投资组合选择是指在可供选择的多种资产上科学地分配财富，从而达到最大化收益、最小化风险等目的。Markowitz^[1]提出了均值−方差(Mean-variance, MV)模型，为现代投资组合理论奠定了基础。该模型假设资产的收益为随机变量，分别用均值和方差度量资产组合的收益和风险。随后，许多学者在MV模型的基础上进行了广泛的推广^[2-4]。

传统的投资组合模型大多基于随机环境，利用随机变量来刻画资产价格的不确定性。然而，在现实金融市场中投资组合决策往往受到许多非概率因素的影响，如专家意见、投资者情绪等，这些因素在很大程度上表现为模糊不确定性。自Zadeh^[5]提出了模糊集合理论后，许多学者借助该理论研究不确定环境下的投资组合问题，并取得了丰富的研究成果^[6-9]。上述文献均采用可能性测度刻画金融市场的模糊不确定性，但是可能性测度存在一定的局限性，即它不满足自对偶性。为改善这一缺陷，Liu等^[10]提出了一个具有自对偶性的模糊测度，即可信性测度。Kamdem等^[11]定义了模糊变量的可信性矩和半矩，提出了一个均值−方差−偏度−半峰度模糊投资组合模型。王灿杰等^[12]建立了带融资约束的可信性均值−熵−偏度投资组合模型。Zhang^[13]考虑交易费用对投资组合的影响，提出了具有不同交易费用的均值−方差随机可信性投资组合模型。

卖空交易对证券市场稳定以及价格发现都具有积极的作用。刘明明等^[14]考虑了允许卖空的情形，在存在摩擦的金融市场中构建了一个均值−绝对离差投资组合模型。张鹏等^[15]假定卖空所得资金与自有资本的比例为定值且资产交易量具有上界限制，提出了限制性卖空情况下的均值−方差投资组合模型。李晨等^[16]考虑了允许卖空情形下包含多约束的均值−绝对偏差投资组合模型。孙薇等^[17]考虑允许卖空和不允许卖空的投资组合问题，建立了具有投资限制的模糊随机均值−方差投资组合模型。

在现实投资决策中，投资者通常需要不断地调整投资策略，即投资决策过程是多期的。Guo等^[18]基于可信性理论研究资产具有不同投资期限情况下的投资组合问题，构建了一个带V型交易费用的多期模糊投资组合模型。Gupta等^[19]研究了乐观与悲观情形下的投资组合问题，建立了多期直觉模糊投资组合选择模型。在实际投资过程中，当投资者的财富低于预定水平时，其将面临破产的情形，故有必要对破产事件的发生进行控制。徐维军等^[20]构建了一个具有破产风险约束的多项目模糊投资组合模型。Liu等^[21]提出了一个模糊环境下具有破产控制和反馈控制的多期投资组合模型。Cao^[22]研究了一种基于破产风险控制的多期模糊投资组合模型。

本文研究模糊环境下考虑限制性卖空的多期投资组合优化问题。假设投资者当前持有一个资产组合，计划连续投资若干期，在每期期初将财富重新分配于各资产上。考虑到现实证券交易中存在卖空操作，因此允许投资者在投资过程中进行有一定限额的卖空交易。首先，将资产收益视为梯形模糊数，用可信性期望和下半方差分别度量资产组合的收益和风险。其次，引入单期最低期望收益约束、破产控制约束与投资比例边界约束等约束，以最大化终端累积财富和偏度、最小化终端累积风险为目标，构建考虑限制性卖空的多期可信性均值−下半方差−偏度投资组合优化模型，并采用加权极大−极小模糊规划方法将该模型转化为单目标规划模型。然后，设计一个多种群粒子群算法进行求解。最后，利用真实股票数据进行数值算例分析，说明所提出的优化模型及求解算法的可行性和实用性。

1 预备知识

本节简要地介绍本文所涉及的模糊数学相关知识。

对于任意的 $x \in {\rm{R}}$ ，隶属函数 $\mu \left( x \right)$ 表示模糊变量 $\xi = x$ 的可能性。若模糊变量 $\xi $ 的隶属函数 $\mu \left( x \right)$ 满足如下形式

$\mu \left( x \right)=\left\{ \begin{aligned} &{\dfrac{{x - \left( {a - \alpha } \right)}}{\alpha }{\rm{,\;}}}{a - \alpha < x \leqslant a\;}\\ &{1{\rm{,\;}}}\qquad\qquad{a < x \leqslant b} \\ &{\dfrac{{\left( {b + \beta } \right) - x}}{\beta }{\rm{,\;}}}{b < x \leqslant b + \beta \;}\\ &{0{\rm{,\;}}}\qquad\qquad{{\text{其他}}\;} \end{aligned} \right.$

(1)

则称 $\xi $ 为梯形模糊数，记为 $\xi = \left( {a,b,\alpha ,\beta } \right)$ 。

定义1^[23] 　设模糊变量 $\xi $ 的隶属函数为 $\mu \left( x \right)$ 。对于任意的 $\gamma \in \left( {0,1} \right]$ ，称集合 $\left\{x\in {\bf{R}}:\mu \left(x\right) \geqslant \gamma \right\}$ 为模糊变量 $\xi $ 的 $\gamma $ 水平截集。

易知，梯形模糊数 $\xi = \left( {a,b,\alpha ,\beta } \right)$ 的 $\gamma $ 水平截集为

${\left[ \xi \right]^\gamma } = \left[ {a - \alpha + \alpha \gamma ,b + \beta - \beta \gamma } \right]$

(2)

定义2^[10] 　对于任意的 $r \in {\bf{R}}$ ，模糊事件 $ \left\{\xi \leqslant r\right\}$ 的可能性、必要性与可信性分别定义为

