广义的Camassa-Holm (CH)方程是由Grayshan和Himonas提出来的^[1]。它是完全可积方程并且具有Hamiltonian结构和无穷多的守恒律，所以引起很多数学家和物理学家的关注^[2-15]。本文主要研究如下的广义的Camassa-Holm方程：

$\left\{ {\begin{aligned} &{(1 - \partial _x^2){u_t} \!=\! {u^k}{u_{xxx}} \!+\! b{u^{k - 1}}{u_x}{u_{xx}} \!-\! (b\! +\! 1){u^k}{u_x},}\!\!&\!\!{t \!> \!0,\;x\! \in\! {\mathbb{R}}}\\ &{u(0,x) = {u_0}(x),}&{x\! \in\! {\mathbb{R}}} \end{aligned}} \right.$

(1)

这里 $k \geqslant 2, b \in {\mathbb{R}}$ 。

利用卷积公式 ${(1 \!-\! \partial _x^2)^{ - 1}}f \!=\! G * f$ 和格林函数 $G(x)\! = $ $ \dfrac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - \left| x \right|}}(x \in {\mathbb{R}})$ ,故方程(1)可化成:

$\left\{ {\begin{aligned} & {u_t} +{ {u^k}{u_x} = - {\partial _x}G * \left(\frac{b}{{k + 1}}{u^{k + 1}} + \frac{{3k - b}}{2}{u^{k - 1}}u_x^2\right)}+ \\ & G * \left(\frac{{(k - 1)(k - b)}}{2}{u^{k - 2}}u_x^3\right),\;{t > 0,\;x \in {\mathbb{R}}}\\ & {u(0,x) = {u_0}(x),}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad\qquad\qquad x \in {\mathbb{R}}} \end{aligned}} \right.$

(2)

当 $k = 1$ 且 $b = 2$ 时，方程为Camassa-Holm方程^[16]。当 $k = 1$ 且 $b = 3$ 时，则为Degasperis-Procesi方程^[17]。当 $k = 2$ 且 $b = 3$ 时，则为Novikov方程^[18]。

下面是本文的主要结论：

定理1 　给定 ${u_0} \in X \equiv {H^1} \cap {W^{1,\infty }}$ ,则存在 $T = $ $ T({\left\| {{u_0}} \right\|_X}) > 0$ ，方程(2)有唯一解u且满足:

$u \in {Z_T} \equiv C([0,T]:{H^1}) \cap {L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }}) \cap {C^1}([0,T]:{L^2})$

且存在 $c > 0$ 时，

$ \begin{aligned} \mathop {\sup }\limits_{t \in [0,T]} {\left\| {u( \cdot ,t)} \right\|_X} =& \mathop {\sup }\limits_{t \in [0,T]} \left({\left\| {u( \cdot ,t)} \right\|_{{H^1}({\mathbb{R}})}} + {\left\| {u( \cdot ,t)} \right\|_{{W^{1,\infty }}({\mathbb{R}})}}\right) \leqslant\\ & \!c{\left\| {{u_0}} \right\|_X} \end{aligned}$

此外，在空间 $X$ 中，若初值 ${u_{01}} \to {u_{02}}$ ，那么存在 $T = $ $ \min \left\{ {{T_1},{T_2}} \right\} > 0$ 并且其相对应的解 ${u_1}$ ， ${u_2}$ 在空间 $C([0, $ $T]:{H^1}) \cap {C^1}([0,T]:{L^2})$ 中，且 ${u_1} \to {u_2}$ 。

本文运用特征线方法将广义CH方程转变成类似ODE的方程，首先在第1节中证明该新方程解的局部存在唯一性，在第2节和第3节中分别证明了原方程解的局部存在性和唯一性，且给出原方程解对初值的弱连续依赖性。在本文中，为便于书写， ${L^2}({\mathbb{R}})$ ， ${L^\infty }({\mathbb{R}})$ ， ${H^1}({\mathbb{R}})$ ， ${W^{1,\infty }}({\mathbb{R}})$ 空间中的 ${\mathbb{R}}$ 都省略。

1 新方程解的存在唯一性

令

$ \begin{aligned} &{f = \frac{b}{{k + 1}}{u^{k + 1}} + \frac{{3k - b}}{2}{u^{k + 1}}u_x^2}\\ &{g = \frac{{(k - 1)(k - b)}}{2}{u^{k - 2}}u_x^3}\\ &{{R_1} = G * f,\;\;\;{R_2} = G * g}\\ &{{Q_i} = {\partial _x}{R_i},\;\;i = 1,2} \end{aligned} $

其中 $G(x) = \dfrac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - \left| x \right|}}$ 。

对Cauchy问题(1)的光滑解 $u$ ，定义 $x(s,t)$ 为方程(2)的特征线，s为初值，有

$\left\{ \begin{aligned} &\frac{{{\rm{d}}x(s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = {u^k}(x(s,t),t)\\ & x(s,0) = s \end{aligned} \right.$

(3)

利用ODE理论，易知方程(3)有唯一解 $x(s,t) \in $ ${C^1} ([0,T]:{\mathbb{R}})$ 。此外，根据文献[15]，可知解 $x(s,t)$ 是关于s严格递增的函数，即 $x(s,t) \notin {W^{k,p}}(U)$ ，那么可得 $x( \cdot ,t)$ 不在本文考察的能量空间里。因此，定义函数 $\zeta (s,t) = $ $x(s,t) - s$ ， $(s \in {\mathbb{R}},\;t \in {{\mathbb{R}}^ + })$ 。

对任意的 $s \in {\mathbb{R}}$ ， $t \in {{\mathbb{R}}^ + }$ ，定义

$\begin{aligned} &{U(s,t) = u(x(s,t),t)}\\ &{W(s,t) = {u_x}(x(s,t),t)} \end{aligned}$

定义 $X = {H^1} \cap {W^{1,\infty }}$ ， $Y = {L^2} \cap {L^\infty }$ ， ${J} = X \times X \times Y$ ， $ {\left\| v \right\|_{J}} = $ ${\left\| \zeta \right\|_{J}} + {\left\| U \right\|_{J}} + {\left\| W \right\|_{J}}$ ，其中 $v = (\zeta ,U,W) \in {J}$ 。

