1 问题的提出

有关于肿瘤生长的偏微分模型的方程类型总共有3类：一类是Byrne-Chaplain型肿瘤模型，只含反应扩散方程；另一类是King-Ward型肿瘤模型，既含反应扩散方程又含守恒率方程；以及流体型肿瘤模型，不仅含有以上两类方程而且还含有Stokes方程^[1](由Franks等^[2-5]提出)。本文研究的模型属于King-Ward型肿瘤模型，该模型的肿瘤来源于实验室，专门培育出来用于研究肿瘤生长问题^[6-7]。该模型由关于繁殖细胞密度、休眠态细胞密度以及死细胞密度的一阶双曲方程组，一个关于营养物浓度的椭圆方程和用来描述肿瘤自由边界运动的常微分方程所耦合的自由边界问题。在营养物浓度是线性反应扩散方程和Dirichlet边界条件下，文献[8-10]得到了整体解的适定性和肿瘤半径的一些性质。

肿瘤的生长依赖于新生血管，当肿瘤细胞分泌生长因子时，会促进血管的再生。而新生的肿瘤血管组织，仍然可以作为输送途径吸收营养物^[11-12]，因此本文假设

$\frac{{\partial C}}{{\partial r}} + \alpha \left( t \right)\left( {C - \bar C} \right) = 0,\;\;r = R\left( t \right),\;\;t \geqslant 0\;\;\;\;\;\;$

其中 $C$ 是营养物浓度， $\bar C$ (正常数)是细胞外营养物浓度， $\alpha \left( t \right)$ 是营养物交换系数， $r$ 是肿瘤半径， $R\left( t \right)$ 表示 $t$ 时刻的肿瘤半径。当 $\alpha \left( t \right) = 0$ 时，有 $\dfrac{{\partial C}}{{\partial r}} = 0$ ，意味着内部与外部完全隔离; 当 $\alpha \left( t \right) = + \infty $ 时，则边界和外部营养为同一个固定常数。但是从生物学上来说，细胞膜具有一定的选择透性，即内外部营养不均衡，具体的差距取决于 $\alpha \left( t \right)$ ，所以研究具有Robin边界条件的新模型非常有意义。

本文在前述文献的基础上，考虑营养物浓度 $C$ 为线性椭圆方程的Robin问题。该模型中描述肿瘤细胞生长的两个双曲型偏微分方程，包含繁衍态的肿瘤细胞密度 $P$ 、休眠态的肿瘤细胞密度 $Q$ 和已经死亡但尚未消解的肿瘤细胞密度 $D$ ^[1], $N$ 代表这3类细胞混合体的密度且为正常数，有

$P + Q + D = N$

(1)

细胞在肿瘤内做连续运动，其中包括细胞的增殖和细胞的坏死。本文用速度场 ${{v}}$ 表示此运动速度，将肿瘤组胞视为多孔介质，因此根据Darcy’s定律，有

${{v}} = \nabla \sigma $ ( $\sigma $ 表示压力)

假设肿瘤表面的压力即表面张力，则在细胞边界处有

$\sigma = \gamma \kappa $

其中 $\kappa $ 表示平均曲率， $\gamma $ 为正常数。

本文研究的具体模型为

${\nabla ^2}C - \lambda C = 0,\;\;\;\left| x \right| < R\left( t \right),\;\;t > 0$

(2)

$\;\frac{{\partial C}}{{\partial \left| x \right|}}\left( {0,t} \right) = 0,\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \;\;\left| x \right| = 0,\;\;t > 0\;$

(3)

$\frac{{\partial C}}{{\partial \left| x \right|}} + \alpha \left( {C - \bar C} \right) = 0,\;\;\left| x \right| = R\left( t \right),\;\;t > 0$

(4)

$\begin{split} & \frac{{\partial P}}{{\partial t}} + {\rm{div}}\left( {P{{v}}} \right) = ({K_B}\left( C \right) - {K_Q}\left( C \right) - {K_A}\left( C \right))P +\\& {K_P}\left( C \right)Q,\;\;\left| x \right| < R\left( t \right),\;\;t > 0 \end{split}$

(5)

$\begin{split} & \frac{{\partial Q}}{{\partial t}} + {\rm{div}}\left( {Q{{v}}} \right) = {K_Q}\left( C \right)P - ({K_P}\left( C \right) +\\& {K_D}\left( C \right))Q,\;\;\left| x \right| < R\left( t \right),\;\;t > 0 \end{split}$

(6)

$\begin{split} & \frac{{\partial D}}{{\partial t}} + {\rm{div}}\left( {D{{v}}} \right) = {K_A}\left( C \right)P + {K_D}\left( C \right)Q -\\& \;{K_R}D,\;\;\left| x \right| < R\left( t \right),\;\;t > 0 \end{split}$

(7)

${{v}} = \nabla \sigma ,\;\;\;\left| x \right| < R\left( t \right),\;\;t > 0$

(8)

$\sigma = \gamma \kappa ,\;\;\;\left| x \right| = R\left( t \right),\;\;t > 0$

(9)

