关于复值函数 $ \alpha $ 的 $ n $ 重Laplace-Stieltjes变换(以下简称L-S变换)如下：

$ {L}_{\alpha }\left({{s}}\right):=\underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim} \int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{{\rm{e}}}^{-{{s}}\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}\alpha \left({{\lambda}}\right) $

其中 ${{\varLambda}}:=\left({\varLambda }_{1},\cdots ,{\varLambda }_{n}\right)\in {\mathbb{R}}_{+}^{n},\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]:={\displaystyle\prod }_{1}^{n}[0,{\varLambda }_{j}], {{\varLambda}}\to \infty$ 表示重极限 ${\varLambda }_{j}\to \infty , j=1,2,\cdots, n$ 。 ${{s}}:={{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}},{{\sigma }}:= \left({\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n},{{t}}:=\left({t}_{1},\cdots ,{t}_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n}$ ， ${{\lambda}}:=\left({\lambda }_{1},\cdots ,{\lambda }_{n}\right)\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.:= {\displaystyle\prod }_{1}^{n}\left[\left.0,\infty \right)\right.$ ， ${{s}}\cdot{{\lambda}} $ 是 $ {{s}} $ 和 $ {{\lambda}} $ 之间的标准内积。这里出现的积分是 $ n $ 重Riemann-Stieltjes积分(以下简称R-S积分)， $ \alpha $ 是任一闭区间 $ \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right] $ 上的Vitali有界变差函数(见文献[1]的定义6.2.1，为方便讨论，下文也会给出定义)。若对于某个 $ {{s}}\in {\mathbb{C}}^{n} $ ，上式的极限存在，则 $ {L}_{\alpha }\left({{s}}\right) $ 为该极限值。

L-S变换和其他积分变换密切相关，包括Fourier变换和Laplace变换，同时也是Dirichlet级数的推广，它是求解某些积分方程的有力工具，同时在概率论中也有应用。中外数学工作者在L-S变换和有关方面，已经取得了许多重要成果。1937年，文献[2]研究了二重L-S变换在有界收敛区域内的解析性。1941年,文献[3]深入研究了二重L-S变换的收敛区域，给出二重L-S变换相关收敛横坐标的定义及讨论了二重L-S变换的逆变换。1962年，余家荣^[4]得到了二重Dirichlet级数和二重L-S变换相关收敛横坐标的计算公式。2009年，梁美丽等^[5]定义了 $ n $ 重Dirichlet级数并研究了其收敛区域和增长性。孔荫莹等^[6]总结了大量(一维)L-S变换的研究，关于L-S变换及Dirichlet级数的最新研究，可以参考文献[7-10]。

本文将得到关于L-S变换的两个等式，其中一个推广了Dirichlet级数中的相应结论，另一个与内积空间中的Parseval等式类似。建立这2个等式，需要Vitali有界变差函数的一些性质，为方便起见，将给出Vitali有界变差函数的定义，首先引入一些术语和记号。

1 定义

定义1 　对( $ n $ 元)复值函数 $ f $ ，若 $ f $ 在 $ \left[{{u}},{{v}}\right] $ 上有定义，则映射 $ f\mapsto \Delta \left(f,\left[{{u}},{{v}}\right]\right) $ 由下式给出。

$ \Delta \left(f,\left[{{u}},{{v}}\right]\right):=\sum\limits_{{{x}}\in {\cal{V}}([{{u}},{{v}}])}\left[f\left({{x}}\right)\prod\limits_{1}^{n}{\left(-1\right)}^{{1}_{\left\{{u}_{j}\right\}}\circ {\pi}_{j}\left({{x}}\right)}\right] $

其中， ${\cal{V}}\left(\left[{{u}},{{v}}\right]\right)$ 为闭区间 $\left[{{u}},{{v}}\right]$ 的所有顶点所成的集合， $ {1}_{E}\left(x\right):=\left\{\begin{array}{c}1,x\in E\\ 0,x\notin E\end{array}\right.,{\pi}_{j}\left({{x}}\right):={x}_{j}. $ 例如，当 $ n=2 $ 时， $\Delta \left(f,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)=f\left({v}_{1},{v}_{2}\right)-f\left({u}_{1},{v}_{2}\right)-f\left({v}_{1},{u}_{2}\right)+f\left({u}_{1},{u}_{2}\right)$ 。

定义2 　具有以下形式的集合D称为闭区间 $ \left[{{a}},{{b}}\right] $ 的一个分划： $ D=\left\{{Q}_{k}: k=1,2,\cdots ,m,m\in {\mathbb{Z}}_{+}\right\}$ ，其中， $ {Q}_{k}\left(k=1,2,\cdots ,m\right) $ 是一族没有公共内点的闭区间，且满足 $ {\bigcup }_{1}^{m}{Q}_{k}=\left[{{a}},{{b}}\right] $ 。闭区间 $ \left[{{a}},{{b}}\right] $ 的所有分划所成的集族记为 $ {\cal{D}}\left(\left[{{a}},{{b}}\right]\right) $ 。

下文给出Vitali有界变差函数的定义。

定义3 　定义在 $ \left[{{a}},{{b}}\right] $ 上的复值函数 $ f $ ，其对应于分隔 $ D $ 的变差定义为

$ V\left(f,D\right):=\sum\limits_{\left[{{u}},{{v}}\right]\in D}\left|\Delta \left(f,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)\right| $

$ f $ 在 $ \left[{{a}},{{b}}\right] $ 上的全变差定义为

$ {\rm{var}}\left(f,\left[{{a}},{{b}}\right]\right):=\sup\left\{V\left(f,D\right):D\in {\cal{D}}\left(\left[{{a}},{{b}}\right]\right)\right\} $

此外，若 ${\rm{var}}\left(f,\left[{{a}},{{b}}\right]\right) < \infty$ ，则称 $ f $ 为 $ \left[{{a}},{{b}}\right] $ 上的Vitali有界变差函数。

为方便起见， $ \left[{{a}},{{b}}\right] $ 上的全体Vitali有界变差函数所成的集合记为 $ BV\left[{{a}},{{b}}\right] $ ，且令

$ {BV}_{0}\left[{{a}},{{b}}\right]:=\left\{f:f\in BV\left[{{a}},{{b}}\right],{{x}}\in \left[{{a}},{{b}}\right]\setminus \left(\left.{{a}},{{b}}\right]\right.\Rightarrow f\left({{x}}\right)=0\right\} $

对该定义有以下补充。

注1 　若 $ {Q}_{1},{Q}_{2} $ 为 $ {\mathbb{R}}^{n} $ 中没有公共内点的闭区间，且 $ Q={Q}_{1}\cup {Q}_{2} $ 也是闭区间，则

${\mathop{\rm var}} (f,Q){\kern 1pt} {\kern 1pt} = {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathop{\rm var}} (f,{Q_1}){\kern 1pt} {\kern 1pt} + {\kern 1pt} {\kern 1pt} (f,{Q_2}){\kern 1pt} $

