2016, Vol. 33
智能天线技术[1-4]的关键技术之一就是对各种入射信号波达方向DOA (direction of arrival)进行判定，为了更好地实现此功能，必须采用阵列天线，相比于均匀线阵，均匀圆阵具有可实现360°全方位和二维角无模糊覆盖的优点，所以近年来得到了广泛的关注[5-7]，然而，均匀圆阵接收信号的阵列流型不具备范德蒙德形式，以致传统算法如多重信号分类[8](multiple signal classification, MUSIC)算法、旋转不变信号参数估计[9](estimation of signal parameter via rotational invariance techniques，ESPRIT)算法等子空间类算法无法直接运用于均匀圆阵的DOA估计.文献[10]提出了MODE-TOEP算法，该算法采用模式激励技术，将均匀圆阵转化为虚拟的均匀线阵，构建包含DOA信息的满秩Toeplitz矩阵，达到解相干目的，通过谱峰搜索，完成DOA估计，该算法可以有效分辨相干信号的DOA，弥补了传统MUSIC算法只适用于非相干信号的缺陷，但该算法不能充分地对强相关和低信噪比信号进行有效的分辨，为此，文献[11]在均匀圆阵接收信号数学模型基础上，将阵列信号往Z轴方向虚拟平移，构建了波达方向矩阵，实现了对相干入射信号DOA二维角的判定，提高了算法的分辨率，但同时由于应用波达方向矩阵是以损失子阵列孔径为代价的，一定程度上造成了阵列资源的浪费.文献[12]提出了一种圆阵垂直平滑解相干算法，但对于阵列信号数学模型而言，由于均匀圆阵的高度对称性，X轴方向的虚拟平移与Y轴方向的虚拟平移等价，因此该算法在X轴、Y轴两方向上重复平移只是对阵列接收信号DOA信息的重复利用，并不能达到提高算法估算精度的目的，而且算法中只针对了入射信号一维角的判定，不能发挥均匀圆阵能对入射信号DOA二维角判定的优势.
本文基于均匀圆阵信号数学模型，提出了一种基于两垂直方向虚拟平移的DOA算法，该算法的独特性主要体现为利用阵列信号在Z轴、X轴方向相位旋转因子特性的不同，将阵列信号在Z轴、X轴方向进行虚拟平移，构造两个Toeplitz矩阵，利用信号子空间和噪声子空间的正交特性，先对俯仰角进行估计，然后对方位角进行估计，完成均匀圆阵相干信号的DOA估计.该算法与其他虚拟平移算法相比而言，不是对DOA信息进行简单的重复利用后取均值，而是根据两垂直方向旋转因子不同，从不同层面对DOA信息进行进一步虚拟扩展处理，充分利用了阵列接收信号中的DOA信息，提高了算法的分辨率，与此同时，由于是虚拟平移后的阵列信号处理，避免了阵列资源的浪费.仿真对比结果表明，对于低信噪比情况下的相干信号，该算法能有效减小其DOA估算误差、提高DOA估算精度.
1 数学模型假设在系统中有K个窄带远场信号入射到如图 1所示的均匀圆阵中，该圆阵以圆心为参考点，由M个同性阵元组成，模型中采用前L个信号为相干信号，其余(K-L)个信号为非相干信号，不考虑阵元与阵元之间的互耦效应，则第k个阵元的接收信号可以表示为
| $ \begin{array}{l} {x_k} = \sum\limits_{i = 1}^K {{s_i}\left( t \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{\pi }}}}{\lambda }r\cos \left( {{\varphi _i} - \frac{{2{\rm{\pi }}k}}{M}} \right)\sin \left( {{\theta _i}} \right)}} + {n_k}\left( t \right)} = \\ {s_1}\left( t \right)\sum\limits_{i = 1}^L {{\beta _i}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{\pi }}}}{\lambda }r\cos \left( {{\varphi _i} - \frac{{2{\rm{\pi }}k}}{M}} \right)\sin \left( {{\theta _i}} \right)}}} + \\ \sum\limits_{i = L + 1}^K {{s_i}\left( t \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{\pi }}}}{\lambda }r\cos \left( {{\varphi _i} - \frac{{2{\rm{\pi }}k}}{M}} \right)\sin \left( {{\theta _i}} \right)}} + {n_k}\left( t \right),} \end{array} $ | (1) |
|
图 1 均匀圆阵 Figure 1 Uniform circular array |
其中，si(t)为第i个信号信号幅度，r为均匀圆阵半径，λ为入射波波长，nk(t)为功率σ2空域白噪声且与各信号互不相干，βi=ρiejΔφi，i=1, 2, …, L为信号的衰减系数假设(β1=1, Δφ1=0)[13].