其中 $\lambda $ 是非负常数, $\;\left| {{x}} \right| \leqslant R\left( t \right)\;\;( {x \in {R^3}} )$ 表示肿瘤在时刻 $t$ 所占的空间区域， ${K_B}\left( C \right),\;\;{K_P}\left( C \right),\;{K_Q}\left( C \right)$ 分别表示繁衍态细胞的繁殖速率，休眠态细胞变为繁殖细胞的转换速率和繁殖细胞变为休眠态细胞的转换速率， ${K_A}\left( C \right)$ 和 ${K_D}\left( C \right)$ 分别表示繁衍态细胞和休眠态细胞的死亡速率^[1]，其中 ${K_B}\left( C \right),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {K_P}\left( C \right)$ 随着 $C$ 的增大而增大， ${K_Q}\left( C \right),\;{K_A}\left( C \right),\;{K_D}\left( C \right)$ 随着 $C$ 的增大而减小。另外，由于增殖率大于凋亡率，所以 ${K_B}\left( C \right) > {K_A}\left( C \right)$ 。 ${K_R}$ 表示死亡细胞的消解速率，这个速率是一个非负的且与 $C$ 无关的常数^[8]。

由式(8)~(9)可得，只要给定了 ${{v}}$ 和 $R\left( t \right)$ ，则 $\sigma $ 能够直接被确定，因此在本文后面的计算中忽略 $\sigma $ 。

给定初始条件

$R\left( 0 \right)\;,\;\;P\left( {x,0} \right),\;\;Q\left( {x,0} \right)$

(10)

在本文中，式(10)是径向对称的，考虑径向对称解，并令 ${{v}} = \dfrac{x}{{\left| {{x}} \right|}}\bar u,\;\;\;\left| x \right| \leqslant R\left( t \right)$ 。对模型进行无量纲化，令 $p = \dfrac{P}{N},{\kern 1pt} {\kern 1pt} \;\;{\kern 1pt} q = \dfrac{Q}{N},\;\;c = \dfrac{C}{{\bar C}},$ 则由方程组(1)~(10)可得如下等价的方程组

$\frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {{r^2}\frac{{\partial c}}{{\partial r}}} \right) = \lambda c,\;\;\;\;0 < r < R\left( t \right),\;\;t > 0$

(11)

$\;\frac{{\partial c}}{{\partial r}}\left( {0,t} \right) = 0,\;\;r = 0,\;\;t > 0\;$

(12)

$ \;\frac{{\partial c}}{{\partial r}} + \alpha \left( {c - 1} \right) = 0,\;\;r = R\left( t \right),\;\;t > 0 $

(13)

$ \begin{split} & \frac{{\partial p}}{{\partial t}} + \bar u\frac{{\partial p}}{{\partial r}} = ({K_B}\left( c \right) - {K_Q}\left( c \right) - {K_A}\left( c \right))p + {K_P}\left( c \right)q -\\& \left( {\left( {{K_B}\left( c \right) + {K_R}} \right)p\; + {K_R}q - {K_R}} \right)p,\;\;0 \leqslant r \leqslant R\left( t \right),\;\;t > 0 \end{split} $

(14)

$ \begin{split} & \frac{{\partial q}}{{\partial t}} + \bar u\frac{{\partial q}}{{\partial r}} = {K_Q}\left( c \right)p - ({K_P}\left( c \right) + {K_D}\left( c \right))q - \\&\left( {\left( {{K_B}\left( c \right) + {K_R}} \right)p\; + {K_R}q - {K_R}} \right)q,\;\;0 \leqslant r \leqslant R\left( t \right),\;\;t > 0 \end{split} $

(15)

$\frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {{r^2}\bar u} \right) \!=\! \left( {{K_B}\left( c \right) \!+\! {K_R}} \right)p \!+\! {K_R}q - {K_R},\;\;0 < r \leqslant R\left( t \right),\;\;t \!>\! 0$

(16)

$\bar u\left( {0,t} \right) = 0,\;\;t > 0$

(17)

$\frac{{{\rm{d}}R\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} = \bar u\left( {R\left( t \right),t} \right),\;\;\;t > 0$

(18)

其中 $R\left( 0 \right),\;\;p\left( {r,0} \right),\;\;q\left( {r,0} \right)$ 为初值，且式(14)~(16)中的 ${K_i}( C ) = {K_i}( {c\bar C} ),\;i = A,B,D,P,Q$ 。

在本文的第2节中，将径向对称问题转换为固定域中的方程组。在第3~4节中，证明了方程组整体解的存在性和唯一性。最后，在第5节中，考虑一个特殊情况：肿瘤中的死亡细胞根本没有消解，即 ${K_R} = 0,$ 并证明了当 $t \to \infty $ 时，有 $R\left( t \right) \to \infty $ 。

2 转换方程组

为了能够更简便地求解以上方程组，本文将其转换为一个与之等价的固定区域进行求解。考虑营养物浓度的方程及边界条件^[12]，可得

$c\left( {r,t} \right) = \dfrac{\alpha }{{\left( {\left. {\sqrt \lambda \coth \left( {\sqrt \lambda R} \right) - \dfrac{1}{R} + \alpha } \right)} \right.}} \cdot \dfrac{{\dfrac{{\sinh \left( {\sqrt \lambda r} \right)}}{r}}}{{\dfrac{{\sinh \left( {\sqrt \lambda R} \right)}}{R}}}$