事实上，若 $ {D}_{j}\in {\cal{D}}\left({Q}_{j}\right),j=1,2 $ ，则 ${D}_{1}\cup {D}_{2}\in {\cal{D}} (Q)$ ，从而有

${V}(f,D_{1})+{V}(f,D_{2})={V}(f,D_{1} \cup D_{1})\leqslant {\rm{var}} (f,Q)$

所以 ${\rm{var}}\left(f,{Q}_{1}\right)+{\rm{var}}\left(f,{Q}_{2}\right) \leqslant{\rm{var}}\left(f,Q\right)$ 。

反之，若 $ D\in {\cal{D}}\left(Q\right) $ ，则 $ {D}_{1}^{*}\cup {D}_{2}^{*}\in {\cal{D}}\left(Q\right), $ 其中

${D}_{1}^{*}= \left\{\left[{{u}},{{v}}\right]\cap {Q}_{1}:\left[{{u}},{{v}}\right]\in D\right\}\in {\cal{D}}\left({Q}_{1}\right) $

${D}_{2}^{*}= \{[{{u}},{{v}}]\cap {Q}_{2}:[{{u}},{{v}}] \in D\}\in {\cal{D}}({Q}_{2}) $

由 $ {D}_{1}^{*},{D}_{2}^{*} $ 的构造和变差的定义易得

$ \begin{split} V\left(f,D\right)\leqslant & V\left(f,{D}_{1}^{*}\cup {D}_{2}^{*}\right)=V\left(f,{D}_{1}^{*}\right)+V\left(f,{D}_{2}^{*}\right) \leqslant\\ & \qquad {\rm{var}}\left(f,{Q}_{1}\right)+{\rm{var}}\left(f,{Q}_{2}\right) \end{split} $

所以 ${\rm{var}}\left(f,Q\right)\leqslant {\rm{var}}\left(f,{Q}_{1}\right)+{\rm{var}}\left(f,{Q}_{2}\right)$ 。

根据这个注记，可以引入以下的定义。

定义4 　若 $ E=\bigcup _{1}^{m}{Q}_{j} $ ，其中 $ {\{{Q}_{j}\}}_{1}^{m} $ 为没有公共内点的闭区间，则 ${\rm{var}}(f,E):=\displaystyle\sum\limits_{1}^{m}{\rm{var}}(f,{Q}_{j})$ 。

注2 　若 $ E $ 如上所述， $ {\rm{var}}\left(f,E\right)<\infty $ ， $ g\in C\left(E\right) $ ( $ E $ 上的连续函数空间)，则以下定义是确切的。

$ {\int\limits }_E g{\rm{d}}f:=\sum\limits_{1}^{m}{\int\limits }_{{Q}_{j}} g{\rm{d}}f $

事实上，R-S积分 $ \underset{{Q}_{j}}{\overset{ }{\int }}g{\rm{d}}f $ 的存在性由文献[1]的定理6.3.4确保，且积分关于区间有可加性(见文献[1]，定理6.3.6)。

为表述主要结果，需要引入以下的定义。

定义5 　若 $ \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ 上的复值函数 $ \alpha $ 满足，对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}, \alpha \in {BV}_{0}\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ， $ {{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ ，则令

$ \quad\;\;\;\;\begin{aligned} & \Delta \alpha \left({{\lambda}}\right):=\underset{{\mathbb{R}}_{+}^{n}\ni {{h}}\to 0}{\lim}\Delta \left(\alpha ,\left[{{\lambda}}-{{h}},{{\lambda}}+{{h}}\right]\cap \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.\right)=\\& \underset{{\mathbb{R}}_{+}^{n}\ni {{h}}\to 0}{\lim}\sum\limits_{{{\eta}}\in {\cal{V}}\left(\left[{{\lambda}}-{{h}},{{\lambda}}+{{h}}\right]\bigcap \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.\right)}\left[\alpha \left({{\eta}}\right)\prod\limits_{1}^{n}{\left(-1\right)}^{{1}_{\left\{{u}_{j}\right\}}\circ {\pi}_{j}\left({{\eta}}\right)}\right] \end{aligned}$

根据文献[1]的定理6.2.10，上述极限是存在的。

例如，当 $ n=2 $ ，若 $ {{\lambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n} $ ，则

$\begin{split} & \Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)=\lim_{{h}_{1},{h}_{2}\to +0}[f\left({\lambda }_{1}+{h}_{1},{\lambda }_{2}+{h}_{2}\right)- f\left({\lambda }_{1}-{h}_{1},{\lambda }_{2}+{h}_{2}\right)-\\&f({\lambda }_{1}+{h}_{1}{\lambda }_{2}- {h}_{2})+f({\lambda }_{1}-{h}_{1},{\lambda }_{2}-{h}_{2})]{\text{。}} \end{split} $

2 引理

引理1 　定义1中的映射是线性映射。此外，若其中一个变量不影响 $ f $ 的取值，即存在 $ j $ ，当 $ {x}_{i}\left(i\ne j\right) $ 固定时， $ {x}_{j}\mapsto f\left({{x}}\right) $ 是常数，则 $\Delta \left(f,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)=0$ 。

证明 　第一个断言是显然的。对第二个断言，假设第 $ j $ 个变量不影响 $ f $ 的取值，若 ${{x}}\in {\cal{V}}\left(\left[{{u}},{{v}}\right]\right)$ ，则存在唯一的 $ {{y}}\in {\cal{V}}\left(\left[{{u}},{{v}}\right]\right) $ ，使得 $ {x}_{j}\ne {y}_{j} $ 但 $ {x}_{i}={y}_{i}, i\ne j $ ，从而

$ f\left({{x}}\right)\prod\limits_{1}^{n}{\left(-1\right)}^{{1}_{\left\{{u}_{j}\right\}}o {\pi}_{j}\left({{x}}\right)}+f\left({{y}}\right)\prod\limits_{1}^{n}{\left(-1\right)}^{{1}_{\left\{{u}_{j}\right\}}o {\pi}_{j}\left({{y}}\right)}=0 $

所以

$\begin{split} & 2\Delta \left(f,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)=\sum\limits_{{{x}}\in {\cal{V}}\left(\left[{{u}},{{v}}\right]\right)}\left[f\left({{x}}\right)\prod\limits_{1}^{n}{\left(-1\right)}^{{1}_{\left\{{u}_{j}\right\}}o {\pi}_{j}\left({{x}}\right)}\right]+\\& \sum\limits_{{{y}}\in {\cal{V}}\left(\left[{{u}},{{v}}\right]\right)}\left[f\left({{y}}\right)\prod\limits_{1}^{n}{\left(-1\right)}^{{1}_{\left\{{u}_{j}\right\}}o {\pi}_{j}\left({{y}}\right)}\right]= 0 \end{split}$