为了简化表达，定义非线性函数

$ \begin{aligned} &{{M_1}(\omega ) = \frac{b}{{k + 1}}{U^{k + 1}} + \frac{{3k - b}}{2}{U^{k + 1}}{W^2}}\\ &{{M_2}(\omega ) = \frac{{(k - 1)(k - b)}}{2}{U^{k - 2}}{W^3}} \end{aligned} $

其中 $\omega \dot = (U,W) \in X \times Y$ 。因此，非线性映射可以转化为

${R_i}(V(s,t))\! \!=\!\!\! \int_{ - \infty }^{ + \infty } \!\!{G(x(s,t) \!\!-\! \!x(\sigma ,t)){M_i}(\omega (\sigma ,t))(1 \!\!+\!\! {\zeta _s}(\sigma ,t)){\rm{d}}\sigma }$

(4)

${Q_i}(V(s,t)) \!\!=\!\!\! \int_{ - \infty }^{ + \infty } \!\!{{G'}}\! (x(s,t) \!\!- \!\!x(\sigma ,t)){M_i}(\omega (\sigma ,t))(1 \!\!+\! \!{\zeta _s}(\sigma ,t)){\rm{d}}\sigma$

(5)

这里 $i = 1,\;2$ 。

由于 $\zeta (s,t) = x(s,t) - s$ ，所以

$\frac{{{\rm{d}}\zeta (s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}x(s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = {u^k}(x(s,t),t) = {U^k}(s,t)$

(6)

由方程(2)，可知满足 $u$ 的方程可写为

$\frac{{{\rm{d}}U(s,t)}}{{{\rm{d}}t}}\! \!=\!\! \frac{{{\rm{d}}u(x(s,t),t)}}{{{\rm{d}}t}} \!\!=\!\! {u_t} \!+\! {u^k}{u_x} \!=\! -\! {Q_1}(V(s,t)) \!+\! {R_2}(V(s,t))$

(7)

根据式(3)和卷积公式 ${(1 - \partial _x^2)^{ - 1}}f = G * f$ ，那么方程(2)的第一个微分方程可化为

$\begin{split} \displaystyle &\frac{{{\rm{d}}W(s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{\rm{d}}{u_x}(x(s,t),t)}}{{{\rm{d}}t}} = {u^k}{u_{xx}} + {u_{tx}} = \\& - {R_1}(V(s,t)) + {Q_{2}}(V(s,t)) + N(\omega (s,t)) \end{split}$

(8)

其中 $N(\omega ) = \dfrac{b}{{k + 1}}{U^{k + 1}} + \dfrac{{k - b}}{2}{U^{k - 1}}{W^2}$ 。

由式(6)~(8)，可得新方程

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{{{\rm{d}}\zeta (s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = {U^k}(s,t)\\ & \frac{{{\rm{d}}U(s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = - {Q_1}(V(s,t)) + {R_2}(V(s,t))\\ & \frac{{{\rm{d}}W(s,t)}}{{{\rm{d}}t}} = - {R_1}(V(s,t)) + {Q_2}(V(s,t)) + N(\omega (s,t)) \end{aligned} \right.$

(9)

其中

$\left\{ \begin{aligned} & \zeta (s,0) = 0\\ & U(s,0) = {u_0}(s)\\ & W(s,0) = {u_{0,x}}(s) \end{aligned} \right.$

为了方便表达，定义

$\left\{ \begin{aligned} &{F_1} = - {Q_1}(V(s,t)) + {R_2}(V(s,t))\\ &{F_2} = - {R_1}(V(s,t)) + {Q_2}(V(s,t)) + N(\omega (s,t)) \end{aligned} \right.$

若令

$F(V( \cdot ,t)) = (U,{F_1},{F_2})$

(10)

则由已知初值 ${V_0}( \cdot )$ ，方程(9)的通解可写为

$V( \cdot ,t) = {V_0}( \cdot ) + \int_0^t {F(V( \cdot ,\tau ))} {\rm{d}}\tau $

(11)

其中 $V( \cdot ,t) = (\zeta ,U,W)( \cdot ,t) \in {J},\;t \in [0,T] $ 。

下面讨论方程(11)的解的局部存在性和唯一性。

定义1 　对任意的 $\alpha > 0$ ， ${\vartheta _\alpha } = \{ \zeta \in X:1 + \mathop {{\rm{essinf}}\;{\zeta _s}(x)} $ $ > \alpha \}$ 。定 $\zeta \in {\vartheta _\alpha }$ ， $\forall s \in {\mathbb{R}}$ ，满足： $x(s,t) = \zeta (s,t) +$ $ s$ ，令 $\varphi :{\mathbb{R}}\! \to \!{\mathbb{R}}$ 为x的反函数，则 ${\rm{essinf}} \;{x_s} \!=\! 1 \!+\! {\rm{essinf}}\;{\zeta _s} \!> \!\alpha $ 。此外，定义映射 $\phi \zeta (x,t) = $ $\varphi (x,t)$ $ - x$ ， $\forall x \in {\mathbb{R}}$ 。现在给出主要结果证明所需的引理：

引理1(文献[15])　如果 $\zeta \in {\vartheta _\alpha }$ ， $\forall s \in {\mathbb{R}}$ 时， $x(s,t) = $ $ \zeta (s,t) + s$ 。那么 $\varphi ( \cdot ,t)$ 是严格递增的，又 $x \mapsto \varphi (x,t)$ 是同胚映射，即 ${\varphi _x}(x,t) = {({x_s} \circ \varphi (x,t))^{ - 1}}\;\;a.e.\;\;x \in {\mathbb{R}}$ 。此外，还可得到

$ \begin{aligned} &\alpha \leqslant {x_s}(s,t) \leqslant 1 + {\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}}&a.e.\;\;s \in {\mathbb{R}}\\ &{(1 + {\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}})^{ - 1}} \leqslant {\varphi _x}(x,t) \leqslant {\alpha ^{ - 1}}&a.e.\;\;x \in {\mathbb{R}} \end{aligned} $

引理2 　对任意的 $V = (\zeta ,U,W) \in \bar {J} \dot = {\vartheta _\alpha } \times X \times Y$ 时， ${\left\| V \right\|_{\bar {{J}} }} \leqslant L$ ，那么非线性映射 ${R_i}$ ， ${Q_i}$ $(i = 1,2)$ 是 $\bar {J} $ 到 $Y$ 上的局部Lipschitz连续。 ${R_i}$ ， ${Q_i}$ 定义见式(4)~(5)。

