $

(15)

另一方面，由 $\alpha > 0$ 和假设1可得

$0 \leqslant \alpha [{\tilde {{x}}^{\rm{T}}}(t)({{{I}}_N} \otimes {{{L}}^{\rm{T}}}{{L}})\tilde {{x}}(t) - {\tilde {{F}}^{\rm{T}}}(t,\tilde {{x}}(t))\tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t))]$

(16)

沿着同步误差系统式(6)的轨迹对 $\bar V(t)$ 在 $t \in (t',{t^*})$ 时求导

$ \begin{split} \dot {\bar V}(t) =& 2{{\rm{e}}^{2c(t - {t_0})}}{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t)\{ [c{{P}}\tilde {{x}}(t) + {{P}}[\tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t))+ \\& {{S}}\tilde {{x}}(t - \tau (t))]\} \end{split} $

(17)

令 ${{\xi}} (t) = {\{ {\tilde {{x}}^{\rm{T}}}(t),{\tilde {{x}}^{\rm{T}}}(t - \tau (t)),{\tilde {{F}}^{\rm{T}}}(t,\tilde {{x}}(t))\} ^{\rm{T}}}$ 。当 $t = {t^ * }$ 时，结合不等式(15)、(16)、(17)和LMIs式(9)，可知

$\dot {\bar V}(t) \leqslant {{\rm{e}}^{2c(t - {t_0})}}[{{{\xi}} ^{\rm{T}}}(t){{\varXi }}{{\xi}} (t) + \varphi V(t)] < \varphi \bar V(t)$

可得

$\bar V({t^*}) \leqslant {{\rm{e}}^{\varphi ({t^*} - t')}}\bar V(t') < \vartheta {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}{{\rm{e}}^{\varphi \rho }} < {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}$

显然，这与式(14)矛盾，故式(13)成立。通过引理2，式(8)等价于

${({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n}))^{\rm{T}}}{{P}}({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n})) < \vartheta {{P}}$

可得

$ \begin{split} & \bar V({t_1}) = {{\rm{e}}^{2c({t_1} - {t_0})}}{{\tilde {{x}}}^{\;\rm{T}}}({t_1}){{P}}\tilde {{x}}({t_1})= \\& {{\rm{e}}^{2c({t_1} - {t_0})}}{{\tilde {{x}}}^{\;\rm{T}}}(t_1^ - ){({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n}))^{\;\rm{T}}}{{P}}({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n}))\tilde {{x}}(t_1^ - )< \\& {{\rm{e}}^{2c({t_1} - {t_0})}}\vartheta {{\tilde {{x}}}^{\;\rm{T}}}(t_1^ - ){{P}}\tilde {{x}}(t_1^ - ) < {{\rm{e}}^{2c({t_1} - {t_0})}}{{\tilde {{x}}}^{\;\rm{T}}}(t_1^ - ){{P}}\tilde {{x}}(t_1^ - ) < \bar V(t_1^ - ) \end{split} $

(18)

结合式(13)、式(18)，得 $\bar V({t_1}) < {{\lambda} _0}\varsigma ||\;{{\phi}}\; |{|^2}$ 。重复上述步骤，易知式(12)成立。

由 $V(t) \geqslant \vartheta {{\lambda} _0}||\tilde {{x}}(t)|{|^2}$ ，可得

$||\tilde {{x}}(t)|| \leqslant \sqrt {\frac{\varsigma }{\vartheta }} {{\rm{e}}^{ - c(t - {t_0})}}||\;{{\phi}}\; ||,{\rm{ }}\forall t \geqslant {t_0}$

由此，同步误差系统式(6)在脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ 下是全局指数稳定的。

备注2 　当 ${{w}}( \cdot ) = 0$ 时，复杂网络式(1)的同步问题等价于同步误差系统式(6)的稳定性问题。所以，定理1同时给出了多权重复杂网络式(1)在不受外部干扰影响时实现同步的充分条件。

