近年来，随机微分系统在遗传学、生态系统、自动控制等领域都有着广泛的应用^[1-3]。目前，关于具有脉冲效应的随机微分方程的研究也吸引了很多学者的关注^[4-7]。文献[8]研究了一类随机微分方程解的稳定性，文章首先给出了方程的温和解，并运用压缩映射原理证明了方程的 $p$ 阶矩指数稳定，该文章没有考虑脉冲作用。文献[9]通过构造Lyapunov泛函，研究了一类三阶时滞微分方程解的渐进稳定性和有界性，得到了该方程渐进稳定和所有解有界的充分性条件。文献[10]利用Razumikhin技巧和Lyapunov函数研究了一类脉冲随机微分系统的全局指数稳定性。文献[11]研究了下列形式的脉冲随机微分方程

$ \left\{ { \begin{aligned} & {{\rm{d}}x(t) = f(x(t)){\rm{d}}t + g(x(t)){\rm{d}}w(t),t \ne {t_k},t \geqslant {t_0}}\\& {\Delta x({t_k}) = {I_k}(x({t_k})),k \in N} \end{aligned}} \right. $

得到了上述方程解的几乎必然指数稳定性。

本文主要通过运用不动点理论和Lyapunov稳定性定理研究如下的脉冲随机微分方程的稳定性，得到了方程解均方指数稳定的结论。

$\left\{ \begin{aligned} & {\rm{d}}\left[ {x(t) - cx(t - \tau )} \right] = [ - (A + \Delta A(t))x(t) + f(t,x(t),\\&\qquad\quad x(t - \tau )) ]{\rm{d}}t + \sigma (t,x(t),x(t - \tau )){\rm{d}}w(t),t \geqslant 0,t \ne {t_k}\\& x({t_k}) = {I_k}(x(t_k^ - )),k \in N\\& x(s) = \varphi (s) \in D_{{{\cal F}_0}}^b\left( {\left[ {{\rm{ - }}\tau ,0} \right],H} \right) \end{aligned} \right.$

1 预备知识

设 $\left\{ {\varOmega ,{\cal F},P} \right\}$ 是一个具有 $\sigma $ 流 ${\left\{ {{{\cal F}_t}} \right\}_{t\geqslant0}}$ 的完备概率空间，满足通常的条件，即右连续和 ${{\cal F}_0}$ 包含所有的 $P - $ 零测集。设 $H,K$ 是两个实值可分的希尔伯特空间，它们的范数分别记作 ${\left| \cdot \right|_H}$ ， ${\left| \cdot \right|_K}$ 。 $L\left( {K,H} \right)$ 是从空间 $K$ 到 $H$ 的所有有界线性算子的集合。 $D: = D_{{{\cal F}_0}}^b\left( {\left[ { - \tau ,0} \right];H} \right)$ 表示从 $\left[ { - \tau ,0} \right]$ 到 $H$ 的所有有界 ${{\cal F}_0}$ 可测函数的全体， ${\left\| \varphi \right\|_D} = \mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant \theta \leqslant 0} E{\left| {\varphi (\theta )} \right|_H}{\text{。}}$

假设 $\left\{ {W(t),t\geqslant0} \right\}$ 是定义在 $\left\{ {\varOmega ,{\cal F},P} \right\}$ 空间的一个 $K - $ 值 $\rm Wiener$ 过程，并且具有协方差算子 $Q$ 。对任意 $x,y \in K$ ， $E{\left\langle {W(t),x} \right\rangle _K}{\left\langle {W(s),y} \right\rangle _K} = \left( {t \wedge s} \right){\left\langle {Qx,y} \right\rangle _K}$ 。令 $W(t) =\displaystyle \sum\nolimits_{i = 1}^\infty {\sqrt {{\lambda _i}} } B_t^i{e_i}$ ，这里 ${\lambda _i}\geqslant0,i \in N$ 是 $Q$ 的特征值； ${e_i}\geqslant0,i \in N$ 是相应的特征向量； $B_t^i\geqslant0,i \in N$ 是独立的布朗运动序列。希尔伯特空间 $K$ 的子空间 ${K_0} = {Q^{{1 / 2}}}\left( K \right)$ ，其内积为 ${\left\langle {u,v} \right\rangle _{{K_0}}} = {\left\langle {{Q^{{{ - 1} / 2}}}u,{Q^{{{ - 1} / 2}}}v} \right\rangle _K}$ 。

设 $L_2^0 = {L_2}\left( {{K_0},H} \right)$ 表示所有从 ${K_0}$ 到 $H$ 的希尔伯特-施密茨算子空间，具有范数：

$\left| \Psi \right|_{L_2^0}^2 = tr\left( {\left( {\Psi {Q^{{1 / 2}}}} \right){{\left( {\Psi {Q^{{1 / 2}}}} \right)}^*}} \right),\Psi \in L_2^0$

考虑如下的脉冲随机微分方程解的稳定性，

$\tag{DW}\left\{ \begin{aligned} & {\rm{d}}\left[ {x(t) \!-\! cx(t \!- \!\tau )} \right]\! \!= \!\!\left[ { \!- \!(A\! + \!\Delta A(t))x(t) \!+\! f(t,x(t),x(t \!-\! \tau ))} \right]{\rm{d}}t \!+ \\&\qquad\qquad\qquad\quad \sigma (t,x(t),x(t - \tau )){\rm{d}}w(t),t\geqslant0,t \ne {t_k}\\& x({t_k}) = {I_k}(x(t_k^ - )),k \in N\\& x(s) = \varphi (s) \in D_{{{\cal F}_0}}^b\left( {\left[ {{\rm{ - }}\tau ,0} \right],H} \right) \end{aligned} \right.$

其中 $f:{R_ + } \times H \times H \to H,\sigma :{R_ + } \times H \times H \to L\left( {K,H} \right)$ 是希尔伯特空间中的 $\rm Borel$ 可测函数， $\left| c \right| < 1$ 是常数， $A$ 是有界线性算子半群 $S(t),t\geqslant0$ 的无穷小生成元。 $x(t)$ 代表在 $t$ 时刻的细胞数量， $x(t) > 0$ 。脉冲时刻 ${t_k}$ 满足 $0{\rm{ = }}{t_0} < {t_1} < {t_2} < \cdots < {t_k} < \cdots $ ， $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {t_k} = \infty $ 。 ${I_k}:H \to H$ 表示 $x(t)$ 在 ${t_k}$ 时刻的脉冲扰动， $x(t_k^ - )$ 代表 $x(t)$ 在 $t = {t_k}$ 时的左极限。

