拓扑压作为拓扑熵的延伸，于1973年由Ruelle^[1]首次提出，后又由Walters^[2]进一步将其推广到紧致度量空间上，并对连续映射的拓扑压进行研究，其反映动力系统的复杂程度，是分形几何与动力系统方向非常重要的研究内容。随着研究问题的深入，传统拓扑熵与拓扑压的研究被打破，越来越多新的研究出现。例如，1984年，Pesin^[3]利用Carathéodory 结构研究了非紧致子集的拓扑压和变分原理，1996年，L. Barreira^[4]在Pesin^[3]研究基础上给出了紧致度量空间中任意子集的任意函数系列的拓扑压，胡超杰，马东魁^[5]对一些紧致系统的拓扑序列熵和广义specification性质进行了研究。Biś^[6]和Bufetov^[7]分别给出了紧致度量空间上有限个连续映射构成的半群的拓扑熵的定义，在此基础上, Ma等^[8]和Lin等^[9]分别推广了紧致度量空间上有限个连续映射构成的自由半群的拓扑压. 另一方面， ${\rm{Patr\tilde ao}}$ ^[10]给出了度量空间中一个映射的拓扑 $d$ -熵及真映射拓扑熵的概念。在这些基础上，结合Lin^[9]给出的紧致度量空间下自由半群的拓扑压的定义推广得到Bufetov^[7]意义下真映射生成自由半群的拓扑压，本文给出了按照Biś^[6]意义下有限个真映射构成半群的拓扑压的概念并且进一步得出这两种拓扑压之间的关系，最后证明局部紧致可分度量空间有限个真映射构成的半群的拓扑压和它的一点紧化空间上的拓扑压对应相等。

1 预备知识

首先给出真映射、可容许覆盖和可容许度量的概念，这些是由 ${\rm{Patr\tilde ao}}$ ^[10]提出的。

设 $X$ 为拓扑空间， $T:X \to X$ 为连续映射，若 $X$ 的任意紧致子集在 $T$ 下的原像为紧致子集，则称 $T$ 为真映射。对 $X$ 的任意的有限开覆盖 ${{u}}$ 满足，对每一个 $A \in {{u}}$ ， $A$ 的闭包或补集为紧致的，则称 ${{u}}$ 为 $X$ 的可容许覆盖。

设 $(X,d)$ 为度量空间，用 $B(x,\delta )$ 表示圆心为 $x$ 半径为 $\delta $ 的开球，其中 $\delta > 0$ 。称 $d$ 为可容许的，若 $d$ 满足：

(1) 若对每一个 $\delta \in (a,b)$ ，其中 $0 < a < b$ ， ${\alpha _\delta } = \{ B({x_1},$ $\delta ),\cdots,B({x_k},\delta )\} $ 是 $X$ 的开覆盖，则存在 ${\delta _\varepsilon } \in (a,b)$ 满足 $ {\alpha _{{\delta _\varepsilon }}}$ 在是可容许覆盖。

(2) $X$ 的每一个可容许覆盖都有Lebesgue数。

易知当 $(X,d)$ 为紧致的，度量 $d$ 为可容许度量。

下面回顾一下真映射生成半群的拓扑压的概念：

设 $(X,d)$ 为度量空间， ${f_i}\;:\;X \to X$ 为真映射 $(i = 0,1, \cdots ,m - 1)$ ，记 ${G'_1} = \{ {f_0},{f_1}, \cdots ,{f_{m - 1}}\} $ ，用 $G'$ 表示由 ${G'_1}$ 生成的半群。记 $F_m^ + = \{ \omega |\omega = {\omega _0}{\omega _1} \cdots {\omega _k},{\omega _i} =$ $ 0,1, \cdots ,m - 1\} $ 。若存在 $\omega '' \in F_m^ + $ 满足 $\omega = \omega ''\omega '$ ，记为 $\omega ' \leqslant \omega $ 。对 $\omega \in F_m^ + $ ， $\omega = {\omega _1}{\omega _2} \cdots {\omega _k}$ ，记 $|\omega | = k$ ， ${f_\omega } = {f_{{\omega _1}}}{f_{{\omega _2}}} \cdots {f_{{\omega _k}}}$ ，则显然 ${f_\omega }_{\omega '} = {f_\omega }{f_{\omega '}}$ 。对每一个 $\omega \in F_m^ + $ ，X上的度量定义为

$ {d_\omega }({x_1},{x_2}) = \mathop {\max }\limits_{\omega ' \leqslant \omega } d({f_{\omega '}}({x_1}),{f_{\omega '}}({x_2})) $