定理2 　考虑满足假设1、2的同步误差系统式(5)。若对于给定常量 $0 < \mu $ ， $0 < \vartheta < 1$ ， $\delta \in (0,1/{\bar \tau })$ ， $\gamma > 0$ ， $N \times N$ 维矩阵 ${{M}}$ 和脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ ，存在一个矩阵 ${{P}} > 0$ 和常量 $\alpha > 0$ 。有式(8)和式(19)、(20)成立，则同步误差系统式(5)是内部全局指数稳定的，且 ${L_2} - $ 增益小于等于 $\gamma $ 。此时，多权重复杂网络式(1)实现鲁棒H_∞同步。

$ {\tilde{ \varXi }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tilde{ \varTheta }}}&{{{PS}}}&{{P}}&{{{PD}}}&{{{({{{I}}_N} \otimes {{C}})}^{\rm{T}}}}\\ * &{ - \mu {{P}}}&0&0&0\\ * & * &{ - \alpha {{I}}}&0&0\\ * & * & * &{ - \vartheta \;{\gamma ^2}{{{I}}_m}}&0\\ * & * & * & * &{ - {{{I}}_{qN}}} \end{array}} \right] < 0 $

(19)

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \delta {{P}}}&0&{{{({{{I}}_N} \otimes {{C}})}^{\rm{T}}}}\\ * &{ - \vartheta \;{\gamma ^2}{{{I}}_m}}&0\\ * & * &{ - {{{I}}_{qN}}} \end{array}} \right] < 0$

(20)

其中

${\tilde{ \varTheta }} = \left(\frac{\mu }{{\vartheta (1 - \delta \bar \tau )}} + \frac{{\ln \vartheta }}{\rho }\right){{P}} + \alpha ({{{I}}_N} \otimes {{{L}}^{\rm{T}}}{{L}})$

${{S}} = \sum\limits_{h = 1}^g {{a_h}({{{B}}^h} \otimes {{{\varGamma }}_h})} $

证明 　当式(19)成立时，有式(7)成立。通过定理1可知，同步误差系统式(5)在脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ 作用下是内部全局指数稳定的。下面证明系统式(5)的 ${L_2} - $ 增益小于等于 $\gamma $ 。由式(19)可得

${{\tilde{ \varXi }}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varDelta }}&{{{\varSigma }}_1^{\rm{T}}} \\ * &{ - {{{I}}_{qN}}} \end{array}} \right] < 0$

(21)

其中

${{{\varSigma }}_1} = [\begin{array}{*{20}{c}} {({{{I}}_N} \otimes {{C}})}&0&0&0 \end{array}]$

${{\varDelta }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tilde{ \varTheta }}}&{{{PS}}}&{{P}}&{{{PD}}} \\ * &{ - \mu {{P}}}&0&0 \\ * & * &{ - \alpha {{I}}}&0 \\ * & * & * &{ - \vartheta {\gamma ^2}{{{I}}_m}} \end{array}} \right]$

通过引理2，式(21)等价于

${{\varDelta }} + {{\varSigma }}_1^{\rm{T}}{{{\varSigma }}_1} < 0$

(22)

同理，式(20)等价于

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \delta {{P}}}&0 \\ 0&{ - \vartheta {\gamma ^2}{{{I}}_m}} \end{array}} \right] + {{\varSigma }}_2^{\rm{T}}{{{\varSigma }}_2} \leqslant 0$

(23)

其中 ${{{\varSigma }}_2} = [ {{{{I}}_N} \otimes {{C}}}\;\;\;0 ]$ 。

在不等式(23)左右两边分别乘以 $[ {{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t)}\;\;\;\;{{{{w}}^{\rm{T}}}(t)} ]$ 和其转置，可得

$||\tilde {{y}}(t)|{|^2} - \vartheta {\gamma ^2}||{{w}}(t)|{|^2} \leqslant \delta V(t)$