定义1 　如果方程(DW)存在解 $x(t)$ ，且存在一对正常数 $\mu $ 和 $\eta $ ，使得

$E{\left| {x(t)} \right|^2} \leqslant \mu E{\left\| \varphi \right\|^2}{{\rm{e}}^{ - \eta t}},t\geqslant0$

则称方程(DW)的解是均方指数稳定的。

定义2 　随机过程 $\left\{ {x(t),t \in \left[ {0,T} \right],0 \leqslant T < \infty } \right\}$ 称为方程(DW)的温和解，如果下列条件满足：

(1) $x(t)$ 是 ${{\cal F}_t},t\geqslant0$ 适应的；

(2) 对任何 $t \in \left[ {0,T} \right]$ ， $x(t)$ 都满足积分方程

$ \begin{split} x(t) = &S(t)\left[ {\varphi (0) - c\varphi ( - \tau )} \right] + cx(t - \tau ) + \\&\int_0^t {(A + \Delta A(s))} S(t - s)cx(s - \tau ){\rm{d}}s+\\& \int_0^t {S(t - s)f(s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}s} + \\&\int_0^t {S(t - s)\sigma (s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}w(s)} + \\& \sum\limits_{0 < {t_k} < t} {S(t - {t_k})} {I_k}(x(t_k^ - )) \end{split}$

(1)

引入如下条件：

(H₁) $A$ 是希尔伯特空间 $H$ 中有界线性算子半群 $\left\{ {S(t),t\geqslant0} \right\}$ 的无穷小生成元，且对一些常数 $\gamma > 0$ 和 $M\geqslant1$ ，有 ${\left\| {S(t)} \right\|_H} \leqslant M{e^{ - \gamma t}},t \geqslant 0 $ 。

(H₂) 函数 $f$ 和 $\sigma $ 满足利普希茨条件，即存在常数 ${K_1},{K_2}$ ，对任意 $x,\bar x,y,\bar y \in H$ 和 $t\geqslant0$ ，有

${\left| {f(t,x,y) - f(t,\bar x,\bar y)} \right|^2} \leqslant {K_1}({\left| {x - \bar x} \right|^2} + {\left| {y - \bar y} \right|^2}),{K_1} > 0 $

(2)

${\left| {\sigma (t,x,y) - \sigma (t,\bar x,\bar y)} \right|^2} \leqslant {K_2}({\left| {x - \bar x} \right|^2} + {\left| {y - \bar y} \right|^2}),{K_2} > 0 $

(3)

$f(t,0,0) = \sigma (t,0,0) = 0$ ，且 ${I_k}(0) = 0,\left( {k = 1,2, \cdots } \right)$ ，则方程(DW)有平凡解 $x(t) \equiv 0$ 。

(H₃) 存在 $\alpha \in \left[ {0,1} \right]$ ，使得对任意 $t\geqslant0$ ，有

$\begin{split} & {\left| {{{\left[ { - (A + \Delta A(s))} \right]}^\alpha }cx(t - \tau ) - {{\left[ { - (A + \Delta A(s))} \right]}^\alpha }cy(t - \tau )} \right|_H} \leqslant \\& \qquad\qquad\qquad\qquad{K_3}{\left| {x - y} \right|_H},{K_3} > 0\\[-10pt] \end{split}$

(4)

(H₄) ${I_k} \in C\left( {H,H} \right)$ ，且存在常数 ${q_k}$ ，使得

${\left| {{I_k}(x) - {I_k}(y)} \right|_H} \leqslant {q_k}{\left| {x - y} \right|_H} $

(5)

引理1^[12] 　对任意 $r\geqslant1$ 和 $L_2^0$ -值可料过程 $\Phi ( \cdot )$ 有

$\begin{split} & \mathop {\sup }\limits_{s \in \left[ {0,t} \right]} E\left\| {\int_0^s {\Phi \left( u \right){\rm{d}}w\left( u \right)} } \right\|_H^{2r} \leqslant\\&\qquad {\left( {r\left( {2r - 1} \right)} \right)^r}{\left( {\int_0^t {{{\left( {E\left\| {\Phi \left( s \right)} \right\|_{L_2^0}^{2r}} \right)}^{{1 / r}}}{\rm{d}}s} } \right)^r} \end{split} $

引理2^[13] 　假设条件(H₁)成立，则对任意 $\beta \geqslant0$ ，有

(ⅰ) $S(t){( - A)^\beta }x = {( - A)^\beta }S(t)x$ ；

(ⅱ) 存在正常数 ${M_\beta } > 0$ ，使得

$\left\| {{{( - A)}^\beta }S(t)} \right\| \leqslant {M_\beta }{t^{ - \beta }}{{\rm{e}}^{ - \gamma t}},t > 0 $

2 主要结果

定理1 　假设条件(H₁)~(H₄)成立，且对 $\alpha \in \left( {{1 / {2,1}}} \right)$ ，满足

$\begin{split} & \left| c \right| + K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{ - 2\alpha }}\Gamma \left( {2\alpha - 1} \right) + \int_0^t {{K_1}} {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma \left( {t - s} \right)}}{\rm{d}}s + \\&\qquad\int_0^t {{K_2}} {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma \left( {t - s} \right)}}{\rm{d}}s + \tilde L < \frac{1}{6} \end{split} $

(6)

则方程(DW)是均方指数稳定的，其中 $\Gamma ( \cdot )$ 是伽马函数， $\tilde L = {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma T}}E\Bigg(\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{q_k}} \right|_H^2} \Bigg)$ 。

证明 　定义算子 $\Phi :H \!\to\! H$ ，当 $t \!\in \!\left[ { - \tau ,0} \right]$ 时， $\Phi (x)(t) = \varphi (t)$ ， ${\left\| x \right\|_H}: = \mathop {\sup }\limits_{t\geqslant0} E\left| {x(t)} \right|_{_H}^2$ ，且存在常数 ${M^*} > 0,\eta > 0$ ，使得 $E\left| {x(t)} \right|_{_H}^2 < {M^*}E\left| \varphi \right|_D^2{{\rm{e}}^{ - \eta t}},t > 0$ 。

当 $t\geqslant0$ 时，

$ \begin{split} \Phi (x)(t): = &S(t)\left[ {\varphi (0) - c\varphi ( - \tau )} \right] + cx(t - \tau ) + \\&\int_0^t {(A + \Delta A(s))} S\left( {t - s} \right)cx(s - \tau ){\rm{d}}s + \\& \int_0^t {S(t - s)f(s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}s} + \\&\int_0^t {S(t - s)\sigma (s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}w(s)} + \\& \sum\limits_{0 < {t_k} < t} {S(t - {t_k})} {I_k}(x(t_k^ - )): = \sum\limits_{i = 1}^6 {{F_i}} (t) \end{split}$

(7)