对任意的 $\omega \in F_m^ + $ 和 $\varepsilon > 0$ ， $X$ 的子集 $F$ 称为 $X$ 的 $(\omega ,\varepsilon ,X,{G'_1})$ 张成集，若对每一个 $x \in X$ ，存在 $y \in F$ 满足 ${d_\omega }(x,y) \leqslant \varepsilon $ 。记 $X$ 的所有 $(\omega ,\varepsilon ,X,{G'_1})$ 张成集的最小基数为 $r(\omega ,\varepsilon ,X,{G'_1})$ ， $({S_\omega }\varphi )(x) = \sum\limits_{\omega ' \leqslant \omega } {\varphi ({f_{\omega '}}(x))} $ ， $\varphi \in UC(X,R)$ 其中 $UC(X,R)$ 表示 $X \to R$ 的所有实值一致连续函数的集合，定义

$\begin{array}{l} {Q_\omega }(G_1^{'},\varphi ,X,\varepsilon ) = \\ \inf \left\{ {\sum\limits_{x \in F} {{{\rm{e}}^{({S_\omega }\varphi )(x)}}|F{\text{是}}X{\text{的一个}}(\omega ,\varepsilon, X,G_1^{'} ){\text{张成集}}} } \right\} \end{array}$

$ {Q_n}(G_1^{'},\varphi ,X,\varepsilon ) = \frac{1}{{{m^n}}}\sum\limits_{|\omega | = n} {{Q_\omega }(G_1^{'},\varphi ,X,\varepsilon )} $

$ Q(G_1^{'},\varphi ,X,\varepsilon ) = \mathop {\lim {\rm{sup}}}\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\log {Q_n}(G_1^{'},\varphi ,X,\varepsilon ) $

定义1 真映射生成半群拓扑压定义为

$ {P_1}(G_1^{'},\varphi ) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} Q(G_1^{'},\varphi ,X,\varepsilon ) $

2 本文定义的拓扑压及主要结果

基于Biś意义下的定义, 设 $(X,d)$ 为度量空间， ${f_i}:X \to X$ 为真映射 $(i = 0,1,\cdots,m - 1)$ ，记 ${G_1} = \{ idx,{f_{0,}}$ ${f_{1,}}{\cdots,}{f_{m - 1}}\} $ ，其中 $idx$ 为恒等映射。对任意的 $n \in {\mathbb{N}}$ ，记 $G{\rm{ = }}\mathop \cup \limits_{{\rm{n}} \in {\mathbb{N}}} {G_n}$ ， ${G_n} = \{ {g_1} \circ {g_2} \circ \cdots \circ {g_n}:{g_{1,}}{\cdots_,}{g_n} \in {G_1}\} $ ，则有 ${G_m} \subset {G_n}(m \leqslant n),m,n \in {\mathbb{N}}$ 。记 $G$ 为由 ${G_1}$ 成的半群。定义 $X$ 上一个新度量

$d_{\max }^n(x,y) = \max \{ d(g(x),g(y)):g \in {G_n}\} $

对任意的 $\varepsilon > 0,n \in {\mathbb{N}},$ $E$ 称为 $X$ 的 $(n,\varepsilon, X,G_1 )$ 张成集，若对任意的 $x \in {\mathbb{N}}$ ，存在 $y \in E$ 满足 $d_{\max }^n(x,y) \leqslant \varepsilon $ ，记 $X$ 的所有 $(n,\varepsilon, X,G_1 )$ 张成集的最小基数为 $r(n,\varepsilon ,X,{G_1})$ 。

设 $(X,d)$ 为一个度量空间， $G$ 是由集合 ${G_1} = \{ idx,{f_0},{f_1},\cdots,{f_{m - 1}}\} $ 生成的半群，其中 ${f_i}:X \to X$ 为真映射 $(i = 0,1,\cdots,m - 1)$ ， $\varphi \in UC(X,R)$ ，记 $({S_n}\varphi )(x) =$ $\displaystyle \sup \{ \varphi (x) + \sum\nolimits_{i = 1}^{n - 1} {\varphi (} {f_1} \circ \cdots \circ {f_i}(x)):{f_1} \circ {f_2} \circ {\cdots_,}{f_{n - 1}} \in {G_{n - 1}}\} $ 令

$\begin{array}{l} {Q_n}({G_1},\varphi ,X,\varepsilon ) =\\ \inf \left\{ {\sum\limits_{x \in E} {{{\rm{e}}^{({S_\omega }\varphi )(x)}}|E{\text{是}}X{\text{的一个}}(n,\varepsilon, X,G_1 ){\text{张成集}}} } \right\} \end{array}$