(24)

$V(t)$ 的定义同式(10)。

对于给定的脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ ，引入下列与脉冲时刻序列相关联的函数

当 $t \in [{t_{k - 1}},{t_k})$ ， $k \in {{\bf{N}}^ + }$ 时，定义

$\bar \rho (t) = \frac{1}{{{t_k} - {t_{k - 1}}}}$

$ {\rho _1}(t) = (t - {t_{k - 1}})\bar \rho (t),\;\;\varepsilon (t) = \left\{ \begin{array}{l} {\vartheta ^{{\rho _1}(t)}},\;\;t \geqslant {t_0} \\ 1,\;\;\;\;\;\;\;\;t < {t_0} \end{array} \right. $

易知 $\;{\rho _1}(t) \in [0,1)$ ， $\varepsilon (t) \in (\vartheta ,1]$ 。

定义辅助函数 $J(t)$ 为

$J(t) = \left\{ \begin{split} & \varepsilon (t)V(t) + \int_{{t_0}}^t {\varepsilon (\psi)(||\tilde {{y}}(\psi)|{|^2} - \vartheta {\gamma ^2}||{{w}}(\psi)|{|^2}){\rm{d}}\psi} , \\&\qquad t > {t_0} \\& \varepsilon (t)V(t),{\rm{ }}{t_0} - \bar \tau \leqslant t \leqslant {t_0} \end{split} \right.$

可知 $J(t)$ 在区间 $[{t_0} - \bar \tau ,{t_1})$ 上是连续的。在零初始条件下， $\tilde {{x}}({t_0} + \theta ) = 0$ 。可得 $J({t_0} + \theta ) = 0$ ， $\theta \in [ - \bar \tau ,0]$ 。

证明下式(25)成立。

$J(t) \leqslant 0,{\rm{ }}\forall t > {t_0}$

(25)

首先证明

$J(t) \leqslant 0,{\rm{ }}\forall t \in ({t_0},{t_1})$

(26)

假设式(26)不成立，存在一个特定的 $t \in ({t_0},{t_1})$ 使得 $J(t) > 0$ 。令 ${t^ * } \in ({t_0},{t_1})$ ，使得

$J({t^ * }) > 0,{\rm{ }}J({t^ * }) > J(t),{\rm{ }}t \in ({t_0} - \bar \tau ,{t^ * })$

(27)

且

$\dot J({t^ * }) \geqslant 0$

(28)

对于任意 $\theta \in [ - \bar \tau ,0]$ ，由式(27)中第二个不等式可得

$ \begin{split} & \varepsilon ({t^ * } + \theta )V({t^ * } + \theta ) \leqslant \varepsilon ({t^ * })V({t^ * }) + \\ &\quad \int_{{t^ * } + \theta }^{{t^ * }} {\varepsilon (\psi)(||\tilde {{y}}(\psi)|{|^2} - \vartheta {\gamma ^2}||{{w}}(\psi)|{|^2}){\rm{d}}\psi} = \\ &\quad \varepsilon ({t^ * })V({t^ * }) + \delta \int_{{t^ * } + \theta }^{{t^ * }} {\varepsilon (\psi)V(\psi){\rm{d}}\psi}+ \\ &\quad \int_{{t^ * } + \theta }^{{t^ * }} {[\varepsilon (\psi)(||\tilde {{y}}(\psi)|{|^2} - \vartheta {\gamma ^2}||{{w}}(\psi)|{|^2}) - \delta \varepsilon (\psi)V(\psi)]{\rm{d}}\psi} \end{split} $

由式(24)，可得

$ \begin{split} & \varepsilon ({t^ * } + \theta )V({t^ * } + \theta )\leqslant \\ &\qquad \varepsilon ({t^ * })V({t^ * }) + \delta \int_{{t^ * } + \theta }^{{t^ * }} {\varepsilon (\psi)V(\psi){\rm{d}}\psi} \leqslant \\ &\qquad \varepsilon ({t^ * })V({t^ * }) + \delta \bar \tau \mathop {\sup }\limits_{\theta \in [ - \bar \tau ,0]} \varepsilon ({t^ * } + \theta )V({t^ * } + \theta ) \end{split} $

