系统故障演化过程(System Fault Evolution Process, SFEP)^[1-3]是存在于各类系统中的各类故障的发生模式和表现形式。SFEP存在于各类系统之中，具有普遍性。虽然各类系统的专业背景不同，但在系统层面上SFEP具有统一的规律和特征^[1-4]。那么从不同领域抽象实际故障或灾害，表示为系统模型，进而研究SFEP的预测、预防和治理，是研究的重点问题和基础。其中SFEP的最终事件故障发生可能性是最受关注的问题之一。

对于系统发生故障可能性和特征的研究很多，包括基于SDG的系统故障智能诊断^[4]，非线性互补约束的电网故障定位^[5]，移动信息物理融合系统故障分析^[6]，模糊离散事件系统故障诊断^[7]，风电轴承故障模式识别^[8]，航空发动机故障模式识别^[9]，船舶动力设备故障模式识别^[10]，油液监测故障模式识别^[11]，模糊随机故障模式与影响分析^[12]，煤矿高压断路器故障模式识别^[13]等。这些研究虽然在各自领域功效显著，但缺乏系统层面的统一表示方式和通用处理机制，因此仍需要建立在系统层面上的故障发生可能性分析方法。

笔者提出了空间故障树(Space Fault Tree, SFT)^[14-20]理论，用于研究多因素影响与系统可靠性变化关系。进一步在2018年提出了空间故障网络(Space Fault Network, SFN)^[1-3]用于描述和研究SFEP。本文研究内容是SFN框架内的一部分。从研究对象、分析方法和处理方法角度得到各种情况下的TEFPD，讨论TEFPD特征显著程度。

1 空间故障网络与故障模式

系统发生故障不是突然产生的，而是经过一系列事件相互作用，各种因素影响，加之一些随机性而产生的综合过程，称为SFEP。系统包括自然系统和人工系统。自然系统不以人的存在而不同，按照自然规律进行发展。人工系统则是根据人的目的，被人构建的完成该目的的系统。自然系统的功能障碍，可理解为自然灾害，如滑坡、洪水。人工系统的功能障碍，则通常指故障或事故，如机械系统故障等。这些灾害和故障统称为SFEP中的故障。不同的起始事件和终止事件，经历的事件不同及影响因素不同等使SFEP产生多样性。另外一个产生多样性的重要原因是事件之间的逻辑关系，不同的逻辑关系使SFEP产生分支或合并。因此研究SFEP是预测、防治和治理故障灾害的重要基础。

作者提出采用SFN对SFEP进行描述。在SFN中，节点表示SFEP中的事件；连接表示事件间的联系，连接具有方向性，从原因事件指向结果事件；SFEP中事件间的逻辑关系使用SFN中的关系事件表示。其中最简单的关系是传递、与、或。传递关系是原因事件导致结果事件；与关系表示多个原因事件同时导致结果事件；或关系表示多个原因事件之一即可导致结果事件。根据何华灿教授提出的柔性逻辑关系^[21-22]，包括20种柔性逻辑关系。作者将这20种柔性逻辑关系转化为事件故障发生逻辑关系，并应用于SFN。另外，所有连接都蕴含传递概率，表示原因事件导致结果事件的可能性。而原因事件和结果事件故障概率是它们自有的特征，与影响因素有关。在SFT和SFN理论中，使用特征函数和故障概率分布进行表示^[23]。

SFEP中的故障模式(Fault Model，FM)表示在SFEP中一个事件到另一个事件的可达性。如果一个事件可以通过连接按照传递方向传递一次或多次到达另一事件，那么表明原因事件可以导致结果事件发生，即边缘事件或过程事件导致最终事件。FM可以看作边缘、过程和最终事件的有序集合。另一种表示方式，由于SFN将最终事件故障概率看作是原因事件故障概率和传递概率的积，因此FM也可表示为传递概率的有序集合，传递概率的有序集合与事件的有序集合等价。SFN的基本概念和定义见文献[1-3]。

