自2008年8月1日中国第一条350 km/h的高速铁路——京津城际铁路开通运营以来，高速铁路在中国大陆发展迅猛. 而随着高速铁路网的完善，动车组的运用与周转问题也受到越来越多的学者的关注. 高速铁路动车组周转问题类似于传统的机车周转问题，传统的机车周转问题研究工作主要可分为3类：(1) 将接车周转图的人工勾画方法进行扩展^[1]；(2) 利用图论中的网络流理论解决机车周转问题^[2-4]；(3) 利用运筹学中的指派问题的思路解决机车周转问题^[5-6]. 我国动车组周转问题最早开始于赵鹏1997年的研究^[7]，其构造的动车组不固定区段使用条件下的动车组周转优化模型成为这一领域的研究基础，之后不少学者在考虑检修^[8]、空车调度^[9]以及周期性^[10]等基础上进一步丰富了此领域的理论.

以上成果都是从动车组运用的角度来研究动车组周转问题，而在实际工作中，动车组的周转工作是依托车站的到发线实现的. 史峰^[11]率先将动车组周转和到发线运用结合起来对列车运行图进行了优化. 虽然该成果的目标是运行图优化，但无疑为动车组周转问题提供了新的思考角度. 本文就是在这一思路的启发下，结合文献[12]中到发线运用和接发车进路排列方案综合优化的方法，提出了动车组周转、到发线运用和接发车进路排列方案综合优化方法.

1 问题分析及符号定义

动车组周转实质是车列担任不同运输任务的接续关系，其可在运行图上表示为连接不同运行线间的周转线(如图1(a)所示). 通常在周转图上，为避免周转线之间的重叠，会给有重叠时间的不同周转线不同的偏移量，若将这些不同的偏移量与车站的到发线相对应，显然就可以将周转图和到发线运用联系起来(如图1(b)所示).

另一个方面，列车对到发线的占用时间是从列车接入该到发线的接车进路启用开始到列车发车出清到发线为止. 而对于同一条到发线来说，咽喉区往往存在不止一条接发车进路的径路方式. 如何配合到发线的运用方案对列车通过咽喉区进路的径路进行优化，是本文在考虑动车组周转的同时力求兼顾的问题.

为简便起见，本文的研究基于以下几个前提：(1) 目标车站均为贯通式车站且仅有2个咽喉区；(2) 高铁列车在整个过程中不进行解挂或连挂作业；(3) 所有列车的长度都相等且列车在股道上停靠，不会侵入任何咽喉道岔的范围.

一个车站的到发线在运行图中有3个可能的位置(如图2所示)：(1) 在周转图的最上方，本文中称之为顶部车站；(2) 在周转图的最下方，本文中称之为底部车站；(3) 在周转图的中间，本文称之为中部车站。根据实际情况不同，中部车站可能不存在，也可能存在多个，本文以一个中部车站为例进行相关研究.

定义 $\varphi $ 表示这3个位置的车站，在本文中， $\varphi $ 值的0、1、2分别对应顶部车站、底部车站和中部车站(若中间车站有2个或以上， $\varphi $ 值可进一步增加相应数值). 将车站 $\varphi $ 的2个咽喉按图2的方位分别定义为上端咽喉和下端咽喉.

本文将每个车站的到发线按图2所示分别顺次编号为1、2、 $\cdots $ 、 $n$ ，其不同编号对应车站不同的到发线股道.

定义 ${K^{\varphi} }$ 为车站 $\varphi $ 的到发线编号(按图2编号)集合，显然其元素 ${k^{\varphi} } \in {K^{\varphi} }$ 即代表了到发线的股道号，也代表着周转线的可勾画位置. 为增大模型的适用性，本文定义讨论的运行图并不限定为以24 h为周期的标准图，而是可以以任意截取的运行图时间段作为研究对象. 对于任意截取的一段列车运行图来说，由于不是所有的周转线连接的运行线都在截取的时间之内，因此有必要在图2所示的到发股道右方设置虚拟节点，替代某些周转线右侧连接的在截取时间之后的运行线. 本文作业之间的间隔时间利用符号 $ \odot $ 进行计算，该符号的含义如式(1)所示.

