本文所讨论的群都是有限群，用到的术语和记号都是标准的[1]。称H为群
$G$
的
$S$
-半置换子群[2]，如果对
$G$
的任意
${\rm{Sylow}}$
p-子群
${G_p}$
，满足
$(p,\left| H \right|) = 1$
，都有
$H{G_p} = {G_p}H$
。Skiba[3]介绍了弱
$S$
-置换子群的概念：称子群H为群
$G$
的弱
$S$
-置换子群，如果
$G$
中存在次正规子群T满足
$G = HT$
且
$H \bigcap T \leqslant {H_{sG}}$
，其中
${H_{sG}}$
是
$G$
中最大的含于H的
$S$
-置换子群。该嵌入性质覆盖了许多已知的性质。
众多学者通过研究子群的嵌入性质去刻画有限群的结构，取得了许多有意义的成果。最近，郭秀云等[4]考虑了某些特定的p-子群H的嵌入情况“
$H \bigcap $
$ {O^p}(G) \vartriangleleft {O^p}(G)$
”，这种嵌入情况比弱
$S$
-置换限制更少，证明了定理1。
定理1 根据文献[4]的定理1.3，设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^2} \leqslant d < \left| P \right|$
。若对P中所有
$d$
阶非循环的正规子群H，都有
$H \bigcap {O^p}(G) \vartriangleleft {O^p}(G)$
，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap {O^p}(G)} \right| > d$
。
上述定理对P中所有
$d$
阶的非循环正规子群进行探讨，可得
$G$
的
$p$
-超可解性或者
$P \bigcap {O^p}(G)$
的阶数范围。把条件“
$H \bigcap$
${O^p}(G)$
$\vartriangleleft {O^p}(G)$
”弱化为“
$H \bigcap {O^p}(G)$
在
$G$
中
$S$
-半置换”，同样可以得到上述结论。改变条件的出发点基于以下事实。根据文献[5]的引理2.1(6)，“
$H \bigcap$
${O^p}(G) \vartriangleleft {O^p}(G)$
”这一条件等价于“
$H \bigcap {O^p}(G)$
在G中S-置换”。从而证明了定理2。
定理2 设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^2} \leqslant$
${ d < \left| P \right| }$
。若对P中所有
$d$
阶非循环的正规子群H，都有
$H \bigcap {O^p}(G)$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap {O^p}(G)} \right| > d$
。
根据文献[6]，
${G^*}$
表示
$G$
的使得
${G / {{G^*}}}$
为交换群且方次数整除
$p - 1$
成立的最小正规子群。众所周知，
$G$
是
$p$
-超可解群当且仅当
${G^*}$
是
$p$
-幂零群(见文献[7]的命题2.3(2))。此时，如果考虑“
$H \bigcap {O^p}({G^*})$
在
$G$
中
$S$
-半置换”，得到如下的结果。
定理3 设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^2} \leqslant $
$ d < \left| P \right|$
。若对P中所有
$d$
阶非循环的正规子群H，都有
$H \bigcap {O^p}({G^*})$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap {O^p}({G^*})} \right| > d$
。
1 预备知识
引理1 根据文献[4]的引理2.2，设
$p$
是一个素数，固定一个正整数
$m \geqslant 2$
，且设P是一个p-群。令
$N \vartriangleleft P$
，其中
$\left| N \right| \geqslant {p^m}$
，假设P中所有含于N的
${p^m}$
阶正规子群都是循环群，则N是循环群、二面体群、半二面体群或者广义四元数群。
引理2 根据文献[4]的引理3.1，设
$p$
是一个素数，
$P \in $
${\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，如果P是循环群，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$P \bigcap {O^p}(G) = P$
。
引理3 根据文献[4]的引理2.6(i)，如果P是二面体群、半二面体群或者广义四元数群，则P有唯一的
${2^a}$
阶的正规子群
$N$
，且
$N$
是循环群，其中
$1 < {2^a} < $
