度量空间在理论和应用上都有着极大的价值, 但是随着科学技术的快速发展, 度量空间无法满足人们解决在生产技术中的需要。所以有研究者试图推广度量空间, 比如, $ b $ -度量空间^[1-2]、有序度量空间、 $ G $ -度量空间、拟度量空间、偏度量空间等。2007年, Huang等^[3]用序Banach空间取代实数, 引入了锥度量空间, 之后很多作者在锥度量空间中取得了多个映射的公共不动点定理与单个映射的不动点定理^[3-4], 锥度量空间的一个显著特点是距离函数中的锥距离值域不是一般的实数域, 而是Banach空间。2013年，Liu等^[4]用Banach代数取代序Banach空间得到具有Banach代数的锥度量空间, 证明了度量空间和具有Banach代数的锥度量空间不等价, 并且得到了此空间上的若干不动点定理。本文在具有Banach代数的锥度量空间中, 去掉半序和锥的正规性这些条件, 引入了新的压缩条件, 在该压缩条件下研究公共不动点的存在性和唯一性问题, 所得的结果推广了以前文献中的相关结果。

1 预备知识

设 $ \xi $ 为实的Banach代数, 即 $ \xi $ 是具有乘法运算的实Banach空间, 其运算具备以下性质^[5](对任意的 $ x,y,z\in \xi ,\alpha \in R $ ):

(1) $ x\left(yz\right)=\left(xy\right)z $ ;

(2) $ x\left(y+z\right)=xy+xz{\text{且}}\left(x+y\right)z=xz+yz $ ;

(3) $ \alpha \left(xy\right)=\left(\alpha x\right)y=x\left(\alpha y\right) $ ;

(4) $ \left\| xy \right\|\leqslant \left\| x \right\|\left\| y \right\| $ 。

本文假设Banach代数 $ \xi $ 具有单位元 $ e $ , 满足对任意 $ x\in \xi $ 均有 $ ex=xe=e $ 。元素 $ x\in \xi $ 称为可逆的, 如果存在一个元素(称为它的一个逆元) $ y\in \xi $ 使得 $ xy= yx=e $ 。

定义1^[3] 　Banach代数 $ \xi $ 中的子集 $ P $ 称为一个锥, 若满足下列条件:

(1) $ P $ 为非空集, 且 $ \left\{\theta ,e\right\}\subset P $ ;

(2) $ \alpha P+\beta P\subset P $ 对任意非负实数 $ \alpha $ , $ \beta $ 均成立;

(3) $ {P}^{2}=PP\subset P $ ;

(4) $ P\cap \left(-P\right)=\left\{\theta \right\} $ , 其中 $ \theta $ 为Banach代数 $ \xi $ 中的零元。

对于锥 $ P\subset \xi $ , 定义半序如下: $ x\preccurlyeq y $ 当且仅当 $ y-x\in P $ ; $ x\prec y $ 表示 $ x\preccurlyeq y $ 且 $ x\ne y $ 。而 $ x\ll y $ , 则表示 $ y-x\in \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}P $ , 其中 $ \;\;{\rm{int}}P $ 表示P的内部。

定义2^[4] 　设 $ X $ 是一个非空集, 若映射 $ d:X\times X\to \xi $ 满足

(1) $ \theta \preccurlyeq d\left(x,y\right) $ , $ \forall x,y\in X $ . $ d\left(x,y\right)=\theta $ 当且仅当 $ x=y $ ;

(2) $ d\left(x,y\right)= d\left(y,x\right) $ , $ \forall x $ , $ y\in X $ ;

(3) $ d\left(x,y\right)\preccurlyeq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) $ , $ \forall x,y,z\in X $ 。则称 $ d $ 是 $ X $ 的一个锥度量, $ (X,d) $ 称为具有Banach代数 $ \xi $ 的锥度量空间。

定义3^[4] 　设 $ (X,d) $ 为具有Banach代数 $ \xi $ 的锥度量空间, $ x\in X $ 且 $ {\left\{{x}_{n}\right\}}_{n\geqslant 1} $ 是 $ X $ 中的一个序列, 则

(1) 若对每一个 $ c\in \xi $ 且 $ c\gg \theta $ , 存在正整数 $ N $ , 使得对所有的 $ n, m>N $ , $ d\left({x}_{n},{x}_{m}\right)\ll c $ , 则 $ {\left\{{x}_{n}\right\}}_{n\geqslant 1} $ 是一个Cauchy列;

(2) 若对每一个 $ c\in \xi $ 且 $ c\gg \theta $ , 存在正整数 $ N $ 使得对所有的 $ n>N $ , $ d({x}_{n},x)\ll c $ , 其中 $ x\in X $ , 称 $ x $ 是 $ {\left\{{x}_{n}\right\}}_{n\geqslant 1} $ 的极限, 记作 $ {x}_{n}\to x $ $ (n\to \infty ) $ , 则 $ {\left\{{x}_{n}\right\}}_{n\geqslant 1} $ 是一个收敛列;

(3) 若对 $ X $ 中的每个Cauchy列都收敛, 则 $ (X,d) $ 为完备的具有Banach代数的锥度量空间。

引理1^[6] 　若 $ \rho \left(x\right)<1 $ , 则 $ \left\| {x}^{n} \right\|\to 0 $ $ (n\to \infty ) $ 。

引理2^[7] 　设 $ \xi $ 是具有单位元 $ e $ 的Banach代数, $ P $ 是 $ \xi $ 中的体锥。设 $ u,\alpha \in P $ , 且 $ u\preccurlyeq \alpha u $ 。若 $ \rho \left(\alpha \right)<1 $ , 则 $ u=\theta $ 。

定义4^[8] 　映射 $ f, g:X\to X $ , 若存在 $ x\in X $ 使得 $ w=fx=gx $ , 则称 w 是 f 和 g 的叠合点。

定义5^[9] 　映射 $ f,g:X\to X $ 称为弱相容, 对任意 $ x\in X $ , 如果 $ fx=gx $ , 都有 $ fgx=gfx $ 成立。

引理3^[8] 　映射 $ f,g:X\to X $ 是弱相容的, 若 $ f $ , $ g $ 在 $ X $ 中有唯一的叠合点 $ w $ ，即 $ w=fx=gx $ , 则 $ w $ 是 $ f $ 和 $ g $ 的唯一公共不动点(即 $ w=fw=gw $ )。

