凸函数是许多数学分支中的一个重要研究对象，其性质的研究受到各学科领域的广泛关注.1996年，Rockafellar^[1]在Banach空间上研究了凸泛函的次微分及其一些性质.2008年，Ghoussoub^[2-3]在凸泛函的条件下提出自反的Banach空间上用自对偶变分法解决一类不适合用Euler-Lagrange法的偏微分方程，随后Galichon^[4]、Ricceri^[5]等对变分理论的研究均是建立在凸泛函的基础上.可见，凸泛函的应用非常广泛.

本文受此启发, 参考文献[6-8]中的变分理论，对非自反Banach空间中对Legendre-Fenchel对偶变换和某些向量场的性质进行了探讨，这些结果对研究非自反Banach空间中的变分理论有着重要作用.

首先，回顾一些相关概念及定理，其他概念可参考文献[9-11].

定义1^[12]  如果赋范空间X到X^**的自然映射是满射的，则称X是自反的，记X = X^**.

定义2^[13]  函数f:X→R∪{+∞}在x₀点弱*下半连续，则当${x_n}\mathop \to \limits^{{w^*}} {x_0}$时有

定义3^[14]  若X是实局部凸空间，泛函$ \varphi :X \to R \cup \left\{ { + \infty } \right\}$，则$ {\varphi ^ * }:{X^ * } \to R \cup \left\{ { + \infty } \right\}$为

$ {\varphi ^ * }\left( f \right) = \mathop {\sup }\limits_{x \in X} \left\{ {f\left( x \right) - \varphi \left( x \right)} \right\}$叫做φ的Legendre-Fenchel变换.R∪{+∞}常记为R.

定义4^[14]  若φ, ψ是Banach空间X中的的下半连续凸泛函，则

引理1^[12]  任一赋范空间X与其二次对偶空间X^**的某一子空间等距线性同构.

引理2^[14]  令h(x)=

其中F是X×X上的泛函，其中X是Banach空间，则对任意p∈X^*, $ {h^*}\left( p \right) = {F^*}\left( {\frac{p}{2}, \frac{p}{2}} \right)$.

引理3^[14]  定义在X×X上的函数g(x₁, x₂)=‖x₁－x₂‖²，其中X是Banach空间，则

引理4^[15]  若X是非自反Banach空间，φ:X^*→R是凸拓扑弱*下半连续，且

$ \mathop {\lim }\limits_{\left\| f \right\| \to \infty } \varphi \left( f \right) = + \infty, f \in {X^*}$，那么存在f₀∈X^*，使得$\varphi \left( {{f_0}} \right) = \mathop {\inf }\limits_{f \in {X^*}} \varphi \left( f \right) $.

引理5^[15]  设X为实非自反Banach空间，φ:X^*→R为弱*下半连续凸泛函，则

(1) φ^*:X^**→R是凸的且弱*下半连续；

(2) φ^**:X^*→R，则

${\varphi ^{**}}\left( f \right) = \sup \left\{ {{f^*}\left( f \right) - {\varphi ^*}\left( {{f^*}} \right),{f^*} \in {D_{\varphi *}}} \right\}$，则

(3) 若$ {f}_0^* \in \partial \varphi \left( {{f_0}} \right)$，那么$ {{f}_0} \in \partial {\varphi ^*}\left( {f_0^*} \right)$且$ {f}_0^*\left( {{f_0}} \right) = \varphi \left( {{f_0}} \right) + {\varphi ^*}\left( {f_0^*} \right)$.

定理1  若X是非自反Banach空间，f₁, f₂: X^*→R∪{+∞}是两个弱*下半连续凸泛函，定义h(x)=

证明  令F(x₁, x₂)=g₁(x₁, x₂)+g₂(x₁, x₂),

因为f₁, f₂是弱*下半连续，所以F是X^*×X^*上的弱*下半连续凸泛函，且f₁, f₂由仿射函数下控，$ \frac{1}{8}{\left\| {{x_1} - {x_2}} \right\|^2}$满足强制条件，故F(x₁, x₂)在X^*×X^*上满足强制条件可取到下确界，即h(x)存在.下证h(x)的Legendre对偶变换为h^*(p).