引理2 　 若 $ \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ 上的复值函数 $ \alpha $ 满足，对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n},\alpha \in BV\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，则存在 $ \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ 上的复值函数 $ {\alpha }_{0} $ ，使得对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n},{\alpha }_{0}\in {BV}_{0}\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，且对任一 $\left[{{u}},{{v}}\right]\subset \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.,\mathrm{ }\mathrm{ }\Delta \left(\alpha ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)=\Delta \left({\alpha }_{0},\left[{{u}},{{v}}\right]\right)$ ，从而R-S积分 ${\displaystyle\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}\alpha$ 与 ${{\displaystyle\int }}_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}{\alpha }_{0}$ 的存在性和值均一致。因此，下文提及L-S变换 $ {L}_{\alpha } $ 时，将不失一般性地认为，对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}$ ，有 $\alpha \in {BV}_{0}\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]$ 。

证明 　对 ${{\lambda}}\in \left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]$ ，令 ${{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{j}}=\left(0,\cdots ,{{\pi}}_{j}({{{\lambda}}}),\cdots ,0\right)$ ，即 ${{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{j}}$ 的第 $ j $ 个分量和λ的相同，其余分量为0。令

$ \alpha^{*}({{\lambda}})= \sum\limits_{m=1}^{n}(-1)^{m}\left[\sum\limits_{1 \leqslant j_{1}< \cdots < j_{m} \leqslant n} \alpha\bigg({{\lambda}}-\sum_{k=1}^{m} {\rm{e}}_{{{\lambda}}}^{j_{k}}\bigg)\right] $

$ {\alpha }_{0}\left({{\lambda}}\right)= \alpha \left({{\lambda}}\right)+{\alpha }^{*}\left({{\lambda}}\right) $

注意到 $ { \alpha }^{*} $ 实质上是为 $ n-1 $ 元函数的线性组合，从而由引理1得，对任一 $ \left[{{u}},{{v}}\right]\subset \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ ， $\Delta \left({\alpha }_{0},\left[{{u}},{{v}}\right]\right)- \Delta \left(\alpha ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)=\Delta \left({\alpha }^{*},\left[{{u}},{{v}}\right]\right)=0$ ，所以对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}$ ，然后证明 $\alpha_{0} \in B V_{0}[\mathbf{0},\; \boldsymbol{\varLambda}]$ 。 ${\rm{var}}\left({\alpha }_{0},\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]\right)={\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]\right) < \infty$ ，当 ${{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.\setminus \left({\bf{0}},\infty \right)$ 时，存在j使得 $\;\; {\lambda }_{j}=0\;\;\;\; \;\;$ ，此时 $\;\;{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{j}}={\bf{0}} \;\;\;\;\;\;$ ，从而有

$\begin{split}& \sum\limits_{{1\leqslant j}_{1}<\cdots <{j}_{m}\leqslant n}\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j}}_{{k}}}\Bigg)=\\ &\qquad \sum\limits_{\begin{smallmatrix} {1\leqslant {j}_{1}<\cdots <{j}_{m-1}\leqslant n}\\ {j}_{k}\ne j \end{smallmatrix}} \alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m-1}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j}}_{{k}}}\Bigg)+\\&\qquad \sum\limits_{\begin{smallmatrix}1\leqslant {j}_{1}<\cdots <{j}_{m}\leqslant n\\ {j}_{k}\ne j\end{smallmatrix}}\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j}}_{{k}}}\Bigg),(1<m <n)\\& \sum\limits_{{1\leqslant j}_{1}<\cdots <{j}_{m}\leqslant n}\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j}}_{{k}}}\Bigg)=\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j}}_{{k}}}\Bigg),(m=n)\\ & \sum\limits_{{1\leqslant j}_{1}<\cdots <{j}_{m}\leqslant n}\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j}}_{{k}}}\Bigg)=\\&\qquad \alpha ({{\lambda}})+\sum\limits_{\begin{smallmatrix}1\leqslant j_1\leqslant n\\j_1\ne j\end{smallmatrix}}\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{{\xi}}_{{{\lambda}}}^{{{j_k}}}\Bigg),(m=1) \end{split} $

所以

$ \begin{aligned} & {\sum\limits_{m=1}^{n}}{\left(-1\right)}^{m}\left[\sum\nolimits_{{1\leqslant j}_{1} < \cdots < {j}_{m}\leqslant n}\alpha \Bigg({{\lambda}}-\sum\limits_{k=1}^{m}{\rm{e}}_{{{\lambda}}}^{j_k}\Bigg)\right]= -\alpha \left({{\lambda}}\right)\\&{\alpha }_{0}\left({{\lambda}}\right)=\alpha \left({{\lambda}}\right)+{\alpha }^{*}\left({{\lambda}}\right)=0 \end{aligned} $

此外， ${\displaystyle\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}\alpha$ 的任一Riemann和也是 $\displaystyle{\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]} g{\rm{d}}{\alpha }_{0}$ 的Riemann和(关于R-S积分的定义，可以参考文献[1]的定义6.3.1)，反之亦然，这是因为

$ \sum\nolimits_{\left[{{u}},{{v}}\right]\in D}g\left({{\xi}}_{{{u}}{{v}}}\right)\Delta (\alpha , [{{u}},{{v}}])= \sum\nolimits_{\left[{{u}},{{v}}\right]\in D}g\left({{\xi}}_{{{u}}{{v}}}\right)\Delta \left({\alpha }_{0},\left[{{u}},{{v}}\right]\right) $

其中 $ {{\xi}}_{{{u}}{{v}}}\in \left[{{u}},{{v}}\right] $ ，从而完成了证明。

引理3 　若 $ \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ 上的复值函数 $ \alpha $ 满足对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}{\textit{，}} \alpha \in {BV}_{0}\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，则在任一闭区间 $\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上存在复测度 $ {\mu }_{{\bf{\Lambda}}} $ 。使得对任意 $g\in C\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$

${\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}\alpha ={\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]} g{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}$

且对 ${{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right.$ ， ${\mu }_{{{\varLambda}}}\left(\left\{{\bf{\lambda}}\right\}\right)=\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)$ 。由此可以得到， $\{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.:\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\ne 0\}$ 是至多可数集。

证明 　关于R-S积分，有以下估计(见文献[1]，定理6.3.5)， $\left|{\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}\alpha \right|\leqslant {\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]\right){||g||}_{u}$ ，其中 ${||\cdot||}_{u}$ 为一致范数。所以 $g\mapsto {\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}\alpha$ 是 $C\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上的有界线性泛函，由Riesz表示定理(见文献[11]的定理7.17，或文献[12]的定理6.19)，存在唯一的复Radon测度 ${\mu }_{{{\varLambda}}}$ ，使得对任意 $g\in C\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ， ${\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}\alpha ={\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}g{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}.$ 对 ${{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right.$ ，令 $ {Q}_{m} $ 为以 $ {{\lambda}} $ 为中心、边长为 $ {m}^{-1} $ 的闭区间。由Urysohn引理(见文献[11]的定理4.15或文献[13]的定理33.1)，存在 ${\phi }_{m}\in C\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，使得在 $\overline{{Q}_{m}^{c}}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上 $ {\phi }_{m}=0 $ ，在 ${Q}_{m+1}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上 $ {\phi }_{m}=1 $ ，且 $ {0\leqslant \phi }_{m}\leqslant 1 $ 。注意到若 ${{\eta}}\in \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 且 $ {{\eta}}\ne {{\lambda}} $ ，则当 $ m $ 充分大时， ${{y}}\in \overline{{Q}_{m}^{c}}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，换言之， $ m\to \infty $ 时， ${\phi }_{m}\left({{\eta}}\right) \to {1}_{\left\{{{\lambda}}\right\}}\left({{\eta}}\right)$ 。