2 单元故障演化与全事件诱发故障演化

给出SFN中几种故障演化过程的定义。总故障演化过程：故障发生过程全部由空间故障网络描述，可理解为故障演化过程的全集，相当于SFEP。目标故障演化过程：以明确的最终事件为研究目标形成的空间故障网络，所有演化过程归于该最终事件。目标故障演化过程的空间故障网络对应于空间故障树，最终事件对应顶事件。同阶故障演化过程：目标故障演化过程的故障树结构展开并化简后，具有相同边缘事件个数的单元故障演化过程。单元故障演化过程：目标故障演化过程的故障树结构展开并化简后，得到的以“与”关系连接的边缘事件和传递概率的式子。单元故障演化过程可再分为增量故障演化过程和减量故障演化过程，前者表示故障演化过程完毕后造成总故障演化过程向着故障概率高的方向发展；后者相反。

单元故障演化过程是SFEN的基础。从定义可知，事件之间与关系，即为所有事件发生，与经典故障树的割集意义相同。当单元故障演化过程的事件都发生时最终结果事件发生，这与FM的定义相同。可以说SFEP是众多单元故障演化过程的交织，在SFN中是众多FM的交织。在一个FM中，由于演化开始事件不同，每个开始事件(边缘事件和过程事件)到最终事件都是一个单元故障演化过程。

全事件诱发的故障演化过程可看作单元故障演化过程的叠加。条件为故障演化过程中的所有边缘事件和过程事件均作为发起故障过程的边缘事件，是所有故障演化过程最终事件的最大发生概率计算方法。其故障过程除最终事件外都作为故障的发起事件，同时考虑边缘事件及过程事件导致最终事件发生情况。将所有边缘和过程事件作为边缘事件，计算演化过程的最终事件故障概率，并求和得到全事件诱发的故障演化过程的TEFPD。

考虑多因素影响，研究FM的TEFPD。对于一个FM，单元故障演化过程从边缘事件到最终事件，由于经历的事件和传递概率最多，因此得到的TEFPD数值最小。另外一种情况，全事件诱发是将边缘事件和过程事件都作为边缘事件，得到多个TEFPD并累加，因此这种情况分布数值最大。这里将最终事件发生也加入其中，将全事件诱发改为全事件诱发+最终事件模式，研究TEFPD。

以图1(a)表示一个简单的SFEP。图1(b)到图1(e)是单元故障演化过程。从图1(a)考虑，v₅和v₆是边缘事件。事件下角标后的“+，•”表示该事件的原因事件以何种方式导致其发生。+表示原因事件之一发生导致该事件发生；•表示原因事件全部发生导致该事件发生。将v₁作为最终事件，那么其中一个单元故障演化过程是图1(b)。其中v₄、v₃和v₂是过程事件。边缘事件v₅到最终事件v₁及过程事件组成了一个FM。v₅通过过程事件v₄、v₃和v₂导致最终事件v₁发生。v₄、v₃和v₂也可作为边缘事件导致最终事件发生，如图1(c)~图1(e)所示。则最终事件v₁发生概率的贡献来源于v₅、v₄、v₃、v₂和v₁自身。各事件都有自身的故障概率(使用故障概率分布表示)，是事件本身固有特征；而另一方面来源于其原因事件诱发(传递的，非自身特征)。综合所有边缘事件和过程事件导致最终事件的可能性，构成全事件诱发的最终事件演化过程。考虑最终事件发生概率，研究全事件诱发+最终事件情况下TEFPD，过程为 、、、、的叠加。

3 两种最终事件故障概率分布计算方法

为简化方法流程，将上述单元故障演化过程中的逻辑关系去掉，即为 ，相应的全事件诱发+最终事件过程为 、、、、。这5个过程可理解为5种导致v₁的FM。研究单元故障演化过程和全事件诱发+最终事件两种情况下的FM中TEFPD。从两个角度考虑，分为两种分析方法。

一是比较形式方法：考虑原因事件故障概率分布q_ce和原因事件导致结果事件的传递概率p，如果在某一环境条件下q_ce和p的积大于结果事件故障概率分布q_re，则保留q_re，否则保留q_ce×p。进一步，将结果事件作为原因事件，继续寻找它的结果事件，直到找到最终事件停止传递。单元故障演化过程的TEFPD计算如式(1)所示。