注1^[10] 　设 $ \xi $ 是实Banach空间, $ P $ 是 $ \xi $ 中的锥。若 $ a\leqslant ha $ , 其中 $ a\in \xi $ , $ h\in \left(\mathrm{0,1}\right) $ , 则 $ a=\theta $ 。

2 主要结果

定理1 　设 $ \left(X,d\right) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。映射F, G , H , J , T, V : X→X, 对 $ \forall x,y\in X $ , 有

$ \begin{split} & d\left( {Fx,Gy} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JTx,HVy} \right),d\left( {JTx,Fx} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {HVy,Gy} \right), \dfrac{{d\left( {JTx,Gy} \right) + d\left( {HVy,Fx} \right)}}{2}\Bigg\} \end{split}$

(1)

其中 $ v\in P $ 且 $ \rho \left(v\right)<1 $ 。若 $ FJ=JF $ , $ JT=TJ $ , $ GH=HG $ , $ HV=VH $ , $ F\left(X\right)\subseteq HV\left(X\right) $ , $ G\left(X\right)\subseteq JT\left(X\right) $ 且 $ F\left(X\right) $ , $ G\left(X\right) $ , $ JT\left(X\right) $ 和 $ HV\left(X\right) $ 是 $ X $ 的完备子空间, $ \{F,JT\} $ 和 $ \{G,HV\} $ 是弱相容的，则F, G , H , J , T, V 有唯一的公共不动点。

证明　对 $ \forall {x}_{0}\in X $ , 因为 $ F\left(X\right)\subseteq HV\left(X\right) $ , $ G\left(X\right)\subseteq JT\left(X\right) $ , 所以存在 $ {x}_{1},{x}_{2}\in X $ , 使得 $ F{x}_{0}=HV{x}_{1} $ , $ G{x}_{1}=JT{x}_{2} $ 。以此类推,得序列 $ \left\{{x}_{n}\right\} $ , $ \left\{{y}_{n}\right\}\subset X $ ,使得

$\begin{split} & {y_{2n}} = F{x_{2n}} = HV{x_{2n + 1}},{y_{2n + 1}} = G{x_{2n + 1}} =\\ & JT{x_{2n + 2}},n = {\rm{0}},{\rm{1}},2 \cdots \end{split}$

下面设 $ d({y}_{2n},{y}_{2n+1})\succ \theta $ , $ \forall n\in N $ 。否则, 存在 $ k $ , 使得 $ {y}_{2k}={y}_{2k+1} $ , 则有

$\begin{array}{l} d\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 2}}} \right) = d\left( {F{x_{2k + 2}},G{x_{2k + 1}}} \right)\preccurlyeq\\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JT{x_{2k + 2}},HV{x_{2k + 1}}} \right),\Bigg.\\ d\left( {JT{x_{2k + 2}},F{x_{2k + 2}}} \right), d\left( {HV{x_{2k + 1}},G{x_{2k + 1}}} \right),\\\Bigg. \dfrac{{d\left( {JT{x_{2k + 2}},G{x_{2k + 1}}} \right) + d\left( {HV{x_{2k + 1}},F{x_{2k + 2}}} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {{y_{2k}},{y_{2k + 1}}} \right),d\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 2}}} \right), d\left( {{y_{2k}},{y_{2k + 1}}} \right),\Bigg.\\\Bigg. \dfrac{{d\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 1}}} \right) + d\left( {{y_{2k}},{y_{2k + 2}}} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\left\{ d\left( {{y_{2k}},{y_{2k + 1}}} \right),d\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 2}}} \right), \dfrac{{d\left( {{y_{2k}},{y_{2k + 2}}} \right)}}{2}\right\}\preccurlyeq \\ v{\rm{max}}\{ d\left( {{y_{2k}},{y_{2k + 1}}} \right),d\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 2}}} \right)\}= \\ v{\rm{max}}\{ \theta ,d\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 2}}} \right)\}= vd\left( {{y_{2k + 1}},{y_{2k + 2}}} \right) \end{array}$

由引理2得 $ d\left({y}_{2k+1},{y}_{2k+2}\right)=\theta $ , 所以 $ {y}_{2k+1}={y}_{2k+2} $ , 故 $ {y}_{2k+2}={y}_{2k+3} $ 。因此 $ \left\{{y}_{n}\right\} $ 是常数序列，且 $ {y}_{2k} $ 是HV, G, F, JT 的公共不动点。

现在设 $ d({y}_{2n},{y}_{2n+1})\succ \theta $ $ (\forall n\in N) $ , 由(1)式得

$\begin{array}{l} d\left( {{y_{2n}},{y_{2n + 1}}} \right) = d\left( {F{x_{2n}},G{x_{2n + 1}}} \right)\preccurlyeq\\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JT{x_{2n}},HV{x_{2n + 1}}} \right),d\left( {JT{x_{2n}},F{x_{2n}}} \right),\Bigg.\\ d\left( {HV{x_{2n + 1}},G{x_{2n + 1}}} \right),\\\Bigg. \dfrac{{d\left( {JT{x_{2n}},G{x_{2n + 1}}} \right) + d\left( {HV{x_{2n + 1}},F{x_{2n}}} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n}}} \right),d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n}}} \right),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {{y_{2n}},{y_{2n + 1}}} \right),\dfrac{{d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n + 1}}} \right) + d\left( {{y_{2n}},{y_{2n}}} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n}}} \right),d\left( {{y_{2n}},{y_{2n + 1}}} \right),\Bigg.\\\Bigg. \dfrac{{d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n + 1}}} \right)}}{2}\Bigg\} \end{array}$

若 $ d\left({y}_{2n-1},{y}_{2n}\right)\prec d\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right) $ , 则 $ d\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right)\preccurlyeq$ $ vd\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right) $ 。

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得上式矛盾, 所以 $d\left({y}_{2n-1},{y}_{2n}\right)\succcurlyeq $ $ d\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right) $ 。

因此得到

$d\left( {{y_{2n}},{y_{2n + 1}}} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\left\{ d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n}}} \right),\frac{{d\left( {{y_{2n - 1}},{y_{2n + 1}}} \right)}}{2}\right\}$