由引理2可得

根据引理3可得

因为f₁, f₂:X^*→R∪{ + ∞ }为弱*下半连续凸泛函，则$ f_1^*, f_2^*:{X^{**}} \to R \cup \left\{ {\; + \infty \;} \right\}$是弱*下半连续凸泛函，又X^**具有弱*紧性，故$f_i^*\left( {{q_0}} \right) = \mathop {\inf }\limits_{q \in {X^{**}}} f_i^*\left( q \right) $, i=1, 2，所以h^*(p)存在.则结论成立，证毕.

下面给出h(x)与h^*(p)的计算实例.$ {f_1}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {{\alpha _i}{x_i}, } {f_2}\left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {{\beta _i}{x_i}} $, 其中$ {f_1}, {f_2}, x \in {l^1}, \left( {{\alpha _i}} \right) \in {l^\infty }/{l^1}, \left( {{\beta _i}} \right) \in {l^1}$，令$\alpha = \left( {{\alpha _i}} \right), \beta = \left( {{\beta _i}} \right), p = \left( {{p_i}} \right) \in {l^\infty } $，

令x′_i+x″_i=0，则有x′_i=-x″_i，

若$ \left( {{\alpha _i} - {\beta _i}} \right) \notin {l^2}$，则h(0)=+∞；

若$ \left( {{\alpha _i} - {\beta _i}} \right) \in {l^2}$，则$h\left( 0 \right) = - \frac{1}{8}\sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {{{\left( {{\alpha _i} - {\beta _i}} \right)}^2}} - \frac{1}{8}{\left\| {\alpha - \beta } \right\|^2}$.

故$ h\left( 0 \right) = \left\{ \begin{array}{l} + \infty, \left( {{\alpha _i} - {\beta _i}} \right) \in {l^2};\\ - \frac{1}{8}{\left\| {\alpha - \beta } \right\|^2}, \left( {{\alpha _i} - {\beta _i}} \right) \notin {l^2}. \end{array} \right.$.

根据Legendre-Fenchel变换, 可得

根据定理1，依次求出$f_1^*\left( p \right), f_2^*\left( p \right) $,

同理

应用定理1的结论

通过直接计算与使用定理1的结论求出h(x)的Legendre-Fenchel变换h^*(p)结果相同.

在非自反Banach空间X中，对任意弱*下半连续Lagrange型凸泛函L:X^**×X^*→R，可以定义向量场δ^*L(x)^[16].

δ^*L(x)可以是空集.命题^[16]：x→δ^*L(x)是单调映射.若X是自反Banach空间，则δ^*L(x)=δL(x)^[4]，否则不一致^[16].

另外，可以定义L(x, p)的另一个向量场$\bar \partial L\left( x \right) $，但$\bar \partial L\left( x \right) $不一定是单调映射，

定理2  L:X^**×X^*→R是弱*下半连续Lagrange型凸泛函，X是非自反Banach空间，若对任意(x, p)∈X^**×X^*有L (x, p) ≥＜x, p＞，则$\bar \partial L\left( x \right) \subset {\delta ^*}L\left( {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over x} } \right), \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over x} \in X $.

证明  假设$ p \in \bar \partial L\left( x \right)$，任意(y, q)∈X^**×X^*有

令t→0⁺，得$L\left( {x + y,p + q} \right) - L ＜ x,p ＞ \ge {\rm{ ＜ }}x,q{\rm{ ＞ }} + ＜ y,p ＞ ,\left( {x,p} \right) \in {X^{**}} \times {X^*}.$

又$ {X^{{\rm{**}}}} \times {X^*} \supset X \times {X^*}$，

所以, $ ＜ \hat x,p ＞ \in X \times {X^*},{\rm{ ＜ }}\hat y,q{\rm{ ＞ }} \in X \times {X^*},L\left( {\hat x + \hat y,p + q} \right) - L\left( {\hat x + q} \right) \ge ＜ \hat x,q ＞ + ＜ \hat y,p ＞ $即$p \in {\delta ^*}L\left( {\hat x} \right) $.

举例说明定理2的$\bar \partial L\left( x \right) \subset {\delta ^*}\left( x \right)$可能是真包含关系.