$ {\rm{Pos}}\left\{\xi \leqslant r\right\}=\underset{x \leqslant r}\sup \;\mu \left(x\right)$

(3)

$ {\rm{Nec}}\left\{\xi \leqslant r\right\}=1-{\rm{Pos}}\left\{\xi >r\right\}=1-\underset{x>r}\sup\; \mu \left(x\right)$

(4)

$ {\rm{Cr}}\left\{\xi \leqslant r\right\}=\dfrac{1}{2}\left({\rm{Pos}}\left\{\xi \leqslant r\right\}+{\rm{Nec}}\left\{\xi \leqslant r\right\}\right)$

(5)

称 ${{\rm{Pos}}}$ 、 ${{\rm{Nec}}}$ 与 ${\rm{Cr}}$ 分别为可能性、必要性与可信性算子。

容易看出， ${\rm{Cr}}$ 具有自对偶性，即 $ {\rm{Cr}}\left\{\xi \leqslant r\right\}+ {\rm{Cr}}\left\{\xi >r\right\}=1$ 。

对于梯形模糊数 $\xi = \left( {a,b,\alpha ,\beta } \right)$ ，模糊事件 $ \left\{\xi \leqslant r\right\}$ 的可信性为

${\rm{Cr}}\left\{ {\xi \leqslant r} \right\}=\left\{ {\begin{aligned} &{0{\rm{,\;}}}\qquad\quad{r \leqslant a - \alpha }\\ &{\dfrac{{r - a + \alpha }}{{2\alpha }}{\rm{,\;}}}{a - \alpha < r \leqslant a}\\ &{\dfrac{1}{2},\;}\qquad\quad{a < r \leqslant b}\\ &{\dfrac{{r - b + \beta }}{{2\beta }}{\rm{,\;}}}{b < r \leqslant b + \beta }\\ &{{\rm{1,\;}}}\qquad\quad{r > b + \beta } \end{aligned}} \right.$

(6)

引理1^[23] 　设 $\xi = \left( {{a_1},{b_1},{\alpha _1},{\beta _1}} \right)$ 和 $\eta = ({a_2},{b_2},{\alpha _2},{\beta _2})$ 为两个相互独立的梯形模糊数， $\rho $ 为实数，则有

$\xi +\eta =\left( {{a_1}+{a_2},{b_1}+{b_2},{\alpha _1}+{\alpha _2},{\beta _1}+{\beta _2}} \right)$

(7)

$\xi - \eta =\left( {{a_1} - {b_2},{b_1} - {a_2},{\alpha _1}+{\beta _2},{\beta _1}+{\alpha _2}} \right)$

(8)

$\rho \xi = \left\{ {\begin{aligned} &{\left( {\rho {a_1},\rho {b_1},\rho {\alpha _1},\rho {\beta _1}} \right),\;}\quad\;\;\;\;{\rho \geqslant 0}\\ &{\left( {\rho {b_1},\rho {a_1},\left| \rho \right|{\beta _1},\left| \rho \right|{\alpha _1}} \right),\;}\quad{\rho < 0} \end{aligned}} \right.$

(9)

定义3^[10] 　对于模糊变量 $\xi $ ，若积分 $ {\displaystyle {\int }_{0}^{\infty }{\rm{Cr}}\left\{\xi \geqslant r\right\}}{\rm{d}}r$ 与 $ {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}{\rm{Cr}}\left\{\xi \leqslant r\right\}}{\rm{d}}r$ 中至少有一个是有限的，则模糊变量 $\xi $ 的可信性期望值定义为

$ E\left(\xi \right)={\displaystyle {\int }_{0}^{\infty }{\rm{Cr}}\left\{\xi \geqslant r\right\}}{\rm{d}}r-{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}{\rm{Cr}}\left\{\xi \leqslant r\right\}}{\rm{d}}r$

(10)

当式(7)右端为 $\infty - \infty $ 时，模糊变量 $\xi $ 的可信性期望值不存在。

易知，梯形模糊数 $\xi = \left( {a,b,\alpha ,\beta } \right)$ 的可信性期望值 $E\left( \xi \right)$ 为

$E\left( \xi \right) = \frac{{2\left( {a + b} \right) - \alpha + \beta }}{4}$

(11)

引理2^[10] 　设模糊变量 $\xi $ 和 $\eta $ 均具有有限的期望值且相互独立，对于任意实数 $\rho $ 和 $\kappa $ ，则有

$E\left( {\rho \xi + \kappa \eta } \right) = \rho E\left( \xi \right) + \kappa E\left( \eta \right)$

(12)

定义4^[11] 　设模糊变量 $\xi $ 具有有限的期望值 $E\left( \xi \right)$ ，则其可信性下半方差定义为

$ \begin{split}{V}^{-}\left(\xi \right)=\;&E\left[{\left[{\left(\xi -E\left(\xi \right)\right)}^{-}\right]}^{2}\right]=\\ \;&{\displaystyle {\int }_{0}^{\infty }{\rm{Cr}}\left\{{\left[{\left(\xi -E\left(\xi \right)\right)}^{-}\right]}^{2} \geqslant r\right\}}{\rm{d}}r\end{split}$

(13)

其中 ${\left( {\xi - E\left( \xi \right)} \right)^ - } = \max \left\{ {E\left( \xi \right) - \xi ,0} \right\}$ 。

易知，梯形模糊数 $\xi = \left( {a,b,\alpha ,\beta } \right)$ 的可信性下半方差 ${V^ - }\left( \xi \right)$ 为