因为

$ \frac{d\left({y}_{2n-1},{y}_{2n+1}\right)}{2}\preccurlyeq \frac{d\left({y}_{2n-1},{y}_{2n}\right)+d\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right)}{2}\preccurlyeq d\left({y}_{2n-1},{y}_{2n}\right) $

所以

$ d\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right)\preccurlyeq vd\left({y}_{2n-1},{y}_{2n}\right) $

(2)

同理,

$ d\left({y}_{2n+1},{y}_{2n+2}\right)\preccurlyeq vd\left({y}_{2n},{y}_{2n+1}\right) $

(3)

由式(2)和式(3)得,

$ d\left({y}_{n},{y}_{n+1}\right)\preccurlyeq vd\left({y}_{n-1},{y}_{n}\right)\preccurlyeq \cdots \preccurlyeq {v}^{n}d\left({y}_{0},{y}_{1}\right)。$

对任意的 $ m>n>0 $ , 有

$\begin{array}{l} d\left( {{y_n},{y_m}} \right) \preccurlyeq d\left( {{y_n},{y_{n + 1}}} \right) + d\left( {{y_{n + 1}},{y_{n + 2}}} \right) + \cdots + d\left( {{y_{m - 1}},{y_m}} \right)\preccurlyeq\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {v^n}d\left( {{y_0},{y_1}} \right) + {v^{n + 1}}d\left( {{y_0},{y_1}} \right) + \cdots + {v^{m - 1}}d\left( {{y_0},{y_1}} \right)\preccurlyeq\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {v^n}{\left( {e - v} \right)^{ - 1}}d\left( {{y_0},{y_1}} \right)。\end{array}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理1得, $ \left\| {v}^{n} \right\|\to 0 (n\to \infty ) $ 。

所以

$\left\| {v}^{n}{\left(e-v\right)}^{-1}d\left({y}_{0},{y}_{1}\right) \right\|\leqslant \left\| {v}^{n} \right\|\left\| {\left(e-v\right)}^{-1}d\left({y}_{0},{y}_{1}\right) \right\| \to$ $0\left(n\to \infty \right)$ 。

故 $ d\left({y}_{n},{y}_{m}\right)\preccurlyeq {v}^{n}{\left(e-v\right)}^{-1}d\left({y}_{0},{y}_{1}\right)\to \theta $ $ \left(n\to \infty \right) $ , 因此由定义3(1)得 $ \left\{{y}_{n}\right\} $ 是Cauchy列。

因为 $ HV\left(X\right) $ 是 $ X $ 的完备子空间, 及 $ \left\{{y}_{n}\right\}\subset HV\left(X\right) $ , $ \left\{{y}_{n}\right\} $ 是Cauchy列, 所以存在 $ q\in HV\left(X\right) $ , $ p\in X $ ，使得 $ {y}_{n}\to q\left(n\to \infty \right) $ 和 $ \; q=HVp $ 。

由式(1)得

$\begin{array}{l} d({y_{2n}},Gp) = d(F{x_{2n}},Gp)\preccurlyeq\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JT{x_{2n}},HVp} \right),d\left( {JT{x_{2n}},F{x_{2n}}} \right),\Bigg.\\\Bigg. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d\left( {HVp,Gp} \right),\dfrac{{d\left( {JT{x_{2n}},Gp} \right) + d\left( {HVp,F{x_{2n}}} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; v{\rm{max}}\Bigg\{ d({y_{2n - 1}},q),d({y_{2n - 1}},{y_{2n}}),\Bigg.\\\Bigg. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d\left( {q,Gp} \right),\dfrac{{d\left( {{y_{2n - 1}},Gp} \right) + d\left( {q,{y_{2n}}} \right)}}{2}\Bigg\} , \end{array}$

由上式，令 $ n\to \infty $ 得

$\begin{array}{l} d\left( {q,Gp} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d(q,q),d(q,q),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {q,Gp} \right),\dfrac{{d\left( {q,Gp} \right) + d\left( {q,q} \right)}}{2}\Bigg\}= vd\left( {q,Gp} \right)。\end{array}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(q,Gp\right)=\theta $ , 所以 $ q=Gp $ ，

所以 $ HVp=Gp=q $ 。

因为 $ G\left(X\right)\subseteq JT\left(X\right) $ , 所以存在 $ u\in X $ , 使得 $ q= Gp=JTu $ 。

由式(1)得

$\begin{array}{l} d\left( {Fu,q} \right) = d(Fu,Gp)\preccurlyeq\\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JTu,HVp} \right),d\left( {JTu,Fu} \right),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {HVp,Gp} \right),\dfrac{{d\left( {JTu,Gp} \right) + d\left( {HVp,Fu} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {q,q} \right),d\left( {q,Fu} \right),d\left( {q,q} \right),\Bigg.\\\Bigg. \dfrac{{d\left( {q,q} \right) + d\left( {q,Fu} \right)}}{2}\Bigg\}= vd\left( {Fu,q} \right) \end{array}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(Fu,q\right)=\theta $ , 所以 $ Fu=q $ 。

所以 $ Fu=JTu=q $ , 故 $ HVp=Gp=Fu=JTu=q $ 。

由定义4得, $ q $ 是 $ HV $ , $ G $ , $ F $ , $ JT $ 的叠合点。

由 $ \{G,HV\} $ 和 $ \{F,JT\} $ 是弱相容的及定义5得

$ Gq=G\left(HVp\right)=HV\left(Gp\right)=HVq={b}_{1}; $

$ Fq=F\left(JTu\right)=JT\left(Fu\right)=JTq={b}_{2}\;\;\;\;\;\; $

下证 $ {b}_{1}={b}_{2} $ 。由式(1)得

$\begin{array}{l} d\left( {{b_1},{b_2}} \right) = d(Fq,Gq)\preccurlyeq\\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JTq,HVq} \right),d\left( {JTq,Fq} \right),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {HVq,Gq} \right),\dfrac{{d\left( {JTq,Gq} \right) + d\left( {HVq,Fq} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {{b_2},{b_1}} \right),d\left( {{b_2},{b_2}} \right),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {{b_1},{b_1}} \right),\dfrac{{d\left( {{b_2},{b_1}} \right) + d\left( {{b_1},{b_2}} \right)}}{2}\Bigg\}= vd\left( {{b_1},{b_2}} \right)。\end{array}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left({b}_{1},{b}_{2}\right)=\theta $ , 所以 $ {b}_{1}={b}_{2} $ ,