${{\left| P \right|} / 2}$
，这里a是一个正整数。
引理4 根据文献[6]的引理3.1，设
$N \vartriangleleft G$
，记
$\overline G = {G / N}$
。如果
$U$
是
$G$
的
$S$
-半置换p-子群，则
$\overline U $
在
$\overline G $
中
$S$
-半置换。
引理5 根据文献[4]的引理2.4，设
$p$
是一个素数，固定一个正整数
$m \geqslant 2$
，设P是一个
$p$
-群。另外，设
$N$
是P的正规子群且
$\left| N \right| < {p^m}$
。如果P有一个
${p^m}$
阶的非循环正规子群，则P中存在
${p^m}$
阶的非循环正规子群
$H$
使得
$N < H$
。
引理6 根据文献[6]的引理3.2，设
$U$
是
$G$
的一个
$S$
-半置换
$p$
-子群，
$V$
是
$G$
的正规
$p$
-子群，那么
${O^p}(G)$
正规化
$U \bigcap V$
。特别地，如果
$U \subseteq V$
，则
${O^p}(G)$
正规化
$U$
。
引理7 根据文献[8]的引理3.1，设
$p$
是一个素数，
$P \in $
${\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，如果P是循环群，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$P \bigcap {O^p}({G^*}) = P$
。
引理8 根据文献[9]的引理2.8，设
$p$
是一个素数，
$p$
整除群
$G$
的阶，
${P_1}$
是
$G$
的
$p$
-子群，
$L \vartriangleleft G$
且
$N$
是
$G$
的正规
$p'$
-子群，则
${{{P_1}N} / N} \bigcap {{LN} / N} = (P \bigcap L)$
${N / N}$
。
引理9 根据文献[9]的引理2.9，设
$p$
是一个素数，
$p$
整除群
$G$
的阶，
$N \vartriangleleft G$
，则
${({G / N})^*} = {{{G^*}N} / N}$
，
${O^p}($
${G / N}) = {{{O^p}(G)N} / N}$
和
${O^p}{({{(G} / N})^*}) = {O^p}({G^*}) {N / N}$
。
2 主要定理
定理4设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^2} \leqslant $
$ d < \left| P \right|$
。若对P中所有
$d$
阶的非循环正规子群H，都有
$H \bigcap {O^p}(G)$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap {O^p}(G)} \right| > d$
。
证明假设
$G$
是一个阶数最小的反例，记
$U{\rm{ = }}$
${O^p}(G)$
，
$N = P \bigcap U$
，则
$\left| N \right| \leqslant d$
且
$G$
不是
$p$
-超可解群。特别地，
$G$
不是
$p$
-幂零群，则
$N > 1$
。为了方便，记
$\mathcal{H}$
={
$H \vartriangleleft P$
|
$H$
是非循环群且
$\left| H \right| = d$
}。
(1)
${\mathcal{H}} \ne \emptyset$
。假设
$\mathcal{H} = \emptyset$
，也就是P中所有
$d$
阶的正规子群都是循环的。由引理1，P是循环群、二面体群、半二面体群或者广义四元数群。如果P是循环群，由引理2，
$G$
是
$p$
-超可解群，这与假设矛盾。现在假设P是二面体群、半二面体群或者广义四元数群。特别地，
$p = 2$
。如果
$N$
是循环群，由文献[1] Kapitel IV的Satz 2.8得
$U$
是2-幂零群，那么
$G$
也是2-幂零群，矛盾。因此，
$N$
不是循环群。由引理3，可得
$N$
是P中非循环的极大子群且
$\left| N \right| = d$
。那么
$N \in {\cal{H}}$
，与前面的假设
${\cal{H}} = \emptyset $
矛盾。这就证明了
${\mathcal{H}} \ne \emptyset$
。
(2)
${O_{p'}}(G) = 1$
。记
$V = {O_{p'}}(G)$
，假设
$V \ne 1$
。考虑商群
$\overline G = $
${G / V}$
。选取
$H \in {\cal{H}}$
，记
$\overline H = {{HV} / V}$
，则
$\overline H $
是
$\overline P $
的
$d$
阶非循环正规子群。因为
$H \bigcap U$
在
$G$
中
$S$