先证 $\Phi $ 是均方连续的，令 $x \in H,{t_1}\geqslant0$ ，且 $\left| r \right|$ 足够小。

$\begin{split} & E\left| {\Phi (x)({t_1} + r) - \Phi (x)({t_1})} \right|_H^2 \leqslant \\&\qquad\qquad 6\sum\limits_{i = 1}^6 {E\left| {{F_i}({t_1} + r) - {F_i}({t_1})} \right|_H^2} \end{split} $

(8)

易证当 $r \to 0$ 时，

$ E\left| {{F_i}({t_1} + r) - {F_i}({t_1})} \right|_H^2 \to 0,i = 1,2,3,4,6 $

(9)

$ \begin{split} & E\left| {{F_5}({t_1} + r) - {F_5}({t_1})} \right|_H^2 \leqslant\\& 2\int_0^{{t_1}} {E\left| {(S({t_1} + r - s) - S({t_1} - s))\sigma (s,x(s),x(s - \tau ))} \right|} _H^2{\rm{d}}s + \\& 2\int_{{t_1}}^{{t_1} + r} {E\left| {S({t_1} + r - s)\sigma (s,x(s),x(s - \tau ))} \right|} _H^2{\rm{d}}s \\ &{\text{因此当}}r \to 0{\text{时}},E\left| {{F_5}({t_1} + r) - {F_5}({t_1})} \right|_H^2 \to 0\\[-10pt] \end{split}$

(10)

下证 $\Phi (H) \subset H$ ，令 $x \in H$ ，有

$ \begin{split} & E\left| {\Phi (x)(t)} \right|_H^2 \leqslant 6E\left| {S(t)\left[ {\varphi (0) - c\varphi ( - \tau )} \right]} \right|_H^2 + 6E\left| {cx(t - \tau )} \right|_H^2 + \\&\qquad 6E\left| {\int_0^t {(A + \Delta A(s))S(t - s)cx(s - \tau ){\rm{d}}s} } \right|_H^2 + \\&\qquad6E\left| {\int_0^t {S(t - s)f(s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}s} } \right|_H^2 + \\&\qquad 6E\left| {\int_0^t {S(t - s)\sigma (s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}w(s)} } \right|_H^2 + \\&\qquad6\sum\limits_{0 < {t_k} < t} {E\left| {S(t - {t_k}){I_k}(x(t_k^ - ))} \right|_H^2} = \\&\qquad {J_1} + {J_2} + {J_3} + {J_4} + {J_5} + {J_6}\\[-10pt] \end{split}$

(11)

由条件(H₁)有，当 $ t \to \infty $ 时，

$ {J_1} \leqslant 6{M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma t}}{(1 + c)^2}\left\| \varphi \right\|_D^2 \to 0 $

(12)

由 $ x(t) \in H$ 得，当 $ t \to \infty $ 时，

$ \;{J_2} \leqslant 6\left| c \right|E\left| {x(t - \tau )} \right|_H^2 \to 0 $

(13)

由条件(H₃)和引理2得

$\begin{split} & {J_3} = 6E\left| {\int_0^t {(A + \Delta A(s))S(t - s)cx(s - \tau ){\rm{d}}s} } \right|_H^2\leqslant\\& 6E\left[ \int_0^t \left| {{\left[ { - (A + \Delta A(s))} \right]}^{1 - \alpha }}S(t - s){{\left[ { - (A + \Delta A(s))} \right]}^\alpha } \right.\right.\\&\left.\left.cx(s - \tau ) \right|_H{\rm{d}}s \right]^2\leqslant 6E{\left[ {\int_0^t {{K_3}\frac{{{M_{1 - \alpha }}{{\rm{e}}^{ - \gamma (t - s)}}}}{{{{(t - s)}^{1 - \alpha }}}}{{\left| {x(s - \tau )} \right|}_H}{\rm{d}}s} } \right]^2}\leqslant\\& 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{1 - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\int_0^t {{{\rm{e}}^{ - \gamma (t - s)}}} E\left| {x(s - \tau )} \right|_H^2{\rm{d}}s \end{split} $

由于 $x(t) \in H$ ，对任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 ${t_1} > 0$ ，使得 $t\geqslant{t_1}$ 时，则有 $E{\left| {x(t)} \right|^2} < \varepsilon $ ， $E\left| {x(t - \tau )} \right|_H^2 < \varepsilon $ 。

$ \begin{split} & 6E\left| {\int_0^t {(A + \Delta A(s))} S(t - s)cx(s - \tau ){\rm{d}}s} \right|_H^2 \leqslant \\& 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{1 - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - \gamma (t - s)}}} E\left| {x(s - \tau )} \right|_H^2{\rm{d}}s +\\& 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{1 - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\int_{{t_1}}^t {{{\rm{e}}^{ - \gamma (t - s)}}} E\left| {x(s - \tau )} \right|_H^2{\rm{d}}s \leqslant \\& 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{1 - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - \gamma (t - s)}}} E\left| {x(s - \tau )} \right|_H^2{\rm{d}}s +\\& 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{ - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\varepsilon \end{split}$

当 $t \to \infty $ 时， ${{\rm{e}}^{ - \gamma t}} \to 0$ ，结合条件(6)，存在 ${t_2} > {t_1}$ ，使得对任意 $t\geqslant{t_2}$ ，有

$\begin{split} & 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{1 - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - \gamma (t - s)}}} E\left| {x(s - \tau )} \right|_H^2{\rm{d}}s \leqslant\\&\qquad\qquad \varepsilon - 6K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{ - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)\varepsilon \end{split}$

因此，对任意 $t\geqslant{t_2}$ ，有

$6E\left| {\int_0^t {(A + \Delta A(s))S(t - s)cx(s - \tau ){\rm{d}}s} } \right|_H^2 < \varepsilon $

也就是当 $t \to \infty $ 时，

$ 6E\left| {\int_0^t {(A + \Delta A(s))S(t - s)cx(s - \tau ){\rm{d}}s} } \right|_H^2 \to 0 $

(14)

$ \begin{split} & {J_4} = 6E\left| {\int_0^t {S(t - s)} f(s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}s} \right|_H^2 \leqslant \\& \;\;\;\;\;6E\int_0^{{t_1}} {{M^2}} {{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}{K_1}(\left| {x(s)} \right|_H^2 + \left| {x(s - \tau )} \right|_H^2){\rm{d}}s{\rm{ + }}\\& \;\;\;\;\;6E\int_{{t_1}}^t {{M^2}} {{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}{K_1}(\left| {x(s)} \right|_H^2 + \left| {x(s - \tau )} \right|_H^2){\rm{d}}s\leqslant \\& \;\;\;\;\; 6E(\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant s \leqslant {t_1}} {\left| {x(s)} \right|^2}){M^2}{K_1}\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s +\\& \;\;\;\;\;6\varepsilon {M^2}{K_1}\int_{{t_1}}^t {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s \end{split} $