证明：这里只证映射 $ R_1$ 是 $\bar {J}$ 到 $Y$ 的局部Lipschitz连续，其他同理可得。由于 $\zeta(s,t)=x(s,t)-s$ ， $x(s,t) $ 相对于s是严格递增的函数，根据定义(4)，映射可写为

$ \begin{aligned} & {R_1}(V(s,t))\! \!=\!\! \frac{1}{2}\!\!\int_{ - \infty }^{ + \infty } \!{{{\rm{e}}^{ -\! \left| {x(s,t) \!- \!x(\sigma ,t)} \right|}}{M_1}(\omega (\sigma ,t))(1 \!\!+ \!\!{\zeta _s}(\sigma ,t))} {\rm{d}}\sigma \!\!= \\ & \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - \zeta (s,t)}}\!\!\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\chi _{\left\{ {\sigma < s} \right\}}}{{\rm{e}}^{ -\! (s \!-\! \sigma )}}{{\rm{e}}^{\zeta (\sigma ,t)}}{M_1}(\omega (\sigma ,t))(1 \!\!+\!\! {\zeta _s}(\sigma ,t))} {\rm{d}}\sigma\!+ \\ & \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{\zeta (s,t)}}\!\!\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\chi _{\left\{ {\sigma > s} \right\}}}{{\rm{e}}^{ -\! (\sigma \! -\! s)}}{{\rm{e}}^{ - \!\zeta (\sigma ,t)}}{M_1}(\omega (\sigma ,t))(1 \!\!+\!\! {\zeta _s}(\sigma ,t))} {\rm{d}}\sigma\! \dot = \\ & {I_1}(V(s,t)) + {I_2}(V(s,t)) \end{aligned}$

其中 ${\chi _A}$ 是关于集合A的指数函数。令 $h(s) = $ ${\chi _{\left\{ {s > 0} \right\}}} (s){{\rm{e}}^{ - s}}$ ，有

$\psi (V(s,t))\dot = {{\rm{e}}^{\zeta (s,t)}}{M_1}(\omega (s,t))(1 + {\zeta _s}(s,t))$

则

$ \begin{aligned} & {I_1}(V(s,t)) = \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - \zeta (s,t)}}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {h(s - \sigma )\psi (V(s,t))} {\rm{d}}\sigma =\\ & \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - \zeta (s,t)}}h * \psi (V( \cdot ,t))(s) \end{aligned}$

因此， $\forall {V_j} = ({\zeta _j},{U_j},{W_j}) \in \bar {{J}} $ 且 $\left\| {{V_j}} \right\| \leqslant A(j = 1,2)$ 时，可得

$ \begin{aligned} & {\left\| {{R_1}({V_1}) \!-\! {R_1}({V_2})} \right\|_Y} \!=\! {\left\| {{I_1}({V_1}) \!+\! {I_2}({V_1}) \!-\! {I_1}({V_2}) \!-\! {I_2}({V_2})} \right\|_Y}\!\leqslant \\ &{\left\| {I{}_1({V_1}) - I{}_1({V_2})} \right\|_Y} + {\left\| {I{}_2({V_1}) - I_2({V_2})} \right\|_Y} \\[-10pt] \end{aligned}$

(12)

对于 ${I_1}$ ，利用 $\left| {{{\rm{e}}^x} - {{\rm{e}}^y}} \right| \leqslant {{\rm{e}}^{\max \{ \left| x \right|,\left| y \right|\} }}\left| {x - y} \right|$ 和Young’s不等式得

$ \begin{aligned} &{\left\| {{I_1}({V_1}) \!-\! {I_1}({V_2})} \right\|_Y} = {\left\| {\frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - {\zeta _1}}}h * \psi (V_1) \!-\! \frac{1}{2}{{\rm{e}}^{ - {\zeta _2}}}h * \psi (V_2)} \right\|_Y} \!\leqslant\\ & \frac{1}{2}{\left\| {{{\rm{e}}^{ - {\zeta _1}}}} \right\|_{{L^\infty }}}{\left\| h \right\|_{{L^1}}}{\left\| {\psi ({V_1}) \!-\! \psi ({V_2})} \right\|_Y} \!+\! \frac{1}{2}{\left\| h \right\|_{{L^1}}}{\left\| {\psi ({V_2})} \right\|_{{L^\infty }}}\\ & \left\| {{\rm{e}}^{ -\! {\zeta _1}}}\! -\!{{\rm{e}}^{ - \zeta_2}} \right\|_Y \!\leqslant\!\frac{1}{2}{{\rm{e}}^A}{\left\| {\psi ({V_1}) \!-\! \psi ({V_2})} \right\|_Y} \!\!+\!\! {C_1}(k,b,A){\left\| {{\zeta _1}\! -\! {\zeta _2}} \right\|_Y} \end{aligned}$

(13)

注意到： ${\left\| h \right\|_{{L^1}}} = \displaystyle \int_0^\infty {{{\rm{e}}^{ - s}}} {\rm{d}}s = 1$ 。令 ${\omega _j} = ({U_j},{W_j})$ ， $j = 1,2$ 。由前面所定义的 ${M_i}(i = 1,2)$ 和 $N$ ，可得

$\begin{split} &\left\| {{M_1}({\omega _1}) - {M_1}({\omega _2})} \right\|{}_Y \leqslant\\ &\left(\frac{{kb}}{{k + 1}} + \frac{{(k - 2)(3k - b)}}{2}\right){A^k}{\left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|_Y} + \\ &(3k - b){A^K}{\left\| {{W_1} - {W_2}} \right\|_Y} \end{split} $

(14)

$\begin{split} &{\left\| {{M_2}({\omega _1}) - {M_2}({\omega _2})} \right\|_Y} \leqslant\\ &\frac{{(k - 3)(k - 1)(k - b)}}{2}{A^k}{\left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|_Y} +\\ &\frac{{3(k - 1)(k - b)}}{2}{A^k}{\left\| {{W_1} - {W_2}} \right\|_Y} \end{split}$

(15)

以及

$\begin{split} &{\left\| {N({\omega _1}) - N({\omega _2})} \right\|_Y} \leqslant \\ &\left(\frac{{kb}}{{k + 1}} + \frac{{(k - 2)(k - b)}}{2}\right){A^k}{\left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|_Y} +\\ &(k - b){A^k}{\left\| {{W_1} - {W_2}} \right\|_Y} \end{split} $