$\begin{split} {V^ - }\left( \xi \right) = \;&\dfrac{1}{{6\alpha }}\left\{ {{{\left( {\dfrac{{2b - 2a + 3\alpha + \beta }}{4}} \right)}^3}} +\right. \\ \;\;\;\;\;\;\; \;& \left. {\min \left[ {0,{{\left( {\dfrac{{2a - 2b + \alpha - \beta }}{4}} \right)}^3}} \right]} \right\}+ \\ \;\;\;\;\;\;\; \;& \dfrac{1}{{6\beta }}\max \left[ {0,{{\left( {\dfrac{{2a - 2b - \alpha + \beta }}{4}} \right)}^3}} \right] \end{split} $

(14)

传统投资组合模型仅考虑不确定收益的期望和方差，忽略了投资组合收益的非对称性，即偏度。Samuelson^[24]首先注意到偏度与投资者的投资决策密切相关，说明了当均值和方差相同时，几乎所有投资者都更偏爱偏度较大的投资组合。在此基础上，众多学者研究了考虑偏度的模糊投资组合问题^{[11-12, 25]}。

定义5^[11] 　设模糊变量 $\xi $ 具有有限的期望值 $E\left( \xi \right)$ ，则其可信性偏度定义为

$ \begin{split}S\left(\xi \right)=\;&E\left[{\left(\xi -E\left(\xi \right)\right)}^{3}\right]=\\ \;&{\displaystyle {\int }_{0}^{\infty }{\rm{Cr}}\left\{{\left(\xi -E\left(\xi \right)\right)}^{3} \geqslant r\right\}}{\rm{d}}r-\\ &{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{0}{\rm{Cr}}\left\{{\left(\xi -E\left(\xi \right)\right)}^{3} \leqslant r\right\}}{\rm{d}}r\end{split}$

(15)

$S\left( \xi \right) = 0$ 表示模糊变量 $\xi $ 呈对称分布，如图1(a)所示； $S\left( \xi \right) < 0$ 表示模糊变量 $\xi $ 的左边尾部拉长，其取值为中心左侧的可能性较大，此时模糊变量 $\xi $ 呈左偏分布，如图1(b)所示； $S\left( \xi \right) > 0$ 表示模糊变量 $\xi $ 的右边尾部的拉长，其取值为中心右侧的可能性较大，此时模糊变量 $\xi $ 呈右偏分布，如图1(c)所示。

易知，梯形模糊数 $\xi = \left( {a,b,\alpha ,\beta } \right)$ 的可信性偏度 $S\left( \xi \right)$ 为

$S\left( \xi \right) = \frac{{\left( {{\beta ^2} - {\alpha ^2}} \right)\left( {2b - 2a + \alpha + \beta } \right)}}{{8\;192}}$

(16)

2 模型构建 2.1 问题描述

假定投资者当前持有一个由一种无风险资产和 $n$ 种风险资产构成的资产组合，计划连续投资T期，并在每期期初调整各资产头寸。记初始财富值为 ${W_0}$ 。假设资产收益为梯形模糊数。记第 $t$ 期无风险资产的收益为 ${r_{t,0}}$ ，第 $i$ 种风险资产的收益为 ${r_{t,i}} = \left( {{a_{t,i}},{b_{t,i}},{\alpha _{t,i}},{\beta _{t,i}}} \right), \;t = 1,2, \cdots ,T;\;i = 1,2, \cdots ,n$ 。设第 $t$ 期投资比例向量为 ${{{x}}_t} = \left( {{x_{t,0}},{x_{t,1}}, \cdots ,{x_{t,n}}} \right)$ ，其中 ${x_{t,0}}$ 表示第 $t$ 期无风险资产的投资比例， ${x_{t,i}}$ 表示第 $t$ 期第 $i$ 种风险资产的投资比例。 ${x_{t,0}} > 0$ 表示投资者在第 $t$ 期将部分资金存入银行，记存款利率为 $r_{t,0}^l$ ； ${x_{t,0}} < 0$ 表示投资者在第 $t$ 期向银行借入部分资金，记借款利率为 $r_{t,0}^b$ 。自然地，有 $\displaystyle\sum\nolimits_{i = 0}^n {x_{t,i}} = 1 $ 。所有期的投资比例向量构成一个投资策略，记为 ${{x}}_1^T = \left\{ {{{{x}}_1}, \cdots ,{{{x}}_T}} \right\}$ 。

2.2 目标函数

在现实的金融市场中，买卖风险资产会产生交易费用。假设交易费用是线性的，即交易费用与交易量成比例。记买入和卖出风险资产的交易费用率分别为 ${c_b}$ 和 ${c_s}$ 。于是，在第 $t$ 期期初调整第 $i$ 种风险资产头寸过程中产生的交易费用为

${C_{t,i}} = {c_b}\Delta x_{t,i}^ + + {c_s}\Delta x_{t,i}^ - $

(17)

其中 $\Delta x_{t,i}^ + = \max \left\{ {{x_{t,i}} - {x_{t - 1,i}},0} \right\}$ ， $\Delta x_{t,i}^ - = \max \left\{ {x_{t - 1,i}} - {x_{t,i}},0 \right\}$ 。

第 $t$ 期资产组合 ${{{x}}_t} = \left( {{x_{t,0}},{x_{t,1}}, \cdots ,{x_{t,n}}} \right)$ 的可信性收益为

${R_t} = x_{t,0}^ + r_{t,0}^l - x_{t,0}^ - r_{t,0}^b + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_{t,i}^ + - x_{t,i}^ - } \right){r_{t,i}}} - \sum\limits_{i = 1}^n {{C_{t,i}}} $

(18)