(15)

由条件(6)得，存在 ${t_2} > {t_1}$ ，使得 $t\geqslant{t_2}$ 时，有

$\begin{split} & 6E(\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant s \leqslant {t_1}} {\left| {x(s)} \right|^2}){M^2}{K_1}\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s <\\&\qquad\qquad \varepsilon - 6\varepsilon {M^2}{K_1}\int_{{t_1}}^t {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s \end{split}$

(16)

根据式(15)和式(16)可知，对任意 $t\geqslant{t_2}$ ，有

$6E\left| {\int_0^t {S(t - s)f(s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}s} } \right|_H^2 < \varepsilon $

所以当 $t \to \infty $ 时，

$ 6E\left| {\int_0^t {S(t - s)f(s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}s} } \right|_H^2 \to 0 $

(17)

同理对任意 $x(t) \in H$ ，利用条件(H₂)及引理1，有

$ \begin{split} & {J_5} = 6E\left| {\int_0^t {S(t - s)\sigma (s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}w(s)} } \right|_H^2 \leqslant \\& \;\;\;\;\;\;6E\int_0^{{t_1}} {{M^2}} {{\rm{e}}^{^{ - 2\gamma (t - s)}}}{K_2}(\left| {x(s)} \right|_H^2 + \left| {x(s - \tau )} \right|_H^2){\rm{d}}s+ \\& \;\;\;\;\;\; 6E\int_{{t_1}}^t {{M^2}} {{\rm{e}}^{^{ - 2\gamma (t - s)}}}{K_2}(\left| {x(s)} \right|_H^2 + \left| {x(s - \tau )} \right|_H^2){\rm{d}}s\leqslant\\& \;\;\;\;\;\; 6E(\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant s \leqslant {t_1}} {\left| {x(s)} \right|^2}){M^2}{K_2}\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s + \\& \;\;\;\;\;\;6\varepsilon {M^2}{K_2}\int_{{t_1}}^t {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s \end{split} $

所以存在 ${t_2} > {t_1}$ ，使得 $t\geqslant{t_2}$ 时，有

$\begin{split} & 6E(\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant s \leqslant {t_1}} {\left| {x(s)} \right|^2}){M^2}{K_2}\int_0^{{t_1}} {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s \leqslant \\&\qquad \varepsilon - 6\varepsilon {M^2}{K_2}\int_{{t_1}}^t {{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}} {\rm{d}}s \end{split}$

因此当 $t \to \infty $ 时，

$ 6E\left| {\int_0^t {S(t - s)\sigma (s,x(s),x(s - \tau )){\rm{d}}w(s)} } \right|_H^2 \to 0 $

(18)

$ \begin{split} & {J_6} = 6\sum\limits_{0 < {t_k} < t} {E\left| {S(t - {t_k}){I_k}(x(t_k^ - ))} \right|_H^2} \leqslant \\ &\qquad 6{M^2}{e^{ - 2\gamma t}}\left(\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{q_k}} \right|_H^2} \right)E\left| {x(t_k^ - )} \right|_H^2 \end{split} $

所以当 $t \to \infty $ 时，

$ {J_6} = 6\sum\limits_{0 < {t_k} < t} {E\left| {S(t - {t_k}){I_k}(x(t_k^ - ))} \right|_H^2} \to 0 $

(19)

综上，当 $t \to \infty $ 时， $E\left| {\Phi (x)(t)} \right|_H^2 \to 0$ ，所以 $\Phi (H) \subset H$ 。

最后证明映射 $\Phi :H \to H$ 是压缩的，对任意 $x,y \in H$ ， $s \in \left[ {0,T} \right]$ ，有

$\begin{split} & \mathop {\sup }\limits_{s \in \left[ {0,T} \right]} E\left| {\Phi (x)(t) - \Phi (y)(t)} \right|_H^2\leqslant \\& 5\mathop {\sup }\limits_{s \in \left[ {0,T} \right]} \Big\{ \left| c \right|E\left| {x(t - \tau ) - y(t - \tau )} \right|_H^2 +\Big. \\& K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{ - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1)E\left| {x(s - \tau ) - y(s - \tau )} \right|_H^2 +\\& \int_0^t {{K_1}} {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}E(\left| {x(s) - y(s)} \right|_H^2 + \\&\left| {x(s - \tau ) - y(s - \tau )} \right|_H^2){\rm{d}}s + \\& \int_0^t {{K_2}} {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}E(\left| {x(s) - y(s)} \right|_H^2 +\\& \left| {x(s - \tau ) - y(s - \tau )} \right|_H^2){\rm{d}}s+\\& \Big. { {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma t}}\left(\sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{q_k}} \right|_H^2} \right)E\left| {x(t_k^ - ) - y(t_k^ - )} \right|_H^2} \Big\} \leqslant\\& 5(\mathop {\sup }\limits_{s \in \left[ {0,T} \right]} E\left| {x(t) - y(t)} \right|_H^2)\Big\{ \left| c \right| + K_3^2M_{1 - \alpha }^2{\gamma ^{ - 2\alpha }}\Gamma (2\alpha - 1) +\Big.\\& \int_0^t {{K_1}} {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}{\rm{d}}s + \\& \Big. { \int_0^t {{K_2}} {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma (t - s)}}{\rm{d}}s + \tilde L} \Big\} \end{split} $

这里 $\tilde L = {M^2}{{\rm{e}}^{ - 2\gamma T}}E\Bigg(\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^m {\left| {{q_k}} \right|_H^2} \Bigg)$ 。因此映射 $\Phi $ 是压缩的，由压缩映射原理得， $\Phi $ 在空间 $H$ 中有不动点 $x(t)$ ，它是方程(DW)的解，且当 $s \in \left[ { - \tau ,0} \right]$ 时， $x(s) = \varphi (s)$ ， $t \to \infty $ 时， $E\left| {x(t)} \right|_H^2 \to 0$ ，所以定理1得证。

假定 ${C^{2,1}}({R^n} \times {R_ + };{R_ + })$ 表示所有非负函数族 $V(x,t)$ 在 ${R^n} \times {R_ + }$ 上关于 $x$ 是连续两次可微分的，对 $t$ 是一次可微分的。若 $V(x,t) \in {C^{2,1}}({R^n} \times {R_ + };{R_ + })$ ，定义算子 $LV:{R^n} \times {R^n} \times {R_ + } \to R$ 为