进而

$\mathop {\sup }\limits_{\theta \in [ - \bar \tau ,0]} \varepsilon ({t^ * } + \theta )V({t^ * } + \theta ) \leqslant \frac{1}{{1 - \delta \bar \tau }}\varepsilon ({t^ * })V({t^ * })$

鉴于 $\varepsilon (t) \in (\vartheta ,1]$ ， $\mu > 0$ ，可得

$ 0 \leqslant \Bigg[\frac{\mu }{{\vartheta (1 - \delta \bar \tau )}}{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}({t^ * }){{P}}\tilde {{x}}({t^ * }) - \Bigg.\Bigg. \mu {{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}({t^ * } - \tau ({t^ * })){{P}}\tilde {{x}}({t^ * } - \tau ({t^ * }))\Bigg] $

(29)

沿着同步误差系统式(5)的轨迹对 $J(t)$ 在 $t \in [{t_0},{t_1})$ 时求导

$ \begin{split} & \dot J(t) = \varepsilon (t)\{ (\bar \rho (t)\ln \vartheta ){{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t){{P}}\tilde {{x}}(t) + 2{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t){{P}}[\tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t)) + \\&\qquad {{S}}\tilde {{x}}(t - \tau (t)) + {{D}}{{w}}(t)] + ||\tilde {{y}}(t)|{|^2} - \vartheta {\gamma ^2}||{{w}}(t)|{|^2}\} \end{split} \;$

(30)

又 $\;\bar \rho (t) \geqslant \dfrac{1}{\rho }$ ， $\ln \vartheta < 0$ ，得

$ \begin{split} & \dot J(t) \leqslant \varepsilon (t)\Bigg\{ \frac{{\ln \vartheta }}{\rho }{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t){{P}}\tilde {{x}}(t) + 2{{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t){{P}}[\tilde {{F}}(t,\tilde {{x}}(t)) + \Bigg.\\&\quad\Bigg. {{S}}\tilde {{x}}(t - \tau (t)) + {{D}}{{w}}(t)] + ||\tilde {{y}}(t)|{|^2} - \vartheta {\gamma ^2}||{{w}}(t)|{|^2}\Bigg\} \end{split}\;\;\;\;\;\;\;\;$

(31)

当 $t = {t^ * }$ 时，结合不等式(16)、(29)、(31)，可知

$\dot J({t^ * }) \leqslant \varepsilon ({t^*})\;{\mathchar'26\mkern-10mu{{{\lambda}}} ^{\rm{T}}}({t^ * })({{\varDelta }} + {{\varSigma }}_1^{\rm{T}}{{{\varSigma }}_1})\;\mathchar'26\mkern-10mu{{{\lambda}}} ({t^ * })$

其中 $\; \mathchar'26\mkern-10mu{{{\lambda}}} (t) = {\{ {\tilde {{x}}^{\rm{T}}}(t),{\tilde {{x}}^{\rm{T}}}(t - \tau (t)),{\tilde {{F}}^{\rm{T}}}(t,\tilde {{x}}(t)),{{{w}}^{\rm{T}}}(t)\} ^{\rm{T}}}$ 。当式(22)成立时，有 $\dot J({t^ * }) < 0$ ，这与式(28)矛盾, 式(26)得证。

