光子晶体是一种由不同介电常数的材料组成并在空间中呈周期性分布的微型结构，在1987年由E.Yablonovitch^[1]提出。同年间，S. John^[2]又提出光子能带结构理论。光子晶体存在能带带隙，而频率处于带隙中的光子将无法传播，此特性与半导体特性相似，从而达到控制光传播的作用。因此，光子晶体的应用价值和应用前景非常广阔。如制作太赫兹频段器件^[3]、光滤波器件^[4]，设计全向反射镜^[5]、超宽频带天线^[6]，或是应用在太阳能能源领域^[7]。

光子晶体在自然界中的存在极少，通常通过人工制备，其制备方法包括机械制备法^[8]、多光束激光全息光刻法^[9]、化学刻蚀法^[10]、胶体自组装密堆积法^[11]等。其中激光全息干涉法是最为有效的方法之一，通过多束干涉激光干涉成有效的光子晶格。其主要原理是光折变效应，当光束入射光子晶体时，光束诱导光子晶体折射率发生变化。光子晶体是一种光敏感材料，采用周期干涉光照射背景光子晶体时，即形成光子晶格。当需要调节光子晶格的参数时，只需要调节干涉激光的参数，例如入射角、方位角、相位等等。其较于其他制备光子晶体的方法，具有参数可调、成本低、制备效率高等优点^[9,12-15]。

如果直接进行实验研究，效率往往很低，因此在进行实验之前，理论的计算仿真必不可少。如今针对光学理论计算仿真的软件较多，在光子晶格工作中常使用Matlab进行数值仿真^[16-18]，但Matlab软件对每次计算都需要重新进行一系列的代码编辑，因此需要将功能集成化。本文使用Matlab GUI(Graphic User Interface)设计了一个基于涡旋光模拟仿真多束光束干涉形成光子晶格的软件，该软件对于仿真螺旋光子晶格类型结构拥有干涉方法新颖、可调参数多、用户交互方式丰富的优势。通过调节输入干涉光束参数，一键生成对应的二维或三维晶格，操作简单，结果直观，不仅保留了仿真优势，降低了使用难度，而且相对于单一的数值模拟而言集成了许多用户功能。

在本文的第一部分，以7束光干涉形成纵向螺旋的光子晶格为例，构建了多光束干涉的理论模型；第二部分，结合GUI功能的说明与展示，实验分析了上述模型中干涉光束的不同参数对光子晶格影响；最后一部分是对分析内容的总结。

1 干涉理论模型

满足一定条件的两束光波在空间中相叠加后某些点的振幅加强而某些点的振幅减弱，形成光强分布规则的现象称为光的干涉。自托马斯·杨(Thomas Young)通过杨氏双缝干涉发现光的干涉性质至今，光的干涉在各个行业都有广泛的应用。而全息干涉法则是最为常见的光干涉应用。

全息干涉法中，通过若干光束在空间发生干涉后，形成新的干涉光波，由于光波往往具有周期性的结构，通过干涉光波与介质的相互作用，即可在材料中形成空间周期性的折射率变化的微纳结构。同时，通过对输入光束参数的更改，可以实现对于不同光子晶体结构的设计。多光束干涉理论数学模型基于光的电磁理论，对于一般光束而言，其光场E可由式(1)表示。从式(1)可以看出，光场的分布是关于时间 $t$ 和空间位置 $\vec r$ 的函数。其中 ${A_0}$ 是振幅大小， $\phi $ 是其初相位， $\omega $ 是角频率， $\vec k$ 为波矢， $\hat e$ 为偏振矢量。

$E = {A_0}\cos ({\omega }t - {\vec k} \cdot \vec r + {\phi })\hat e$

(1)

涡旋光是一种具有相位结构的特殊光场，其光场E如式(2)所示，式中 $\varphi $ 为方位角， $l$ 为拓扑数， ${E_0}$ 表示初始光场， $k$ 为波数， $z$ 表示传播距离，项 $\exp ( - {\rm{i}}l\varphi )$ 是光场的相位因子。涡旋光在中心区域的振幅为0，波前呈现螺旋态。因为这种特殊的物理结构性质，在现代光学中都有广泛的应用。涡旋光的最大应用价值在于光束在传播的过程中，绕光轴旋转的每个光子都具有与螺旋相位结构相关的光子轨道角动量量子数 $l$ ，即为拓扑荷数。与传统的高斯光束相比，涡旋光在径向为螺旋态，并非均匀分布，在空间上多出一个维度，提供了巨大的研究价值和强力的研究工具，在实验上可通过计算全息法、螺旋相位板法和模式转换法等方法产生涡旋光。