令 $z = \dfrac{r}{{R\left( t \right)}}$ ，则有

$\begin{array}{l} c\left( {z,R} \right) = \dfrac{\alpha }{{\left( {\left. {\sqrt \lambda \coth \left( {\sqrt \lambda R} \right) - \dfrac{1}{R} + \alpha } \right)} \right.}} \cdot \dfrac{{\sinh \left( {\sqrt \lambda Rz} \right)}}{{z\sinh \left( {\sqrt \lambda R} \right)}},\\ 0 < z \leqslant 1,\;\;R > 0, \\ c\left( {0,R} \right) = \dfrac{\alpha }{{\left( {\left. {\sqrt \lambda \coth \left( {\sqrt \lambda R} \right) - \dfrac{1}{R} + \alpha } \right)} \right.}} \cdot \dfrac{{\sqrt \lambda R}}{{\sinh \left( {\sqrt \lambda R} \right)}},\;R > 0 \end{array} $

(19)

引入新的函数 $p\left( {z,t} \right) = p\left( {r,t} \right),\;\;q\left( {z,t} \right) = q\left( {r,t} \right), u\left( {z,t} \right) = \dfrac{{\bar u\left( {r,t} \right)}}{{R\left( t \right)}},$ 其中 $0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t \geqslant 0$ 。从而得到方程组(11)~(18)的等价方程组

$\begin{split} & \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\! +\! {{v}}\frac{{\partial p}}{{\partial z}} \!=\! ({K_B}\left( c \right) \!-\! {K_Q}\left( c \right) \!-\! {K_A}\left( c \right))p + {K_P}\left( c \right)q\; - \\&\left( {\left( {{K_B}\left( c \right) + {K_R}} \right)p} \right. + {K_R}q - \left. {{K_R}} \right)p,\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t > 0 \end{split}$

(20)

$\begin{split} & \frac{{\partial q}}{{\partial t}} + {{v}}\frac{{\partial q}}{{\partial z}} = {K_Q}\left( c \right)p - ({K_P}\left( c \right) + {K_D}\left( c \right))q\; -\\& \left( {\left( {{K_B}\left( c \right) + {K_R}} \right)p + } \right.{K_R}q - \left. {{K_R}} \right)\;q,\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t > 0 \end{split}$

(21)

${{v}}\left( {z,t} \right) = u\left( {z,t} \right) - zu\left( {1,t} \right),\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t > 0$

(22)

$\frac{1}{{{z^2}}}\frac{\partial }{{\partial z}}( {{z^2}u}) = \left( {{K_B}\left( c \right) + {K_R}} \right)p + {K_R}q - {K_R},\;\;\;0 < z \leqslant 1,\;\;t > 0$

(23)

$u\left( {0,t} \right) = 0,\;\;t > 0$

(24)

$\frac{{{\rm{d}}R\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} = R\left( t \right)u\left( {1,t} \right),\;\;\;t > 0$

(25)

$R\left( 0 \right) = {R_0},\;\;p\left( {z,0} \right) = {p_0}\left( z \right),\;\;q\left( {z,0} \right) = {q_0}\left( z \right),\;\;0 \leqslant z \leqslant 1$

(26)

其中

$R\left( 0 \right) > 0,\;{p_0}\left( z \right) \geqslant 0,\;{q_0}\left( z \right) \geqslant 0,\;{p_0}\left( z \right) + \;{q_0}\left( z \right) \leqslant 1,\;0 \leqslant z \leqslant 1$

(27)

为方便计算，把式(23)化为以下的积分形式

$\begin{split} & u\left( {z,t} \right) = \frac{1}{{{z^2}}}\int_0^z {\left( {\left( {{K_B}\left( {c\left( {\rho ,R\left( t \right)} \right)} \right) + {K_R}} \right)} \right.} p\left( {\rho ,t} \right) + \\& \left. {{K_R}q\left( {\rho ,t} \right) - {K_R}} \right){\rho ^2}{\rm{d}}\rho \end{split} $

(28)

则式(25)可改写为

$\begin{split} & \frac{{{\rm{d}}R\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} = R\left( t \right)\int_0^1 {\left( {\left( {{K_B}\left( {c\left( {z,R\left( t \right)} \right)} \right) + {K_R}} \right)p\left( {z,t} \right)} \right.} +\\& \left. {{K_R}q\left( {z,t} \right) - {K_R}} \right){z^2}{\rm{d}}z \end{split}$

(29)

又因为 $d = 1 - p - q,$ 得到关于 $d$ 的方程

$\begin{split} & \frac{{\partial d}}{{\partial t}} + v\frac{{\partial d}}{{\partial z}} = {K_A}\left( c \right)p + {K_D}\left( c \right)q\; - \\&\left( {\left. {{K_B}\left( c \right)p - {K_R}d + {K_R}} \right)} \right.\;d,\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t > 0 \end{split}$

(30)

通过式(19)，发现 $c\left( {z,R} \right)$ 关于 $z$ 严格递增，关于 $R$ 严格递减，且有

$\mathop {\lim }\limits_{R \to 0} c\left( {z,R} \right) = 1\;\;\;\;\left( {0 \leqslant z \leqslant 1} \right)$