例1  设

$ L:{l^\infty } \times {l^1} \to R, {l^\infty }, {l^1}$均是非自反Banach空间，定义$ L\left( {x, p} \right) = {\left\| {\;x\;} \right\|_{{l^\infty }}} + {\left\| {\;p\;} \right\|_{{l^1}}}$, 其中$\left( {x, p} \right) \in {l^\infty } \times {l^1}$，求映射L的δ^*L(x)和$\bar \partial L\left( x \right)$.

(1) 求δ^*L(x).

由定理2可知p∈δ^*L(x), 即有＜x, q＞+＜y, p＞≤L(x+y, p+q)－L(x, p)，此时（x, p）∈c₀×l¹.又$x \in {c_0} \subseteq {l^\infty }$，有

其中x, y∈c₀; p, q∈l¹.

式(1) 对任意(y, q)∈c₀×l¹均成立，则当y=(0, 0, …)，有$< x, q > \le {\left\| q \right\|_{{l^1}}}$，得${\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} \le 1$；当q=(0, 0, …)，有$ ＜ y, p ＞ \le {\left\| {{y_n}} \right\|_{{l^\infty }}}$，得$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{p_n} \le 1} $.

可得，${\left\| x \right\|_{{l^\infty }}} \le 1$时，δ^*L(x)=B(0, 1)，否则，${\delta ^*}L\left( x \right) = \emptyset $.

(2) 求$\bar \partial L\left( x \right)$.

由定义$ \bar \partial L\left( x \right)$=

$\left\{ {p \in {X^*}; ＜ x, p ＞ \in {X^{**}} \times {X^*}, L\left( {x, p} \right) - ＜ x, p ＞ = 0} \right\}$，有$\left( {x, p} \right) \in {l^\infty } \times {l^1}$.

① 当x=(0, 0, …)∈l^∞时，L(x, p)－＜x, p＞=0变形为

② 当x=(x₁, x₂, …, x_i, 0, …), i=1, 2, …，$\left| {{x_i}} \right| ＜ 1$, 且x_i≠0.L(x, p)-＜x, p＞=0变形为

即$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {{p_n}} \right|} = {x_1}{p_1} + ... + {x_i}{p_i} - \mathop {\sup }\limits_n \left| {{x_n}} \right| \le \left| {{x_1}{p_1}} \right| + ... + \left| {{x_i}{p_i}} \right|,$

与$ \left| {{x_i}} \right| ＜ 1$相矛盾，故p无解，$\bar \partial L\left( x \right) = \emptyset $.

③ 当x=(x₁, x₂, …, x_i, 0, …), i=1, 2, …，且$\left| {{x_i}} \right|$不全小于1时，L(x, p)-＜x, p＞=0中p的解不唯一.

由上面计算知，‖x‖_l^∞≤1，$\bar \partial L\left( x \right) \ne {\delta ^*}L\left( x \right)$.所以$\bar \partial L\left( x \right) \subset {\delta ^*}L\left( x \right)$是真包含关系.

B:X^**→X^**是一有界线性算子，定义B_*:X^*→X^*如下，且＜B_*f, y＞=＜f, By＞,$\forall f \in {X^*}$, y∈X^**.

命题：B_*是一有界线性算子，且$ \left\| B \right\| = \left\| {{B_*}} \right\|$，所以B_*有界.

证明  线性性显然，令$\left\| f \right\| = \left\| y \right\| = 1$，一方面，因为B是有界线性算子，则有$ ＜ {B_*}f, y ＞ \le \left\| B \right\|\;\;\left\| f \right\|\;\;\left\| y \right\|$，所以B_*有界，且$ \left\| {{B_*}} \right\| \le \left\| B \right\|$；反之B_*是有界线性算子，故$ ＜ f,{B}y ＞ \le \left\| {{B_*}} \right\|\;\;\left\| f \right\|\;\;\left\| y \right\| $，得$\left\| B \right\| \le \left\| {{B_*}} \right\| $，因此$ \left\| B \right\| = \left\| {{B_*}} \right\|$.

定理3  若X是非自反Banach空间，设φ:X^*→R为弱*下半连续凸泛函，令φ^*(x)=

q∈X^*}，则有L^*(B_*p, Bx)=L(x, p)，即L是B自对偶的.

证明  因为L^*(B^*p, Bx)=

又φ^**=φ，故L^*(B_*p, Bx)=L(x, p).证毕.