又因为 $ \left|{\phi }_{m}\right|\leqslant 1 $ ，由控制收敛定理得， $ m\to \infty $ 时， ${\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}{\mu }_{{\bf{\Lambda}}}\to {\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{1}_{\left\{{{\lambda}}\right\}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}={\mu }_{{{\varLambda}}}\left(\left\{{{\lambda}}\right\}\right)$ 。

注意到 $({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}})\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right],{Q}_{m+1}\cap \left[{\bf{0}}, {{\varLambda}}\right],\overline{{Q}_{m}^{c}}\cap\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 无公共内点、并集为 $\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，而且均可以表示为有限个无公共内点的闭区间的并集，所以

$ \begin{aligned} & {\int }_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha = {\int }_{{Q}_{m+1}\cap [{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha +{\int }_{({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}})\cap [{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha +\\& {\int }_{\overline{{Q}_{m}^{c}}\cap [{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha ={\int_ {{Q}_{m+1}\cap [{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}}{\rm{d}}\alpha +{\int_{({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}})\cap [{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]} }{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha =\\& \Delta (\alpha ,{Q}_{m+1}\cap [{\bf{0}},{{\varLambda}}])+ {{\int_{({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}})\cap [{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]} }}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha \end{aligned} $

由此得到

$\begin{split} &\left|{\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha -\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|\leqslant \left|\Delta \left(\alpha ,{Q}_{m+1} \cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)- \Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|+\\&\Big|{\int }_{\left({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}}\right)\cap \left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha \Big|\end{split}$

对等号右边的第一项，由 ${{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right.$ 得

$ \underset{m\to \infty }{\lim}\Delta \left(\alpha ,{Q}_{m+1}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)=\underset{m\to \infty }{\lim}\Delta \left(\alpha ,{Q}_{m+1}\cap \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.\right)=\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right) $

对第二项有以下估计，

$\begin{split} &\Big|{\displaystyle\int }_{\left({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}}\right)\cap \left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha \Big|\leqslant {\rm{var}}\left(\alpha ,\left({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}}\right)\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)\\&{||{\phi }_{m}||}_{u}\leqslant {\rm{var}}\left(\alpha ,\left({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}}\right)\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)= {\rm{var}}\left(\alpha ,{Q}_{m}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)- \\&{\rm{var}}\left({\alpha ,Q}_{m+1}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)\end{split}$

这是由于在构成 $\left({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}}\right)\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 的每个闭区间上都有相应的估计，再利用全变差和积分关于区间的可加性。

令 $ \varphi \left({{\eta}}\right)={\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{\bf{0}},{{\eta}}\right]\right) $ ，由全变差的定义， ${{\eta}}\in \left[{\bf{0}}, {{\varLambda}}\right]\setminus \left(\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right.$ 时， $ \varphi \left({{\eta}}\right)=0 $ 。注意到 $ \Delta \left(\varphi ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)={\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right) $ ，所以 ${\rm{var}}\left(\varphi ,\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)=\sup\left\{\displaystyle\sum\nolimits_{\left[{{u}},{{v}}\right]\in D}\left|\Delta \left(\varphi ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)\right|: D\in {\cal{D}}\left(\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)\right\}=\sup\left\{\displaystyle \sum\nolimits_{\left[{{u}},{{v}}\right]\in D}{\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right):D\in {\cal{D}}\left(\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)\right\}= {\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)$ 。这样证明了 $\varphi \in {BV}_{0}\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，从而 $ \Delta \varphi \left({{\lambda}}\right) $ 存在，所以 $ m \to \infty $ 时， ${\rm{var}}\left(\alpha ,{Q}_{m}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)=\Delta (\varphi ,{Q}_{m}\cap [{\bf{0}},{{\varLambda}}])\to \Delta \varphi \left({{\lambda}}\right)$ ，因此 $\Big|{\displaystyle \int }_{\left({Q}_{m}\setminus {Q}_{m+1}^{{\rm{o}}}\right)\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha \Big| \leqslant {\rm{var}}\left(\alpha , {Q}_{m}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)- {\rm{var}}\left({\alpha ,Q}_{m+1}\cap \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\right)\to 0$ 。最后 $\left|{\mu }_{{{\varLambda}}}\left(\left\{{{\lambda}}\right\}\right)-\right. \left.\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|\leqslant \Big|{\mu }_{{{\varLambda}}}\left(\left\{{{\lambda}}\right\}\right)-{\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\Big|+\Big|{\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\phi }_{m}{\rm{d}}\alpha -\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\Big|$ ，令 $ m\to \infty $ 就得到了想要的结果。

此外，假设 $ \left\{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.:\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\ne 0\right\} $ 是不可数集，则存在某个 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}$ 使得 $\left\{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right.:\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\ne 0\right\}$ 是不可数集，从而存在某个 $ N\in {\mathbb{Z}}_{+} $ 使得 $\{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right.: |\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)| > {N}^{-1}\}$ 是不可数集，所以该集合包含一个不重复的序列 ${\left\{{{{\lambda}}}_{{k}}\right\}}_{1}^{\infty }$ 。然而下面的结论与 ${\mu }_{{{\varLambda}}}$ 是复测度矛盾： $\left|{\mu }_{{{\varLambda}}}\right|\left({\left\{{{{\lambda}}}_{{k}}\right\}}_{1}^{\infty }\right)={\displaystyle \sum }_{1}^{\infty }\left|{\mu }_{{{\varLambda}}}\right|\left(\left\{{{{\lambda}}}_{{k}}\right\}\right)\geqslant {\displaystyle \sum }_{1}^{\infty }{N}^{-1}=\infty ,$ 其中 $\left|{\mu }_{{{\varLambda}}}\right|$ 是 ${\mu }_{{{\varLambda}}}$ 的全变差。

3 定理及证明

定理1 　若对给定的 $ {{\sigma }}=\left({\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ ，在 $ {L}_{\alpha }\left({{s}}\right) $ 的定义中出现的极限关于 $ {{t}}=\left({t}_{1},\cdots ,{t}_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ 一致收敛，则对任意的 $ {{{T}}}_{0}=\left({T}_{01},\cdots ,{T}_{0n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ 和任意的 ${{{\lambda}}}_{0}= \left({\lambda }_{01},\cdots ,{\lambda }_{0n}\right)\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.$ ，有