$ a \odot b = a - b + 1\;440\varOmega. $

(1)

式(1)中 $\varOmega $ 表示 $b$ 和 $a$ 的日期天数差.

参数 ${m^{[{\varphi_1},{\varphi _2}]}}$ 表示运行图中相邻车站 ${\varphi _{\rm{1}}}$ 和车站 ${\varphi _{\rm{2}}}$ 之间的运行线以及车站股道右侧的虚拟节点编号(若 ${\varphi _1} \ne {\varphi _2}$ ，为列车运行线，运行方向为由车站 ${\varphi _1}$ 运行至车站 ${\varphi _2}$ ；若 ${\varphi _1} = {\varphi _2}$ ，为虚拟节点)，定义 $t_m^{\left[ {{\varphi _1},{\varphi _2}} \right]\left| {\rm O} \right.}$ 、 $t_m^{\left[ {{\varphi _1},{\varphi _2}} \right]\left| {\rm I} \right.}$ 分别代表运行线 ${m^{[{\varphi _1},{\varphi _2}]}}$ 进入区段的时刻和离开区段的时刻(虚拟节点为 $t_m^{\left[ {\varphi ,\varphi } \right]\left| {\rm O} \right.}{\rm{ = }}t_m^{\left[ {\varphi ,\varphi } \right]\left| {\rm I} \right.}$ ，均取截取运行图的最右侧时间).

定义 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 表示在车站 $\varphi $ 连接运行线 ${m^{[{\varphi _1},\varphi ]}}$ 和 ${m^{[\varphi ,{\varphi _2}]}}$ (由 ${m^{[{\varphi _1},\varphi ]}}$ 指向 ${m^{[\varphi ,{\varphi _2}]}}$ )的准周转接续线(可能不存在).

定义 $s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm O} \right.}$ 为准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的起始时间， $s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm I} \right.}$ 为准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\varphi} $ 的结束时间， $d_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} $ 表示运行线 $m$ 与运行线 $n$ 在车站 $\varphi $ 内接续时的接续时间，显然有：

$ d_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} = s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm I} \right.} \odot s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm O} \right.}, $

(2)

$ s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm O} \right.}{\rm{ = }}t_m^{[{\varphi _1},\varphi ]\left| {\rm I} \right.}, $

(3)

$ s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm I} \right.}{\rm{ = }}t_m^{\left[ {\varphi ,{\varphi _2}} \right]\left| {\rm O} \right.}. $

(4)

定义 $\omega _{[ \uparrow ]}^{\varphi} $ 和 $\omega _{[ \downarrow ]}^{\varphi} $ 分别为车站 $\varphi $ 的下端和上端咽喉的道岔编号；定义 $P_{{\rm{[}} \downarrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm I} \right.}$ 为通过车站 $\varphi $ 的下端咽喉至到发线 ${k^{\varphi} }$ 的进站进路集， $p_{{\rm{[}} \downarrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm I} \right.} \in P_{[ \downarrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm I} \right.}$ 为该进路集中的进路；定义 $P_{{\rm{[}} \downarrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm O} \right.}$ 为通过车站 $\varphi $ 的到发线 ${k^{\varphi} }$ 至下端咽喉的出站进路集， $p_{{\rm{[}} \downarrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm O} \right.} \in P_{[ \downarrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm O} \right.}$ 为该进路集中的进路；定义 $P_{[ \uparrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm I} \right.}$ 为通过车站 $\varphi $ 的上端咽喉至到发线 ${k^{\varphi} }$ 的进站进路集， $p_{[ \uparrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm I} \right.} \in P_{[ \uparrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm I} \right.}$ 为该进路集中的进路；定义 $P_{[ \uparrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm O} \right.}$ 为通过车站 $\varphi $ 的到发线 ${k^{\varphi} }$ 至上端咽喉的出站进路集， $p_{[ \uparrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm O} \right.} \in P_{[ \uparrow ]}^{\varphi ,k\left| {\rm O} \right.}$ 为该进路集中的进路. 在本文中，不严格对以上的4种进路进行区分时，可简写为字母 $p$ .