故 $ Fq=Gq=HVq=JTq $ 。下证 $ Gq=q $ 。

$\begin{array}{l} d\left( {q,Gq} \right) = d(Fu,Gq)\preccurlyeq\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JTu,HVq} \right),d\left( {JTu,Fu} \right),\Bigg.\\\Bigg. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d\left( {HVq,Gq} \right),\dfrac{{d\left( {JTu,Gq} \right) + d\left( {HVq,Fu} \right)}}{2}\Bigg\} =\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {q,Gq} \right),d\left( {q,q} \right),\Bigg.\\\Bigg. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d\left( {Gq,Gq} \right),\dfrac{{d\left( {q,Gq} \right) + d\left( {Gq,q} \right)}}{2}\Bigg\}= d\left( {q,Gq} \right) \end{array}$

因此 $ Fq=Gq=HVq=JTq=q $ 。

设 $ {q}_{1} $ 是另一个不动点，使得 $ F{q}_{1}=G{q}_{1}=HV{q}_{1}=$ $ JT{q}_{1}={q}_{1} $ 。由式(1)得

$\begin{array}{l} d\left( {{q_1},q} \right) = d\left( {F{q_1},Gq} \right)\preccurlyeq\\ v{\rm{max}}\{ d\left( {JT{q_1},HVq} \right),d\left( {JT{q_1},F{q_1}} \right),\\ d\left( {HVq,Gq} \right),\dfrac{{d\left( {JT{q_1},Gq} \right) + d\left( {HVq,F{q_1}} \right)}}{2}\}= \\ v{\rm{max}}\{ d\left( {{q_1},q} \right),d\left( {{q_1},{q_1}} \right),d\left( {q,q} \right),\\ \dfrac{{d\left( {{q_1},q} \right) + d\left( {q,{q_1}} \right)}}{2}\}= vd\left( {{q_1},q} \right) \end{array}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left({q}_{1},q\right)=\theta $ ，所以 $ {q}_{1}=q $ ，

所以 $ q $ 是 $ HV $ , $ G $ , $ F $ , $ JT $ 的唯一公共不动点。

由 $ FJ=JF, JT=TJ $ , 得

$\begin{array}{l} d\left( {Jq,q} \right) = d\left( {JFq,Gq} \right) = d\left( {FJq,Gq} \right)\preccurlyeq\\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JTJq,HVq} \right),d\left( {JTJq,FJq} \right),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {HVq,Gq} \right),\dfrac{{d\left( {JTJq,Gq} \right) + d\left( {HVq,FJq} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Jq,q} \right),d\left( {Jq,Jq} \right),\Bigg.\\\Bigg. d\left( {q,q} \right),\dfrac{{d\left( {Jq,q} \right) + d\left( {q,Jq} \right)}}{2}\Bigg\}= vd\left( {Jq,q} \right) \end{array}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(Jq,q\right)=\theta $ ，所以 $ Jq=q $ 。

所以 $ Tq=T\left(Jq\right)=J\left(Tq\right)=q $ , 即 $ Tq=q=Jq $ 。

同理, 由 $ GH=HG, HV=VH $ 得

$ \begin{aligned} & d\left( {Hq,q} \right) = d\left( {HGq,Fq} \right) = d\left( {Fq,GHq} \right)\preccurlyeq\\[-1pt]& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {JTq,HVHq} \right),d\left( {JTq,Fq} \right),\Bigg.\\[-1pt]&\Bigg. d\left( {HVHq,GHq} \right),\frac{{d\left( {JTq,GHq} \right) + d\left( {HVHq,Fq} \right)}}{2}\Bigg\}= \\[-1pt]& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {q,Hq} \right),d\left( {q,q} \right),d\left( {Hq,Hq} \right),\Bigg.\\[-1pt]&\Bigg. \frac{{d\left( {q,Hq} \right) + d\left( {Hq,q} \right)}}{2}\Bigg\}= vd\left( {Hq,q} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(Hq,q\right)=\theta $ , 所以 $ Hq=q $ 。

所以 $ Vq=V\left(Hq\right)=H\left(Vq\right)=q $ , 即 $ Vq=q=Hq $ ,所以 $ Fq=Gq=Hq=Jq=Tq=Vq=q $ 。

因此 $ q $ 是 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ J $ , $ T $ , $ V $ 的唯一公共不动点。

注1 　在定理1中, 将文献[11]中的定理2.1的 $ b- $ 度量空间换为锥度量空间, 去掉映射的连续性; 将文献[12]中的定理1的 $ c- $ 度量空间换为锥度量空间, 去掉锥的正规性。将文献[13]定理1中的c-距离去掉。将文献[11]和文献[12]中的4个映射的公共不动点定理推广到6个映射的公共不动点定理。将文献[14]中的b-距离空间换为锥度量空间, 将文献[15]中定理1的s-度量空间换为锥度量空间, 将文献[15]中定理1和文献[14]中的4个映射的公共不动点定理推广到6个映射的公共不动点定理。文献[13]定理1中的2个映射的公共不动点定理推广到6个映射的公共不动点定理，并且证明了公共不动点的存在性和唯一性。

推论1 　设 $ (X,d) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。映射 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ J $ , $ V $ , $ T: $ $ X\to X $ , 对 $ \forall x, y \in X, $ 有

$d\left( {Fx,Gy} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\{ d\left( {JTx,HVy} \right),d\left( {JTx,Fx} \right),d\left( {HVy,Gy} \right)\} $

其中常数 $\dfrac{1}{2} < v<1$ 。若 $ FJ=JF $ , $ JT=TJ $ , $ GH=HG $ , $ HV=VH $ , $ F\left(X\right)\subseteq HV\left(X\right) $ , $ G\left(X\right)\subseteq JT\left(X\right) $ 且 $ F\left(X\right) $ , $ G\left(X\right) $ , $ JT\left(X\right) $ 和 $ HV\left(X\right) $ 是 $ X $ 的完备子空间, $ \{F,JT\} $ 和 $ \{G,HV\} $ 是弱相容的，则 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ J $ , $ T $ , $ V $ 有唯一的公共不动点。