$E(\vec r ,\phi ,z) = {E_0}(\vec r ,\varphi)\exp ( - {\rm{i}}l\varphi )\exp ( - {\rm{i}}kz)$

(2)

多光束干涉理论在现在已经非常成熟，早已推导出有相应的干涉理论公式。现假设有若干光束相互干涉，则干涉结构光强分布关系式如式(3)所示。从式(3)可以看出，影响干涉结构光强分布的参数有各光束的入射角度 $\theta $ 、波长 $\lambda $ 、空间位置 $\vec r$ 、方位角 $\psi $ (光束在 $xoy$ 平面投影与 $x$ 轴的夹角与波矢有关)、任意光束 ${k_i}$ 及光束 ${k_j}$ 的电矢量 ${E_i}$ 和 ${E_j}$ 及它们之间的波矢差 $\left( {{{\vec k}_i} - {{\vec k}_j}} \right)$ 与相位差 $({\phi _i} - {\phi _j})$ ，以及涡旋光束的旋向、拓扑荷数等，对上述参数进行调试就可以生成新的干涉结构，本文的目的则是模拟调节参数，研究制备不同光子晶体结构。

$I\left( {\vec r} \right) \!= \!\! \sum\limits_{i = 1}^N {\left( {\frac{1}{2}{E_i}^2(\vec r) +\!\! \sum\limits_{j > 1}^N {{E_i}{E_j}{\hat e_{ij}}} \cos \left( {\left( {{{\vec k}_i} - {{\vec k}_j}} \right) \cdot \vec r +\! ({\phi _i} \!-\! {\phi _j})} \right)} \right)} $

(3)

多光束干涉成光子晶格的理论模型如图1所示，干涉模型以涡旋光束 ${k_c}$ 为中心光束，其余6束干涉光束 ${k_i}$ 伞形环绕 ${k_c}$ 分布入射。中心涡旋光沿 $z$ 轴垂直入射到 $xoy$ 平面上( ${\theta _{\text{中心光}}} = 0^\circ $ )，其余6束干涉光束从相同的入射角 $\theta $ (与 $z$ 轴的夹角)入射且在横向上为对称分布。在下文中，将分别讨论干涉光束的参数对干涉的光子晶格的影响。

2 不同参数下的光子晶格仿真 2.1 GUI仿真界面设计

本文采用Matlab软件进行计算机模拟仿真并进行GUI界面设计。如图2所示，不同的颜色区域表示不同的光场强度。仿真界面包括干涉参数设置、仿真图像显示、用户处理几个部分。使用者对光束数目、偏向角、偏振度(以琼斯矩阵表示)、光束振幅强度、初始相位、入射角度以及波长、曝光阈值等参数进行设置，即可实现不同的光子晶体结构的仿真，并且可对图像以及输入的数据进行保存等操作。

2.2 中心光束对光子晶格的影响

在上述的干涉理论模型中，若无中心光束的伞状分布干涉往往会形成二维平面上单调的阵列型干涉图样；而存在中心光束时，干涉光强分布在纵向上也会存在周期性变化，下面以无中心光束的6束光干涉和添加了中心涡旋光束的6+1束光干涉生成的光子晶格为例进行仿真。

由图3(Ⅰ-Ⅱ)可以看出，无中心光束下的6束光干涉光强在 $x-y$ 平面上呈阵列分布，纵向上无变化；而添加一束中心涡旋光束后的6+1束光干涉光强分布中，其横向截面图形与无中心光束下的干涉光强类似，均为六边形结构，但在纵向上存在着周期性变化，并由 $x-z$ 平面图可以看出，由于涡旋光束的特性，每个光波导结构均成螺旋状，具体参数配置如表1所示。因此，中心光束的存在可以在原有横向平面中的周期光强分布基础上再添加一个纵向的周期变化，在实际的光子晶体结构制备过程时，通过加入适当参数的中央涡旋光束可以实现螺旋光子晶体结构。

2.3 干涉光方位角对光子晶格影响

光束的方位角指各干涉光束在 $xoy$ 平面上投影与 $x$ 轴的夹角，对于6+1束光的干涉中，其伞状环绕光束 ${k_1}$ 、 ${k_2}$ 、 ${k_3}$ 、 ${k_4}$ 、 ${k_5}$ 、 ${k_6}$ 的方位角 ${\psi _i}$ 分别以30°，90°，150°，210°，270°和330°分布；而中心光束垂直于 $xoy$ 平面，无方位角，因此改变方位角只影响 $x-y$ 平面的干涉图形。基于表1中参数，固定光束 ${k_1}$ ~ ${k_5}$ 的方位角度数，调节 ${k_6}$ 的方位角度数为325°、330°、335°进行仿真，仿真结果图如图4所示。由图4可知，当 ${k_6}$ 越接近330°即每束光束的方位角越接近于对称分布时，生成的光子晶格中的相邻的光波导形状更加相近，光子晶体结构的分布更加规则和对称。而当方位角不成对称分布时会破坏光子晶格对称性，在实际光子晶体结构的制备中可以通过设置对称方位角生成规则对称的光子晶格。