以及

$\mathop {\lim }\limits_{R \to \infty } c\left( {z,R} \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;\;\;\;0 \leqslant z < 1 \\ 1,\;\;\;\;z = 1 \end{array} \right.$

3 证明等价方程组局部解的存在性和唯一性

定理1 　令 ${\delta _0} \leqslant {R_0} \leqslant {1/{{\delta _0}\left( {{\delta _0} > 0} \right)}}$ 且

$p\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;q\left( {z,t} \right) \geqslant 0\;,\;\;\left| {\left( {p\left( {z,t} \right),q\left( {z,t} \right)} \right)} \right| \leqslant 2{M_0}$

则对于 $0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t \leqslant T,$ 只要T足够小，方程(20)~(26)存在唯一解，其中 ${M_0}$ 是一个正常数。

在进行证明之前，本文先作出如下假设：

(a) ${K_i}\left( c \right)\left( {i = A,\;B,\;D,\;P,\;Q} \right)$ 在 $0 \leqslant c \leqslant 1$ 上都是非负连续可导函数，且

${K_B}\left( c \right) > {K_A}\left( c \right),\;\;\;{K'_B}\left( c \right) > 0,\;\;{K'_p}\left( c \right) > 0,\;\;\;\;0 \leqslant c \leqslant 1$

${K_B}\left( 0 \right) = {K_P}\left( 0 \right) = 0$

$\begin{split} & {K'_A}\left( c \right) \leqslant 0,\;{K'_D}\left( c \right) < 0,\;{K'_Q}\left( c \right) < 0\\ &{K'_B}\left( c \right) + {K'_D}\left( c \right) > 0,\;0 \leqslant c \leqslant 1 \end{split}$

${K_A}\left( 1 \right) = {K_D}\left( 1 \right) = {K_Q}\left( 1 \right) = 0$

(b) ${p_0}\left( z \right)$ 和 ${q_0}\left( z \right)$ 在 $0 \leqslant z \leqslant 1$ 上是连续可微的，而且满足式(27)。

由文献[13]可得 ${K'_B}\left( c \right) + {K'_D}\left( c \right) > 0$ 。在本节和下一节中，假设 $0 \leqslant {K_R} < \infty $ 。令 $g\left( {z,R,p,q} \right) = \left( {{K_B}\left( {c\left( {z,R} \right)} \right) + } \right. \left. {{K_R}} \right)p + {K_R}q - {K_R},$ 则式(28)化为

$\begin{split} & u\left( {z,t} \right) = \frac{1}{{{z^2}}}\int_0^z {g\left( {\rho ,R\left( t \right),p\left( {\rho ,t} \right),q\left( {\rho ,t} \right)} \right)} {\rho ^2}{\rm{d}}\rho ,\\&0 < z \leqslant 1,\;\;t > 0 \end{split}$

为了证明局部解的存在唯一性，先引入一个度量空间 ${X_T}$ 。给定 $T > 0$ ，定义 ${X_T}$ 上的函数 $\left( {R\left( t \right),} \right. p\left( {z,t} \right),\; \left. {q\left( {z,t} \right)} \right)$ ，满足以下条件：

(i) $R\left( t \right) \in C\left[ {0,T} \right],\;\;R\left( 0 \right) = {R_0}$ 且有

$\left| {R\left( t \right) - {R_0}} \right| \leqslant \delta ,\;\;0 \leqslant t \leqslant T$

(31)

其中 $\delta $ 是一个任意的固定数且 $0 < \delta < {R_0}$ (例如，可能取 $\delta = {{{R_0}} / 2}$ )；

(ii) $p\left( {z,t} \right),q\left( {z,t} \right) \in C\left( {\left[ {0,1} \right] \times \left[ {0,T} \right]} \right),\;p\left( {z,0} \right)$ $ = {p_0}\left( z \right), q\left( {z,0} \right) = {q_0}\left( z \right)$ 且有

$\begin{split} & p\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;q\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;\left| {\left( {p\left( {z,t} \right),q\left( {z,t} \right)} \right)} \right| \leqslant 2{M_0},\\&0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t \leqslant T \end{split}$

定义 ${X_T}$ 中的度量 $\;\rho $ 为

$\begin{split} & \rho \left( {\left( {{R_1},{p_1},{q_1}} \right),\left( {{R_2},{p_2},{q_2}} \right)} \right) = \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \left| {{R_1}\left( t \right) - {R_2}\left( t \right)} \right| +\\& \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant z \leqslant 1,0 \leqslant t \leqslant T} \left| {\left( {\left( {{p_1}\left( t \right) - {p_2}\left( t \right)),{q_1}\left( t \right) - {q_2}\left( t \right)} \right)} \right)} \right| \end{split}$

显然 ${X_T}$ 是一个完备的度量空间。

定义映射 ${\cal F}:{X_T} \to {X_T}$ 的具体形式为

$\frac{{\partial \tilde p}}{{\partial t}} + {{v}}\frac{{\partial \tilde p}}{{\partial z}} = {a_{11}}\left( {z,t} \right)\tilde p + {a_{12}}\left( {z,t} \right)\tilde q,\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 < t \leqslant T$