${\lim}_{{{T}}\to \infty }\Bigg[{(\prod\nolimits_{1}^{n}{T}_{j})}^{-1} {\displaystyle \int }_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha } \left({{\sigma }}+{{{\rm{i}}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\Bigg]={{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{{\lambda}}}_{0}\right), $

其中， ${{T}}=({T}_{1},\cdots , {T}_{n})\in \left[\left.{\bf{1}},\infty \right)\right.\cap \left[\left.{{{T}}}_{0},\infty \right)\right.$ 。

证明 　当 ${{{\lambda}}}_{0}\in \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right.$ 时， $ \alpha $ 在 $\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上以引理3的方式生成复测度 ${\mu }_{{{\varLambda}}}$ ，满足 ${\rm{e}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{{\lambda}}}_{0}\right)={{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left(\left\{{{{\lambda}}}_{0}\right\}\right)= {\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{1}_{\left\{{{{\lambda}}}_{0}\right\}}\left({{\lambda}}\right){\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\lambda}}\right),$ 所以

$ \lim\limits_{{{\varLambda}}\to \infty }\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{1}_{\left\{{{{\lambda}}}_{0}\right\}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}={{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{{\lambda}}}_{0}\right) \qquad\;\,\,$

(1)

令 ${{g}_{j}}\left( \lambda ;{{T}} \right)={{T}}_{j}^{-1}\displaystyle \int_{{{T}_{0j}}}^{{{T}_{j}}}\,{{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{{\lambda}} }_{0j}}{{{{t}}}_{j}}}}{{{\rm{e}}}^{-{{{{\lambda}} }_{j}}\left( {{{{\sigma}} }_{j}}+{\rm{i}}{{{{t}}}_{j}} \right)}}{\rm{d}}{{{{t}}}_{j}}~,~j=1,2,\cdots ，n$ 则

$\quad\quad {g}_{j}\left({{\lambda}};{{T}}\right)=\left\{\begin{aligned} & \frac{{T}_{j}-{T}_{0j}}{{T}_{j}}{{\rm{e}}}^{-{\lambda }_{0j}{\sigma }_{j}},{\lambda }_{j}={\lambda }_{0j}\\& \frac{{{\rm{e}}}^{{\rm{{i}}}\left({\lambda }_{0j}-{\lambda }_{j}\right){T}_{j}}-{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}\left({\lambda }_{0j}-{\lambda }_{j}\right){T}_{0j}}}{{\rm{i}}\left({\lambda }_{0j}-{\lambda }_{j}\right){T}_{j}}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda }_{j}\sigma }_{j}},{\lambda }_{j}\ne {\lambda }_{0j} \end{aligned}\right. $

从而 $ {{T}}\to \infty $ 时， ${g}_{j}\left({{\lambda}};{{T}}\right)\to {{\rm{e}}}^{-{\sigma }_{j}{\lambda }_{0j}}{1}_{\left\{{\lambda }_{0j}\right\}}\left({\lambda }_{j}\right)$ ，即 ${\prod }_{1}^{n}{g}_{j}\to {{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{1}_{\left\{{{\lambda}}_{0}\right\}}.$

注意到，当 ${{\lambda}}\in \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 时， ${\lambda }_{j}\mapsto {{\rm{e}}}^{-{{\lambda }_{j}\sigma }_{j}}$ 有界，从而 $ {\prod }_{1}^{n}{g}_{j} $ 在 $\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 关于 $ {{T}} $ 一致有界，这是因为

$ \begin{aligned} &\left|{g}_{j}\left({{\lambda}};{{T}}\right)\right|= {T}_{j}^{-1}\left|{\int }_{{T}_{0j}}^{{T}_{j}}{{\rm{e}}}^{-{\rm{i}}{\lambda }_{0j}{t}_{j}}{{\rm{e}}}^{-{\lambda }_{j}\left({\sigma }_{j}+{\rm{i}}{t}_{j}\right)}{\rm{d}}{t}_{j}\right|\leqslant \\& \frac{{T}_{j}-{T}_{0j}}{{T}_{j}}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda }_{j}\sigma }_{j}}\leqslant \left(1+\left|{T}_{0j}\right|\right){{\rm{e}}}^{-{{\lambda }_{j}\sigma }_{j}} \end{aligned}$

由控制收敛定理得

$ \begin{aligned} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},\;{{T}}]} }}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\lambda}}\right)\right]=\\ & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\prod }_{1}^{n}{g}_{j}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}= \int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{1}_{\left\{{{{\lambda}}}_{0}\right\}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}} \end{aligned}$

(2)

由Fubini定理得

$ \begin{split} & \int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},\;{{T}}]}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{{\rm{e}}}^{-({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}})\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}({{\lambda}})=\\ &\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},\;{{T}}]}\int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{{\rm{e}}}^{-({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}})\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}({{\lambda}}){\rm{d}}{{t}}\qquad\qquad \end{split}$

(3)

根据引理3，

$ \begin{split} & \int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}\int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\lambda}}\right){\rm{d}}{{t}}=\\ & \int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}\left[{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}\int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}\alpha \left({{\lambda}}\right)\right]{\rm{d}}{{t}} \end{split}\qquad\qquad $

(4)

令

$ {\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)=\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}\alpha \left({{\lambda}}\right)\qquad\qquad\qquad$

由该定理的假设， ${{\varLambda}}\to \infty$ 时，关于 ${{t}}\in {\mathbb{R}}^{n},{\varphi }_{{{\varLambda}}}\rightrightarrows {L}_{\alpha }$ ，再注意到

$ \begin{aligned} & \bigg|{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}-\\ & {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\bigg|\leqslant\\ & {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}\left|{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)-{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)\right|{\rm{d}}{{t}}\leqslant\\ & \prod\limits_{1}^{n}\frac{{T}_{j}-{T}_{0j}}{{T}_{j}}\underset{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}{\sup}\left|{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)-{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)\right|\leqslant \\ & \prod\limits_{1}^{n}\left(1+\left|{T}_{0j}\right|\right)\underset{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}{\sup}\left|{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)-{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)\right| \end{aligned} $

所以 ${{\Lambda}}\to \infty$ 时，关于 $ {{T}} $ ，

$ \begin{split} & {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){{\rm{e}} }^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}} \rightrightarrows\\ & {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}} \end{split} \qquad\quad $

(5)

此外，由式(3)、式(4)得

$ \begin{split} & {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\phi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}=\\& {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}\alpha \left({{\lambda}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\qquad\qquad \end{split}$

再由式(2)得 $ {{T}}\to \infty $ 时极限存在。这样就满足了累次极限存在且可交换的条件(见文献[14]的16.3.2, 定理1)，所以

$ \begin{split} & \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\right]=\\& \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{{\rm{i}}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\right] \end{split} $

(6)