2.4 偏振度对光子晶格的影响

偏振度对光子晶格的影响主要表现在影响光强极值分布位置的改变，因此会对干涉图像的对比度产生影响。基于表1中参数，保持光束 ${k_1}$ ~ ${k_5}$ 的偏振度不变，改变 ${k_6}$ 的偏振度 ${P_\theta }$ 使其分别为：30°、90°、150°，并进行仿真，结果如图5所示。由图5可知，在光强阈值相同的情况下，随着 ${k_6}$ 光束偏振方向的改变，光子晶格的周期没有发生改变，即偏振不影响光子晶格的周期，但是相对于原来的六边形光子晶格而言，其他的光子晶格产生了不同的形状变化，即光束偏振态影响了干涉光强的分布情况，进而使得生成的光子晶体结构发生变化。为了使得干涉条纹的对比度达到最好的效果，往往需要对光束的偏振进行参数调试后根据情况选择合适的光强阈值，从而获得更为合适的光子晶体结构。

2.5 入射角对光子晶格的影响

入射角 $\theta $ 指环绕干涉光束与 $z$ 轴之间的夹角，其取值范围为0°~90°，入射角度的改变会影响螺旋光子晶格结构的纵向周期 ${T_{\rm{v}}}$ (螺距)，以及横向周期 ${T_{\rm{h}}}$ (螺径)^[19]，如式(4)和式(5)所示，其中n为介质折射率。

${T_{\rm{v}}} = \frac{\lambda }{{2 \times n \times {{\sin }^2}(\theta /2)}}$

(4)

${T_{\rm{h}}} = \frac{\lambda }{{\sin 60^\circ \sin {\theta } \times n}}$

(5)

由式(4-5)可知，当波长λ一定时，入射角的增大会使螺距及螺径变小(即纵向周期和横向周期变小)。基于表1中参数，令拓扑荷数 $l = 0$ ，入射角度 $\theta $ 分别等于5.4°，10.6°，固定其他参数，并进行仿真，结果如图6所示。由图6可知，仿真结果与分析结果一致，随着入射角的不断增大，螺距以及螺径不断减小，同理可知当入射波长不断变小时也会产生同样结果。

2.6 拓扑荷数对光子晶格的影响

如果螺距过长，往往不能很好地发挥螺旋光子晶格特性，而如果通过入射角、波长来改变螺距又会使螺径的大小同时发生改变。基于涡旋光干涉的光干涉模型可以在调节涡旋光束拓扑荷数参数时仅对螺距进行改变。由式(2)可知，若保持涡旋光电场的相位因子 $\exp ( - {\rm{i}}l\varphi )$ 中的相位值不变，那么相位因子会随着拓扑荷数 $l$ 的增大而呈现周期性变化，当涡旋光参与光束干涉时， $l$ 的增大也同样会使干涉光强呈现一定的周期性变化。基于表1中参数，将涡旋光束拓扑荷数 $l$ 分别设置为2和4并进行仿真，结果如图7所示。随着拓扑荷数的改变，光子晶格的螺距(纵向周期)发生改变，而其横截面形状并无变化。结合涡旋光电场相位因子中的相位值设置，可以通过改变中央涡旋光束拓扑荷数的方式改变螺旋光子晶格的纵向螺距。

3 总结

本文提出了一种基于Matlab GUI的三维光子晶格模拟方法，并通过对涡旋光参数、方位角、光束偏振度、入射角等参量对光子晶格产生的影响进行了仿真分析，由结果可知，中间涡旋光束的添加可以生成螺旋光子晶格并为其添加一个纵向周期，改变涡旋光拓扑荷数可以进行晶格螺距的调节；光束的方位角影响了光子晶格的规则性和对称性；光束偏振度影响了干涉光强分布情况进而影响光子晶格形状；增大环绕光束的入射角会使螺旋光子晶格螺距、螺径减小，使结构更紧密。通过该研究不仅证明了基于Matlab GUI的计算机仿真方法的灵活高效，并对入射光束参量对光子晶格的影响有更清晰的认知，对实际研究制备螺旋光子晶格或者一般光子晶格结构具有重要参考意义。