$ \begin{split} & LV(x,y,t) = {V_t}(x - cy,t) + {V_x}(x - cy,t)[ - (A + \Delta A(t))x(t) + \\& f(t,x,y) ] + \frac{1}{2} {\rm{trace}}\left[ {{\sigma ^{\rm{T}}}(t,x,y){V_{xx}}(x - cy,t)\sigma (t,x,y)} \right] \end{split} $

其中

$ {V_t} = \frac{{\partial V}}{{\partial t}},\;{V_x} = \left( {\frac{{\partial V}}{{\partial {x_1}}},\frac{{\partial V}}{{\partial {x_2}}},\cdots,\frac{{\partial V}}{{\partial {x_n}}}} \right),\;{V_{xx}} = {\left( {\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}} \right)_{n \times n}} $

引理3^[14] 　设 $a,b \in {R^n}$ 及 $0 < \varepsilon < 1$ ，则

${\left| {a + b} \right|^2} \leqslant \frac{{{{\left| a \right|}^2}}}{{1 - \varepsilon }} + \frac{{{{\left| b \right|}^2}}}{\varepsilon }$

引理4^[15] 　假设 $\;\beta > 0,0 < h < \varepsilon < 1,\lambda > 0,x(t), - \tau \leqslant t < \infty $ 是一个满足 $\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant t < \infty } E{\left| {x(t)} \right|^2} < \infty $ 的 $n$ 维随机过程且满足

$ \begin{split} & E{\left| {cx(t - \tau )} \right|^2} \leqslant h\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant \theta \leqslant 0} E{\left| {x(t + \theta )} \right|^2}\\& E{\left| {x(t) - cx(t - \tau )} \right|^2} \leqslant \lambda {{\rm{e}}^{ - \beta t}},t\geqslant0 \end{split} $

(20)

则

$ E{\left| {x(t)} \right|^2} \leqslant N{{\rm{e}}^{ - (\beta \wedge \alpha )t}} $

(21)

其中

$N = \left( {\frac{\lambda }{{{{(1 - \varepsilon )}^2}}}{{\rm{e}}^{\beta \tau }} + \frac{h}{\varepsilon }{{\rm{e}}^{(\beta \wedge \alpha )\tau }}{\varphi _0}} \right){\left( {1 - \frac{h}{\varepsilon }{{\rm{e}}^{(\beta \wedge \alpha )\tau }}} \right)^{ - 1}}$

$ \alpha = \frac{1}{\tau }\ln \frac{\varepsilon }{h},\;{\varphi _0} = \mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant t \leqslant 0} {\left| {x(t)} \right|^2}\qquad\qquad\qquad $

定理2 　若存在函数 $V \in {C^{2,1}}({R^n} \times {R_ + };{R_ + })$ ，正常数 ${c_1},{c_2},\lambda ,q$ ，常数 ${\beta ^*}$ 以及非负常数 $\tilde \beta $ ，且存在函数 ${u_1},{u_2},\cdots,{u_i},\cdots$ ，其中 ${u_i} > 1$ ， $i \in N$ ，使得下列条件成立：

1) ${c_1}{\left| {x(t) \!- \!cx(t\! - \!\tau )} \right|^2} \leqslant V(x(t) \!- \!cx(t \!-\! \tau ),t) \leqslant {c_2}\left| x(t) \!\!-\! \right. \left. cx(t - \tau ) \right|^2$ ；

2) $E{\left| {cx(t - \tau )} \right|^2} \leqslant \tilde c{\left\| \varphi \right\|^2}$ ，其中 $0 < \tilde c < 1$ ， $\left\| \varphi \right\| =$ $\mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant \theta \leqslant 0} E\left| {x(t + \theta )} \right| $ ；

3) $ELV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant {\beta ^*}EV(x(t) - cx(t - \tau ),t)$ ；

4) $EV(x({t_i})\! - \!cx({t_i} \!-\! \tau ),{t_i}) \leqslant {d_i}EV(x(t_i^ -\! ) \!-\! cx(t_i^ - \! \!- \!\tau ),t_i^ - \!)$ ，其中 $0 < {d_i} < 1$ ；

5) $EV(x({t_i} + \tau ) - cx({t_i}),{t_i} + \tau ) \leqslant {u_i}{d_i}EV(x(t_i^ - + \tau ) - cx(t_i^ - ), t_i^ - + \tau )$ ，其中 $\;0 < {u_i}{d_i} < 1$ ；

6) $q \!>\! {{\rm{e}}^{(\lambda + \tilde \beta )\rho }}$ ， $\tilde \beta \rho \!\geqslant\!\mathop {\sup }\limits_{t\geqslant{t_0}} \int_t^{t + \rho } {{\beta ^*}} {\rm{d}}s$ ，这里 $\rho = \mathop {\sup }\limits_{k \in N} \left\{ {t_k}- \right. \left.{t_{k - 1}} \right\}$ 。

则方程(DW)的解均方指数稳定。

证明 　假设 ${t_k} - {t_{k - 1}} > \tau $ ， $k = 1,2,\cdots,$ 令 $w(t) ={{\rm{e}}^{\lambda (t - {t_0})}} V(x(t) - cx(t - \tau ),t)$ 。下面将证明

$ Ew(t) \leqslant {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2},\;t\geqslant{t_0} $

(22)

$ \begin{split} Ew({t_0}) = & EV(x({t_0}) - cx({t_0} - \tau ),{t_0}) \leqslant\\& {c_2}{\left| {x({t_0}) - cx({t_0} - \tau )} \right|^2} \leqslant\\& {c_2}\left[ {\frac{{{{\left| {x({t_0})} \right|}^2}}}{{1 - \varepsilon }} + \frac{{{{\left| {cx({t_0} - \tau )} \right|}^2}}}{\varepsilon }} \right] \leqslant\\& {c_2}(\frac{{{{\left\| \varphi \right\|}^2}}}{{1 - \varepsilon }} + \frac{{\tilde c{{\left\| \varphi \right\|}^2}}}{\varepsilon })= \\& {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} \end{split} $

其中 $M = \left(\dfrac{1}{{1 - \varepsilon }} + \dfrac{{\tilde c}}{\varepsilon }\right)$ 。

下面证明

$ Ew(t) \leqslant {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2},\;t \in ({t_0},{t_1}) $

(23)

运用反证法，假若存在 $t \in ({t_0},{t_1})$ ，使得 $Ew(t)\geqslant {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。定义 ${t^*} = \inf \{ {t \in \left[ {{t_0},{t_1}} \right):Ew(t)\geqslant{c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2}} \}$ 。因为 $Ew(t)$ 在 $t \in ({t_0},{t_1})$ 上连续，所以有 ${t^*} \in ({t_0},{t_1})$ ， $Ew({t^*}) = {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。定义 ${t^{**}} = \sup \{ {t \in \left[ {{t_0},{t^*}} \right]:Ew(t) \leqslant \frac{1}{q}{c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2}} \}$ ，故 ${t^{**}} \in ({t_0},{t^*})$ ， $Ew({t^{**}}) = \frac{1}{q}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。