最后，由式(1)~(6)得

$ \begin{aligned} & {{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{{\lambda}}}_{0}\right)\underset{\left(1\right)}{=}\underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{1}_{\left\{{{{\lambda}}}_{0}\right\}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\underset{\left(2\right)}{=}\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{e}}^{-\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}{{t}}{{\rm{d}}}{\mu }_{{\bf{\Lambda}}}\left({{\lambda}}\right)\right]\underset{\left(3\right)}{=}\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}\int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}{{{\rm{e}}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{{{\rm{i}}}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}{\mu }_{{\bf{\varLambda}}}\left({{\lambda}}\right){\rm{d}}{{t}}\right]\underset{\left(4\right)}{=}\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left\{{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}\left[{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}\int\nolimits_{[{\bf{0}},{{\varLambda}}]}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{{{\rm{i}}}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}}\alpha \left({{\lambda}}\right)\right]{\rm{d}}{{t}}\right\} =\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{{{{\rm{i}}}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\right] \underset{\left(6\right)}{=}\\& \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{{{{\rm{i}}}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\right] \underset{\left(5\right)}{=}\\& \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{{{\rm{i}}}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{{{\rm{i}}}}{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\right] \end{aligned} $

定理2 　若对给定的 $ {{\sigma }}=\left({\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ ，在 ${L}_{\alpha }\left({{s}}\right), {L}_{\beta }\left({{s}}\right)$ 的定义中出现的极限关于 $ {{t}}=\left({t}_{1},\cdots ,{t}_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ 一致收敛，且满足

$ \sum\limits_{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.}{{\rm{e}}}^{-2{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\left|\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\Delta \beta \left({{\lambda}}\right)\right|< \infty $

根据引理3，该和式的意义是自明的，则对任意的 $ {{{T}}}_{0}=\left({T}_{01},\cdots ,{T}_{0n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ ，有

$ \begin{aligned} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{L}_{\beta }}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}\right]=\\& \sum\limits_{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.}{{\rm{e}}}^{-2{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\overline{\Delta \beta }\left({{\lambda}}\right) \end{aligned} $

其中， $ {{T}}=\left({T}_{1},\cdots ,{T}_{n}\right)\in \left[\left.{\bf{1}},\infty \right)\right.\cap \left[\left.{{{T}}}_{0},\infty \right)\right. $ 。

证明 　令 ${\varphi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)={\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}\alpha \left({{\eta}}\right),{\psi }_{{{\varLambda}}}\left({{\sigma }}+ {{\rm{i}}}{{t}}\right)={\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}\beta \left({{\eta}}\right)$ 。

由定理假设， ${{\varLambda}}\to \infty$ 时，关于 ${{t}}\in {\mathbb{R}}^{n},{\varphi }_{{{\varLambda}}}\rightrightarrows {L}_{\alpha }, \overline{{\psi }_{{{\varLambda}}}}\rightrightarrows \overline{{L}_{\beta }}$ 。所以对足够大的 ${{\bf{\varLambda}}}_{0}$ ，有 ${\sup}_{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}\left|{\varphi }_{{{{\varLambda}}}_{0}}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)- {L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|\leqslant 1$ 。而

$\begin{split} & {\sup}_{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}\left|{\varphi }_{{{{\varLambda}}}_{0}}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|={\sup}_{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}\left|{\displaystyle \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{{\varLambda}}}_{0}\right]} {{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\cdot{{\eta}}} {\rm{d}}\alpha \left({{\eta}}\right)\right| \leqslant \\& {\sup}_{{{\eta}}\in \left[{\bf{0}},\;{{{\varLambda}}}_{0}\right]}\left\{{{\rm{e}}}^{-{{{\eta}}\cdot{\sigma }}}\right\}{\rm{var}}\left(\alpha ,\left[{\bf{0}},\;{{{\varLambda}}}_{0}\right]\right) <\infty{\text{。}} \end{split} $

从而 ${\sup}_{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}\left|{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right| < \infty$ 。注意到

$\begin{split} & {\left(\displaystyle \prod\nolimits_{1}^{n}{T}_{j}\right)}^{-1}\left|{\displaystyle \int }_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]} {L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{\psi }_{{{\varLambda}}}}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}-\right.\\&\left.{\displaystyle \int }_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{L}_{\beta }}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}.\right|\leqslant \\& \displaystyle \prod\nolimits_{1}^{n}\left(1+\left|{T}_{0j}\right|\right){\sup}_{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}\left|{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|{\sup}_{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}\left|\left(\overline{{\psi }_{{{\varLambda}}}}-\overline{{L}_{\beta }}\right)\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|, \end{split} $

所以 ${{\varLambda}}\to \infty$ 时，关于 $ {{T}} $ ，

$ \begin{split} & {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{\psi }_{{{\varLambda}}}}\left({\sigma }+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}\rightrightarrows\\& {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{L}_{\beta }}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}} \end{split} $

(7)

在 $\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上， $ \overline{\beta } $ 以引理3的方式生成复测度 ${\mu }_{{{\varLambda}}}$ ，所以有

$ \overline{{\psi }_{{{\varLambda}}}}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)=\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}\overline{\beta }\left({{\eta}}\right)=\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{d}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right) $

(8)

根据Fubini定理

$ \begin{split} & \int\nolimits_{[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)=\\& \int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\left[\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\right]{\rm{d}}{{t}} \end{split}\qquad $

(9)

对 $ {{\eta}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ ，由定理1得

$ \begin{aligned} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}\right] =\\& {{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot{{\sigma }}}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{\eta}}\cdot{{t}}}{\rm{d}}{{t}}\right]={{\rm{e}}}^{-2{{\eta}}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{\eta}}\right) \end{aligned} $

注意到

$ \begin{aligned} & \underset{\begin{smallmatrix} {{t}}\in {{\mathbb{R}}^{n}} \\ {{\eta}} \in [{\bf{0}},\;{{\varLambda}} ] \end{smallmatrix}}{\mathop{\sup }}\left|{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}\right|\leqslant \\[-3pt]& \prod\limits_{1}^{n}\left(1+\left|{T}_{0j}\right|\right)\underset{{{t}}\in {\mathbb{R}}^{n}}{\sup}\left|{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|\underset{{{\eta}}\in \left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{\sup}\left\{{{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot{{\sigma }}}\right\}< \infty \end{aligned} $

再利用控制收敛定理，得

$ \begin{split} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\Bigg[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }({{\sigma }}+\Bigg.\\&\Bigg. {{\rm{i}}}{{t}}){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\Bigg] =\\& \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\Bigg[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }({{\sigma }}+\Bigg.\\&\Bigg. {{\rm{i}}}{{t}}){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}\Bigg]{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right) =\\& \int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-2{{\eta}}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{\eta}}\right){\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\\[-13pt] \end{split} $

(10)

此外，由式(8)~(10)得， ${{\varLambda}}\to \infty$ 时，关于 $ {{T}} $ ，

$ \begin{split} & \left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\right]\rightrightarrows\\& {\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{L}_{\beta }}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}\\[-20pt] \end{split} $

(11)