$\left\{ { \begin{aligned} & {{\rm{TP}} = \{ {p_1},\cdots,{p_I}\} ,i = 1,\cdots,I} \\& {{\rm{FM}} = \{ {v_1},\cdots,{v_M}\} ,m = 1,\cdots,M} \\& {q_m}({x_1},\cdots,{x_n}) = {q_{m - 1}}({x_1},\cdots,{x_n}),\\& \qquad{q_{m - 1}}({x_1},\cdots,{x_n}) \times {p_i} > {q_m}({x_1},\cdots,{x_n}) \\& {q_m}({x_1},\cdots,{x_n}) = {q_{m - 1}}({x_1},\cdots,{x_n}) \times {p_i},\\& \qquad{q_{m - 1}}({x_1},\cdots,{x_n}) \times {p_i} < {q_m}({x_1},\cdots,{x_n}) \\& {{q_{m \to M}}({x_1},\cdots,{x_n}) = {q_{M = m}}({x_1},\cdots,{x_n})} \end{aligned}} \right.$

(1)

式(1)中，TP为传递概率集合； ${p_i}$ 为传递概率，共I个；FM为故障模式，是事件的偏序集； ${v_m}$ 为FM中一个事件，共M个； ${x_1}, \cdots ,{x_n}$ 为n个影响因素； ${q_{m - 1}}$ 为原因事件故障概率分布q_ce； ${q_m}$ 为结果事件故障概率分布q_re； ${q_{M = m}}$ 为TEFPD； ${q_{m \to M}}$ 为从m到M的FM发生概率分布。

将FM中各单元故障演化过程的TEFPD和最终事件自身的故障概率分布相加，得到全事件诱发+最终事件的TEFPD，如式(2)所示。

${\rm{all}} - {q_M}({x_1},\cdots,{x_n}) = \left\{ { \begin{aligned} & \sum\limits_m^M {{q_{m \to M}}({x_1},\cdots,{x_n})|} \\&\qquad{\rm{ if \;all\;}} - {q_M}({x_1},\cdots,{x_n}) > 1\; \\ &\qquad{\rm{ then \;all\;}}- {q_M}({x_1},\cdots,{x_n}) = 1 \\ & {\Bigg(\sum\limits_m^M {{q_{m \to M}}({x_1},\cdots,{x_n})} \Bigg)/(M - m + 1)} \end{aligned}} \right.$

(2)

式(2)中， ${\rm{all}} - {q_M}({x_1},\cdots ,{x_n})$ 表示全事件诱发+最终事件的TEFPD。

由于TEFPD数值在[0,1]，那么式(2)有可能大于1，同样有两种方式进行处理。(1) 最大值方法：将全事件诱发+最终事件的故障演化过程看作整体，叠加后在TEFPD中大于1的部分设置为1。主要用于FM中所有事件可能同时存在的情况。(2) 平均值方法：将全事件诱发+最终事件的故障演化过程的所有FM分离开来，求所有模式发生可能性的平均值。主要用于FM所有事件中只有之一存在的情况。两种方式分别对应式(2)的上下两式。

二是继承形式方法：考虑结果事件故障概率分布q_re是在原因事件发生且经过传递概率条件之下发生的，因此在原因事件和传递概率作用下确定结果事件发生概率分布；同时考虑原因事件故障概率分布q_re、传递概率p和结果事件自身故障概率分布特点，即q_ce×p×q_re。进一步，将结果事件作为原因事件，继续寻找它的结果事件，直到找到最终事件停止传递。单元故障演化过程的TEFPD计算如式(3)所示。

$ {q_{m \to M}}({x_1},\cdots ,{x_n}) = \prod\limits_m^M {{q_m}({x_1},\cdots ,{x_n})} \prod\limits_i^I {{p_i}} $

(3)

将各单元故障演化过程的TEFPD和最终事件自身故障概率分布相加，得到全事件诱发+最终事件的TEFPD，如式(4)所示。

$\begin{split} & {\rm{all}} - {q_m}({x_1},\cdots,{x_n}) = \sum\limits_m^M {{q_{m \to M}}({x_1},\cdots,{x_n})} =\\ & \left\{ \begin{aligned} & {\sum\limits_m^M {\Bigg(\prod\limits_m^M {{q_m}({x_1},\cdots,{x_n})} \prod\limits_i^I {{p_i}} \Bigg)} } |\\ &\qquad {\rm{if\; all\;}} - {q_M}({x_1},\cdots,{x_n}) > 1\;\\ &\qquad{\rm{ then \;all\;}} - {q_M}({x_1},\cdots,{x_n}) = 1 \\ & \Bigg(\sum\limits_m^M \Bigg(\prod\limits_m^M {{q_m}({x_1},\cdots,{x_n})} \prod\limits_i^I {{p_i}} \Bigg)\Bigg)/(M - m + 1) \end{aligned} \right. \end{split}$