$ \begin{split} & \frac{{\partial \tilde q}}{{\partial t}} + {{v}}\frac{{\partial \tilde q}}{{\partial z}} = {a_{21}}\left( {z,t} \right)\tilde p + {a_{22}}\left( {z,t} \right)\tilde q,\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 < t \leqslant T,\\& \tilde p\left( {z,0} \right) = {p_0}\left( z \right),\;\;\tilde q\left( {z,0} \right) = {q_0}\left( z \right),\;\;0 \leqslant z \leqslant 1 \end{split} $

$\frac{{{\rm{d}}\tilde R\left( t \right)}}{{{\rm{d}}t}} = \tilde R\left( t \right)u\left( {1,t} \right),\;\;\;0 < t \leqslant T$

(32)

$\tilde R\left( 0 \right) = {R_0}$

(33)

其中

$ \begin{split} & {a_{12}} = {K_P}( c ),\;{a_{11}} = {K_B}( c ) - {K_Q}( c ) - {K_A}( c ) - \\&( {{K_B}( c ) + {K_R}} )p + {K_R}q - {K_R}\\& {a_{21}} = {K_Q}( c ),\;{a_{22}} = {K_R} - {K_R}q - {K_P}( c ) -\\& {K_D}( c ) - ( {{K_B}( c ) + {K_R}} )p \end{split} $

显然，方程(32)~(33)有唯一解 $\tilde R\left( t \right) \in {C^1}\left[ {0,T} \right]$ ，且有

$\tilde R\left( t \right) = {R_0}\exp \left( {\int_0^t {u\left( {1,\tau } \right)} {\rm{d}}\tau } \right),\;\;\;\;\;\;0 \leqslant t \leqslant T$

(34)

因此

$ \begin{split} & | {g( {z,R( t ),p( {z,t} ),q( {z,t} )} )} | \leqslant ( {{K_B}( 1 ) + {K_R}} )( {{M_0} + 1} ) + \\& {K_R}( {{M_0} + 1} ) + {K_R} \equiv {M_1}\;({M_1}{\text{为一个正数}}) \end{split}$

有 $\left| {u\left( {1,t} \right)} \right| \leqslant {{{M_1}} / 3}$ ，由此可以得到

$\left| {\tilde R\left( t \right) - {R_0}} \right| \leqslant \frac{1}{3}{R_0}{M_1}T{{\rm{e}}^{\frac{1}{3}{M_1}T}},\;\;\;\;\;\;\;0 \leqslant t \leqslant T$

因此，当 $T$ 足够小时， $\tilde R\left( t \right)$ 满足式(31)，即 $\tilde R\left( t \right)$ 满足条件(i)。

由文献[9]中的Lemma 4.2和Lemma 4.3得，当 $T$ 足够小时，有

$\begin{split} & \tilde p\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;\tilde q\left( {z,t} \right) \geqslant 0\;,\;\;\left| {\left( {\tilde p\left( {z,t} \right),\tilde q\left( {z,t} \right)} \right)} \right| \leqslant 2{M_0},\\& 0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t \leqslant T \end{split}$

因此， $\tilde p\left( t \right),\;\tilde q\left( t \right)$ 满足条件(ii)。

由(i)、(ii)的结论可知：对于足够小的 $T$ ， ${\cal{F}}$ 是 ${X_T}$ 自身到自身的映射。

下证当 $T$ 如果足够小， ${\cal{F}}$ 为压缩映射。设 $( {R_i},{p_i}, {q_i} ) \in {X_T}$ ，其中 $i = 1,2$ 且令

$\begin{split} & {u_i}\left( {z,t} \right) = \frac{1}{{{z^2}}}\int_0^z {g\left( {\rho ,{R_i}\left( t \right),{p_i}\left( {\rho ,t} \right),{q_i}\left( {\rho ,t} \right)} \right)} {\rho ^2}{\rm{d}}\rho \\& {v_i}\left( {z,t} \right) = {u_i}\left( {z,t} \right) - z{u_i}\left( {1,t} \right) \end{split}$

$\left( {{{\tilde R}_i},{{\tilde p}_i},{{\tilde q}_i}} \right) = {\cal{F}}\left( {{R_i},{p_i},{q_i}} \right),\;\;\rho = \rho \left( {\left( {{R_1},{p_1},{q_1}} \right),\left( {{R_2},{p_2},{q_2}} \right)} \right)$

通过直接计算，可得

$\left| {{u_1}\left( {z,t} \right) - {u_2}\left( {z,t} \right)} \right| \leqslant {M_2}\rho ,\;\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t \leqslant T$

因此，根据式(34)，有

$\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \left| {{{\tilde R}_1}\left( t \right) - {{\tilde R}_2}\left( t \right)} \right| \leqslant {M_3}T\rho $

(35)

其中 ${M_3}$ 表示独立于 $T$ 的常数。

利用文献[9]中的方法，从而有

$\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \left| {\left( {\left( {{{\tilde p}_1}\left( t \right) - {{\tilde p}_2}\left( t \right)),{{\tilde q}_1}\left( t \right) - {{\tilde q}_2}\left( t \right)} \right)} \right)} \right| \leqslant TC\left( T \right)\rho $

(36)