(16)

那么 $\forall {V_1},{V_2} \in \bar {{J}} $ 时，可得

$ \begin{split} & {\left\| {\psi ({V_1}) - \psi (V{}_2)} \right\|_Y} = \\ &{\left\| {{{\rm{e}}^{{\zeta _1}}}{M_1}({\omega _1})(1 + {\partial _s}{\zeta _1}) - {{\rm{e}}^{{\zeta _2}}}{M_1}({\omega _2})(1 + {\partial _s}{\zeta _2})} \right\|_Y}\leqslant \\ &{\left\| {{{\rm{e}}^{{\zeta _1}}}{M_1}({\omega _1}) - {{\rm{e}}^{{\zeta _2}}}{M_1}({\omega _2})} \right\|_Y} +\\ & {\left\| {{{\rm{e}}^{{\zeta _1}}}{M_1}({\omega _1}){\partial _s}{\zeta _1} - {{\rm{e}}^{{\zeta _2}}}{M_1}({\omega _2}){\partial _s}{\zeta _2}} \right\|_Y}\leqslant \\ &(1 + A)\left(\frac{{kb}}{{k + 1}} + \frac{{(k - 2)(3k - b)}}{2}\right){{\rm{e}}^A}{A^k}{\left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|_Y} +\\ & (1 + A)(3k + b) \cdot{{\rm{e}}^A}{A^k}{\left\| {{W_1} - {W_2}} \right\|_Y} + \\ &(1 + A)\left(\frac{b}{{k + 1}} + \frac{{3k - b}}{2}\right){{\rm{e}}^A}{A^{2k + 2}}{\left\| {{\zeta _1} - {\zeta _2}} \right\|_Y}+\\ & \left( {\frac{b}{{k + 1}} + \frac{{3k - b}}{2}} \right){{\rm{e}}^A}{A^{2k + 2}}{\left\| {{\partial _s}{\zeta _1} - {\partial _s}{\zeta _2}} \right\|_Y}\leqslant \\ & {C_2}(k,b,A){\left\| {{V_1} - {V_2}} \right\|_{\bar {{J}} }} \end{split}$

(17)

结合式(13)和式(17)可得

$ \begin{split} & \!\!\!{\left\| {{I_1}({V_1})\! -\! {I_1}({V_2})} \right\|_Y}\! \!\leqslant\! \!\frac{1}{2}{{\rm{e}}^A}{\left\| {\psi ({V_1}) \!- \!\psi ({V_2})} \right\|_Y} \!+ \!{C_1}(A){\left\| {{\zeta _1} \!- \!{\zeta _2}} \right\|_Y}\!\leqslant\\ &\displaystyle \frac{1}{2}{{\rm{e}}^A}{C_2}(A){\left\| {{V_1} - {V_2}} \right\|_{{J}}} + {C_1}(A){\left\| {{\zeta _1} - {\zeta _2}} \right\|_Y}\leqslant\\ & {C_3}(k,b,A){\left\| {{V_1} - {V_2}} \right\|_{\bar{ {J}}}} \\[-10pt] \end{split}$

(18)

同理可得，

${\left\| {{I_2}({V_1}) - {I_2}({V_2})} \right\|_Y} \leqslant {C_4}(k,b,A){\left\| {{V_1} - {V_2}} \right\|_{\bar{ {J}}}}$

(19)

因此，由式(12)，(18)和(19)得，

$\begin{split} {\left\| {{R_1}({V_1}) - {R_1}({V_2})} \right\|_Y} \leqslant {\left\| {{I_1}({V_1}) - {I_1}({V_2})} \right\|_Y} +\\ {\left\| {{I_2}({V_1}) - {I_2}({V_2})} \right\|_Y}\!\leqslant {C_5}(k,b,A){\left\| {{V_1} - {V_2}} \right\|_{\bar {{J}} }} \end{split}$

(20)

其中常数 ${C_5}(k,b,A) = {C_3}(k,b,A) + {C_4}(k,b,A)$ 。

根据(4)，易得 $R(0) = 0$ 。因此，由(20)可得 ${R_1}(V) \in Y$ 。故得非线性映射 ${R_1}$ 在 ${{J}}$ 到 $Y$ 上的局部Lipschitz连续。

引理3 　令 $\zeta \in {\vartheta _\alpha }$ ， $V = (\zeta ,U,W) \in \bar {{J}} $ 。那么从 $\bar {{J}} $ 到 ${{J}}$ 的映射 $V \to F(V)$ 是局部Lipschitz连续的，F定义见(10)。

证明： $\forall {V_1},{V_2} \in \bar {{J}} $ 且 ${\left\| {{V_j}} \right\|_{\bar {{J}} }} \leqslant A$ $(j = 1,2)$ 时，

$\begin{split} {\left\| {F({V_1}) - F({V_2})} \right\|_{{J}}} =& {\left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|_X} + {\left\| {{F_1}({V_1}) - {F_1}({V_2})} \right\|_X} + {\left\| {{F_2}({V_1}) - {F_2}({V_2})} \right\|_Y}\leqslant{\left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|_X} + {\left\| {{Q_1}({V_1}) - {Q_1}({V_2})} \right\|_Y} +\\ & {\left\| {{\partial _s}{Q_1}({V_1}) - {\partial _s}{Q_1}({V_2})} \right\|_Y}+ {\left\| {{R_2}({V_1}) - {R_2}({V_2})} \right\|_Y} + {\left\| {{\partial _s}{R_2}({V_1}) - {\partial _s}{R_2}({V_2})} \right\|_Y} +\\ & {\left\| {{R_1}({V_1}) - {R_1}({V_2})} \right\|_Y}+ {\left\| {{Q_2}({V_1}) - {Q_2}({V_2})} \right\|_Y} + {\left\| {N({\omega _1}) - N({\omega _2})} \right\|_Y} \end{split} $

(21)

通过卷积公式 ${(1 - \partial _x^2)^{ - 1}}f = G * f$ ，当 $f \in {L^2}$ 时，则 $\partial _x^2G * f = G * f - f$ 。那么由式(4)~(5)定义的 ${R_i}$ ， ${Q_i}$ 得