对任意 $t \in \left[ {{t^{**}},{t^*}} \right]$ ，由 ${\rm{It}}\mathop {\rm{o}}\limits^ \wedge $ 微分公式和条件3)得

$ \begin{split} ELw(t) =& \lambda {{\rm{e}}^{\lambda (t - {t_0})}}V(x(t) - cx(t - \tau ),t) + \\&{{\rm{e}}^{\lambda (t - {t_0})}}ELV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant \\& (\lambda + {\beta ^*})Ew(t) \end{split} $

由 $\rm Gronwall$ 不等式可得 $Ew({t^*}) \leqslant Ew({t^{**}}) {{\rm{e}}^{\int_{{t^{**}}}^{{t^*}} {(\lambda + {\beta ^*}){\rm{d}}s} }} \leqslant \dfrac{1}{q}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}{{\rm{e}}^{(\lambda + \tilde \beta )\rho }} \leqslant {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。得出矛盾，所以式(23)成立。

$ \begin{split} Ew({t_1}) \leqslant& {d_1}{{\rm{e}}^{\lambda ({t_1} - {t_0})}}EV(x(t_1^ - ) - cx(t_1^ - - \tau ),t_1^ - ) \leqslant\\& {d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} \end{split} $

(24)

下证当 $t \in ({t_1},{t_1} + \tau )$ 时，

$ Ew(t) \leqslant {d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} $

(25)

反证，假若存在 $t \in ({t_1},{t_1} + \tau )$ ，使得 $Ew(t) \geqslant {d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。定义 ${t^*} = \inf \{ {t \in \left[ {{t_1},{t_1} + \tau } \right):Ew(t)\geqslant{d_1}{c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2}} \}$ 。因为 $Ew(t)$ 在 $t \in ({t_1},{t_1} + \tau )$ 上连续，故 ${t^*} \in ({t_1},{t_1} + \tau )$ ， $Ew({t^*}) = {d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。定义 ${t^{**}} \!\!=\!\! \sup \{\! {t \!\in \!\left[ {{t_1},{t^*}} \right]\!:\!Ew(t)\! \leqslant\! \dfrac{1}{q}{d_1}{c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2}} \!\}$ ，则 ${t^{**}} \in ({t_1},{t^*})$ ， $Ew({t^{**}}) = \dfrac{1}{q}{d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。因为对任意 $t \in \left[ {{t^{**}},{t^*}} \right]$ ，由 ${\rm{It}}\mathop {\rm{o}}\limits^ \wedge $ 微分公式和条件3)有 $ELw(t) \leqslant (\lambda + {\beta ^*}) Ew(t)$ ，则由 $\;\;\;\rm Gronwall$ 不等式可得

$\begin{split} & Ew({t^*}) \leqslant Ew({t^{**}}){{\rm{e}}^{\int_{{t^{**}}}^{{t^*}} {(\lambda + {\beta ^*}){\rm{d}}s} }} \leqslant\\&\quad\quad \frac{1}{q}{d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}{{\rm{e}}^{(\lambda + \tilde \beta )\rho }} \leqslant {d_1}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} \end{split}$

这是个矛盾，所以式(25)成立。

$ \begin{split} Ew({t_1} + \tau ) \leqslant & {u_1}{d_1}{{\rm{e}}^{\lambda ({t_1} + \tau - {t_0})}}EV(x(t_1^ - + \tau ) - cx(t_1^ - ),t_1^ - + \tau )\leqslant \\& {u_1}d_1^2{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} \end{split} $

(26)

当 $t \in ({t_1} + \tau ,{t_2})$ 时，运用反证法同理可证得

$ Ew(t) \leqslant {u_1}d_1^2{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} $

(27)

当 $t = {t_2}$ 时，利用条件4)可得

$ Ew({t_2}) \leqslant {d_2}{u_1}d_1^2{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} $

(28)

假设当 $t\! \in\! ({t_{k\! -\! 1}} \!+\! \tau ,{t_k})$ 时， $Ew(t) \leqslant \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^{k - 1} {{u_i}} \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^{k - 1} {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 成立，则可证得

$ Ew({t_k}) \leqslant {d_k}\prod\limits_{i = 1}^{k - 1} {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^{k - 1} {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} $

(29)

当 $t \in ({t_k},{t_k} + \tau )$ 时，运用反证法可证得

$ Ew(t) \leqslant {d_k}\prod\limits_{i = 1}^{k - 1} {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^{k - 1} {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} $

(30)

$ \begin{split} Ew({t_k} + \tau ) \leqslant & {u_k}{d_k}{{\rm{e}}^{\lambda ({t_k} + \tau - {t_0})}}EV(x(t_k^ - + \tau ) - cx(t_k^ - ),t_k^ - + \tau ) \leqslant \\& \prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} \end{split} $

(31)

当 $t \in ({t_k} + \tau ,{t_{k + 1}})$ 时，假若存在 $t \in ({t_k} + \tau ,{t_{k + 1}})$ ，使得 $Ew(t)\geqslant\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。定义 ${t^*}\!\! =\! \inf \Bigg\{ t \in \left[ {{t_k} \!+\! \tau ,{t_{k + 1}}} \right): \Bigg. \Bigg. Ew(t)\! \geqslant \! \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2} \Bigg\}$ 。因为 $Ew(t)$ 在 $t \!\in\! ({t_k} + \tau ,{t_{k + 1}})$ 上连续，故 $Ew({t^*}) =\displaystyle \prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}}\displaystyle \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。

定义

${t^{**}} = \sup \Bigg\{ t \in \left[ {{t_k} + \tau ,{t^{\rm{*}}}} \right]:Ew(t) \leqslant \dfrac{1}{q}\prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2} \Bigg\} $

则 ${t^{**}} \in ({t_k} + \tau ,{t^*})$ ， $Ew({t^{**}}) = \dfrac{1}{q}\displaystyle\prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}}\displaystyle \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ 。因为对任意 $t \in \left[ {{t^{**}},{t^*}} \right]$ ，有 $ELw(t) \leqslant (\lambda + {\beta ^*})Ew(t)$ ，则由 $\rm Gronwall$ 不等式可得

$ \begin{split} Ew({t^*}) \leqslant & Ew({t^{**}}){{\rm{e}}^{\int_{{t^{**}}}^{{t^*}} {(\lambda + {\beta ^*}){\rm{d}}s} }} \leqslant\\& \frac{1}{q}\prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}{{\rm{e}}^{(\lambda + \tilde \beta )\rho }} \leqslant \\& \prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2} \end{split} $