注：若 ${\varepsilon _1} < {\varepsilon _2}$ ，则 ${Q_n}({G_1},\varphi ,X,{\varepsilon _1}) \geqslant {Q_n}({G_1},\varphi ,X,{\varepsilon _2})$ ，从而 $Q({G_1},\varphi ,X,{\varepsilon _1}) \geqslant Q({G_1},\varphi ,X,{\varepsilon _2})$ 。

定义2 Biś^[3]意义下真映射生成半群拓扑压定义为

$ {P_2}({G_1},\varphi ) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} Q({G_1},\varphi ,X,\varepsilon ) $

注：当 $(X,d)$ 为紧致度量空间时， ${P_2}({G_{\rm{1}}},\varphi )$ 与Ma等^[8]中定义的拓扑压 $P({G_{\rm{1}}},\varphi )$ 相同。

下面证明局部紧致可分度量空间上有限个真映射生成的自由半群作用的拓扑压和它的一点紧化空间上对应的拓扑压相等，以Biś^[6]意义下真映射半群拓扑压为例。

令 $X$ 为局部紧致可分度量空间，它的一点紧化空间记为 $\tilde X$ ， ${f_i}:X \to X$ $(i = 0,1, \cdots ,m - 1)$ 为真映射。定义 ${\tilde f_i}:\tilde X \to \tilde X$

$ {\tilde f_i}(\tilde x) = \left\{ \begin{array}{l} {f_i}(\tilde x),\;\;\;\tilde x \ne \infty \\ \infty ,\;\;\;\;\;\;\;\;\tilde x{\rm{ = }}\infty \end{array} \right. $

则 ${\tilde f_i}$ 是 ${f_i}$ 到 $\tilde X$ 上的扩张。由文献[10]中性质2.3可知 ${\tilde f_i}$ 也为真映射，注意到 $X$ 的可分性等价于 $\tilde X$ 的可度量性，用 $\tilde G$ 表示由 ${\tilde G_1} = \{ idx,{\tilde f_0},{\tilde f_1}, \cdots ,{\tilde f_{m - 1}}\} $ 成的半群， $\varphi $ 可连续延拓到 $\tilde X$ 上记为 $\tilde \varphi ,$ 即 $\tilde \varphi {|_X} = \varphi $ 。

定理1 设 $X$ 为一个局部紧致可分度量空间， $\tilde X$ 为 $X$ 的一点紧化空间。度量 $d$ 是 $\tilde X$ 上的度量 $d$ 在 $X$ 上的限制。 $G$ 是由集合 ${G_1} = \{ idx,{f_0},{f_1}, \cdots ,{f_{m - 1}}\} $ 成的半群， ${f_i}:X \to X,(i = 0,1, \cdots ,m - 1)$ 为真映射， $ {\tilde G_1} = \{ idx,{\tilde f_0},$ ${\tilde f_1}, \cdots ,{\tilde f_{m - 1}}\} ,$

$ \eta = \sup\left\{ |\varphi (x) - \varphi (y)|:\tilde d(x,y) < \frac{\varepsilon }{2}\right\} $

则

${P_2}({G_{\rm{1}}},\varphi ) = {\tilde P_2}({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi ) = P({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi )$

其中 $\tilde P({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi )$ 表示由 ${\tilde G_1}$ 生成的半群 $\tilde G$ 的拓扑压^[8]，显然 ${\tilde P_2}({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi ) = P({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi )$ 。

由文献[10]中性质可知d是可容许度量，首先说明对任意的 $n \in {\mathbb{N}}$ 及 $\varepsilon > 0$ ，我们有 $r(n,\varepsilon , X,{G_1})$ 是有限的。令 $\tilde S = \{ {\tilde x_1},{\tilde x_2}, \cdots ,{\tilde x_k}\} \subset \tilde X$ 为 $\tilde X$ 的一个 $\displaystyle (n,\frac{\varepsilon }{2},{\tilde X},{\tilde G_1})$ 张成集。由 $X$ 在 $\tilde X$ 中的稠密性，存在 $\{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_k}\} \subset X$ 满足 $\displaystyle \tilde d_{\max }^n(x,{\tilde x_i}) < \frac{\varepsilon }{2}$ 。对任意的 $x \in X \subset \tilde X$ ，存在 ${\tilde x_i} \in \tilde S$ 满足 $ \displaystyle \tilde d_{\max }^n({x_i},{\tilde x_i}) < \frac{\varepsilon }{2} $ 。可得