-半置换，由引理4，有
$\overline H \bigcap {O^p}(\overline G )$
$= \overline H \bigcap \overline U = (H$
${{ \bigcap U)V} / V}$
在
$\overline G $
中
$S$
-半置换。因为
$\left| {\overline P \bigcap \overline U } \right| \leqslant d$
，由归纳法可推出
$\overline G $
是
$p$
-超可解群。因此，
$G$
是
$p$
-超可解群，矛盾。那么，
$V = 1$
。
(3)
$N$
是非循环群且在
$G$
中
$S$
-半置换。假设
$N$
是循环群。如果
$\left| N \right| < d$
，则由
${\cal{H}} \ne \emptyset $
和引理5，存在
$H \in {\cal{H}}$
使得
$N \leqslant H$
。由文献[6]的引理3.3，有
$N = N \bigcap H = $
$H \bigcap U $
在
$U$
中
$S$
-半置换。由文献[6]的引理3.8，则
$U$
是
$p$
-超可解群。特别地，
$U$
是
$p$
-可解群且
$p$
-长为1。由
${O_{p'}}(G) = 1$
，可得
$N$
正规于
$U$
。那么，
$G$
是
$p$
-超可解群，矛盾。如果
$\left| N \right| = d$
。令R是
$N$
的一个极大子群，由引理5，存在
$H \in {\mathcal{H}}$
满足
$R \leqslant H$
，那么
$R = H \bigcap U$
在
$G$
中
$S$
-半置换。由文献[6]的引理3.3，R在
$U$
中也
$S$
-半置换。由文献[6]的引理3.8，可推出
$U$
是
$p$
-超可解群。特别地，
$U$
是
$p$
-可解群且
$p$
-长为1。由
${O_{p'}}(G) = 1$
，可得
$N$
正规于
$U$
。那么
$G$
是
$p$
-超可解群，矛盾。所以，由以上讨论可得
$N$
不是循环群。
因为
$N$
是
$P$
中阶数最多为
$d$
的非循环正规子群，所以存在
$H \in {\mathcal{H}}$
满足
$N \leqslant H \leqslant P$
。那么，
$N = H \bigcap U$
在
$G$
中
$S$
-半置换。
(4) 假设
$\!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉}$
是
$N$
在
$G$
中的正规闭包，则
$G/\!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉} $
是
$p$
-幂零群，特别地，
$G$
是
$p$
-可解群。因为
$\!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉} \!\!\!\!\leqslant$
$ U$
且
$\left| {U: \!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉} }\!\!\!\! \right|$
整除
$p'$
-数字
$\left| {U:N} \right|$
，有
${U / { \!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉} }}$
是
$p'$
-群。进一步，
${G / U}$
是
$p$
-群，所以
${G / { \!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉} }}$
是
$p$
-幂零群。因为
$N$
在
$G$
中
$S$
-半置换，由文献[10]的定理A，
$\!\!\!\!\text{〈} {N^G} \text{〉}$
是可解的。所以，
$G$
是
$p$
-可解群。
(5) T设是
$G$
的一个含于
$U$
的极小的正规子群，则
$T \leqslant N$
且
$G/T$
是
$p$
-超可解群。设T是
$G$
的一个含于
$U$
的极小的正规子群。因为
${O_{p'}}(G) = 1$
且
$G$
是
$p$
-可解群，所以
$T \leqslant N$
，那么
$\left| T \right| \leqslant d$
。
假设
$\left| T \right| \!=\! d$
，则
$T \!=\! N$
。那么，
${G / T}$
是
$p$
-幂零群，得证。
假设
$\:\left| T \right| \; <\; d$
。如果
${\:d / {\left| T \right|}} \;=\; p$
，则
$\left| N \right| = \left| T \right| < d$
或者
$\left| {{N / T}} \right| = {d / {\left| T \right|}} = p$
。如果
$N = T$