推论2 　设 $ \left(X,d\right) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。映射 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ T: $ $ X\to X $ , 对 $ \forall x,y\in X, $ 有

$\begin{aligned} &d\left( {Fx,Gy} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Hx,Ty} \right),d\left( {Hx,Fx} \right),\Bigg.\\ &\Bigg. d\left( {Ty,Gy} \right),\frac{{d\left( {Hx,Gy} \right) + d\left( {Ty,Fx} \right)}}{2}\Bigg\} \end{aligned} $

其中 $ v\in P $ 且 $ \rho \left(v\right)<1 $ 。若 $ F\left(X\right)\subseteq T\left(X\right) $ , $ G\left(X\right)\subseteq H\left(X\right) $ , 且 $ F\left(X\right) $ , $ G\left(X\right), H\left(X\right) $ 和 $ T\left(X\right) $ 是 $ X $ 的完备子空间, $ \{F,H\} $ 和 $ \{G,T\} $ 是弱相容的, 则 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ T $ 有唯一的公共不动点。

证明　令 $ H $ 为定理1中的 $ JT $ , $ T $ 为定理1中的 $ HV $ , 证明方法见定理1。

推论3 　设 $ (X,d) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。映射 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ T: $ $ X\to X $ ,对 $ \forall x,y\in X, $ 有

$d\left( {Fx,Gy} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\{ d\left( {Hx,Ty} \right),d\left( {Hx,Fx} \right),d\left( {Ty,Gy} \right)\} $

其中 $ \rho \left(v\right)<1 $ 。若 $ F\left(X\right)\subseteq T\left(X\right) $ , $ G\left(X\right)\subseteq H\left(X\right) $ , 且 $ F\left(X\right) $ , $ G\left(X\right), H\left(X\right) $ 和 $ T\left(X\right) $ 是 $ X $ 的完备子空间, $ \{F,H\} $ 和 $ \{G,T\} $ 是弱相容的, 则 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ T $ 有唯一的公共不动点。

下面举例验证推论3。

例1 　设 $\varepsilon ={C}_{R}^{1}\left[\mathrm{0,1}\right]$ ， $P=\left\{x\in \varepsilon :x\geqslant 0\right\}$ 是Banach代数上的一个非正规锥， $ X=\left\{1, 2, 3\right\} $ .由以下式子定义 $d:X\times X\to \varepsilon$ :

$ d\left(\mathrm{1,1}\right)\left(t\right)=d\left(\mathrm{2,2}\right)\left(t\right)=d\left(\mathrm{3,3}\right)\left(t\right)=\theta $

$ d\left(\mathrm{1,2}\right)\left(t\right)=d\left(\mathrm{2,1}\right)\left(t\right)={\mathrm{e}}^{t} $

$ d\left(2,3\right)\left(t\right)=d\left(3,2\right)\left(t\right)=2{\mathrm{e}}^{t} $

$ d\left(1,3\right)\left(t\right)=d\left(3,1\right)\left(t\right)=3{\mathrm{e}}^{t} $

其中 $ t\in \left[\mathrm{0,1}\right] $ 。设 $ \left(X,d\right) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间,

对 $ \forall x\in X $ , $v\left(t\right)=\dfrac{1}{4}t+\dfrac{2}{3}$ , 设

$\begin{array}{*{20}{l}} {G\left( x \right) = 1;}&{F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,x \ne 2,}\\ {2,x = 2;} \end{array}} \right.}\\ {H\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,x = 1,}\\ {3,x \ne 1;} \end{array}} \right.}&{T\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,x = 1}\\ {2,x \ne 1} \end{array}} \right.} \end{array}$

则

$ \begin{aligned} & {{\rm{e}}^t} = d\left( {{\rm{2}},{\rm{1}}} \right)\left( t \right) = d(F2,G3)\left( t \right)\preccurlyeq\\& \;\;\;\; v\left( t \right){\rm{max}}\{ d\left( {H2,T3} \right)\left( t \right),d\left( {H2,F2} \right)\left( t \right),d(T3,G3)\left( t \right)\}= \\& \;\;\;\; v\left( t \right){\rm{max}}\{ d\left( {{\rm{3}},{\rm{2}}} \right)\left( t \right),d\left( {{\rm{3}},{\rm{2}}} \right)\left( t \right),d\left( {{\rm{2}},{\rm{1}}} \right)\left( t \right)\}= \\& \;\;\;\; v\left( t \right){\rm{max}}\{ 2{{\rm{e}}^t},2{{\rm{e}}^t},{{\rm{e}}^t}\}= 2v\left( t \right){{\rm{e}}^t}\preccurlyeq \frac{{11}}{6}{{\rm{e}}^t} \end{aligned}$

类似的，另外5个也是正确的:

$ d(F2, G1)\left(t\right)\preccurlyeq v\left(t\right)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ $ $ d\left(H2,T1\right)\left(t\right) $ , $ d\left(H2,F2\right)\left(t\right) $ , $ d(T1,G1)\left(t\right) $ }

$ d(F1, G3)\left(t\right)\preccurlyeq v\left(t\right)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ $ $ d\left(H1,T3\right)\left(t\right) $ , $ d\left(H1,F1\right)\left(t\right) $ , $ d(T3,G3)\left(t\right) $ }

$ d(F1, G2)\left(t\right)\preccurlyeq v\left(t\right)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ $ $ d\left(H1,T2\right)\left(t\right) $ , $ d\left(H1,F1\right)\left(t\right) $ , $ d(T2,G2)\left(t\right) $ }

$ d\left(F3, G1\right)\left(t\right)\preccurlyeq v\left(t\right)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ $ $ d\left(H3,T1\right)\left(t\right) $ , $ d\left(H3,F3\right)\left(t\right) $ , $ d(T1,G1)\left(t\right) $ }

$ d\left(F3, G2\right)\left(t\right)\preccurlyeq v\left(t\right)\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ $ $ d\left(H3,T2\right)\left(t\right) $ , $ d\left(H3,F3\right)\left(t\right) $ , $ d(T2,G2)\left(t\right) $ }