这样就满足了累次极限存在且可交换的条件(见参考文献[14], 16.3.2, 定理1)，所以

$ \begin{split} & \mathop {\lim }\limits_{{{T}} \to \infty } \mathop {\lim }\limits_{{{\varLambda }} \to \infty } \Bigg[ {{\bigg( {\mathop \prod\limits_1^n {T_j}} \bigg)}^{ - 1}}\int\nolimits_{\left[ {{\bf{0}},\;{{\varLambda }}} \right]} \int\nolimits_{[ {{{{T}}_{\bf{0}}},\;{{T}}} ]}{L_\alpha }( {{\sigma}} +\Bigg.\\&\Bigg. {{{\rm{i}}t}} ){{\rm{e}}^{ - {{\eta}} \cdot\left( {{{\sigma}} - {{{\rm{i}}t}}} \right)}}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu _{{\varLambda }}}\left( {{\eta}} \right) \Bigg] =\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\Bigg[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }({{\sigma }}+\Bigg.\\&\Bigg.{{\rm{i}}}{{t}}){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\Bigg] \end{split} $

(12)

由引理3得 $\left\{{{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}:\forall {{\eta}}\in \left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]\setminus \left[\left.{\bf{0}},{{\varLambda}}\right)\right., \Delta \alpha \left({{\eta}}\right)=0\right\}$ 是不可数集，从而该集合包含一个趋于 $ \infty $ 的序列 ${\left\{{{{\varLambda}}}_{{k}}\right\}}_{1}^{\infty }$ ，且有

$ \begin{split} & \lim _{k \rightarrow \infty} \int\nolimits_{[{\bf{0}},\; {{\varLambda}}_{k}]} {\rm{e}}^{-2 {{\eta}} \cdot {{\sigma}}} \Delta \alpha(\boldsymbol{\eta}) {\rm{d}} {{\mu}}_{{{\varLambda}}_{k}}(\boldsymbol{\eta})= \\& \lim _{k \rightarrow \infty} \int\nolimits_{[{\bf{0}},\; {{\varLambda}}_{k}]} \left[\sum_{\lambda \in[{\bf{0}},\; {{\varLambda}}_{k})} {\rm{e}}^{-2 {{\lambda}} \cdot {{\sigma}}} \Delta \alpha({{\lambda}}) 1_{\{{{\lambda}}\}}(\boldsymbol{\eta})\right] {\rm{d}} {{\mu}}_{{{\varLambda}}_{k}}(\boldsymbol{\eta}) =\\& \lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{\lambda \in[{\bf{0}},\; {{\varLambda}}_{k})} {\rm{e}}^{-2 {{\lambda}} \cdot {{\sigma}}} \Delta \alpha({{\lambda}}) \overline{\Delta \beta}(\boldsymbol{\lambda}) =\\& \sum_{\lambda \in[{\bf{0}}, \infty)} {\rm{e}}^{-2 {{\lambda}} \cdot {{\sigma}}} \Delta \alpha({{\lambda}}) \overline{\Delta \beta}({{\lambda}}) \end{split} $

(13)

最后，由式(10)~(13)得

$ \begin{aligned} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\left(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\right)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right)\overline{{L}_{\beta }}\left({{\sigma }}+{\rm{i}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}\right]\underset{\left(11\right)}{=}\\& \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim} \Bigg[{\left(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\right)}^{-1}\int\nolimits_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }({{\sigma }}+\Bigg.\\&\Bigg. {{{\rm{i}}}}{{t}}){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\Bigg]\underset{\left(12\right)}{=} \\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\Bigg[{\left(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\right)}^{-1}{\int_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }({{\sigma }}+\Bigg.\\&\Bigg. {{{\rm{i}}}}{{t}}){{\rm{e}}}^{-{{\eta}}\cdot\left({{\sigma }}-{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)} {\rm{d}}{{t}}{\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)\Bigg]\underset{\left(10\right)}{=}\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\int_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-2{{\eta}}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{\eta}}\right){\rm{d}}{\mu }_{{{\varLambda}}}\left({{\eta}}\right)=\\& \underset{k\to \infty }{\lim}{{\int_{\left[{\bf{0}},\;{{{\varLambda}}}_{{k}}\right]} }}{{\rm{e}}}^{-2{{\eta}}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{\eta}}\right){\rm{d}}{\mu }_{{{{\varLambda}}}_{{k}}}\left({{\eta}}\right)\underset{\left(13\right)}{=}\\& \sum\limits_{{{\lambda}}\in \left[\left.0,\infty \right)\right.}{{\rm{e}}}^{-2{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\overline{\Delta \beta }\left({{\lambda}}\right) \end{aligned} $

推论1 　若对给定的 $ {{\sigma }}=\left({\sigma }_{1},\cdots ,{\sigma }_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ ，在 $ {L}_{\alpha }\left({{s}}\right) $ 的定义中出现的极限关于 $ {{t}}=\left({t}_{1},\cdots ,{t}_{n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ 一致收敛，则对任意的 $ {{{T}}}_{0}=\left({T}_{01},\cdots ,{T}_{0n}\right)\in {\mathbb{R}}^{n} $ ，有

$\begin{aligned} & {\lim}_{{{T}}\to \infty } \left[{\left( \prod\nolimits_{1}^{n}{T}_{j}\right)}^{-1}{{ \int }}_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\left|{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|}^{2}{\rm{d}}{{t}}\right]= \\&\sum\nolimits_{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.}{\left({{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\left|\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|\right)}^{2} \end{aligned} $

其中， $ {{T}}=\left({T}_{1},\cdots ,{T}_{n}\right)\in \left[\left.{\bf{1}},\infty \right)\right.\cap \left[\left.{{{T}}}_{0},\infty \right)\right.$ 。注意这里不要求 $\displaystyle \sum\nolimits_{{{\lambda}}\in \left[\left.0,\infty \right)\right.}{\left({{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\left|\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|\right)}^{2} < \infty $ 。

证明 　根据定理2的证明过程，利用同样的记号，可得

$ \begin{aligned} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int\nolimits_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{\left|{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\right|}^{2}{\rm{d}}{{t}}\right] =\\& \underset{k\to \infty }{\lim}\sum\limits_{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\;{{{\varLambda}}}_{{k}}\right)\right.}{\left({{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\left|\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|\right)}^{2}= \\& \sum\limits_{{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\;\infty \right)\right.}{\left({{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}\left|\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)\right|\right)}^{2} \end{aligned} $

4 注记

注3 　令 $ \beta \left({{\lambda}}\right)={1}_{\left({{{\lambda}}}_{0},\mathrm{ }\infty \right)}\left({{\lambda}}\right),{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ ，其中 $ {{{\lambda}}}_{0}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right. $ 。注意到 ${1}_{\left({{{\lambda}}}_{0},\mathrm{ }\infty \right)}\left({{\lambda}}\right)= {1}_{\left(-\infty ,{{\lambda}}\right)}\left({{{\lambda}}}_{0}\right)$ ，由此可得 $ \Delta \left(\beta ,\left[{{u}},{{v}}\right]\right)= {1}_{\left[\left.{{u}},{{v}}\right)\right.}\left({{{\lambda}}}_{0}\right) $ ，从而对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}, \beta \in {BV}_{0}\left[{\bf{0}}, {{\varLambda}}\right]$ ，且 $\Delta \beta \left({{\lambda}}\right)= {1}_{\left\{{{{\lambda}}}_{0}\right\}}\left({{\lambda}}\right)$ 。当 ${{{\lambda}}}_{0}\in \left[\left.{\bf{0}},{\rm{{\varLambda}}}\right)\right.$ 时，