，则
${G / T}$
是
$p$
-幂零群，得证。如果
$\left| {{N / T}} \right| = p$
，则由
$G$
是
$p$
-可解群可得
${G / T}$
是
$p$
-超可解群，得证。如果
${p^2} \leqslant $
${d / {\left| T \right|}} \leqslant \left| {{P / T}} \right|$
，令
${H / T}$
是
${P / T}$
中阶为
${d / {\left| T \right|}}$
的正规子群。假设
${P / T}$
中所有
${d / {\left| T \right|}}$
阶的正规子群都是循环群，由引理1，可得
${P / T}$
是循环群、二面体群、半二面体群或者广义四元数群。如果
${P / T}$
是循环群，由
$G$
是
$p$
-可解群可得
${G / T}$
是
$p$
-超可解群，得证。现在假设
${P / T}$
是二面体群，半二面体群或者广义四元数群。特别地，
$p = 2$
。如果
${N / T}$
是循环群，则由文献[1] Kapitel IV的Satz 2.8得
${U / T}$
是2-幂零群，所以
$G/T$
是2-幂零群，得证。如果
${N / T}$
是一个非循环群，则由引理3可得
${N / T}$
是
${P / T}$
的非循环极大子群且
$\left| {{N / T}} \right| = {d / {\left| T \right|}}$
。这与前面的假设
${P / T}$
中所有
${d / {\left| T \right|}}$
阶的正规子群是循环群矛盾。因此，不妨假设
${H / T}$
是非循环群，则
$H \in {\cal{H}}$
。由引理4，
${H / T} \bigcap{O^p}({G / T}) ={H / T} \bigcap {U / T} =$
${{(H \bigcap U)} / T}$
在
${G / T}$
中
$S$
-半置换。这表明
${G / T}$
满足定理中的假设。因为
$\left| {{P / T} \bigcap {U / T}} \right|$
$= \left| {{{(P \bigcap U)} / T}} \right| \leqslant {d / {\left| T \right|}}$
，由归纳法，可推出
${G / T}$
是
$p$
-超可解群，得证。
(6) 最终矛盾。由文献[1] Kapitel VI的Satz 8.6，可知全体
$p$
-超可解群所组成的群类都是饱和群系。因为
$G$
不是
$p$
-超可解群，所以
$T \nleqslant \varPhi (G)$
。令M是
$G$
的一个极大子群满足
$T \nleqslant M$
。那么
$G = TM$
且
$P = T(P \bigcap M)$
。令A是P的一个正规子群满足
$\left| {T:A} \right| = p$
。显然，
$A > 1$
。因为T是
$G$
的极小正规子群，所以T是交换群且
$T \bigcap M \vartriangleleft T$
。又因为
$T \bigcap M \vartriangleleft M$
，则
$T \bigcap M \vartriangleleft G$
，所以
$T \bigcap M = 1$
。那么
$A(P \bigcap M)$
是P的一个极大子群，令B是P中
$d$
阶的正规子群满足
$A < B \leqslant $
$A(P \bigcap M)$
。如果
$B \leqslant M$
，则
$A \leqslant M$
。因为
$A \bigcap M$
$ \leqslant $
$T \bigcap M = 1$
，所以A=1，矛盾。那么，
$B \nleqslant M$
。因为
$B = A(B \bigcap M)$
，所以B是非循环群，由定理中的假设可知
$B \bigcap$
$U$
在
$G$
中
$S$
-半置换。由引理6，可得
$U$
正规化
$B \bigcap T = B \bigcap U \bigcap T$
。因为
$T \bigcap M = 1$
，所以
$B \bigcap T \leqslant T\bigcap AM = A$
。又因为
$A \leqslant B \bigcap T$
，所以
$U$
正规化
$A = B \bigcap T$
。那么A正规于
$G = PU$
，这与T是
$G$
的极小正规子群矛盾。证毕。
定理5 设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^2} \leqslant $
$d < \left| P \right|$
。若对P中所有
$d$
阶非循环的正规子群H，都有
$H \bigcap {O^p}({G^*})$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap {O^p}({G^*})} \right| > d$