$ \begin{aligned} & {\left\| {{\partial _s}{R_i}({V_1}) - {\partial _s}{R_i}({V_2})} \right\|_Y} = {\left\| {{\partial _x}{R_i}({V_1}){x_s} - {\partial _x}{R_i}({V_2}){x_s}} \right\|_Y}\leqslant\\ & {\left\| {{x_s}} \right\|_{{L^\infty }}}{\left\| {{Q_i}({V_1}) - {Q_i}({V_2})} \right\|_Y}\leqslant \\ & (1 + {\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}}){\left\| {{Q_i}({V_1}) - {Q_i}({V_2})} \right\|_Y} \\[-10pt] \end{aligned}$

(22)

和

$\begin{aligned} &\;\\ & {\left\| {{\partial _s}{Q_i}({V_1}) - {\partial _s}{Q_i}({V_2})} \right\|_Y} = {\left\| {{\partial _x}{Q_i}({V_1}){x_s} - {\partial _x}{Q_i}({V_2}){x_s}} \right\|_Y}\leqslant\\ & {\left\| {{x_s}} \right\|_{{L^\infty }}}{\left\| {\partial _x^2{R_i}({V_1}) - \partial _x^2{R_i}({V_2})} \right\|_Y}\leqslant\\ & (1 + {\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}})({\left\| {{R_i}({V_1}) - {R_i}({V_2})} \right\|_Y} + {\left\| {{M_i}({\omega _1}) - {M_i}({\omega _2})} \right\|_Y}) \end{aligned} $

(23)

这里 $i = 1 ,\;2$ 。

由式(14)~(16)，式(22)~(23)和引理2，可将不等式(21)转化为

$\begin{split} & {\left\| {F({V_1}) - F({V_2})} \right\|_{{J}}} \leqslant \left\| {{U_1} - {U_2}} \right\|{}_X + {\|\| {{Q_1}({V_1})}}- \\ & {Q_1}({V_2}) \|\|_Y + (1 + A)\cdot ({\left\| {{R_1}({V_1}) - {R_1}({V_2})} \right\|_Y} +\\ & {\left\| {{M_1}({\omega _1}) - {M_1}({\omega _2})} \right\|_Y}) + {\left\| {{R_2}({V_1}) - {R_2}({V_2})} \right\|_Y}+ \\ & (1 + A){\left\| {Q{}_2({V_1}) - Q{}_2({V_2})} \right\|_Y} +\\ & {\left\| {{R_1}({V_1}) - {R_1}({V_2})} \right\|_Y}+ \\ & {\left\| {{Q_2}({V_1}) - {Q_2}({V_2})} \right\|_Y} + {\left\| {N({\omega _1}) - N({\omega _2})} \right\|_Y} \leqslant \\ & {C_6}(k,b,A){\left\| {{V_1} - {V_2}} \right\|_{\bar {{J}} }} \end{split} $

(24)

根据式(10)所定义的 $F$ ，容易得 $F(0) = 0$ 。因此，由式(24)可得 $F(V) \in {{J}}$ 。故从 $\bar {{J}} $ 到 ${{J}}$ 的映射 $V \to F(V)$ 是局部Lipschitz连续的。

定理2 　给定 $A > 0$ ，定义:

$\beta (\alpha ,A) = \{ V = (\zeta ,U,W) \in {{J}}:\zeta \in {\vartheta _\alpha },{\left\| V \right\|_{{J}}} \leqslant A\}$

对任意的 ${V_0} = ({\zeta _0},{U_0},{W_0}) \in \beta (\alpha ,A)$ 时，若时间 $T > 0$ ，则方程(11)有唯一解

$ V \in {C^1}([0,T]:\beta (\alpha ,A)) $

此外，如果 ${\partial _s}{U_0}(s) = {W_0}(s)(1 + {\partial _s}{\zeta _0}(s))$ ，则 $ V( \cdot ,t) \in C([0,$ $ T]:Y)$ 满足

${\partial _s}U( \cdot ,t) = W( \cdot ,t)(1 + {\partial _s}\zeta ( \cdot ,t))$

(25)

证明：由引理3，得映射 $F:\bar {{J}} \to {{J}}$ 是局部Lipschitz连续。类似于文献[15]中定理3.8的证明，通过Banach空间中ODE理论，可得方程(11)有唯一解 $V \in {C^1}([0,T]:$ $\beta (\alpha ,A))$ ，且等式(25)成立。

2 原方程局部解的存在性

在这节中，本文研究了方程(2)局部解的存在性。首先介绍一些引理，这些引理将用于证明主要结果。

引理4(文献[15])　定义在式(3)的映射 $\phi $ 满足下面性质

(i) $\phi :{\vartheta _\alpha } \to X$ ，且 ${\left\| {\phi \zeta } \right\|_X} \leqslant C(\alpha ,{\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}}){\left\| \zeta \right\|_X}$

(ii) ${\zeta _j} \in {\vartheta _\alpha },j = 1,2$

那么

$\begin{aligned} &{{\left\| {\phi {\zeta _1} - \phi {\zeta _2}} \right\|_{{L^\infty }}} \leqslant {\alpha ^{ - 1}}{\left\| {{\zeta _1} - {\zeta _2}} \right\|_{{L^\infty }}}}\\ &{{\left\| {\phi {\zeta _1} - \phi {\zeta _2}} \right\|_{{L^2}}} \leqslant C{(1 + {\left\| {{\partial _s}{\zeta _1}} \right\|_{{L^\infty }}})^{\frac{1}{2}}}{\left\| {{\zeta _1} - {\zeta _2}} \right\|_{{L^2}}}} \end{aligned} $

(iii) 映射 $D{}_x\phi :{\vartheta _\alpha } \to {L^2}$ 是连续的。

引理5(文献[15])　定义集合 ${\cal{H}} = \{ \zeta \in {\vartheta _\alpha }: $ ${\left\| \zeta \right\|_X} \leqslant A\} $ 。任意的 $f \in C([0,T]:{L^2})$ 时，那么从 ${\cal{H}}$ 到 ${L^\infty }($ $[0,T]:{L^2})$ 的映射 ${{\cal{H}}_f}:\zeta \mapsto f(\varphi ,t)$ 是一致连续的，其中 $\varphi $ 是 $x$ 的反函数。