$ \begin{split} & J({t_1}) - J(t_1^ - ) = \varepsilon ({t_1}){{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}({t_1}){{P}}\tilde {{x}}({t_1}) - \varepsilon (t_1^ - ){{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t_1^ - ){{P}}\tilde {{x}}(t_1^ - )= \\&\qquad {{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t_1^ - ){({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n}))^{\rm{T}}}{{P}}({{I}} + ({{M}} \otimes {{{I}}_n}))\tilde {{x}}(t_1^ - ) - \\&\qquad {\rm{ }} \vartheta {{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t_1^ - ){{P}}\tilde {{x}}(t_1^ - ) < \vartheta {{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t_1^ - ){{P}}\tilde {{x}}(t_1^ - ) - \vartheta {{\tilde {{x}}}^{\rm{T}}}(t_1^ - ){{P}}\tilde {{x}}(t_1^ - ) < 0 \end{split} $

可知 $J({t_1}) < J(t_1^ - )$ ，结合式(26)，当 $t \in [{t_0} - \bar \tau ,{t_1}]$ 时， $J(t) \leqslant 0$ 。

重复上述证明步骤可得式(25)成立。进而可得

$\int_{{t_0}}^t {||\tilde {{y}}(\psi)|{|^2}{\rm{d}}\psi} \leqslant \vartheta {\gamma ^2}\int_{{t_0}}^t {||{{w}}(\psi)|{|^2}{\rm{d}}\psi} $

注意到 $\vartheta < 1$ ，则对任意 $t \geqslant {t_0}$ ，

$\int_{{t_0}}^t {||\tilde {{y}}(\psi)|{|^2}{\rm{d}}\psi} \leqslant {\gamma ^2}\int_{{t_0}}^t {||{{w}}(\psi)|{|^2}{\rm{d}}\psi} $

即在脉冲时刻序列 $\zeta (\rho )$ 作用下同步误差系统式(5)的 ${L_2} - $ 增益小于等于 $\gamma $ 。

备注3 　定理2给出了多权重复杂网络式(1)在受到外部干扰影响时实现鲁棒H_∞同步的充分条件，网络的鲁棒H_∞同步性能由同步误差系统式(5)的稳定性和 ${L_2} - $ 增益来衡量， $\gamma $ 值越小， ${L_2} - $ 增益越小，网络对干扰的抑制能力越强。

3 数值仿真

本节将对多权重复杂网络式(1)进行数值仿真，验证上述结论的有效性，给定如下参数。

$n=3$ ， $N=5$ ， $g=3$ ， ${{f}}(t,{{{x}}_i}(t))=\arctan (t) {{{x}}_i}(t)$ ， ${{C}}=[1,0,0]$ ， ${{{D}}_i} = (0.2 + {( - 1)^i}0.05i){[1,1,1]^{\rm{T}}}$ 。显然，可取 ${{L}} = [{\rm{2,2,2]}}$ 使f(t, x_i(t))函数满足Lipschitz条件。时变时延 $\tau (t)$ ， $0 \leqslant $ $ \tau (t) \leqslant 0.7$ , 可知 $\bar \tau = 0.7$ 。节点间耦合强度 ${a_1} = {a_2} = {a_3} = 1$ 。内部耦合矩阵 ${{{\varGamma}} _1} = {\rm{diag}}\{ 0.2,0.1,0.1\}$ ， ${{{\varGamma}} _2} = {\rm{diag}}\{ 0.1, $ $ 0.1,0.2\}$ ， ${{{\varGamma}} _3} = {\rm{diag}}\{ 0.2,0.2,0.1\}$ ，耦合权重矩阵为

${{{B}}^1} = 0.1\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&1&0&0 \\ 0&{ - 1}&0&1&0 \\ 0&1&{ - 1}&0&0 \\ 0&1&0&{ - 1}&0 \\ 0&0&1&0&{ - 1} \end{array}} \right]$

${{{B}}^2} = 0.1\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1&0&0 \\ 1&{ - 3}&0&2&0 \\ 0&1&{ - 3}&2&0 \\ 0&0&1&{ - 2}&1 \\ 1&0&1&0&{ - 2} \end{array}} \right]$