。
证明由定理1，不妨假设
${G^{\rm{*}}} < G$
。假设
$G$
是一个阶数最小的反例。记
$U = {O^p}({G^*})$
，
$N = P \bigcap U$
。那么，
$\left| N \right| \leqslant d$
且
$G$
不是
$p$
-超可解群。如果
$N = 1$
，则
${G^*}$
是
$p$
-幂零群，即
$G$
是
$p$
-超可解群，与假设矛盾。所以，
$N > 1$
。为了方便，记
${\cal{H}}$
={
$H \vartriangleleft P$
|
$H$
是非循环群且
$\left| H \right| = d$
}。
(1)
${\cal{H}} \ne \emptyset $
。假设
${\cal{H}} = \emptyset $
，也就是P中所有
$d$
阶的正规子群都是循环的。由引理1，P是循环群、二面体群、半二面体群或者广义四元数群。如果P是循环群，由引理7，
$G$
是
$p$
-超可解群，矛盾。现在假设P是二面体群、半二面体群或者广义四元数群。特别地，
$p = 2$
。如果
$N$
是循环群，由文献[1] Kapitel IV的Satz 2.8得
$U$
是2-幂零群，那么
${G^{\rm{*}}}$
是2-幂零群，即
$G$
是2-超可解群，矛盾。由此得到
$N$
不是循环群。由引理3，可得
$N$
是P中非循环的极大子群且
$\left| N \right| = d$
。那么
$N \in {{H}}$
，与前面的假设
${\cal{H}} = \emptyset $
矛盾。这就证明了
${\mathcal{H}} \ne \emptyset $
。
(2)
${O_{p'}}(G) = 1$
。记
$V = {O_{p'}}(G)$
，假设
$V \ne 1$
。考虑商群
$\overline G {{ = G} / V}$
。选取
$H \in {\cal{H}}$
，记
$\overline H = {{HV} / V}$
，则
$\overline H $
是
$\overline P $
的
$d$
阶非循环正规子群。因为
$H \bigcap U$
在
$G$
中
$S$
-半置换，所以由引理4、引理8和引理9，可得
$\overline H \bigcap$
${O^p}({(\overline G )^*}) = \overline H \bigcap$
$\overline U =$
${{(H \bigcap U)V} / V}$
在
$\overline G $
中
$S$
-半置换。因为
$\left| {\overline P \bigcap \overline U } \right| \leqslant d$
，由归纳法可推出
$\overline G $
是
$p$
-超可解群。因此，
$G$
是
$p$
-超可解群，矛盾。那么，
$V = 1$
。
(3)
$P \vartriangleleft G$
，特别地，
$G$
是
$p$
-可解群。由文献[5]的引理2.2(4)，
${G^{\rm{*}}}$
满足定理中的假设。由归纳法，
${G^{\rm{*}}}$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap {O^p}({{({G^*})}^*})} \right| >$
$ d$
。如果
$\left| {P \bigcap {O^p}({{({G^*})}^*})} \right| > d$
，则
$\left| {P \bigcap {O^p}({G^*})} \right| \geqslant$
$\big| P \bigcap$
$ {{O^p}({{({G^*})}^*})} \big| > d$
，定理得证。所以，
$G{}^{\rm{*}}$
是
$p$
-超可解群。因为
${O_{p'}}(G) = 1$
，则
$P \vartriangleleft G$
。特别地，
$G$
是
$p$
-可解群。
(4) 设T是
$G$
的一个含于
$U$
的极小正规子群，则
$T \leqslant N$
且
$G/T$
是
$p$
-超可解群。设T是
$G$
的一个含于
$U$
的极小正规子群，由
${O_{p'}}(G) = 1$
和G是p-可解群，可得
$T \leqslant N$
。因此，
$\left| T \right| \leqslant d$
。
假设
$\left| T \right| = d$
，则
$T = N$
。由文献[11]的引理2.1可得
${G / T}$
是
$p$
-超可解群，得证。假设
$\left| T \right| < d$
。如果
${d / {\left| T \right|}} = p$
，则
$\left| N \right| = \left| T \right| < d$
或
$\left| {{N / T}} \right| = {d / {\left| T \right|}} = p$
。如果
$N = T$
，由文献[11]的引理2.1可得