(4)

与式(2)相同，式(4)也有两种处理方法使TEFPD数值在[0,1]且含义相同。

4 实例分析

以图1(b)单元故障演化过程为例，但为了简化方法，同时突出方法本身，将该过程中各事件逻辑关系去掉，即 作为研究对象。传递概率在过程中由左至右，TP={p₁, p₂, p₃, p₄}，FM={v₅,v₄,v₃,v₂,v₁}。在文献[23]提供的电气系统中，选择5个元件组成该单元故障演化过程，具体的使用时间和使用温度的故障概率分布如文献[23]所示。图中表示了各元件在不同使用时间和使用温度下发生故障事件的概率分布情况。使用时间是[0,100]天，使用温度是[0,50]℃。图中的周期变化代表元件进行了更换，使故障率显著降低。

使用第一种比较形式方法，研究该单元故障演化过程，设TP={p₁, p₂, p₃, p₄}=0.9，得到v₅的TEFPD变化过程，如图2所示。同样，设TP={p₁, p₂, p₃, p₄}=0.5，变化过程如图3所示。

比较图2和图3，由于涉及的元件和事件故障概率分布相同，其变化来源于传递概率。两图中对应的(a)和(b)在分布上区别不大；对应的(c)和(d)分布变化较大。但两图对应图中的分布数值变化较大。图2(a)-2(d)的故障概率最大值分别约为0.9、0.8、0.72、0.65。图3(a)-3(d)的故障概率最大值分别约为0.49、0.24、0.123、0.063。可见使用比较法得到的TEFPD受传递概率影响较大。这符合实际情况，而且实际元件故障率一般在10⁻⁵数量级，因此实际发生故障的可能性非常小。

图4给出了全事件诱发+最终事件的TEFPD。使用最大值方法得到的TEFPD特征较差，平均方法得到的TEFPD特征较好。另一方面也说明当FM中有多个事件存在时，最终事件发生可能性迅速提高，可能达到必然发生的程度。当FM中有多个事件之一存在时，最终事件发生可能性分布更具特征性。

使用第二种继承形式方法，研究该单元故障演化过程，设TP={p₁,p₂,p₃,p₄}=0.9，得到v₅的TEFPD变化过程。与图2比较，图2随着传递，故障概率较低部分逐渐增加；而图4随着传递，故障概率较低部分逐渐减少。两图中对应的子图故障概率最大值基本相同。

图5给出了继承形式的全事件诱发+最终事件的TEFPD，P=0.9。图5(a)是最大法得到的TEFPD，可体现一部分故障概率变化特征；图5(b)是平均法得到的TEFPD，体现了完整的故障概率变化特征。

表1总结了各种情况下得到的TEFPD特征显著程度。当然这只是通常情况下的分析结果。具体情况应该具体分析，比如FM中有多个事件同时发生，因此只能用最大值方法。如果使用平均得到的TEFPD将小得多，不符合实际情况。

另外，当FM中事件考虑与或逻辑关系时，可添加关系事件。关系事件等同于普通事件，但只表示其原因事件之间的逻辑关系。与普通事件的处理方法相同。具体方法详见作者相关文献[1-3]。

5 结论

论文研究了FM中TEFPD确定的几种方法。得到如下结论：

(1) 研究对象分为单元故障演化过程和全事件诱发+最终事件过程两种。单元故障演化过程是从边缘事件出发到最终事件的过程，是TEFPD的最小值。全事件诱发+最终事件过程将边缘事件、过程事件和最终事件自身都作为最终事件发生的原因，因此得到的TEFPD是最大值。

(2) 分析方法分为比较形式方法和继承形式方法。比较形式方法同时考虑原因事件和传递概率，与结果事件概率的比较关系，确定TEFPD。继承形式方法考虑原因事件和传递概率作为条件，确定结果事件概率，进而确定TEFPD。

(3) 故障概率分布处理方式分为最大值方法和平均值方法。最大值适合于FM中多个事件同时存在的情况；平均值法适合于多个事件之一存在的情况。

(4) 总结了单元故障演化过程和全事件诱发+最终事件过程、比较法和继承法、最大值法和平均值法的使用特征，得到的各种TEFPD特征显著程度。