因此, 满足推论3的所有条件, $ x=1 $ 是 $ F $ , $ G $ , $ H $ , $ T $ 的唯一公共不动点。

定理2 　设 $ (X,d) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。连续映射 $ T: X\to X $ 和 $ f,g: X\to T\left(X\right) $ , 对 $ \forall x,y\in X, $ 有

$ \begin{aligned} d\left( {fx,gy} \right) \preccurlyeq & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tx,Ty} \right),d\left( {Tx,fx} \right),d\left( {Ty,gy} \right),\Bigg.\\&\Bigg. \frac{{d\left( {Tx,gy} \right) + d\left( {Ty,fx} \right)}}{2}\Bigg\} \end{aligned}$

(4)

其中 $ v\in P $ 且 $ \rho \left(v\right)<1 $ 。若 $ T\left(X\right) $ 完备, $ T $ 与 $ f $ 或 $ g $ 弱相容, 则 $ f $ , $ g $ , $ T $ 有唯一的公共不动点。

证明　对 $ \forall {x}_{0}\in X $ , 存在 $ {x}_{1}\in X $ , 使得 $ {fx}_{0}=T{x}_{1} $ 。又存在 $ {x}_{2}\in X $ , 使得 $ {gx}_{1}=T{x}_{2} $ , 以此类推, 得序列 $ \left\{{x}_{n}\right\},\left\{{y}_{n}\right\}\subset X $ , 使得 $ {fx}_{2n}=T{x}_{2n+1} $ , 且 $ {x}_{2n+1}\in X $ , 使得 $ {gx}_{2n+1}=T{x}_{2n+2} $ , $ n=\mathrm{0,1},2 $ ···。

下面设 $ d\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right)\succ \theta $ , $ \forall n\in N $ 。否则, 存在 $ k $ , 使得 $ T{x}_{2k}=T{x}_{2k+1} $ , 则有

$ \begin{aligned} & d\left( {T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 2}}} \right) = d(f{x_{2k}},g{x_{2k + 1}})\preccurlyeq\\[-1pt] & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 1}}} \right),d\left( {T{x_{2k}},f{x_{2k}}} \right),\Bigg.\\[-1pt] &\Bigg. d\left( {T{x_{2k + 1}},g{x_{2k + 1}}} \right),\frac{{d\left( {T{x_{2k}},g{x_{2k + 1}}} \right) + d(T{x_{2k + 1}},f{x_{2k}})}}{2}\Bigg\} = \\[-1pt] & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 1}}} \right),d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 1}}} \right),\Bigg.\\[-1pt] &\Bigg. d\left( {T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 2}}} \right),\frac{{d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 2}}} \right) + d(T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 1}})}}{2}\Bigg\} = \\[-1pt] & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 1}}} \right),d\left( {T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 2}}} \right),\Bigg.\\[-1pt] &\Bigg. \frac{{d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 2}}} \right)}}{2}\Bigg\} = \\[-1pt] & v{\rm{max}}\{ d\left( {T{x_{2k}},T{x_{2k + 1}}} \right),d\left( {T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 2}}} \right)\} = \\[-1pt] & v{\rm{max}}\{ \theta ,d\left( {T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 2}}} \right)\} = \\[-1pt] & vd\left( {T{x_{2k + 1}},T{x_{2k + 2}}} \right) \end{aligned} $

由引理2得 $ d\left(T{x}_{2k+1},T{x}_{2k+2}\right)=\theta $ , 所以 $ T{x}_{2k+1}= T{x}_{2k+2} $ ，故 $ T{x}_{2k+2}=T{x}_{2k+3} $ 。

因此 $ \left\{T{x}_{n}\right\} $ 是常数序列，且 $ T{x}_{2n+1} $ 是 $ f $ , $ g $ , $ T $ 的公共不动点。

现在设 $ d\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right)\succ \theta $ $ (\forall n\in N) $ , 由式(4)得

$ \begin{aligned} & d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n + 1}}} \right) = d(f{x_{2n}},g{x_{2n - 1}})\preccurlyeq\\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n - 1}}} \right),d\left( {T{x_{2n}},f{x_{2n}}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {T{x_{2n - 1}},g{x_{2n - 1}}} \right),\frac{{d\left( {T{x_{2n}},g{x_{2n - 1}}} \right) + d(T{x_{2n - 1}},f{x_{2n}})}}{2}\Bigg\}= \\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n - 1}}} \right),d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n + 1}}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n}}} \right),\frac{{d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n}}} \right) + d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n + 1}}} \right)}}{2}\Bigg\}= \\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n + 1}}} \right),d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n}}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. \frac{{d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n + 1}}} \right)}}{2}\Bigg\} \end{aligned} $

若 $ d\left(T{x}_{2n-1},T{x}_{2n}\right)\prec d\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right) $ , 则 $ d(T{x}_{2n}, T{x}_{2n+1})\preccurlyeq vd\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right)$ 。

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得上式矛盾, 所以 $ d(T{x}_{2n-1}, T{x}_{2n})\succcurlyeq d\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right) $ 。

因此得到

$\begin{aligned} & d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n + 1}}} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n}}} \right),\Bigg.\\&\Bigg.\qquad \frac{{d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n + 1}}} \right)}}{2}\Bigg\} \end{aligned}$

因为 $[{d(T{x}_{2n-1},T{x}_{2n+1})}]/{2}$ $ \preccurlyeq $ $[{d\left( {T{x_{2n - 1}},T{x_{2n}}} \right)} + d( T{x_{2n}}, T{x_{2n + 1}} )]/2$ $ \preccurlyeq $ $ d\left(T{x}_{2n-1},T{x}_{2n}\right) $ ，

所以

$ d\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right)\preccurlyeq vd\left(T{x}_{2n-1},T{x}_{2n}\right) $

(5)

同理,

$ d\left(T{x}_{2n+1},T{x}_{2n+2}\right)\preccurlyeq vd\left(T{x}_{2n},T{x}_{2n+1}\right) $

(6)

由式(5)、式(6)得

$ d\left(T{x}_{n},T{x}_{n+1}\right)\preccurlyeq vd\left(T{x}_{n-1},T{x}_{n}\right)\preccurlyeq \cdots \preccurlyeq {v}^{n}d\left(T{x}_{0},T{x}_{1}\right) $