其中 $x_{t,i}^ + = \max \left\{ {{x_{t,i}},0} \right\}$ ， $x_{t,i}^ - = \max \left\{ { - {x_{t,i}},0} \right\}$ ， $t = 1,2, \cdots ,T$ ， $i = 0,1, \cdots ,n$ 。

由引理2可知，资产组合 ${{{x}}_t} = \left( {{x_{t,0}},{x_{t,1}}, \cdots ,{x_{t,n}}} \right)$ 的收益 ${R_t}$ 也为梯形模糊数，记为 ${R_t} = \left( {{a_t},{b_t},{\alpha _t},{\beta _t}} \right)$ ，其中

${a_t} = x_{t,0}^ + r_{t,0}^l - x_{t,0}^ - r_{t,0}^b + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_{t,i}^ + {a_{t,i}} - x_{t,i}^ - {b_{t,i}}} \right)} - \sum\limits_{i = 1}^n {{C_{t,i}}} $

(19)

${b_t} = x_{t,0}^ + r_{t,0}^l - x_{t,0}^ - r_{t,0}^b + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_{t,i}^ + {b_{t,i}} - x_{t,i}^ - {a_{t,i}}} \right)} - \sum\limits_{i = 1}^n {{C_{t,i}}} $

(20)

${\alpha _t} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_{t,i}^ + {\alpha _{t,i}} + x_{t,i}^ - {\beta _{t,i}}} \right)} $

(21)

${\beta _t} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {x_{t,i}^ + {\beta _{t,i}}+x_{t,i}^ - {\alpha _{t,i}}} \right)} $

(22)

第 $t$ 期资产组合 ${{{x}}_t} = \left( {{x_{t,0}},{x_{t,1}}, \cdots ,{x_{t,n}}} \right)$ 的可信性期望收益为

$E\left( {{R_t}} \right) = \frac{{2\left( {{a_t} + {b_t}} \right) - {\alpha _t} + {\beta _t}}}{4}$

(23)

第 $t$ 期期末财富的动态变化过程为

${W_t} = E\left( {{W_{t - 1}}} \right){R_t}$

(24)

第 $T$ 期期末资产组合的终端累积财富为

${W_T} = {W_0}\prod\limits_{t = 1}^T {\left[ {\frac{{2\left( {{a_t} + {b_t}} \right) - {\alpha _t} + {\beta _t}}}{4}} \right]} $

(25)

第 $T$ 期期末资产组合的终端累积风险为

$\begin{split} V_T^ - =\;& \sum\limits_{t = 1}^T {{V^ - }\left( {{R_t}} \right)} = \\ \;&\sum\limits_{t = 1}^T {\left\{ {\dfrac{1}{{6{\alpha _t}}}\left[ {{{\left( {\dfrac{{2{b_t} - 2{a_t} + 3{\alpha _t} + {\beta _t}}}{4}} \right)}^3}} \right.} \right.} + \\ &\left. {\min \left( {0,{{\left( {\dfrac{{2{a_t} - 2{b_t} + {\alpha _t} - {\beta _t}}}{4}} \right)}^3}} \right)} \right] + \\ & \left. {\dfrac{1}{{6{\beta _t}}}\max \left[ {0,{{\left( {\dfrac{{2{a_t} - 2{b_t} - {\alpha _t} + {\beta _t}}}{4}} \right)}^3}} \right]} \right\} \end{split} $

(26)

第 $T$ 期期末资产组合的终端累积偏度为

$\begin{split} {S_T} =\;& \sum\limits_{t = 1}^T {S\left( {{R_t}} \right)} =\\ \;& \sum\limits_{t = 1}^T {\left[ {\dfrac{{\left( {\beta _t^2 - \alpha _t^2} \right)\left( {2{b_t} - 2{a_t} + {\alpha _t} + {\beta _t}} \right)}}{{8\;192}}} \right]} \\ \end{split} $

(27)

2.3 约束条件

(1) 单期最低期望收益约束。

投资者通常希望在每一期内都能获得一定的收益，故假定投资者要求第 $t$ 期内的期望收益不低于给定的收益水平 $\bar R$ ，即

$ \frac{2\left({a}_{t}+{b}_{t}\right)-{\alpha }_{t}+{\beta }_{t}}{4} \geqslant \bar{R}$

(28)

(2) 破产控制约束。

投资者在实际投资过程中可能遭受损失。当净财富低于给定的破产水平 $\bar B$ 时，投资者会因为资不抵债而宣告破产，从而退出投资活动。为控制破产风险，假设投资者要求第 $t$ 期破产的可信性不高于给定的破产容忍水平 ${\delta _t}$ ，即

$ {\rm{Cr}}\left\{{W}_{t} \leqslant \bar{B}\right\} \leqslant {\delta }_{t},\;t=1,2,\cdots ,T$

(29)

在现实投资过程中，投资者对破产的容忍程度通常处于较低水平，对此假定 $0 < {\delta _t} < 0.5$ 。记净财富 ${W_t}$ 的 $\gamma $ 水平截集为 $ {\left[{W}_{t}\right]}^{\gamma }=\left[\underline {{W}_{t}}\left(\gamma \right),\bar{{W}_{t}}\left(\gamma \right)\right],\;0<\gamma \leqslant 1$ 。易知 $ {\rm{Pos}}\left\{{W}_{t} \leqslant \underline {{W}_{t}}\left(2{\delta }_{t}\right)\right\}=2{\delta }_{t}$ ， $ {\rm{Nec}}\left\{{W}_{t} \leqslant \underline {{W}_{t}}\left(2{\delta }_{t}\right)\right\}=0$ ，所以 $ {\rm{Cr}}\left\{{W}_{t} \leqslant \underline {{W}_{t}}\left(2{\delta }_{t}\right)\right\}={\delta }_{t}$ 。又因为 $ {\rm{Cr}}\left\{{W}_{t} \leqslant x\right\}$ 是关于 $x$ 的单调不减函数，故破产控制约束表示为 $ \underline {{W}_{t}}\left(2{\delta }_{t}\right) \geqslant \bar{B}$ ，即