现在，证明方程(2)局部解的存在性。

定理3 　给定 ${u_0} \in X$ ，存在函数 $T = T({\left\| {{u_0}} \right\|_X}) > $ $ 0$ ，则方程(2)的解 $u$ 满足 $u \in {Z_T} \equiv C([0,T]:{H^1}) \cap $ ${L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }}) \cap {C^1}([0,T]:{L^2})$ 。

且

$ \begin{aligned} \mathop {\sup }\limits_{t \in [0,T]} {\left\| {u( \cdot ,t)} \right\|_{X \times X}} \!\!& = \!\!\mathop {\sup }\limits_{t \in [0,T]} ({\left\| {u( \cdot ,t)} \right\|_{{H^1} \times {H^1}}} \!+\! {\left\| {u( \cdot ,t)} \right\|_{{W^{1,\infty }} \times {W^{1,\infty }}}})\\ & \leqslant c{\left\| {{u_0}} \right\|_{X \times X}}\end{aligned}$

证明：给定 ${u_0} \in X$ ,由 ${\zeta _0}$ 的定义，可得 ${\zeta _0} = 0$ ，令 ${V_0} = ({\zeta _0},{U_0},{W_0}) \in \beta (\alpha ,A)$ 。根据定理2，若时间 $T > 0$ ，那么方程(11)有唯一解 $V \in {C^1}([0,T]:\beta (\alpha ,A))$ 。

由 $x(s,t) = \zeta (s,t) + s$ ，那么由定义(3)可得 ${x_s}(s,t) = $ $1 + {\partial _s}\zeta (s,t) > 0$ 。因此，映射 $x:{\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ 是同胚映射。令 $\varphi $ 为 $x$ 的反函数，那么 $\varphi $ 在 ${\mathbb{R}}$ 上也是同胚映射。令

$u(s,t) = U(\varphi (x,t),t),\;\;\forall (x,t) \in {\mathbb{R}} \times [0,T]$

那么

$U(s,t) = u(x(s,t),t),\;\;\forall (s,t) \in {\mathbb{R}} \times [0,T]$

现在来证明解 $u$ 有意义。由于 $u(x,t) = U(\varphi (x,t),t)$ ，通过变量替换，可得

$\begin{aligned} &{\left(\int_{\mathbb{R}} {{u^2}(x,t)} {\rm{d}}x\right)^{\tfrac{1}{2}}}=\\ &{\left(\int_{\mathbb{R}} {{U^2}(\varphi (x,t),t)} {\rm{d}}x\right)^{\tfrac{1}{2}}} = {\left(\int_{\mathbb{R}} {{U^2}(y,t){x_s}(y,t)} {\rm{d}}y\right)^{\tfrac{1}{2}}}\leqslant\\ &\left\| {{x_s}} \right\|_{{L^\infty }}^{1/2}{\left\| {U( \cdot ,t)} \right\|_{{L^2}}} \leqslant {(1 + {\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}})^{1/2}}{\left\| {U( \cdot ,t)} \right\|_{{L^2}}}\end{aligned}$

即 $u( \cdot ,t) \in {L^2}$ 。由定理2，已知 $V \in {C^1}([0,T]:\beta (\alpha ,A))$ ，那么 $U \in {C^1}([0,T]:X)$ 。因此， ${\partial _t}U \in {L^\infty }([0,$ $T]:Y)$ 且 ${\partial _s}U \in $ ${L^\infty }([0,T]:Y)$ 。由引理4， $\forall {t_1}$ ， ${t_2} \in [0,T]$ 时，

$\begin{aligned} {\left\| {u( \cdot ,{t_1}) - u( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}} \leqslant&{\left\| {U(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_1}) - U(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_2})} \right\|_{{L^2}}} +{\left\| {U(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_2}) - U(\varphi ( \cdot ,{t_2}),{t_2})} \right\|_{{L^2}}}\leqslant\\ & {\left\| {{\partial _t}U( \cdot ,t)} \right\|_{{L^\infty }([0,T]:{L^2})}}\left| {{t_1} - {t_2}} \right| + {\left\| {{\partial _s}U( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^\infty }}}{\left\| {\phi \zeta ( \cdot ,{t_1}) - \phi \zeta ( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}}\leqslant\\ & {C_7}(\alpha ,k,b,A)(\left| {{t_1} - {t_2}} \right| + {\left\| {\zeta ( \cdot ,{t_1}) - \zeta ( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}}) \end{aligned}$

由 $\zeta \in C([0,T]:X)$ 和 $\zeta \in {\vartheta _\alpha }$ 且任意的 $t \in [0,T]$ ， $\left\| {\zeta ( \cdot ,t)} \right\| \leqslant $ $A $ 时，可得：在X空间中，当 ${t_2} \to {t_1}$ 时， $\zeta ( \cdot ,{t_2}) \mapsto \zeta ( \cdot ,{t_1})$ 。即当 ${t_2} \to {t_1}$ 时， ${\left\| {u( \cdot ,{t_1}) - u( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}} \to 0$ 。因此， $u \in$ $ C ([0,T]:{L^2})$ 。

接下来，验证 ${\partial _x}u \in C([0,T]:{L^2})$ 。根据定理2，有 ${\partial _s}U = W{\partial _s}x$ 。又由 ${x_s}(\varphi (x,t),t){\varphi _x}(x,t) = 1$ ，通过链锁法则可得

$\begin{aligned} &{u_x}(x,t) = {\partial _s}U(\varphi (x,t),t){\varphi _x}(x,t)=\\ & W(\varphi (x,t),t){x_s}(\varphi (x,t),t){\varphi _x}(x,t) = W(\varphi (x,t),t) \end{aligned}$

因为 ${u_x}(x,t) = W(\varphi (x,t),t)$ ，通过变量替换，得

$\begin{aligned} &{\left(\int_{\mathbb{R}} {u_x^2(x,t)} {\rm{d}}x\right)^{\tfrac{1}{2}}}=\\ &{\left(\int_{\mathbb{R}} {{W^2}(\varphi (x,t),t)} {\rm{d}}x\right)^{\tfrac{1}{2}}} = {\left(\int_{\mathbb{R}} {{W^2}(y,t){x_s}(y,t)} {\rm{d}}y\right)^{\tfrac{1}{2}}}\leqslant\\ &\left\| {{x_s}} \right\|_{{L^\infty }}^{\frac{1}{2}}{\left\| {W( \cdot ,t)} \right\|_{{L^2}}} \leqslant {(1 + {\left\| {{\zeta _s}} \right\|_{{L^\infty }}})^{\frac{1}{2}}}{\left\| {W( \cdot ,t)} \right\|_{{L^2}}}\end{aligned}$