${G / T}$
是p-超可解群，得证。如果
$\left| {{N / T}} \right| = p$
，由
$G$
是
$p$
-可解群和文献[11]的引理2.1可得
${G / T}$
是
$p$
-超可解群，得证。如果
${p^2} \leqslant {d / {\left| T \right|}} \leqslant \left| {{P / T}} \right|$
，令
${H / T}$
是
${P / T}$
中阶为
${d / {\left| T \right|}}$
的正规子群。假设
${P / T}$
中所有
${d / {\left| T \right|}}$
阶的正规子群都是循环群。由引理1，
${P / T}$
是循环群、二面体群、半二面体群或者广义四元数群。如果
${P / T}$
是循环群，由
$G$
是
$p$
-可解群可得
${G / T}$
是
$p$
-超可解群，得证。现在假设
${P / T}$
是二面体群、半二面体群或者广义四元数群。特别地，
$p = 2$
。由引理9，可得
${N / T} = {P / T} \bigcap$
$ {O^p}{({{(G} / T})^*})$
。如果
${N / T}$
是循环群，则由文献[1] Kapitel IV的Satz 2.8得
${O^p}{({{(G} / T})^*})$
是2-幂零群，所以
${{(G} / T}{)^*}$
是2-幂零群，也就是
${G / T}$
是2-超可解群，得证。如果
${N / T}$
是一个非循环群，则由引理3可得
${N / T}$
是
${P / T}$
的非循环极大子群且
$\left| {{N / T}} \right| = {d / {\left| T \right|}}$
。这与前面的假设
${P / T}$
中所有
${d / {\left| T \right|}}$
阶的正规子群是循环群矛盾。因此，假设
${H / T}$
是非循环群，则
$H\in {\cal{H}}$
，那么
${H / T} \bigcap {O^p}({({G / T})^*}) = {H / T} \bigcap$
${U / T} ={(H \bigcap U)} { / T}$
在
${G / T}$
中
$S$
-半置换。这表明
${G / T}$
满足定理中的假设。因为
$\left| {{P / T} \bigcap {U / T}} \right| = \left| {{{(P \bigcap U)} / T}} \right| \leqslant {d / {\left| T \right|}}$
，由归纳法，可推出
${G / T}$
是 p-超可解群，得证。
(5) 最终矛盾。因为
$G$
不是
$p$
-超可解群，所以
$T \nleqslant \varPhi (G)$
。令
$M$
是
$G$
的一个极大子群满足
$T \nleqslant M$
。那么
$G = $
$TM$
且
$P = T(P \bigcap M)$
。令A是P的一个正规子群满足
$\left| {T:A} \right| = p$
。显然，A>1。因为T是
$G$
的极小正规子群，所以
$T \bigcap M = 1$
。那么，
$A(P \cap M)$
是
$P$
的一个极大子群。令B是P中
$d$
阶的正规子群满足A<B
$ \leqslant A(P \cap M)$
。如果
$B \leqslant M$
，则
$A \leqslant M$
。因为
$A \bigcap$
$M \leqslant T \bigcap M = 1$
，所以A=1，矛盾。那么，
$B \nleqslant M$
。因为
$B = A(B \bigcap M)$
，所以B是非循环群，那么
$B \bigcap U$
在
$G$
中
$S$
-半置换。由引理6，可得
$B \bigcap T$
$= B \bigcap U \bigcap T \vartriangleleft {O^p}(G)$
。因为
$T \bigcap M = 1$
，所以
$B \bigcap T \leqslant$
$T \bigcap AM = A$
。因为
$A \leqslant B \bigcap T$
，所以
${O^p}(G)$
正规化
$ A = $
$B \bigcap T$
。那么，
$A \vartriangleleft G$
，这与
$T$
是
$G$
的极小正规子群矛盾。证毕。
定理6 设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，P是非循环群且
$\left| P \right|$
$> {p^3}$
，若对
$P$
中所有非循环的极大子群H，都有
$H \bigcap $
$ {O^p}({G^{\rm{*}}})$
在中S-半置换，则G是 p -超可解群。
证明 由文献[6]的引理2.3(a)，可知P中存在非循环的极大子群。记
$U = $
${O^p}({G^{\rm{*}}})$
，由定理5有