$ E\left({W}_{t-1}\right)\left({a}_{t}-{\alpha }_{t}+2{\delta }_{t}{\alpha }_{t}\right) \geqslant \bar{B}$

(30)

(3) 投资比例边界约束。

为防止过于集中投资单个资产，投资者一般会对每个资产的投资比例设置上界。假定投资者可卖空资产，即投资比例可以为负数。为防止过度卖空单个资产，投资者一般会对每个资产的投资比例设置下界。假设第 $i$ 种资产投资比例的上界和下界分别为 ${u_i}$ 和 ${l_i}$ ，即

$ {l}_{i} \leqslant {x}_{t,i} \leqslant {u}_{i},\;t=1,2,\cdots ,T,\;\;\;i=0,1,\cdots ,n$

(31)

其中 $ {l}_{i} \leqslant 0$ ，表示允许卖空第 $i$ 种资产的最大比例为 $ - {l_i}$ 。

2.4 模型建立

假定投资者寻求一个终端累积财富与偏度最大化、终端累积风险最小化的多期模糊投资组合策略，建立如下考虑限制性卖空的多期模糊投资组合优化模型

$ {P_1}\left\{ \begin{aligned} &\max \left\{ {{W_T}, - V_T^ - ,{S_T}} \right\}\\ &{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\;\;\;\dfrac{{2\left( {{a_t} + {b_t}} \right) - {\alpha _t} + {\beta _t}}}{4} \geqslant \bar R\\ &\qquad E\left( {{W_{t - 1}}} \right)\left( {{a_t} - {\alpha _t} + 2{\delta _t}{\alpha _t}} \right) \geqslant \bar B\\ &\qquad{l_i} \leqslant {x_{t,i}} \leqslant {u_i},{\rm{ }}t = 1,2, \cdots ,T;{\rm{ }}i = 0,1, \cdots ,n\\ &\qquad\sum\limits_{i = 0}^n {{x_{t,i}} = 1} ,{\rm{ }}t = 1,2, \cdots ,T \end{aligned} \right.$

针对多目标规划模型 ${P_1}$ ，借鉴文献[26]的加权极大−极小模糊规划方法将其转化为单目标规划模型，具体过程如下：

步骤1：分别求解下面3个单目标优化模型

${P_2}\left\{ \begin{aligned} & \max \;{W_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) \\ &{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\;\;\;\;\;{{x}}_1^T \in D \\ \end{aligned} \right.$

${P_3}\left\{ \begin{aligned} &\min \;V_T^ - \left( {{{x}}_1^T} \right) \\ &{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\;\;\;\;\;{{x}}_1^T \in D \\ \end{aligned} \right.$

${P_4}\left\{ \begin{aligned} &\max \;{S_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) \\ &{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\;\;\;\;\;{{x}}_1^T \in D \\ \end{aligned} \right.$

其中 $D$ 为模型 ${P_1}$ 的可行域。记所得最优解分别为 ${{x}}_{{W_T}}^*$ 、 ${{x}}_{V_T^ - }^*$ 和 ${{x}}_{{S_T}}^*$ 。

步骤2：记3个目标的正理想解分别为 $W_T^ + = {W_T}\left( {{{x}}_{{W_T}}^*} \right)$ 、 ${\left( {V_T^ - } \right)^ + } = V_T^ - \left( {{{x}}_{V_T^ - }^*} \right)$ 和 $S_T^ + = {S_T}\left( {{{x}}_{{S_T}}^*} \right)$ ，负理想解分别为

$W_T^ - = \min \left\{ {{W_T}\left( {{{x}}_{V_T^ - }^*} \right),{W_T}\left( {{{x}}_{{S_T}}^*} \right)} \right\}$

(32)

${\left( {V_T^ - } \right)^ - } = \max \left\{ {V_T^ - \left( {{{x}}_{{W_T}}^*} \right),V_T^ - \left( {{{x}}_{{S_T}}^*} \right)} \right\}$

(33)

$S_T^ - = \min \left\{ {{S_T}\left( {{{x}}_{{W_T}}^*} \right),{S_T}\left( {{{x}}_{V_T^ - }^*} \right)} \right\}$

(34)

步骤3：对于任意的可行解 ${{x}}_1^T \in D$ ，定义投资者对于3个目标的满意度分别为

${\rm{S}}{{\rm{A}}_1}\left( {{{x}}_1^T} \right){\rm{ = }}\left\{ {\begin{aligned} &{\dfrac{{{W_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) - W_T^ - }}{{W_T^ + - W_T^ - }},}\;\;{W_T^ - \leqslant {W_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) \leqslant W_T^ + }\\ &{0,}\qquad\qquad\quad\;\;{{W_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) < W_T^ - } \end{aligned}} \right.$

(35)

${\rm{S}}{{\rm{A}}_2}\left( {{{x}}_1^T} \right){\rm{ = }}\left\{ {\begin{aligned} &{\dfrac{{{{\left( {V_T^ - } \right)}^ - } - V_T^ - \left( {{{x}}_1^T} \right)}}{{{{\left( {V_T^ - } \right)}^ - } - {{\left( {V_T^ - } \right)}^ + }}},}\;\;{{{\left( {V_T^ - } \right)}^ + } \leqslant V_T^ - \left( {{{x}}_1^T} \right) \leqslant {{\left( {V_T^ - } \right)}^ - }}\\ &{0,}\qquad\qquad\qquad{V_T^ - \left( {{{x}}_1^T} \right) > {{\left( {V_T^ - } \right)}^ - }} \end{aligned}} \right.$