即 ${u_x}( \cdot ,t) \in {L^2}$ 。当 $W(s,t) \in {C^1}([0,T]:Y)$ 时，有 ${\partial _t}W(s,t) \in $ $ {L^\infty }([0,T]:Y)$ 。那么 $\forall {t_1},{t_2} \in [0,T]$ 时，可得

$\begin{aligned} &{|| {{\partial _x}u( \cdot ,{t_1}) \!-\! {\partial _x}u( \cdot ,{t_2})} ||_{{L^2}}} \!\!\leqslant\! {|| {W(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_1})}} \!-\!W(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_2}) ||_{{L^2}} \!+\\ & {|| {W(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_2}) - W(\varphi ( \cdot ,{t_2}),{t_2})} ||_{{L^2}}} \leqslant {|| {{\partial _t}W} ||_{{L^\infty }([0,T]:{L^2})}} \\ &|| {{t_1} - {t_2}} || + {|| {W(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_2}) - W(\varphi ( \cdot ,{t_2}),{t_2})} ||_{{L^2}}}\end{aligned}$

给定 ${t_2} \in [0,T]$ ，由于 $W( \cdot ,{t_2}) \in {L^2}$ ，根据引理5得， $\zeta \mapsto W(s,{t_2})$ 从 ${\cal{H}}$ 到 ${L^\infty }([0,T]:{L^2})$ 是一致连续的。由于在X空间中，当 ${t_2} \to {t_1}$ 时， $\zeta ( \cdot ,{t_2}) \mapsto \zeta ( \cdot ,{t_1})$ ，可得：当 ${t_2} \to {t_1}$ 时，

${\left\| {W(\varphi ( \cdot ,{t_1}),{t_2}) - W(\varphi ( \cdot ,{t_2}),{t_2})} \right\|_{{L^2}}} \to 0$

因此，当 ${t_2} \to {t_1}$ 时，

$\left\| {{\partial _x}u( \cdot ,{t_1}) - {\partial _x}u( \cdot ,{t_2})} \right\| \to 0$

即可得 ${\partial _x}u \in C([0,T]:{L^2})$ 。故 $u \in C([0,T]:{H^1})$ 。

因为 $u \in C([0,T]:{H^1})$ ，通过Sobolev嵌入定理，易得 $u \in C([0,T]:{L^\infty })$ 。此外，由 ${\partial _x}u(x,t) = $ $W(\varphi (x,t),t)$ ，得

${\left\| {{\partial _x}u( \cdot ,t)} \right\|_{{L^\infty }}} = {\left\| {W(\varphi ( \cdot ,t),t)} \right\|_{{L^\infty }}} \leqslant {\left\| {W( \cdot ,t)} \right\|_{{L^\infty }}} \leqslant A$

即可说明 ${\partial _x}u \in {L^\infty }([0,T]:{L^\infty })$ ，故 $u \in {L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }})$ 。

下面证明 $u$ 满足方程(2)的解。由文献[15]的定理3.9，可得

${\partial _t}\varphi = - {u^k}{\partial _x}\varphi $

(26)

通过链锁法则和等式(26)，可以推出

$\begin{aligned} {\partial _t}U(\varphi (x,t),t) &= {U_\varphi }{\varphi _t} + {U_t} = {U_\varphi }( - {u^k}{\varphi _x}) + {U_t}=\\ & {U_t} - {u^k}{U_\varphi }{\varphi _x} = {U_t} - {u^k}{u_x}\end{aligned}$

那么 ${\partial _t}u$ 是存在的且有

${U_t} = {u_t} + {u^k}{u_x}$

(27)

因为 $V$ 是方程(9)的解且 $W(s,t) = {u_x}(x(s,t),t)$ ，由(27)可得

$ \begin{split} {u_t} + {u^k}{u_x}=& - {\partial _x}G * \left(\frac{b}{{k + 1}}{u^{k + 1}} + \frac{{3k - b}}{2}{u^{k - 1}}u_x^2\right) + \\ & G * \left(\frac{{(k - 1)(k - b)}}{2}{u^{k - 2}}u_x^3\right) \end{split} $

(28)

因此， $u$ 是方程(2)的解。

最后，证明 $u \in {C^1}([0,T]:{L^2})$ 。 $\forall {t_1},{t_2} \in [0,T]$ ，由等式(28)，

$\begin{aligned} & {\left\| {{\partial _t}u( \cdot ,{t_1}) - {\partial _t}u( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}}\leqslant\\ &{\left\| {{u^k}( \cdot ,{t_1}){u_x}( \cdot ,{t_1}) - {u^k}( \cdot ,{t_2}){u_x}( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}}+ \\ & {\left\| {{\partial _x}G * f( \cdot ,{t_1}) - {\partial _x}G * f( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}}+\\ & {\left\| {{\partial _x}G * g( \cdot ,{t_1}) - {\partial _x}G * g( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}}\leqslant \\ &{C_8}(k,b,A){\left\| {u( \cdot ,{t_1}) - u( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{H^1}}}\end{aligned}$

通过上面的证明，可知 $u \in C([0,T]:{L^2})$ . 易得：当 ${t_2} \to {t_1}$ 时，

${\left\| {{\partial _t}u( \cdot ,{t_1}) - {\partial _t}u( \cdot ,{t_2})} \right\|_{{L^2}}} \to 0$

因此， $u \in C{}^1([0,T]:{L^2})$ 。故定理3得证。

3 原方程解的唯一性

定理4 　令初值 ${u_0} \in X$ 。如果方程(2)的解满足

$u \in {Z_T} \equiv C([0,T]:{H^1}) \cap {L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }}) \cap {C^1}([0,T]:{L^2})$

则解 $u$ 是唯一的。

证明：由于 $u \in C([0,T]:{H^1})$ ， $u$ 在 ${\mathbb{R}} \times [0,T]$ 里是连续的。因为 $u \in {L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }})$ ，可得 $\forall t \in $ $[0,$ $T]$ 时，对于变量x来说， $u( \cdot ,t)$ 是Lipschitz连续的。因此，类似于文献[15]中的定理3.10，初始问题