$\left| {P \bigcap U} \right| = P$
，则
$U = {G^{\rm{*}}}$
。因为
${G^*}$
包含
$G$
中所有的
${\rm{Sylow}}$
p-子群，所以
$H \leqslant {G^*}$
。这说明P中所有非循环的极大子群
$H(\left| H \right| \geqslant {p^3})$
都在G中
$S$
-半置换，由文献[6]的定理D可知
$G$
是
$p$
-超可解群。
定理7 设
$p$
是一个整除群
$G$
的阶的素数，
$E \vartriangleleft G$
，
$P$
是
$E$
的非循环
${\rm{Sylow}}$
p-子群，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^3} \leqslant d < \left| P \right|$
。若对
$P$
中所有
$d$
阶的非循环子群H，都有
$H \bigcap {O^p}({G^{\rm{*}}})$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则E下的
$p$
-
$G$
-主因子都是循环的。
证明 由文献[6]的引理2.3(a)，可知P中存在
$d$
阶的非循环子群。记
$V = {O_{p'}}(E)$
，假设
$V > 1$
。考虑商群
${{\overline G = G} / V}$
。H是P中
$d$
阶的非循环子群，记
$\overline H = $
${{HV} / V}$
，则
$\overline H $
是
$\overline P $
的
$d$
阶非循环子群。因为
$H \bigcap$
${O^p}(G^{\rm{*}})$
在
$G$
中
$S$
-半置换，由引理4、引理8和引理9有
$\overline H \bigcap {O^p}({(\overline G )^*}) =$
$(H \bigcap {O^p}({G^{\rm{*}}})){V / V}$
在
$\overline G $
中
$S$
-半置换。因为
$V > 1$
，则由归纳法可得
${E / V}$
下的
$p$
-
${G / V}$
-主因子都是循环的，那么E下的
$p$
-
$G$
-主因子都是循环的，定理得证。因此，不妨假设
$V = {O_{p'}}(E) = 1$
。由文献[5]的引理2.2(4)和文献[6]的引理3.3可得，对P中所有
$d$
阶的非循环正规子群H，都有
$H \bigcap {O^p}({E^{\rm{*}}})$
在
$E$
中
$S$
-半置换。由文献[11]的引理3.2，E是
$p$
-超可解群。特别地，E是
$p$
-可解群且
$p$
-长为
$1$
。又因为
${O_{p'}}(E) = 1$
，所以P是E的正规
${\rm{Sylow}}$
p-子群。因为
$E \vartriangleleft G$
，所以
$P \vartriangleleft G$
。由文献[7]的定理1.9，P下的
$G$
-主因子都是循环的，所以E下的
$p$
-
$G$
-主因子都是循环的。证毕。
3 推广
由文献[5]的引理2.2(4)，并结合定理5、定理6或定理7，易得以下推论。
推论1 设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，
$d$
为
$p$
的方幂满足
${p^2} \leqslant $
$ d$
$ < \left| P \right|$
，
${O^p}({G^{\rm{*}}}) \leqslant L \leqslant G$
。若对P中所有
$d$
阶非循环的正规子群H，都有
$H \bigcap L$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则
$G$
是
$p$
-超可解群或者
$\left| {P \bigcap L} \right| > d$
。
推论2 设
$P \in {\rm{Sy}}{{\rm{l}}_p}(G)$
，P是非循环群且
$\left| P \right|$
$ > {p^3}$
，
${O^p}({G^{\rm{*}}}) \leqslant L \leqslant G$
。若对P中所有非循环的极大子群H，都有
$H \bigcap L$
在
中
$S$
-半置换，则
$G$
是
$p$
-超可解群。
推论3 设
$p$
是一个整除群
$G$
的阶的素数，
$E \vartriangleleft G$
，
$P$
是E的非循环
${\rm{Sylow}}$
p-子群，
$d$
为
$p$
的方幂满足
$ {p^3} \leqslant$
$ d < \left| P \right|$
，
${O^p}({G^{\rm{*}}}) \leqslant L \leqslant G$
。若对P中所有
$d$
阶的非循环子群H，都有
$H \bigcap L$
在
$G$
中
$S$
-半置换，则E下的
$p$
-
$G$
-主因子都是循环的。
2020, Vol. 37