(36)

$ {\rm{S}}{{\rm{A}}_3}\left( {{{x}}_1^T} \right){\rm{ = }}\left\{ {\begin{aligned} &{\dfrac{{{S_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) - S_T^ - }}{{S_T^ + - S_T^ - }},}\;\;{S_T^ - \leqslant {S_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) \leqslant S_T^ + }\\ &{0,}\qquad\qquad\quad{{S_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) < S_T^ - } \end{aligned}} \right.$

(37)

步骤4：将模型 ${P_1}$ 转化为如下单目标规划模型

${P_5}\left\{ \begin{aligned} &\max \;\;\lambda \\ &{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\;\;\;\frac{{{W_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) - W_T^ - }}{{W_T^ + - W_T^ - }} \geqslant {w_1}\lambda \\ &\qquad \frac{{{{\left( {V_T^ - } \right)}^ - } - V_T^ - \left( {{{x}}_1^T} \right)}}{{{{\left( {V_T^ - } \right)}^ - } - {{\left( {V_T^ - } \right)}^ + }}} \geqslant {w_2}\lambda \\ &\qquad \frac{{{S_T}\left( {{{x}}_1^T} \right) - S_T^ - }}{{S_T^ + - S_T^ - }} \geqslant {w_3}\lambda \\ &\qquad {{x}}_1^T \in D \end{aligned} \right.$

其中 ${w_1}$ 、 ${w_2}$ 和 ${w_3}$ 分别为3个目标满意度的权重，且 ${w_1} + {w_2} + {w_3} = 1$ 。

3 多种群粒子群算法

本节设计一个多种群粒子群算法(Multiple Particle Swarm Optimization，MPSO)求解模型 ${P_5}$ 。该算法的核心思想是构建一个主种群和多个子种群并行寻优，以增强算法的搜索能力。各个子种群中的粒子被赋予不同的学习能力，并独立地进行优化寻优。主种群中的粒子通过追踪各种群中最优粒子的位置进行更新，以汇总各种群的信息，从而降低陷入局部最优解的可能性。

3.1 编码与解码

本文采用实数向量对模型 ${P_5}$ 的解进行编码，并设计一个解码方式，使得搜索空间中的任意实数向量所代表的解满足模型的预算约束和投资比例边界约束。

由预算约束及无风险资产的边界约束可得

$ 1 - {u_0} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {{x_{t,i}}} = 1 - {x_{t,0}} \leqslant 1 - {l_0},\;t = 1,2, \cdots ,T$

(38)

利用 $nT$ 维向量 ${{p}} = \left( {{p_{1,1}}, \cdots ,{p_{1,n}}, \cdots ,{p_{T,1}}, \cdots ,{p_{T,n}}} \right)$ 对模型的解 ${{x}}_1^T$ 进行实数编码，其中 ${p_{t,i}} \in \left[ {{l_i},{u_i}} \right]$ 。算法的搜索空间表示为 $nT$ 维空间

$ \begin{split}{\rm{SP}}=\;&\{p=\left({p}_{1,1},\cdots ,{p}_{1,n},\cdots ,{p}_{T,1},\cdots ,{p}_{T,n}\right):\\ &{l}_{i} \leqslant {p}_{t,i} \leqslant {u}_{i},\;t=1,2,\cdots T;i=1,2,\cdots ,n\}\end{split}$

(39)

对于任意向量 ${{p}} \in {{\rm{SP}}}$ ，其解码为模型的解 ${{x}}_1^T$ 的具体流程如下。

步骤1：输入 ${{p}}$ ，令 $t = 1$ 。

步骤2：计算 $s = \displaystyle \sum\nolimits_{i = 1}^n {{p_{t,i}}} $ 。若 $ 1-{u}_{0} \leqslant s \leqslant 1-{l}_{0}$ ，则令

$\left\{ \begin{aligned} & {x_{t,i}} = {p_{t,i}},\;i = 1,2, \cdots ,n \\ &{x_{t,0}} = 1 - \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_{t,i}}} \\ \end{aligned} \right.$

(40)

若 $s < 1 - {u_0}$ ，则令

$\left\{ \begin{aligned} &{x_{t,i}} = \theta {p_{t,i}} + \left( {1 - \theta } \right){u_i},\;i = 1,2, \cdots ,n \\ &{x_{t,0}} = 1 - \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_{t,i}}} \\ \end{aligned} \right.$

(41)

其中 $\theta = \dfrac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{u_i}} - \left( {1 - {u_0}} \right)}}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{u_i}} - s}}$ 。

若 $s > 1 - {l_0}$ ，则令

$\left\{ \begin{aligned} & {x_{t,i}} = \theta {p_{t,i}} + \left( {1 - \theta } \right){l_i},\;i = 1,2, \cdots ,n \\ &{x_{t,0}} = 1 - \sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_{t,i}}} \\ \end{aligned} \right.$

(42)

其中 $\theta = \dfrac{{1 - {l_0} - \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{l_i}} }}{{s -\displaystyle \sum\nolimits_{i = 1}^n {{l_i}} }}$ 。

步骤3：若 $t < T$ ，令 $t \leftarrow t + 1$ ，返回步骤2；否则，输出 ${{x}}_1^T$ ，并退出运算。

3.2 惩罚函数与评价函数

对于模型 ${P_5}$ 中的第 $t$ 期最低期望收益约束和破产控制约束，采用惩罚函数方法进行处理。第 $t$ 期最低期望收益约束和破产控制约束的惩罚函数分别为