${\int }_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}} {\rm{d}}\beta \left({{\lambda}}\right)= {{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot\left({{\sigma }}+{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)} $

所以定义 $ {L}_{\beta } $ 的极限关于 $ {{t}} $ 一致收敛，且 ${L}_{\beta }\left({{\sigma }}+{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)= {{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot\left({{\sigma }}+{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)}$ 。由定理2得

$ \begin{aligned} & \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot\left({{\sigma }}-{{{\rm{i}}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}\right]=\\&{{\rm{e}}}^{-2{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}\Delta \alpha \left({{{\lambda}}}_{0}\right) \end{aligned}$

约去 ${{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{0}\cdot{{\sigma }}}$ 后重新得到了定理1，因此可以认为定理1是定理2的特殊情况。

注4 　令 $\alpha \left({{\lambda}}\right)=\sum\nolimits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{1}_{\left({{{\lambda}}}_{{m}},\mathrm{ }\mathrm{ }\infty \right)}\left({{\lambda}}\right),{{\lambda}}\in \left[\left.{\bf{0}},\infty \right)\right.$ ，其中 ${a}_{{{m}}}\in \mathbb{C},{{{\lambda}}}_{{m}}=\left({\lambda }_{{m}_{1}}^{1},\cdots ,{\lambda }_{{m}_{n}}^{n}\right)\in \left({\bf{0}},\infty \right)$ 满足 $0 < {\lambda }_{1}^{j} < {\lambda }_{2}^{j} < \cdots < {\lambda }_{k}^{j}\nearrow \infty ,j=1, 2,\cdots , n$ 。注意到对任意 ${{\varLambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}, \alpha$ 在 $\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ 上是形如注3中 $ \beta $ 的函数的线性组合，从而 $\alpha \in {BV}_{0}\left[{\bf{0}},{{\varLambda}}\right]$ ，且 $\Delta \alpha \left({{\lambda}}\right)=\displaystyle\sum\nolimits_{{{{\lambda}}}_{{m}}\in \left[\left.{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right)\right.}{a}_{{{m}}}{1}_{\left\{{{{\lambda}}}_{{m}}\right\}}\left({{\lambda}}\right)$ ，所以

$ \begin{aligned} & {L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)=\underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}{{\int_{\left[{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right]} }}{{\rm{e}}}^{-\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\cdot{{\lambda}}}{\rm{d}} \alpha \left({{\lambda}}\right) =\\& \underset{{{\varLambda}}\to \infty }{\lim}\sum\limits_{{{{\lambda}}}_{{m}}\in \left[\left.{\bf{0}},\;{{\varLambda}}\right)\right.}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)} =\sum\limits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{{m}}}\cdot\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)} \end{aligned} $

即 ${L}_{\alpha }\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)$ 归结为 $ n $ 重Dirichlet级数。若对给定的 $ {{\sigma }} $ ，该级数关于 $ {{t}} $ 一致收敛，则由定理1得

$ \underset{{{T}}\to \infty }{\lim}\left[{\bigg(\prod\limits_{1}^{n}{T}_{j}\bigg)}^{-1}\int_{[{{{T}}}_{0},{{T}}]}{{\rm{e}}}^{{\rm{i}}{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot{{t}}}\sum\limits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)}{\rm{d}}{{t}}\right]={a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot{{\sigma }}}$

这样重新得到了Dirichlet级数中的相应结论(见文献[5]的定理2.3和文献[15]的定理2.1.1)，这是研究Dirichlet级数增长性的基础之一。

注5 　令 $ {\cal{D}}_{{{\sigma }}} $ 为满足以下条件的所有 $ {L}_{\alpha } $ 组成的集合： $ {L}_{\alpha } $ 是Dirichlet级数，满足 $ {\rm{Re}}\;{{s}}={{\sigma }} $ 时， $ {L}_{\alpha }\left({{s}}\right) $ 关于 $ {{t}} $ 一致收敛，且满足 $\displaystyle \sum\nolimits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{\left(\left|{a}_{{{m}}}\right|{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot{{\sigma }}}\right)}^{2} < \infty .$ 不难看出 $ {\cal{D}}_{{{\sigma }}} $ 是向量空间，根据定理2及其推论，由下式给定的 $ {\cal{D}}_{{{\sigma }}} $ 上的半双线性型 $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $ 是内积(内积空间，可参考文献[16])。

$\langle{L}_{\alpha },{L}_{\beta }\rangle:={\lim}_{{{T}}\to \infty }\left[{\left( \prod\nolimits_{1}^{n}{T}_{j}\right)}^{-1}{ \int }_{\left[{\bf{0}},\;{{T}}\right]}{L}_{\alpha } \left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right)\overline{{L}_{\beta }}\left({{\sigma }}+{{\rm{i}}}{{t}}\right){\rm{d}}{{t}}\right] $

此外， $\left\{{{s}}\mapsto {{\rm{e}}}^{{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{s}}}:\mathrm{ }{{\lambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}\right\}$ 是 $ {\cal{D}}_{{{\sigma }}} $ 上的规范正交基，由定理1得 $\displaystyle \sum\nolimits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{{m}}}\cdot{{s}}}$ 关于该基的Fourier系数为

$ \left\langle\sum\limits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot{{s}}} ,{{\rm{e}}}^{{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{s}}}\right\rangle =\left\{\begin{array}{l}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{{m}}}\cdot{{\sigma }}}, \exists {{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}\left({{\lambda}}={{{\lambda}}}_{{m}}\right)\\ 0 ,\forall {{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}\left({{\lambda}}\ne {{{\lambda}}}_{{m}}\right)\end{array}\right. $

在这个意义下，推论1就是Parseval等式：

$ \begin{aligned} & \left\langle\sum\limits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{{m}}}\cdot{{s}}},\sum\limits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot{{s}}}\right\rangle=\\& \sum\limits_{{{\lambda}}\in {\mathbb{R}}_{+}^{n}}{\left|\left\langle\sum\limits_{{{m}}\in {\mathbb{Z}}_{+}^{n}}{a}_{{{m}}}{{\rm{e}}}^{-{{{\lambda}}}_{{m}}\cdot{{s}}},{{\rm{e}}}^{{{\lambda}}\cdot{{\sigma }}}{{\rm{e}}}^{-{{\lambda}}\cdot{{s}}}\right\rangle\right|}^{2} \end{aligned}$