定义 $x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 为道岔 $\omega $ 采用进站进路 $p$ 实现准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的启用时刻；定义 $x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 为道岔 $\omega $ 采用进站进路 $p$ 实现准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的解锁时刻；定义 $y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 为道岔 $\omega $ 采用出站进路 $p$ 实现准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的启用时刻；定义 $y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 为道岔采用出站进路 $p$ 实现 $\omega $ 准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的解锁时刻. 根据周转线与运行线之间的关系，显然有如下等式：

$ x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.} = s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm O} \right.}{\rm{ - }}\varDelta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}, $

(5)

$ x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.} = s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm O} \right.}{\rm{ - }}\varDelta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}, $

(6)

$ y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.} = s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm I} \right.}{\rm{ - }}\varDelta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}, $

(7)

$ y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.} = s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi \left| {\rm I} \right.}{\rm{ + }}\varDelta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}. $

(8)

式(5)~(8)中， $\varDelta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 表示道岔 $\omega $ 采用进站进路 $p$ 的进路启用时间提前量(相对于列车到站时刻)； $\varDelta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 表示道岔 $\omega $ 采用进站进路 $p$ 的解锁提前量(相对于列车到站时刻)，一般来说，为保证最终方案的弹性，可将这一值全部取为0； $\varDelta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 表示道岔 $\omega $ 采用出站进路 $p$ 的进路启用时间提前量(相对于列车发车时刻)； $\varDelta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 表示道岔 $\omega $ 采用出站进路 $p$ 的解锁时间延后量(相对于列车发车时刻)，一般来说，为保证最终方案的弹性，可将这一值全部取为其中的最大值. $\varDelta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 、 $\varDelta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 、 $\varDelta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 、 $\varDelta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 的值由列车运行速度、列车长度、道岔位置、工作人员技术水平等多个因素综合决定.

定义参数 $s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}$ ，表示进路 $p$ 的总走行距离；定义参数 $c_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}$ ，表示准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 在股道 ${k^{\varphi} }$ 的停靠效用，可根据股道 ${k^{\varphi} }$ 的使用要求、布设位置等信息综合确定.

定义 $u_{m\left( {{\varphi _1}} \right)}^{\varphi ,k}$ 表示运行线 ${m^{[{\varphi _1},\varphi ]}}$ 在车站 $\varphi $ 的股道 ${k^{\varphi} }$ 的停车效用，该参数值可由运行线 ${m^{[{\varphi _1},\varphi ]}}$ 代表的列车在车站 $\varphi $ 的下车乘客数和股道 ${k^{\varphi} }$ 的位置确定，定义 $v_{m\left( {{\varphi _1}} \right)}^{\varphi ,k}$ 表示运行线 ${m^{[\varphi ,{\varphi _1}]}}$ 在车站 $\varphi $ 的股道 ${k^{\varphi} }$ 的起车效用，该参数值可由运行线 ${m^{[\varphi ,{\varphi _{\rm{1}}}]}}$ 代表的列车在车站 $\varphi $ 的上车乘客数和股道 ${k^{\varphi} }$ 的位置确定.

定义0-1参数 $a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} $ 表示 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的存在的可能性，若可能取1，否则取0； $a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} $ 可由动车组折返时间等因素确定.

定义0-1参数 $\delta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right],l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)} \right]}^{\;\varphi} $ 表示在车站 $\varphi $ 内两条周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 和 $l _{m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)}^{\;\varphi} $ 的相互关系，若 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 和 $l _{m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)}^{\;\varphi} $ 可以在同一条到发线上实现，则取1，否则取0. 该参数值可由两条周转线的起讫时间以及车站的技术工作水平确定.