这是个矛盾，所以

$ Ew(t) \leqslant \prod\limits_{i = 1}^k {{u_i}} \prod\limits_{i = 1}^k {d_i^2} {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2},\;t \in \left[ {{t_k} + \tau ,{t_{k + 1}}} \right) $

(32)

综上，有 $Ew(t) \leqslant {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}$ ， $t\geqslant{t_0}$ 。

所以 $EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant {c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}{{\rm{e}}^{ - \lambda (t - {t_0})}}$ 。

由条件1)可得 $E{\left| {x(t) \!-\! cx(t \!- \!\tau )} \right|^2} \!\leqslant \!\dfrac{1}{{{c_1}}}{c_2}M{\left\| \varphi \right\|^2}{{\rm{e}}^{ \!- \!\lambda (t\! -\! {t_0})}}$ 。

故由引理4可得 $E{\left| {x(t)} \right|^2} \leqslant A{{\rm{e}}^{ - (\lambda \wedge \alpha )t}}$ 。

其中

$A = \left( {\frac{{{c_2}M{{\left\| \varphi \right\|}^2}{{\rm{e}}^{\lambda {t_0}}}}}{{{c_1}{{(1 - \varepsilon )}^2}}}{{\rm{e}}^{\lambda \tau }} + \frac{{\tilde c}}{\varepsilon }{{\rm{e}}^{(\lambda \wedge \alpha )\tau }}{\varphi _0}} \right){\left( {1 - \frac{{\tilde c}}{\varepsilon }{{\rm{e}}^{(\lambda \wedge \alpha )\tau }}} \right)^{ - 1}},$

$0 < \tilde c < 1,\alpha = \frac{1}{\tau }\ln \frac{\varepsilon }{{\tilde c}},{\varphi _0} = \mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant t \leqslant 0} E{\left| {x(t)} \right|^2}$

最后，由定义1得出方程(DW)的平凡解是均方指数稳定的，所以定理2得证。

定理3 　若存在函数 $V \in {C^{2,1}}({R^n} \times {R_ + };{R_ + })$ ， ${\beta _0}$ 是固定的正常数，存在对称正定矩阵 ${{Q}}$ 以及常数 ${\;\beta ^*}$ ，且存在函数 ${u_1},{u_2},\cdots,{u_i},\cdots$ ，其中 ${u_i} > 1$ ， $i \in N$ ，使得下列条件成立：

(1) $2{(x(t) - cx(t - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}[ - (A + \Delta A(t))x(t) + f(t,x(t), x(t - \tau )) ]$ $+ {\rm{trace}}[ {{\sigma ^{\rm{T}}}(t,x(t),x(t - \tau )){{Q}}\sigma (t,x(t),x(t - \tau ))} ]\leqslant$

${\beta ^*}{(x(t) - cx(t - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t) - cx(t - \tau ))$ ；

(2) ${\;\beta _0} + {\beta ^*} < 0$ ；

(3) ${(x({t_i}) - cx({t_i} - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x({t_i}) - cx({t_i} - \tau )) \leqslant$

$d_i^2{(x(t_i^ - )\! -\! cx(t_i^ - \!-\! \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t_i^ - )\! -\! cx(t_i^ - \! -\! \tau ))$ ， $0 < d_i^2 < 1$ ；

(4) ${(x({t_i} + \tau ) - cx({t_i}))^{\rm{T}}}{{Q}}(x({t_i} + \tau ) - cx({t_i}))\leqslant$

$u_i^2d_i^2{(x(t_i^ - + \tau ) - cx(t_i^ - ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t_i^ - + \tau ) - cx(t_i^ - ))$ ，

$0 < u_i^2d_i^2 < 1$ 。

则方程(DW)的解均方指数稳定。

证明 　取 ${I_k}(\mu ) = {d_k}\mu $ ， $k = 1,2,\cdots ,$ 且 ${t_k} - {t_{k - 1}} > \tau $ ，构造如下Lyapunov - Krasovskii泛函：

$V(x(t) \!-\! cx(t \!-\! \tau ),t) \!=\! {{\rm{e}}^{{\beta _0}t}}{(x(t) \!-\! cx(t\! -\! \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t) \!-\! cx(t \!-\! \tau ))$

当 $t \in \left[ {{t_0}} \right.,\left. {{t_1}} \right)$ 时，由方程(DW)和条件(1)得到

$ \begin{split} & LV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant \\& ({\beta _0} + {\beta ^*}){{\rm{e}}^{{\beta _0}t}}{(x(t) - cx(t - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t) - cx(t - \tau ))= \\& ({\beta _0} + {\beta ^*})V(x(t) - cx(t - \tau ),t) \end{split} $

故 $ELV(x(t) \!\!-\!\! cx(t\! \!-\! \!\tau ),t) \!\!\leqslant \!\!(\!{\beta _0} \!\!+\!\! {\beta ^*})EV(x(t) \!-\! cx(t\! -\! \tau ),t)$ 。

由条件(2)可得

$ ELV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant 0,\;t \in \left[ {{t_0}} \right.,\left. {{t_1}} \right) $

(33)

对任意的 $t,{t^*} \in \left[ {{t_0},{t_1}} \right)$ ，且 $t > {t^*}$ ，运用 $\rm Dynkin's$ 公式得

$\begin{split} & EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) - EV(x({t^*}) - cx({t^*} - \tau ),{t^*}) = \\&\qquad\int_{{t^*}}^t {ELV(x(s) - cx(s - \tau ),s)} {\rm{d}}s \leqslant 0 \end{split}$

因此，

$ EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant EV(x({t^*}) - cx({t^*} - \tau ),{t^*}) $

(34)

当 $t = {t_1}$ 时，由条件(3)得到

$ \begin{split} & V(x({t_1}) - cx({t_1} - \tau ),{t_1}) =\\& {{\rm{e}}^{{\beta _0}{t_1}}}{(x({t_1}) - cx({t_1} - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x({t_1}) - cx({t_1} - \tau )) \leqslant\\& {{\rm{e}}^{{\beta _0}{t_1}}}d_1^2{(x(t_1^ - ) - cx(t_1^ - - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t_1^ - ) - cx(t_1^ - - \tau )) \leqslant\\& V(x(t_1^ - ) - cx(t_1^ - - \tau ),t_1^ - ) \end{split} $

(35)

当 $t \in \left[ {{t_1},{t_1} + \tau } \right)$ 时，由方程(DW)和条件(1)、(2)有

$ELV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant 0,t \in \left[ {{t_1},{t_1} + \tau } \right)$

对任意的 $t,t' \in \left[ {{t_1},{t_1} + \tau } \right)$ ，且 $t > t'$ ，由 $\rm Dynkin's$ 公式得