$d_{\max }^n(x,{x_i}) \leqslant \tilde d_{\max }^n(x,{\tilde x_i}) + \tilde d_{\max }^n({\tilde x_i},{x_i}) < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

故 $S = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_k}\} $ 为 $X$ 的 $(n,\varepsilon ,X, {G_1})$ 张成集。若选取 $\tilde S$ 的元素个数为 $\displaystyle r\left(n,\frac{\varepsilon }{2},{\tilde X},{\tilde G_1}\right)$ ，则可得

$r(n,\varepsilon ,X,{G_1}) \leqslant r\left(n,\frac{\varepsilon }{2},{\tilde X},{\tilde G_1}\right) < \infty $

由于

$ \begin{array}{l} {\sum\limits_{^{{x_i} \in S}} {\rm{e}} ^{\left( {{S_n}\varphi } \right)}}^{\left( {{x_i}} \right)} = {\sum\limits_{^{\mathop {^{{x_i} \in S}}\limits_{{{\tilde x}_i} \in S} }} {\rm{e}} ^{\left( {{S_n}\varphi } \right)}}^{\left( {{x_i}} \right) - \left( {{S_n}\varphi } \right)\left( {{{\tilde x}_i}} \right) + \left( {{S_n}\varphi } \right)\left( {{{\tilde x}_i}} \right)}\leqslant \\ {{\rm{e}}^{\eta \cdot n}}\sum\limits_{{{\tilde x}_i} \in \tilde S} {{{\rm{e}}^{\left( {{S_n}\varphi } \right)\left( {{{\tilde x}_i}} \right)}}} \end{array}$

所以， $\displaystyle {Q_n}\left( {{{\tilde G}_1},\tilde \varphi ,\frac{\varepsilon }{2}} \right) \geqslant {{\rm{e}}^{ - \eta n}}{Q_n}\left( {{G_1},\varphi ,\varepsilon } \right)$ 。两边同时取log，除以 $n$ 及取上极限可得

$Q\left( {{{\tilde G}_1},\tilde \varphi ,\frac{\varepsilon }{2}} \right) \geqslant {Q_n}\left( {{G_1},\varphi ,\varepsilon } \right) - \eta $

令 $\varepsilon \to 0$ ，有 $\eta \to 0$ ，故

${\tilde P_2}\left( {{{\tilde G}_1},\tilde \varphi } \right) \geqslant {P_2}\left( {{G_1},\varphi } \right)$

反之，令 $U = \left. {\left\{ {{x_1}, \ldots ,{x_k}} \right.} \right\}$ 为X的 $\displaystyle \left( {n,\frac{\varepsilon }{2},X,{G_1}} \right)$ 张成集。对任意的 $\tilde x \in \tilde X$ ，

由 $X$ 在 $\tilde X$ 中稠密，则存在 $x \in X$ 满足 $\displaystyle \tilde d_{\max }^n\left( {x,\tilde x} \right) < \frac{\varepsilon }{2}$ 。从而有 ${x_i} \in U$ 满足 $\displaystyle d_{\max }^n\left( {x,{x_i}} \right) < \frac{\varepsilon }{2}$ 。

于是

$\tilde d_{\max }^n(\tilde x,{x_i}) \leqslant \tilde d_{\max }^n(\tilde x,x) + d_{\max }^n(x,{x_i}) < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

若选取 $\tilde U$ 的元素个数为 $\displaystyle r\left( {n,\frac{\varepsilon }{2},X,{G_1}} \right)$ ，则 $U = $ $\left. {\left\{ {{x_1}, \cdots ,{x_k}} \right.} \right\}$ 为 $\tilde X$ 的 $(n,\varepsilon ,{\tilde X},{\tilde G_1})$ 张成集，因此，

${Q_n}\left({G_{\rm{1}}},\varphi ,\frac{\varepsilon }{2}\right) \geqslant {Q_n}\left({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi ,\varepsilon \right)$

两边同时取log，除以 $n$ 及取上极限可得

$Q\left({G_{\rm{1}}},\varphi ,\frac{\varepsilon }{2}\right) \geqslant Q\left({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi ,\varepsilon \right)$

令 $ \varepsilon \to 0 $ ，则

$ {P_2}({G_{\rm{1}}},\varphi ) \geqslant {\tilde P_{\rm{2}}}({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi ) $