定义0-1参数 $\gamma _{\varphi ,p',l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}$ ，当准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 的进路 $p$ 上的道岔与准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)}^{\;\varphi} $ 的进路 $p'$ 上的道岔在时间及空间上有冲突时为1，否则为0. 该参数可由 $x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 、 $x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ (或 $y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 、 $y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ )与 $x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi ,p',\omega '\left| {\rm I} \right.}$ 、 $x_{l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi ,p',\omega '\left| {\rm O} \right.}$ (或 $y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi ,p',\omega '\left| {\rm I} \right.}$ 、 $y_{l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi ,p',\omega '\left| {\rm O} \right.}$ )之间的数量关系以及咽喉的布局确定.

定义0-1决策变量 $q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} $ 表示最终的动车组周转方案是否选择准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ ，若选择取1，否则取0.

定义0-1决策变量 $\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}$ 值为1时表示准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 由股道 ${k^{\varphi} }$ 实现.

定义0-1决策变量 $\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}$ 值为1时表示在股道 ${k^{\varphi} }$ 上的准周转线 $l _{m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)}^{\;\varphi} $ 由进路 $p$ 实现.

2 模型构建 2.1 与动车组周转有关的优化目标和约束

约束条件为每条运行线的起讫点均需连接且只连接1条周转线：

$\begin{split} &\displaystyle\sum\limits_{{m^{\left[ {{\varphi _{\rm{1}}},\varphi } \right]}}} {\left( {a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^\varphi \cdot q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^\varphi } \right)} = 1, \end{split}$

(9)

其中 $\varphi \ne {\varphi _{\rm{2}}}$ .

$\begin{split} &\sum\limits_{{m^{\left[ {\varphi ,{\varphi _{\rm{2}}}} \right]}}} {\left( {a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^\varphi \cdot q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^\varphi } \right)} = 1, \end{split}$

(10)

其中 ${\varphi _{\rm{1}}} \ne \varphi$ .

优化目标为：(1) 运用动车组数最小：

$ \min {Z_1} = \sum\limits_{{m^{\left[ {\varphi ,\varphi } \right]}}} {\sum\limits_{{m^{\left[ {{\varphi _1},\varphi } \right]}}} {\left( {a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{1}}}} \right),m\left( \varphi \right)} \right]}^{\varphi} \cdot q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{1}}}} \right),m\left( \varphi \right)} \right]}^{\varphi} } \right)} }. $

(11)

(2) 动车组在站总停留时间最短：

$\begin{split} \min {Z_2} = &\sum\limits_{{m^{\left[ {\varphi ,{\varphi _2}} \right]}}} {\sum\limits_{{m^{\left[ {{\varphi _{\rm{1}}},\varphi } \right]}}} {\bigg( {d_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} \cdot a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi}}} }\cdot \\ & q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} \bigg) . \end{split}$

(12)

2.2 与到发线运用有关的优化目标和约束

约束条件为：(1) 每条实际周转线只能由1条股道实现：

$\begin{split}& \sum\limits_k {\left( {\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k} \cdot a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} \cdot q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} } \right)} = \\ & a_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi} \cdot q_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi}. \end{split}$

(13)

(2) 在时间上有冲突的周转线不能在同一股道进行周转作业，也即如果 $\delta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right],l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\;\varphi} = 0$ ，则 $\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}$ 和 $\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}$ 不能同时为1，

$\begin{split}& \left( {{\rm{1 - }}\delta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right],l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi} } \right)\times\\ & \left( {\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}{\rm{ + }}\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _3}} \right),m\left( {{\varphi _4}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}} \right) \leqslant {\rm{1}}. \end{split}$

(14)

优化目标为到发线的效用最大：

$ \max {Z_3} = \sum\limits_k {\theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k} \cdot } \left( {u_{m\left( {{\varphi _1}} \right)}^{\varphi ,k}{\rm{ + }}c_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}{\rm{ + }}v_{m\left( {\varphi_2} \right)}^{\varphi ,k}} \right). $