对任意的 $ m>n>0 $ ，有

$\begin{aligned} & d\left( {T{x_n},T{x_m}} \right) \preccurlyeq d\left( {T{x_n},T{x_{n + 1}}} \right) + \\& d\left( {T{x_{n + 1}},T{x_{n + 2}}} \right) + \cdots + d\left( {T{x_{m - 1}},T{x_m}} \right)\preccurlyeq\\& {v^n}d\left( {T{x_0},T{x_1}} \right) + {v^{n + 1}}d\left( {T{x_0},T{x_1}} \right) + \cdots +\\& {v^{m - 1}}d\left( {T{x_0},T{x_1}} \right) \preccurlyeq {v^n}{(e - v)^{ - 1}}d\left( {T{x_0},T{x_1}} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理1得, $ \left\| {v}^{n} \right\|\to 0 (n\to \infty ) $ ,

所以有

$\begin{split} & \left\| {v}^{n}{(e-v)}^{-1}d(T{x}_{0},T{x}_{1}) \right\|{\leqslant }\\& \left\| {v}^{n} \right\| \left\| {(e-v)}^{-1} d (T{x}_{0},T{x}_{1}) \right\|\to 0(n\to \infty ) \end{split} $

故 $ d\left({y}_{n},{y}_{m}\right)\preccurlyeq {v}^{n}{\left(e-v\right)}^{-1}d\left(T{x}_{0},T{x}_{1}\right)\to \theta \left(n\to \infty \right) $ , 因此由定义3(1)得 $ \left\{{Tx}_{n}\right\} $ 是Cauchy列。

由于 $ T\left(X\right) $ 完备，存在 $ q\in T\left(X\right) $ , 使得当 $ n\to \infty $ 时, 有 $ T{x}_{n}\to q $ 。

同时存在 $ {x}_{n}\to p\in X $ , 使得 $ Tp=q $ 。则

$ \begin{aligned} & d\left( {T{x_{2n + 1}},gp} \right) = d\left( {f{x_{2n}},gp} \right)\preccurlyeq\\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2n}},Tp} \right),d\left( {T{x_{2n}},f{x_{2n}}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {Tp,gp} \right),\frac{{d\left( {T{x_{2n}},gp} \right) + d(Tp,f{x_{2n}})}}{2}\Bigg\}= \\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{x_{2n}},Tp} \right),d\left( {T{x_{2n}},T{x_{2n + 1}}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {Tp,gp} \right),\frac{{d\left( {T{x_{2n}},gp} \right) + d(Tp,T{x_{2n + 1}})}}{2}\Bigg\} , \end{aligned} $

由上式，令 $ n\to \infty $ 得

$ \begin{aligned} & d\left( {Tp,gp} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tp,Tp} \right),d\left( {Tp,Tp} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {Tp,gp} \right),\frac{{d\left( {Tp,gp} \right) + d(Tp,Tp)}}{2}\Bigg\}= \\& vd\left( {Tp,gp} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(Tp,gp\right)=\theta $ , 所以 $ Tp= gp=q $ 。

同理

$ \begin{aligned} & d\left( {fp,T{x_{2n + 2}}} \right) = d\left( {fp,g{x_{2n + 1}}} \right)\preccurlyeq\\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tp,T{x_{2n + 1}}} \right),d\left( {Tp,fp} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {T{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 1}}} \right),\frac{{d\left( {Tp,g{x_{2n + 1}}} \right) + d(T{x_{2n + 1}},fp)}}{2}\Bigg\}= \\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tp,T{x_{2n + 1}}} \right),d\left( {Tp,fp} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {T{x_{2n + 1}},T{x_{2n + 2}}} \right),\frac{{d\left( {Tp,T{x_{2n + 2}}} \right) + d(T{x_{2n + 1}},fp)}}{2}\Bigg\} \end{aligned}$

由上式, 令 $ n\to \infty $ 得

$ \begin{aligned} & d\left( {fp,Tp} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tp,Tp} \right),d\left( {Tp,fp} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {Tp,Tp} \right),\frac{{d\left( {Tp,Tp} \right) + d(Tp,fp)}}{2}\Bigg\}= \\& vd\left( {fp,Tp} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(fp,Tp\right)=\theta $ , 所以 $ fp= Tp=q $ 。

故 $ q=fp=Tp=gp $ , 因此由定义4得, $ q $ 是 $ f $ , $ g $ , $ T $ 在 $ X $ 中的一个叠合点。

若 $ T $ 与 $ f $ 弱相容，则 $ Tq=T\left(fp\right)=f\left(Tp\right)=fq $ ；

若 $ T $ 与 $ g $ 弱相容，则 $ Tq=T\left(gp\right)=g\left(Tp\right)=gq $ ；

所以 $ Tq=fq=gq $ 。

下证 $ gq=q $ 。

$ \begin{aligned} & d\left( {q,gq} \right) = d\left( {fp,gq} \right)\preccurlyeq\\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tp,Tq} \right),d\left( {Tp,fp} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {Tq,gq} \right),\frac{{d\left( {Tp,gq} \right) + d\left( {Tq,fp} \right)}}{2}\Bigg\}= \\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {q,gq} \right),d\left( {q,q} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {gq,gq} \right),\frac{{d\left( {q,gq} \right) + d\left( {gq,q} \right)}}{2}\Bigg\}= \\& vd\left( {q,gq} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(q,gq\right)=\theta $ , 所以 $ q=gq $ ，

因此 $ Tq=fq=gq=q $ 。

设 $ {q}_{1} $ 是 $ f $ , $ g $ , $ T $ 在 $ X $ 中的另一个公共不动点，使得 $ {q}_{1}=f{q}_{1}=T{q}_{1}=g{q}_{1} $ , 则有

$ \begin{aligned} & d\left( {{q_1},q} \right) = d\left( {f{q_1},gq} \right)\preccurlyeq\\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T{q_1},Tq} \right),d\left( {T{q_1},f{q_1}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {Tq,gq} \right),\frac{{d\left( {T{q_1},gq} \right) + d(Tq,f{q_1})}}{2}\Bigg\}= \\& v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {{q_1},q} \right),d\left( {{q_1},{q_1}} \right),\Bigg.\\&\Bigg. d\left( {q,q} \right),\frac{{d\left( {{q_1},q} \right) + d(q,{q_1})}}{2}\Bigg\}=\\& vd\left( {{q_1},q} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left({q}_{1},q\right)=\theta $ , 所以 $ {q}_{1}=q $ 。