${\partial _t}\zeta (s,t) = u(s + \zeta (s,t),t),\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}\zeta (s,0) = 0$

(29)

有唯一解 $\zeta $ ，且 $\zeta \in {C^1}([0,T]:C({\mathbb{R}})) \cap {L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }})$ ，即 ${\partial _t}\zeta \in C([0,T]:C({\mathbb{R}})) \cap {L^\infty }([0,T]:{W^{1,\infty }})$ 。对任意的 $(s,t) \in {\mathbb{R}} \times [0,T]$ ，定义

$\begin{aligned} & x(s,t) = s + \zeta (s,t)\\ &U(s,t) = u(x(s,t),t)\\ &W(s,t) = {u_x}(x(s,t),t)\end{aligned}$

此外， ${x_s}(s,t) = 1 + {\zeta _s}(s,t)$ 和 ${x_t}(s,t) = {u^k}(x(s,t),t) = {U^k}(s,t)$ 。因为 $u$ 是方程(2)的解，由链锁法则可得

$\begin{split} & {\partial _t}U(s,t) = {u_t}(x(s,t),t) + {u_x}(x(s,t),t){x_t}(s,t)=\\ & ({u_t} + {u^k}{u_x})(x(s,t),t) = - {Q_1}(V(s,t)) + {R_2}(V(s,t))=\\ & {F_1}(V(s,t)) \end{split} $

(30)

这里的 ${F_1}$ 和后面的 ${F_2}$ 都定义在第1节。

由 ${F_1}$ 的定义以及卷积公式 ${(1 - \partial _x^2)^{ - 1}}f = G * f$ ，可以推出

$\begin{aligned} &{\partial _s}{F_1}(V(s,t)) = {\partial _s}[ - {Q_1}(V(s,t)) + {R_2}(V(s,t))]=\\ & [ - G'' * {M_1}(\omega (s,t))){\partial _s}x + (G' * {M_2}(\omega (s,t))]{\partial _s}x=\\ & [ - {R_1}(V(s,t)) + {Q_2}(V(s,t)) + N(\omega (s,t))]{\partial _s}x=\\ & [{F_2}(V(s,t)) + k{U^{k - 1}}(s,t){W^2}(s,t)]{\partial _s}x\end{aligned}$

其中 $\omega (s,t) = (U(s,t),W(s,t))$ 。因此可得

$\begin{split} &{\partial _t}{\partial _s}{U^k} = {\partial _s}(k{U^{k - 1}}{U_t}) = {\partial _s}(k{U^{k - 1}}{F_1}(V(s,t)))=\\ &[k(k - 1){U^{k - 2}}W{F_1}(V(s,t)) + k{U^{k - 1}}\cdot ({F_2}(V(s,t)) +\\ &k{U^{k - 1}}{W^2})]{\partial _s}x \end{split} $

(31)

定义： $\forall (s,t) \in {\mathbb{R}} \times [0,T]$ 时，

$y(s,t) = \exp (\int_0^t {W(s,\tau ) \cdot k{U^{k - 1}}(s,\tau )} {\rm{d}}\tau )$

又

$ {\partial _t}x = {\partial _t}\zeta = {U^k},\;\;\;{\partial _t}y = Wy \cdot k{U^{k - 1}} $

由文献[15]中定理3.10的证明，可知 ${\partial _s}x(s,t) = y(s,t)$ 。因此，得

$W = \frac{{{\partial _t}y}}{{y \cdot k{U^{k - 1}}}} = \frac{{{\partial _t}{\partial _s}x}}{{y \cdot k{U^{k - 1}}}} = \frac{{{\partial _s}{U^k}}}{{y \cdot k{U^{k - 1}}}}$

因此，利用式(31)，

$ \begin{split} &{\partial _t}W(s,t) = {\partial _t}\left(\frac{{U_s^k}}{{y \cdot k{U^{k - 1}}}}\right)= \frac{{{\partial _t}{\partial _s}{U^k}}}{{y \cdot k{U^{k - 1}}}} - k{U^{k - 1}}W{}^2 -\\ & \frac{{(k - 1){F_1} \cdot Wy \cdot k{U^{k - 1}}}}{{y \cdot k{U^{k - 1}}}}=\frac{{(k - 1)W{F_1}}}{U} + {F_2} +\\ & k{U^{k - 1}}{W^2} - k{U^{k - 1}}{W^2} - \frac{{(k - 1)W{F_1}}}{U} = F_2(V(s,t)) \end{split} $

(32)

由式(29)~(30)和式(32)，可知 $V( \cdot ,t) \in \bar {{J}} $ 是新方程(9)的解。因为映射 $F:\bar {{J}} \to {{J}}$ 是局部Lipschitz连续，类似定理2的证明，得 $V \in {C^1}([0,T]:\bar {{J}} )$ 。根据定理2， $V \in {C^1}([0,T]:\bar {{J}} )$ 是唯一解。此外，因为对 $\forall t \in [0,T]$ 来说， $x( \cdot ,t)$ 是同胚映射，所以可推出解 $u$ 是唯一的。故定理得证。

最后，本文给出解对初值的弱连续依赖性结论。

定理5 　对任意的 $\varepsilon > 0$ 和 $B > 0$ ，给定初值 ${u_{01}} \in X$ 且 ${\left\| {{u_{01}}} \right\|_X} < B$ ，存在 $0 < \delta < B - {\left\| {{u_{01}}} \right\|_X}$ ，则对任意的初值 ${u_{02}} \ne {u_{01}} \in X$ ，如果

${\left\| {{u_{01}} - {u_{02}}} \right\|_X} \leqslant \delta $

方程(2)有相应解

$ {u_i} \in C([0,{T_i}]:{H^1}) \cap {C^1}([0,{T_i}]:{L^2}), \;\;\;i = 1,2 $

且满足

$\mathop {\sup }\limits_{t \in [0,T]} ({\left\| {{u_1}( \cdot ,t) - {u_2}( \cdot ,t)} \right\|_{{H^1}}} + {\left\| {{\partial _t}{u_1}( \cdot ,t) - {\partial _t}{u_2}( \cdot ,t)} \right\|_{{L^2}}}) < \varepsilon$

这里 $T = \min \left\{ {{T_1},{T_2}} \right\}$ 。

定理5的证明类似于定理3的证明过程，故这里省略。

定理1的证明：综合定理2、3、4、5，即可得证。