(15)

2.3 与接发车进路排列有关的优化目标和约束

约束条件为1个周转过程只能由1个进站进路和1个出站进路实现（以车站φ靠近车站φ₁端为车站φ的上端为例，其他情况与之类似）：

$ \sum\limits_{p \in {P_{[\uparrow]}^{\varphi ,k\left| {\rm{I}} \right.}}} {\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}} = \theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}, $

(16)

$ \sum\limits_{p \in P_{[\downarrow]}^{\varphi ,k|{\rm{O}}}} {\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}} = \theta _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,k}. $

(17)

进路不能有冲突，也即 $\gamma _{\varphi ,p',l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}$ 为1时， $\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}$ 和 $\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)} \right]}^{\varphi ,p',k'}$ 不能同时为1，

$ \gamma _{\varphi ,p',l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}\left( {\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}{\rm{ + }}\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _{\rm{3}}}} \right),m\left( {{\varphi _{\rm{4}}}} \right)} \right]}^{\varphi ,p',k'}} \right) \leqslant {\rm{1}}. $

(18)

优化目标为总进路的走行路程最少：

$ \min {Z_{\rm{4}}} = \sum\limits_{p,k} {\left( {\varepsilon _{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k} \cdot s_{l \left[ {m\left( {{\varphi _1}} \right),m\left( {{\varphi _2}} \right)} \right]}^{\varphi ,p,k}} \right)}. $

(19)

2.4 总体模型和求解

虽然以上的3组优化目标和约束可以看成3个优先层次模型，但并不能据此按顺序分层求解，否则有可能会出现低层模型在高层模型的最优解条件下无解的情况，因此，本文的模型为一个整体模型，其中优化目标为式(11)、(12)、(15)、(19)，约束条件为式(9)、(10)、(13)、(14)、(16)、(17)、(18). 4个目标的优先级为 ${Z_1} > {Z_2} > {Z_3} > {Z_4}$ . 这是一个多目标0-1型整数线性规划，可以利用商业优化软件，例如ILOG CPLEX或Lingo进行求解. 本文的整个求解过程是利用C#多次调用ILOG CPLEX实现.

3 算例

以某高铁车站B站18:00~24:00的列车时刻表为例，车站A和C为车站B的相邻车站，车站A、B和B、C之间的列车时刻表如表1所示，B站的平面示意图如图3所示.

根据列车类型以及到发线固定使用方案，确定列车占用各到发线和起停车的效用值如表2所示.

列车在A、B、C的最小折返时间为20 min，同一股道上，两周转线之间的时间间隔必须在4 min以上， $\Delta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 、 $\Delta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm O} \right.}$ 、 $\Delta _{\left[ {{\rm{before}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 、 $\Delta _{\left[ {{\rm{after}}} \right]}^{\varphi ,p,\omega \left| {\rm I} \right.}$ 的取值分别为2、0、2、2，最终求得具体方案如图4和表3所示.

4 结论

(1) 本文提出了动车组周转、到发线运用和接发车进路排列综合优化模型，可以在获得动车组周转的同时，得到到发线运用方案和接发车进路排列方案，这既精简了编制相关方案的工作流程，又确保了动车组周转方案和到发线运用方案的可应用性.

(2) 本文模型以所有高速列车的车长均为定值且任意轨道停靠列车都不会影响到咽喉区道岔为前提. 若动车组长度不一致，可增加相应股道和动车组的匹配约束.

(3) 本文模型以高速铁路列车为对象，若要用于非动车组类列车的机车和动车组周转、到发线运用以及接发车进路排列方法则需对模型进行较大的变动，相关内容有待进一步研究.

(4) 本文仅初步分析了动车组周转、到发线运用和接发列车进路排列方案的综合优化方法，对于动车组的解编、列车的检修以及相关方案与乘务计划的匹配等还有待进一步研究.