${{{B}}^3} = 0.1\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&1&0&1 \\ 0&{ - 2}&0&2&0 \\ 0&0&{ - 1}&0&1 \\ 1&1&0&{ - 2}&0 \\ 0&1&1&0&{ - 2} \end{array}} \right]$

进一步，验证定理2的有效性。取脉冲时刻序列 $\{ {t_k}\} \in \zeta (0.03)$ ， ${t_k} - {t_{k - 1}} \equiv 0.03$ ， $k \in {{\bf{N}}^ + }$ 。

给定 $\gamma = 1.8,\vartheta = \mu = 0.57,\delta = 1.2$ ，误差反馈增益矩阵 ${{Z}} = {\rm{diag}}\{ - 0.4, - 0.4, - 0.4, - 0.4, - 0.4\} $ 。根据耦合权重矩阵，设计外部耦合矩阵

${{Q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}} { - 0.3}&{0.1}&{0.1}&0.0&{0.1} \\ {0.1}&{ - 0.2}&0.0&{0.1}&0.0 \\ 0.0&{0.1}&{ - 0.3}&{0.1}&{0.1} \\ {0.1}&{0.1}&{0.1}&{ - 0.4}&{0.1} \\ {0.1}&{0.1}&{0.1}&0.0&{ - 0.3} \end{array}} \right]$

令 $\tau (t) = 0.6$ ， ${t_0} = 0$ ，系统初始状态： ${{{\eta}} _1}(\theta ) = (4, - 2, $ $ - 8{)^{\rm{T}}}$ ， ${{{\eta}} _2}(\theta ) = {( - 5, - 4,8)^{\rm{T}}}$ ， ${{{\eta}} _3}(\theta ) = {(5, - 3, - 9)^{\rm{T}}}$ ， ${{{\eta}} _4}(\theta ) = (6, $ $ - 5,3)^{\rm{T}}$ ， ${{{\eta}} _5}(\theta ) = {( - 8, - 7,6)^{\rm{T}}}$ ， ${{s}}({t_0}) = ( - 1,3,1{)^{\rm{T}}}$ ，其中 $\theta \in $ $ [ - 0.7,0]$ 。

用Matlab工具对LMIs式(8)、(19)、(20)进行求解，可求得存在一组正定矩阵 ${{P}}$ 和正常量 $\alpha $ ，定理2是有效的。

当外部干扰w(t)=0时，对多权重复杂网络式(1)施加脉冲控制，各节点状态变量 ${{{x}}_i}(t)$ 的时间响应曲线如图1所示，同步误差系统式(4)各节点的状态范数随时间变化的曲线如图2所示，可见各节点状态 ${{{x}}_i}(t)$ 渐近趋向同步状态 ${{s}}(t)$ ，网络实现同步。

当外部干扰 ${{w}}(t) = \dfrac{{2 + \sin (t)}}{{t + 1}}$ 时，在零初始条件下，同步误差系统式(5)的受控输出范数 $||\tilde {{y}}(t)||$ 随时间变化曲线如图3所示。此例 ${L_2} - $ 增益 $\gamma = 1.8$ ，式 $\displaystyle \int_{\;0}^{t_p} {||\tilde {{y}}(t)|{|^2}{\rm{d}}t \leqslant {{1.8}^2}\displaystyle \int_{\;0}^{t_p} {||{{w}}(t)|{|^2}} } {\rm{d}}t$ 对任意 $t_p \geqslant 0$ 成立。

4 结论

本文基于脉冲控制方法，对一类多权重复杂网络的鲁棒H_∞同步问题进行了研究，给出了多权重复杂网络实现鲁棒H_∞同步的充分条件，并用Matlab软件实例仿真验证了结论的有效性。研究结果表明，通过在分布式脉冲控制器中添加节点状态变量与同步状态间的误差状态反馈项，可以保证同步误差系统是内部全局指数稳定的且具有有限的 ${L_2} - $ 增益，多权重复杂网络实现鲁棒H_∞同步。