其中 $C\left( T \right)$ 是一个只与T有关的常数。结合式(35)~(36)，可得

$\begin{split} & \rho \left( {\left( {{{\tilde R}_1},{{\tilde p}_1},{{\tilde q}_1}} \right),\left( {{{\tilde R}_2},{{\tilde p}_2},{{\tilde q}_2}} \right)} \right) \leqslant \\& \left( {{M_3} + C\left( T \right)} \right)T\rho \left( {\left( {{R_1},{p_1},{q_1}} \right),\left( {{R_2},{p_2},{q_2}} \right)} \right) \end{split}$

因此，只要T足够小，使得 $\left( {{M_3} + C\left( T \right)} \right)T < 1$ ，则 ${\cal{F}}$ 为压缩映射，定理1证毕。

4 整体解

在本节中，主要证明以下定理：

定理2 　方程(20)~(26)对于 $0 \leqslant z \leqslant 1,\;0 \leqslant t < \infty $ 有唯一解，并且具有以下性质：

$p\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;q\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;p\left( {z,t} \right) + q\left( {z,t} \right) \leqslant 1$

(37)

${R_0}{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}{K_R}t}} \leqslant R\left( t \right) \leqslant {R_0}{{\rm{e}}^{\frac{1}{3}{K_B}\left( 1 \right)t}}$

(38)

$ - \frac{1}{3}{K_R} \leqslant \frac{{\dot R\left( t \right)}}{{R\left( t \right)}} \leqslant \frac{1}{3}{K_B}\left( 1 \right)$

(39)

证明 　根据定理1，要证明方程组的解在 $0 \leqslant t < T$ 成立，其中 $T > 0$ 且是任意的，只需证明式(37)~(38)以及

$\left| {\frac{{\partial p\left( {z,t} \right)}}{{\partial z}}} \right| \leqslant C\left( T \right),\;\;\;\;\;\;\left| {\frac{{\partial q\left( {z,t} \right)}}{{\partial z}}} \right| \leqslant C\left( T \right)$

(40)

在 $0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t < T$ 成立，其中 $C\left( T \right)$ 是一个只与T有关的常数。

为了证明式(37)，令 ${\tilde{ \tilde p}}\left( {\xi ,t} \right) = \tilde p\left( {z\left( {\xi ,t} \right),t} \right)$ ， ${ \tilde {\tilde q}}\left( {\xi ,t} \right) = \tilde q\left( {z\left( {\xi ,t} \right),t} \right),$ 则

$ \begin{split} & \frac{{\partial {\tilde{ \tilde p}}\left( {\xi ,t} \right)}}{{\partial t}} = {a_{11}}\left( {\xi ,t} \right){\tilde{ \tilde p}}\left( {\xi ,t} \right) + {a_{12}}\left( {\xi ,t} \right){ \tilde {\tilde q}}\left( {\xi ,t} \right) \\& \frac{{\partial{ \tilde {\tilde q}}\left( {\xi ,t} \right)}}{{\partial t}} = {a_{21}}\left( {\xi ,t} \right){\tilde{ \tilde p}}\left( {\xi ,t} \right) + {a_{22}}\left( {\xi ,t} \right){ \tilde {\tilde q}}\left( {\xi ,t} \right) \end{split}$

这里的 ${a_{ij}}$ 都是连续函数且有

$\begin{split} & {a_{12}}\left( {\xi ,t} \right) = {K_P}\left( {c\left( {z\left( {\xi ,t} \right),R\left( t \right)} \right)} \right) \geqslant 0,\\& {a_{21}}\left( {\xi ,t} \right) = {K_Q}\left( {c\left( {z\left( {\xi ,t} \right),R\left( t \right)} \right)} \right) \geqslant 0 \end{split}$

因为 ${\tilde{ \tilde p}}\left( {\xi ,0} \right) = {p_0}\left( \xi \right) \geqslant 0$ 且 ${ \tilde {\tilde q}}\left( {\xi ,0} \right) = {q_0}\left( \xi \right) \geqslant 0$ ，通过运用常微分方程组的比较定理(参见文献[14])，可以推出：对 $0 \leqslant \xi \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t < T,$ 有

${\tilde{ \tilde p}}\left( {\xi ,t} \right) \geqslant 0,\;\;\;\;\;\;{ \tilde {\tilde q}}\left( {\xi ,t} \right) \geqslant 0$

成立。则对 $0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;0 \leqslant t < T,$ 有

$p\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;q\left( {z,t} \right) \geqslant 0$

成立。将其代入式(30)，可得

$\frac{{\partial d}}{{\partial t}}\! +\! v\frac{{\partial d}}{{\partial z}} \!+\! \left( {\left. {{K_B}\left( c \right)p \!- \!{K_R}d + {K_R}} \right)} \right.d \geqslant 0,\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;0 \leqslant t < T$

由于当 $0 \leqslant z \leqslant 1$ 时，有 $d\left( {z,0} \right) = 1 - {p_0}\left( z \right) - {q_0}\left( z \right) \geqslant 0$ ，同理，可得： $d\left( {z,t} \right) \geqslant 0$ ，即： $p\left( {z,t} \right) + q\left( {z,t} \right) \leqslant 1$ 对 $0 \leqslant z \leqslant 1, 0 \leqslant t < T$ 成立。