$\begin{split} & EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) - EV(x(t') - cx(t' - \tau ),t') =\\& \qquad\int_{t'}^t {ELV(x(s) - cx(s - \tau ),s)} {\rm{d}}s \leqslant 0 \end{split}$

因此，

$ EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant EV(x(t') - cx(t' - \tau ),t') $

(36)

当 $t = {t_1}{\rm{ + }}\tau $ 时，由条件有

$ \begin{split} & V(x({t_1}{\rm{ + }}\tau ) - cx({t_1}),{t_1} + \tau ) =\\& {{\rm{e}}^{{t_1}{\rm{ + }}\tau }}{(x({t_1}{\rm{ + }}\tau ) - cx({t_1}))^{\rm{T}}}{{Q}}(x({t_1}{\rm{ + }}\tau ) - cx({t_1})) \leqslant\\& u_1^2d_1^2{{\rm{e}}^{{t_1}{\rm{ + }}\tau }}{(x(t_1^ - {\rm{ + }}\tau ) - cx(t_1^ - ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t_1^ - {\rm{ + }}\tau ) - cx(t_1^ - )) \leqslant \\& V(x(t_1^ - + \tau ) - cx(t_1^ - ),t_1^ - + \tau ) \end{split} $

(37)

当 $t \in \left[ {{t_1} + \tau ,{t_2}} \right)$ 时，可证得对任意的 $t,{t^*} \in \left[ {{t_1} + \tau ,{t_2}} \right)$ ，且 $t > {t^*}$ ，有

$ EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant EV(x({t^*}) - cx({t^*} - \tau ),{t^*}) $

(38)

当 $t = {t_2}$ 时，由条件(3)可得到

$ V(x({t_2}) - cx({t_2} - \tau ),{t_2}) \leqslant V(x(t_2^ - ) - cx(t_2^ - - \tau ),t_2^ - ) $

(39)

假设当 $t \in \left[ {{t_{k - 1}} + \tau ,{t_k}} \right)$ 时，对任意的 $t,{t^*} \in \left[ {{t_{k - 1}} + \tau ,{t_k}} \right)$ ，且 $t > {t^*}$ 时， $EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant EV(x({t^*}) - cx({t^*} - \tau ),{t^*})$ 成立。

则当 $t = {t_k}$ 时，由条件(3)得到

$ \begin{split} & V(x({t_k}) - cx({t_k} - \tau ),{t_k}) \leqslant \\& {{\rm{e}}^{{\beta _0}{t_k}}}d_k^2{(x(t_k^ - ) - cx(t_k^ - - \tau ))^{\rm{T}}}{{Q}}(x(t_k^ - ) - cx(t_k^ - - \tau )) \leqslant\\& V(x(t_k^ - ) - cx(t_k^ - - \tau ),t_k^ - ) \end{split} $

(40)

当 $t \in \left[ {{t_k},{t_k} + \tau } \right)$ 时，对任意的 $t,t' \in \left[ {{t_k},{t_k} + \tau } \right)$ ，且 $t > t'$ 时，运用Dynkin's公式，同理可证

$ EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant EV(x(t') - cx(t' - \tau ),t') $

(41)

当 $t = {t_k}{\rm{ + }}\tau $ 时，由条件(4)可知

$ V(x({t_k}{\rm{ + }}\tau ) - cx({t_k}),{t_k}{\rm{ + }}\tau ) \leqslant V(x(t_k^ - {\rm{ + }}\tau ) - cx(t_k^ - ),t_k^ - {\rm{ + }}\tau ) $

(42)

当 $t \in \left[ {{t_k} + \tau ,{t_{k + 1}}} \right)$ 时，对任意的 $t,{t^*} \in \left[ {{t_k} + \tau ,{t_{k + 1}}} \right)$ ，且 $t > {t^*}$ ，可证得

$ EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant EV(x({t^*}) - cx({t^*} - \tau ),{t^*}) $

(43)

所以综上有

$ \begin{split} & EV(x({t_k}) - cx({t_k} - \tau ),{t_k}) \leqslant \\& \qquad EV(x(t_k^ - ) - cx(t_k^ - - \tau ),t_k^ - )\leqslant\\& \qquad EV(x({t_{k - 1}} + \tau ) - cx({t_{k - 1}}),{t_{k - 1}} + \tau )\leqslant \\& \qquad \cdots \leqslant\\& \qquad EV(x(0) - cx( - \tau ),0) \end{split} $

(44)

所以

$ \begin{split} & {{\rm{e}}^{{\beta _0}t}}({\lambda _{\min }}({{Q}}))E{\left| {x(t) - cx(t - \tau )} \right|^2} \leqslant \\&\qquad EV(x(t) - cx(t - \tau ),t) \leqslant \\&\qquad EV(x(0) - cx( - \tau ),0) \end{split} $

(45)

又由 $V(x(0) - cx( - \tau ),0)$ 的定义，得

$EV(x(0) - cx( - \tau ),0) \leqslant ({\lambda _{\max }}({{Q}}))E{\left| {x(0) - cx( - \tau )} \right|^2}$

所以 $E{\left| {x(t) \!-\! cx(t \!- \!\tau )} \right|^2} \leqslant \left( {\dfrac{{{\lambda _{\max }}({{Q}})}}{{{\lambda _{\min }}({{Q}})}}} \right)E{\left| {x(0) \!-\! cx( \!-\! \tau )} \right|^2} {{\rm{e}}^{ - {\beta _0}t}}$ 。

因此，由引理4得出 $ E{\left| {x(t)} \right|^2}M{{\rm{e}}^{ - \left( {{\beta _0} \wedge \alpha } \right)t}} $ 。

其中

$\begin{split} M = &\left( \frac{{{{\rm{e}}^{{\beta _0}\tau }}{{{\lambda _{\max }}({{Q}})}}}}{{{{(1 - \varepsilon )}^2}}{{{\lambda _{\min }}({{Q}})}}}E{{\left| {x(0) - cx( - \tau )} \right|}^2} +\right.\\& \left.\frac{{\tilde c}}{\varepsilon }{{\rm{e}}^{({\beta _0} \wedge \alpha )\tau }}{\varphi _0} \right){\left( {1 - \frac{{\tilde c}}{\varepsilon }{{\rm{e}}^{({\beta _0} \wedge \alpha )\tau }}} \right)^{ - 1}} \end{split}$

$0 < \tilde c < 1,\alpha = \frac{1}{\tau }\ln \frac{\varepsilon }{{\tilde c}},{\varphi _0} = \mathop {\sup }\limits_{ - \tau \leqslant t \leqslant 0} E{\left| {x(t)} \right|^2}$

所以由定义1可得，定理3得证。