$p_t^{\rm{r}} = \max \left\{ {\bar R - {{\left[ {2\left( {{a_t} + {b_t}} \right) - {\alpha _t} + {\beta _t}} \right]} / 4},0} \right\}$

(43)

$p_t^{\rm{b}} = \max \left\{ {\bar B - E\left( {{W_{t - 1}}} \right)\left( {{a_t} - {\alpha _t} + 2\delta {\alpha _t}} \right),0} \right\}$

(44)

若 ${{{x}}_t}$ 同时满足第 $t$ 期最低期望收益约束和破产控制约束，有 $p_t^{\rm{r}} = p_t^{\rm{b}} = 0$ ；否则，有 $p_t^{\rm{r}} + p_t^{\rm{b}} > 0$ 。

评价函数赋予位置向量 ${{p}}$ 一个适应度，用于评价其优劣性。定义位置向量 ${{p}}$ 的评价函数为

$F\left( {{p}} \right) = \exp \left\{ {f\left( {{{x}}_1^T} \right) - M\left[ {\sum\limits_{t = 1}^T {\left( {p_t^{\rm{r}} + p_t^{\rm{b}}} \right)} } \right]} \right\}$

(45)

其中 $f\left( {{{x}}_1^T} \right)$ 表示位置向量 ${{p}}$ 所对应的解 ${{x}}_1^T$ 的目标函数值， $M$ 为一个充分大的正数。

3.3 粒子群更新过程

设种群个数为 $L$ ，粒子群规模为 $m$ ，当前代数为 $g$ ，其中种群 $1,2, \cdots ,L - 1$ 为子种群，种群 $L$ 为主种群。记第 $l$ 个种群中第 $j$ 个粒子的当前位置为 ${{{p}}_{l,j}}\left( g \right)$ ，速度为 ${{{v}}_{l,j}}\left( g \right)$ ， $l = 1,2, \cdots ,L,\;j = 1,2, \cdots ,m$ 。记第 $l$ 个种群中的第 $j$ 个粒子的历史最优位置为 ${{p}}_{l,j}^*\left( g \right)$ ，即

$ F\left({{p}}_{l,j}^{*}\left(g\right)\right)=\underset{1 \leqslant {g}^{\prime } \leqslant g}{\max}\left\{F\left({{p}}_{l,j}\left({g}^{\prime }\right)\right)\right\},\;l=1,2,\cdots ,L$

(46)

记第 $l$ 个子种群的全局最优位置为 ${{g}}_l^*\left( g \right)$ ，即

$ F\left({{g}}_{l}^{*}\left(g\right)\right)=\underset{1 \leqslant j \leqslant m}{\max}\left\{F\left({{p}}_{l,j}^{*}\left(g\right)\right)\right\},\;l=1,2,\cdots ,L-1 $

(47)

记主种群 $L$ 的全局最优位置为 ${{g}}_L^*\left( g \right)$ ，即

$ F\left( {{{g}}_L^{\rm{*}}\left( g \right)} \right) = \mathop {\max }\limits_{\scriptstyle1 \leqslant j \leqslant m\hfill\atop \scriptstyle1 \leqslant l \leqslant L\hfill} \left\{ {F\left( {{{p}}_{l,j}^*\left( g \right)} \right)} \right\}$

(48)

粒子位置与速度更新公式为

$\left\{ \begin{aligned} {{{v}}_{l,j}}\left( {g+1} \right) = \;&\omega {{{v}}_{l,j}}\left( g \right) + c_1^l{r_1}\left[ {{{p}}_{l,j}^*\left( g \right) - {{{p}}_{l,j}}\left( g \right)} \right]+ \\ & c_2^l{r_2}\left[ {{{g}}_l^*\left( g \right) - {{{p}}_{l,j}}\left( g \right)} \right] \\ {{{p}}_{l,j}}\left( {g+1} \right) = \;&{{{p}}_{l,j}}\left( g \right) + {{{v}}_{l,j}}\left( {g+1} \right) \\ \end{aligned} \right.$

(49)

其中 $\omega $ 为惯性权重， $c_1^l$ 为种群 $l$ 中粒子的自我学习因子， $c_2^l$ 为种群 $l$ 中粒子的社会学习因子， ${r_1}$ 与 ${r_2}$ 为区间 $\left[ {0,1} \right]$ 上的随机数。

3.4 算法流程

MPSO算法的具体流程如下。

步骤1：设定算法参数。种群个数 $L$ ，粒子群规模 $m$ ，惯性权重 $\omega $ ，自我学习因子 $c_1^l$ 和社会学习因子 $c_2^l$ ，粒子的最大速度 ${v_{\max }}$ 和最大代数 ${G_{\max }}$ 。

步骤2：令 $g = 1$ 。生成各粒子的初始位置向量和速度向量，其中初始位置向量的元素在区间 $\left[ {{l_i},{u_i}} \right]$ 中随机产生，初始速度向量的元素在区间 $\left[ { - {v_{\max }},{v_{\max }}} \right]$ 中随机产生。

步骤3：将各粒子的位置向量解码为对应的解，计算各粒子当前位置的适应度，分别确定各粒子的历史最优位置和各粒子群的全局最优位置。

步骤4：更新各粒子的速度。若粒子的速度向量的元素超出区间 $\left[ { - {v_{\max }},{v_{\max }}} \right]$ ，则就近取该区间的端点值。