结合式(29)和式(37)，可得

$\dot R\left( t \right) \geqslant - {K_R}R\left( t \right)\int_0^1 {{z^2}} {\rm{d}}z = - \frac{1}{3}{K_R}R\left( t \right),\;\;0 < t < T$

且有

$ \begin{split} & \dot R\left( t \right) = R\left( t \right)\int_0^1 {\left( {{K_B}\left( {c\left( {z,R\left( t \right)} \right)} \right)p\left( {z,t} \right) - } \right.} \\&\left. {{K_R}\left( {1 - p\left( {z,t} \right) - q\left( {z,t} \right)} \right)} \right){z^2}{\rm{d}}z \leqslant {K_B}\left( 1 \right)R\left( t \right)\int_0^1 {{z^2}{\rm{d}}z} = \\&\frac{1}{3}{K_B}\left( 1 \right)R\left( t \right),\;\;0 < t < T \end{split} $

即式(39)成立。由式(39)可以直接推出式(38)。而由文献[9]的Lemma 4.2，可知式(40)成立，定理2证毕。

5 K_R=0时

当 ${K_R} = 0$ 时，意味着肿瘤中的死亡细胞完全没有消解，则通过式(29)，有

$\dot R\left( t \right) = R\left( t \right)\int_0^1 {{K_B}\left( {c\left( {z,R\left( t \right)} \right)} \right)p\left( {z,t} \right)} {z^2}{\rm{d}}z \geqslant 0$

(41)

因为 $R\left( t \right)$ 关于 $t$ 单增，但同时随着 $R\left( t \right)$ 的增大，营养物浓度 $c\left( {z,R\left( t \right)} \right)$ 降低，所以增殖率 ${K_B}\left( c \right)$ 也降低。从而，当 $t \to \infty $ 时， $R\left( t \right)$ 趋于 $\infty $ 还是保持有界尚不清楚。在本节中主要证明，在以下假设的基础上， $R\left( t \right)$ 趋于 $\infty $ 。

$p\left( {z,0} \right) \ne 0,\;{p_z}\left( {z,0} \right) \geqslant 0,\;{d_z}\left( {z,0} \right) \leqslant 0,\;\;0 \leqslant z \leqslant 1$

(42)

${K_D}\left( c \right) \geqslant {K_A}\left( c \right),\;\;0 \leqslant c \leqslant 1$

(43)

式(42)与实验结果有关，即死亡细胞倾向于集中在肿瘤的内部区域，而繁衍态细胞倾向于集中在肿瘤的外部区域。而式(43)基于事实：休眠态细胞的死亡速率大于繁衍态细胞的死亡速率。

定理 3 　假设 ${K_R} = 0$ 且式(42)、(43)成立。则

$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } R\left( t \right) = \infty $

(44)

为了证明这个结论，需要给出以下引理。

引理 1 　令 ${K_R} = 0$ 并假设式(42)、(43)成立。则

${p_z}\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;\;{d_z}\left( {z,t} \right) \leqslant 0,\;\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t \geqslant 0$

证明 　令 $\psi = 1 - d = p + q$ 。则 ${\psi _z} = - {d_z},$ 将式(30)对 $z$ 进行微分并用 ${\psi _z} - {p_z}$ 替换 ${q_z},$ 得到

$\frac{{\partial {\psi _z}}}{{\partial t}} + {{v}}\frac{{\partial {\psi _z}}}{{\partial z}} = {b_{11}}{\psi _z} + {b_{12}}{p_z} + {b_{10}}$

其中

$\begin{split} & {b_{10}} = \left( {\left. {{{K_B'}}\left( c \right)dp - {{K_A'}}\left( c \right)p - {{K_D'}}\left( c \right)q} \right)} \right.{c_z},\\& {b_{11}} = - {v_z} - {K_B}\left( c \right)p - {K_D}\left( c \right),\\& {b_{12}} = {K_B}\left( c \right)d + {K_D}\left( c \right) - {K_A}\left( c \right) \end{split}$

类似地，对式(20)关于 $z$ 进行微分，得到

$\frac{{\partial {p_z}}}{{\partial t}} + {{v}}\frac{{\partial {p_z}}}{{\partial z}} = {b_{21}}\;{\psi _z} + {b_{22}}{p_z} + {b_{20}}$

其中

$\begin{split} & {b_{20}}\! =\! \left( {\left. {\left( {\left. {{{K'}_B}\left( c \right)\left( {1 \!-\! p} \right) \!-\! {{K'}_Q}\left( c \right) \!- \!{{K'}_A}\left( c \right)} \right)p \!+\! {{K'}_P}\left( c \right)q} \right.} \right)} \right.{c_z},\\& {b_{21}} = {K_P}\left( c \right),\\& {b_{22}} = - {v_z} + {K_B}\left( c \right)\left( {1 - 2p} \right) - {K_P}\left( c \right) - {K_Q}\left( c \right) - {K_A}\left( c \right) \end{split}$

则根据式(43)和假设(a)可得， ${b_{10}},{b_{12}},{b_{20}}$ 和 ${b_{21}}$ 均是非负数。因此通过比较原理，可得：对 $0 \leqslant z \leqslant 1,\;t \geqslant 0,$ 有 ${\psi _z}\left( {z,t} \right) \geqslant 0,\;{p_z}\left( {z,t} \right) \geqslant 0$ 。引理1证毕。