因此，

${P_2}({G_{\rm{1}}},\varphi ) = {\tilde P_2}({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi ) = P({\tilde G_{\rm{1}}},\tilde \varphi )$ ，综上得证。

下面利用定理1给出局部紧致可分度量空间上由真映射生成的半群的拓扑压的性质。

定理2 令 $(X,d)$ 为局部紧致可分度量空间， $G$ 是由集合 ${G_1} = \{ idx,{f_0},{f_1}, \cdots ,{f_{m - 1}}\} $ 生成的半群，其中 ${f_i}:X \to X$ $(i = 0,1, \cdots ,m - 1)$ 为真映射， $ \varphi ,\psi \in C(X,R)$ ，其中 $C(X,R)$ 表示 $X \to R$ 上连续函数的集合，能够连续延拓至 $\tilde X$ 记为 $\tilde \varphi ,\tilde \psi $ ，即 $ \tilde \varphi {|_X} = \varphi ,\tilde \psi {|_X} = \psi $ ，则可得出以下结论：

(1) $ {P_X}({G_{\rm{1}}},0) = {h_X}({G_{\rm{1}}}) $ 。

(2) $\varphi \leqslant \psi $ ，则 ${P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi ) \leqslant {P_X}({G_{\rm{1}}},\psi ),$

特别的， ${h_X}({G_{\rm{1}}}) + inf\varphi \leqslant {P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi ) \leqslant {h_X}({G_{\rm{1}}}) + \sup \varphi $ 。

(3) ${P_X}({G_{\rm{1}}}, \cdot )$ 要么有限要么恒等于无穷大。

(4) 若 ${P_X}({G_{\rm{1}}}, \cdot ) < \infty $ , 则 $|{P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi ) - {P_X}({G_{\rm{1}}},\psi )| \leqslant || {\varphi -}$ $ { \psi } ||$ 。

(5) 若 ${P_X}({G_{\rm{1}}}, \cdot ) < \infty $ ，则 ${P_X}({G_{\rm{1}}}, \cdot )$ 是凸的。

(6) $ {P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi + c) = {P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi ) + c $ 。

(7) $ {P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi + \psi ) \leqslant {P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi ) + {P_X}({G_{\rm{1}}},\psi ) $ 。

(8) 若 $c > 1$ ，则 ${P_X}({G_{\rm{1}}},c\varphi ) \leqslant c{P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi )$ ，若 $c < 1$ ，则 ${P_X}({G_{\rm{1}}},c\varphi ) \geqslant c{P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi )$ 。

(9) $ |{P_X}({G_{\rm{1}}},\varphi )| \leqslant {P_X}({G_{\rm{1}}},|\varphi |) $ 。

下面比较这两种定义下有限个真映射构成的半群的拓扑压的大小关系。

定理3 设 $(X,d)$ 为一个度量空间， ${G_1} = \{ idx,$ ${f_0},{f_1}, \cdots ,{f_{m - 1}}\} $ ， ${G'_1} = \{ {f_0},{f_1}, \cdots ,{f_{m - 1}}\} $ , 其中 ${f_i}:X \to X$ $(i = 0,1, \cdots ,m - 1)$ 为真映射。则

${P_2}({G_{\rm{1}}},\varphi ) \geqslant {P_{\rm{1}}}({G'_{\rm{1}}},\varphi )$

证明对任意的 $n \in \mathbb{N}$ ，任意的 $\varepsilon > 0$ ，若 $M$ 为 $X$ 的最小基数的 $(n,\varepsilon ,{G_1})$ 张成集，则对任意 的 $x \in X$ ，存在 $y \in M$ 满足

$d_{^{_{\max }}}^n(x,y) < \varepsilon $

由上式可推出 $d({f_\omega }(x),{f_\omega }(y)) < \varepsilon $ ，其中 $\omega \in F_m^ + $ ， $|\omega | = n$ 。即 $M$ 也为 $X$ 的 $(\omega ,\varepsilon ,{G'_1})$ 张成集。从而有

${Q_n}({G_{\rm{1}}},\varphi ,X,\varepsilon ) \geqslant {Q_n}({G'_{\rm{1}}},\varphi ,X,\varepsilon )$

两边同时取log，除以n及取上极限可得

$Q({G_{\rm{1}}},\varphi ,X,\varepsilon ) \geqslant Q({G'_{\rm{1}}},\varphi ,X,\varepsilon )$

令 $ \varepsilon \to 0$ ，有

${P_2}({G_{\rm{1}}},\varepsilon ) \geqslant {P_{\rm{1}}}({G'_{\rm{1}}},\varphi )$

证毕。