步骤5：更新各粒子的位置。若粒子的位置向量元素超出区间 $\left[ {{l_i},{u_i}} \right]$ ，则就近取该区间的端点值。

步骤6：若 $g = {G_{\max }}$ ，终止迭代，输出主种群当前的全局最优位置 ${{g}}_L^*\left( g \right)$ 对应的解作为模型的满意解；否则令 $g \leftarrow g + 1$ ，返回至步骤3。

4 实例分析

为检验所提出的优化模型和算法的有效性和实用性，利用真实股票数据进行实例分析。假设投资者选择一种无风险资产和上海证券交易所中的6只股票作为投资对象，其中无风险资产为银行存款 ${{\rm{A}}_0}$ ，6只股票分别为： ${{\rm{A}}_1}$ (中信证券，600030)、 ${{\rm{A}}_2}$ (浙江富润，600070)、 ${{\rm{A}}_3}$ (万通地产，600246)、 ${{\rm{A}}_4}$ (三友化工，600409)、 ${{\rm{A}}_5}$ (国药股份，600511)、 ${{\rm{A}}_6}$ (方大炭素，600516)。投资者将整个投资过程分为3期，每期持续2年。搜集此6只股票过去6年(2014年1月~2020年1月)的周收益为样本数据，以两年为一个观察期，利用Zhang等^[27]提出的模糊频数统计方法估计这6只股票收益的梯形模糊分布，结果如表1所示。

模型的参数设置如下：投资者初始财富 ${W_0} = 1$ ；银行存款利率 $r_{t,0}^l = 0.011\;0$ ，银行借款利率 $r_{t,0}^b = 0.043\;5$ ；买入股票的交易费用率 ${c_b}=0.003$ ，卖出股票的交易费用率 ${c_s}=0.004$ ；投资比例上界 ${u_i} = 0.6$ ，下界 ${l_i} = - 0.2$ ；投资者的破产水平 $\bar B = 0.8$ ，破产容忍水平 ${\delta _t} = 0.2$ ；每期最低期望收益 $\bar R = 1.005$ ；投资者的初始投资比例为均匀投资，即 ${{{x}}_0} = \left( {{1 / 7},{1 / 7}, \cdots ,{1 / 7}} \right)$ ；投资者对各目标的偏好程度相同，即 ${w_1} = {w_2} = {w_3} = {1 / 3}$ 。算法的参数设置如下：种群个数 $L = 6$ ，粒子群规模 $m=300$ ，惯性权重 $\omega =0.2$ ，自我学习因子 $c_1^l = 3,\;2.5,\;2,\;1.5,\;1,\;2$ ，社会学习因子 $c_2^l = 1,\;1.5,\;2,\;2.5,{\rm{ 3, }}2$ ，粒子的最大速度 ${v_{\max }} = 0.2$ ，最大代数 ${G_{\max }} = 800$ 。

运用所设计的MPSO算法对模型进行求解，所得投资策略如表2所示。为检验MPSO算法的有效性，比较其与PSO算法在求解模型 ${P_5}$ 中的表现。PSO算法的编码方式及参数设置与MPSO算法一致。图2给出了MPSO算法运行1次与PSO算法独立运行5次的收敛过程。图3给出了独立运行MPSO算法4次的收敛过程。

由图2可知，MPSO算法所得到的解最佳，PSO算法在5次运行中的收敛结果不稳定。这说明了MPSO算法与PSO算法相比具有更好的性能。由图3可知，MPSO算法在4次测试中的收敛结果差异较小，说明该算法具有较好的稳定性。综上所述，MPSO算法可以有效地求解复杂优化问题，且稳定地保持良好的性能。

为讨论投资比例边界约束对投资决策的影响，利用所设计的算法分别对具有不同投资比例上界和下界的投资组合模型进行求解，结果如表3和4所示。

由表3可知，当投资比例上界较大时，投资者可选择的策略相对较多，其更倾向于集中投资少量股票，所获得的终端累积财富较多，且终端累积偏度较大；当投资比例上界较小时，投资者可选择的策略相对较少，其更倾向于选择较为分散的投资策略，所承担的终端累积风险较小。由表4可知，当投资比例下界较小时，特别是允许卖空操作时，投资者可选择的策略相对较多，其更倾向于卖空资产，所获得的终端累积财富较多，且终端累积偏度较大；当投资比例下界较大时，投资者可选择的策略相对较少，其更倾向于选择较为保守的策略，即较少或不进行卖空操作，所承担的终端累积风险较小。

为讨论不同目标偏好对投资决策的影响，求解不同目标权重下的模型 ${P_5}$ ，结果如表5所示。

由表5可知，不同权重偏好的投资者的最优投资组合策略不同。当投资者看重终端累积财富时，会赋予财富目标较高的权重，其所获得的终端累积财富较多；当投资者看重终端累积风险时，会赋予风险目标较高的权重，其所承担的终端累积风险较低；当投资者看重终端累积偏度时，会赋予偏度目标较高的权重，其所构建的投资组合的终端累积偏度较高。因此，本文所提出的模型可以有效地为不同目标偏好的投资者提供决策支持。投资者可以根据自身需要，灵活地选取模型中各个目标的权重。

5 结论

考虑到卖空交易是金融市场上常见的一种投资行为，本文建立了考虑限制性卖空的多期模糊均值−下半方差−偏度投资组合优化模型，并设计了一个多种群粒子群算法进行求解。同时，利用真实股票数据进行实例分析，说明了所设计算法具有良好的性能和稳定性，所构建的多期模糊投资组合模型可以为投资者提供决策支持。在实际投资过程中，存在许多影响投资决策的现实因素，本文仅考虑了限制性卖空与交易费用，未来拟对考虑更全面的现实因素的多期模糊投资组合问题作进一步探讨。