引理 2 　令 ${K_R} = 0$ 并假设式(42)~(43)成立。则对 $\forall 0 \leqslant z \leqslant 1,\;t \geqslant 0,$ 有 ${{v}}\left( {z,t} \right) \leqslant 0$ 。

证明 　由于 ${{v}}\left( {z,t} \right) = u\left( {z,t} \right) - zu\left( {1,t} \right)$ 且 $\dfrac{{\partial u}}{{\partial z}} + \dfrac{2}{z}u = {K_B}\left( c \right)p,$ 则

$\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial {{v}}}}{{\partial z}} + \frac{2}{z}{{v}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial z}} + \frac{2}{z}u} \right) = {K_B}\left( c \right){p_z} + {K'_B}\left( c \right)p{c_z}$

所以，由引理1可得

$\frac{{{\partial ^2}{{v}}}}{{\partial {z^2}}} + \frac{2}{z}\frac{{\partial {{v}}}}{{\partial z}} - \frac{2}{{{z^2}}}{{v}} \geqslant 0\;,\;\;0 < z < 1,\;\;t > 0$

因为对 $\forall t \geqslant 0,\;$ 有 ${{v}}\left( {0,t} \right) = {{v}}\left( {1,t} \right) = 0,$ 所以 ${{v}} \leqslant 0$ (最大值原理)。引理2证毕。

令 $\bar p = \bar p\left( {z,t} \right)$ 是初值问题的解

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{{\partial \bar p\left( {z,t} \right)}}{{\partial t}} = ( {K_B}\left( c \right) - {K_Q}\left( c \right) - {{K_A}\left( c \right) - {K_B}\left( c \right)\bar p} )\bar p,\\& 0 \leqslant z \leqslant 1,\;t > 0 \\& \bar p\left( {z,0} \right) = p\left( {z,0} \right),\;\;\;\;\;\;0 \leqslant z \leqslant 1 \end{aligned} \right.$

(45)

且该初值问题对于 $\forall 0 \leqslant z \leqslant 1,\;t \geqslant 0$ 有唯一解。

引理 3 　假设 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } R\left( t \right) = {R_\infty } < \infty ,$ 并且 $p\left( {z,0} \right)$ 连续， $p\left( {z,0} \right) \geqslant 0,\;p\left( {z,0} \right)\not \equiv 0,\;0 \leqslant z \leqslant 1,$ 则

$\begin{split} & \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \bar p\left( {z,t} \right) = {\bar p_\infty }\left( z \right) \equiv \\& \max \left\{ {\left. {0,1 - \frac{{\left( {{K_A} + {K_Q}} \right)c\left( {z,{R_\infty }} \right)}}{{{K_B}\left( {c\left( {z,{R_\infty }} \right)} \right)}}} \right\}} \right.,\;0 \leqslant z \leqslant 1 \end{split}$

证明(定理3) 　由式(41)可知 $R\left( t \right)$ 关于 $t$ 单调递增，若式(44)不成立，则当 $t \to \infty $ 时，有 $R\left( t \right) \to {R_\infty }$ 且 ${R_\infty } < \infty ,$ 下面用反证法证明。

令 $\bar p = \bar p\left( {z,t} \right)$ 如引理3所定义。结合引理1、2和式(20)，有

$\frac{{\partial p}}{{\partial t}} \!\geqslant \!\left( {{K_B}\left( c \right) \!-\! {K_Q}\left( c \right) \!-\! } \right.\left. {{K_A}\left( c \right)\! -\! {K_B}\left( c \right)p} \right)p,\;\;\;0\! \leqslant\! z \!\leqslant\! 1,\;\;t > 0$

因此，利用比较原理和式(45)，有

$p\left( {z,t} \right) \geqslant \bar p\left( {z,t} \right),\;\;\;\;\;\;0 \leqslant z \leqslant 1,\;\;t \geqslant 0$

令 $V\left( t \right) = \dfrac{1}{3}{R^3}\left( t \right),$ 则

$\begin{split} & \dot V\left( t \right) = {R^3}\left( t \right)\int_0^1 {{K_B}\left( {c\left( {z,R\left( t \right)} \right)} \right)p\left( {z,t} \right)} {z^2}dz \geqslant\\& {K_B}\left( {c\left( {0,{R_\infty }} \right)} \right){R^3}\left( t \right)\int_0^1 {\bar p\left( {z,t} \right)} {z^2}{\rm{d}}z \end{split}$

由引理3可得：对 $\forall 0 \leqslant z \leqslant 1,$ 有 ${\bar p_\infty }\left( z \right) \geqslant 0$ 且 ${\bar p_\infty }\left( z \right)\not \equiv 0$ ，则

$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \inf \dot V\left( t \right) \geqslant {K_B}\left( {c\left( {0,{R_\infty }} \right)} \right)\;{R_\infty }^3\int_0^1 {{{\bar p}_\infty }\left( z \right)} {z^2}{\rm{d}}z > 0$

即 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } V\left( t \right) = \infty $ ，因此与 ${R_\infty } < \infty $ 矛盾，定理3证毕。