所以 $ q $ 是 $ f $ , $ g $ , $ T $ 唯一的公共不动点。

注2 　在定理2中, 去掉文献[16]定理3.1的映射的弱增性, 并推广了文献[16]中的定理3.1, 证明公共不动点的存在性和唯一性。

推论4 　设 $ (X,d) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。连续映射 $ T: X\to X $ 和 $ {f}^{m},{g}^{n}: X\to T\left(X\right) $ , 对 $ \forall x,y\in X, $ 有

$ \begin{aligned} &d\left( {{f^m}x,{g^n}y} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tx,Ty} \right),d\left( {Tx,{f^m}x} \right),\Bigg.\\ \Bigg. &d\left( {Ty,{g^n}y} \right),\frac{{d\left( {Tx,{g^n}y} \right) + d\left( {Ty,{f^m}x} \right)}}{2}\Bigg\} \end{aligned}$

其中 $ v\in P $ 且 $ \rho \left(v\right)<1 $ 。若 $ T\left(X\right) $ 完备, $ T $ 与 $ f $ 或 $ g $ 弱相容, 则 $ f $ , $ g $ , $ T $ 有唯一的公共不动点。

证明　(1) 当 $ m=n=1 $ 时, 证明方法见定理2。

(2) 当 $ m\ne 1 $ 或 $ n\ne 1 $ 时, 类似定理2可证 $ q $ 是 $ {f}^{m} $ , $ {g}^{n} $ , $ T $ 唯一的公共不动点。由 $ T $ 与 $ f $ 弱相容, 得 $ {f}^{m}\left(fq\right)=f\left({f}^{m}q\right)= fq=f\left(Tq\right)=T\left(fq\right) $ 。

下证 $ fq=q $ 。

$ \begin{aligned} &d\left( {fq,q} \right) = d\left( {{f^m}\left( {fq} \right),{g^n}q} \right)\preccurlyeq\\ & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {T\left( {fq} \right),Tq} \right),d\left( {T\left( {fq} \right),{f^m}\left( {fq} \right)} \right),\Bigg.\\ &\Bigg.d\left( {Tq,{g^n}q} \right),\frac{{d\left( {T\left( {fq} \right),{g^n}q} \right) + d\left( {Tq,{f^m}\left( {fq} \right)} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {fq,q} \right),d\left( {fq,fq} \right),\Bigg.\\ &\Bigg.d\left( {q,q} \right),\frac{{d\left( {fq,q} \right) + d\left( {q,fq} \right)}}{2}\Bigg\}=vd\left( {fq,q} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(fq,q\right)=\theta $ , 所以 $ fq=q $ 。

由 $ T $ 与 $ g $ 弱相容, 得 $ {g}^{n}\left(gq\right)= g\left({g}^{n}q\right)=gq=g\left(Tq\right)= T\left(gq\right) $ 。

下证 $ gq=q $ 。

$ \qquad\begin{aligned} &d\left( {q,gq} \right) = d\left( {{f^m}q,{g^n}\left( {gq} \right)} \right)\preccurlyeq\\ & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tq,T\left( {gq} \right)} \right),d\left( {Tq,{f^m}q} \right),\Bigg.\\ &\Bigg.d\left( {T\left( {gq} \right),{g^n}\left( {gq} \right)} \right),\frac{{d\left( {Tq,{g^n}\left( {gq} \right)} \right) + d\left( {T\left( {gq} \right),{f^m}q} \right)}}{2}\Bigg\}= \\ & v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {q,gq} \right),d\left( {q,q} \right),\Bigg.\\ &\Bigg.d\left( {gq,gq} \right),\frac{{d\left( {q,gq} \right) + d\left( {gq,q} \right)}}{2}\Bigg\}= vd\left( {q,gq} \right) \end{aligned}$

由 $ \rho \left(v\right)<1 $ 及引理2得 $ d\left(q,gq\right)=\theta $ , 所以 $ gq=q $ 。

故 $ fq=gq=Tq=q $ , 因此 $ q $ 是 $ f $ , $ g $ , $ T $ 唯一的公共不动点。

推论5 　设 $ (X,d) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。连续映射 $ T: X\to X $ 和 $ f,g: X\to T\left(X\right) $ , 对 $ \forall x,y\in X $ , 有

$d\left( {fx,gy} \right) \preccurlyeq v{\rm{max}}\{ d\left( {Tx,Ty} \right),d\left( {Tx,fx} \right),d\left( {Ty,gy} \right)\} $

其中 $ v\in P $ 且 $ \rho \left(v\right)<1 $ 。若 $ f\left(X\right)\subseteq T\left(X\right) $ , $ g\left(X\right)\subseteq T\left(X\right) $ 且 $ T\left(X\right) $ 完备, $ T $ 与 $ f $ 或 $ g $ 弱相容, 则 $ f $ , $ g $ , $ T $ 有唯一的公共不动点。

推论6 　设 $ (X,d) $ 是Banach代数 $ \xi $ 上的完备锥度量空间, $ P $ 为 $ \xi $ 中的锥。连续映射 $ T:X\to X $ 和 $ f,g: X\to T\left(X\right) $ , 对 $ \forall x,y\in X $ , 有

$\begin{aligned} &d\left( {fx,gy} \right) \prec v{\rm{max}}\Bigg\{ d\left( {Tx,Ty} \right),d\left( {Tx,fx} \right),\Bigg.\\ &\Bigg.d\left( {Ty,gy} \right),\frac{{d\left( {Tx,gy} \right) + d(Ty,fx)}}{2}\Bigg\} \end{aligned} $

其中 $\dfrac{1}{2} < v <1$ 。若 $ f\left(X\right)\subseteq T\left(X\right) $ , $ g\left(X\right)\subseteq T\left(X\right) $ 且 $ T\left(X\right) $ 完备, $ T $ 与 $ f $ 或 $ g $ 弱相容, 则 $ f $ , $ g $ , $ T $ 有唯一的公共不动点。