阵列接收信号矢量可以表示为
| $ \mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right) = {\left[ {{x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right), \cdots ,{x_M}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{AS}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right), $ | (2) |
式中S(t)=[s0(t), s1(t), …, sK-1(t)]T为阵列入射信号矢量，N(t)=[n0(t), n1(t), …, nK-1(t)]T为噪声矢量，A=[a(θ0, φ0), a (θ1, φ1), …, a (θK-1, φK-1)]为阵列流型矢量.另外，
| $ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{a}}\left( {{\theta _i},{\varphi _i}} \right) = \left[ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }r\cos \left( {{\varphi _i} - {\gamma _0}} \right)\sin \left( {{\theta _i}} \right)}},{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }r\cos \left( {{\varphi _i} - {\gamma _1}} \right)\sin \left( {{\theta _i}} \right)}}, \cdots ,} \right.\\ \;\;\;\;\;{\left. {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }r\cos \left( {{\varphi _i} - {\gamma _{M - 1}}} \right)\sin \left( {{\theta _i}} \right)}}} \right]^{\rm{T}}} \end{array} $ | (3) |
为均匀圆阵的方向矢量，其中，rk=2πk/M，k=0, 1, …, M-1，可以看出，均匀圆阵的方向矢量不具备有范德蒙德形式，为了使均匀线阵的解相干算法可以直接应用到均匀圆阵，需采用模式激励将均匀圆阵转化为虚拟均匀线阵[14]
| $ \mathit{\boldsymbol{\tilde X}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{TX}}\left( t \right) = \mathit{\boldsymbol{\tilde AS}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{\tilde N}}\left( t \right), $ | (4) |
转化矩阵T为T=J-1F /M，式中
| $ \mathit{\boldsymbol{F = }}{\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_{ - k}},{\mathit{\boldsymbol{w}}_{ - k + 1}}, \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{w}}_k}} \right]^{\rm{H}}}, $ | (5) |
| $ {\mathit{\boldsymbol{w}}_k} = {\left[ {1,{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}k/M}}, \cdots ,{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}k\left( {M - 1} \right)/M}}} \right]^{\rm{H}}}, $ | (6) |
| $ \mathit{\boldsymbol{J = }}{\rm{diag}}\left\{ {1/{{\rm{j}}^k}{J_k}\left( \beta \right)} \right\}. $ | (7) |
令h≈2πR/λ为模式激励的最大模式数，则k=-h, …, 0, …, h，Jk(β)为k阶第一类贝塞尔函数.假如满足M＞2h+1，虚拟线阵的阵列流型为
| $ \mathit{\boldsymbol{\tilde A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}h{\theta _1}}}}& \cdots &{{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}h{\theta _K}}}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& \cdots &1\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}h{\theta _1}}}}& \cdots &{{{\rm{e}}^{{\rm{j}}h{\theta _K}}}} \end{array}} \right], $ | (8) |
可以看出，转化后的虚拟线阵阵列流型具有范德蒙德形式，可将均匀线阵的解相干算法用于均匀圆阵DOA估计.
2 垂直方向虚拟平移DOA判定算法均匀圆阵阵列接收信号矢量为
| $ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{X}}\left( t \right) = {\left[ {{x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right), \cdots ,{x_M}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{AS}}\left( t \right) + \\ \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right), \end{array} $ | (9) |
将其往X轴方向平移n次，第m次平移的相位旋转因子为
| $ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xm}} = {\rm{diag}}\left[ {{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }lm\sin \left( {{\theta _0}} \right)\cos \left( {{\varphi _0}} \right)}},{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }lm\sin \left( {{\theta _1}} \right)\cos \left( {{\varphi _1}} \right)}}, \cdots ,} \right.\\ \left. {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }lm\sin \left( {{\theta _{K - 1}}} \right)\cos \left( {{\varphi _{K - 1}}} \right)}}} \right], \end{array} $ | (10) |
m=1, 2, 3, …, n，其中l为阵列信号每次平移的距离，平移后的第m个阵列接收信号矢量为
| $ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{X}}_{xm}}\left( t \right) = {\left[ {{x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right), \cdots ,{x_M}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}} = \\ \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xm}}\mathit{\boldsymbol{S}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right). \end{array} $ | (11) |
阵列接收信号矢量往Z轴方向平移p次，第q次平移的相位旋转因子为
| $ {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}} = {\rm{diag}}\left[ {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }lq\cos \left( {{\varphi _0}} \right)}},{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }lq\cos \left( {{\theta _1}} \right)}}, \cdots ,{{\rm{e}}^{{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{\lambda }lq\cos \left( {{\theta _{K - 1}}} \right)}}} \right], $ | (12) |
q=1, 2, 3, …, p，其中，l为阵列信号每次平移的距离，平移后的第q个阵列接收信号矢量为
| $ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{X}}_{zq}}\left( t \right) = {\left[ {{x_1}\left( t \right),{x_2}\left( t \right), \cdots ,{x_M}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}} = \\ \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}\mathit{\boldsymbol{S}}\left( t \right) + \mathit{\boldsymbol{N}}\left( t \right). \end{array} $ | (13) |
用模式激励方法，将平移后X轴、Z轴方向上信号矢量分别转化为具有K=2h+1个模式元素的对称虚拟均匀线阵，如图 2所示.
|
图 2 虚拟均匀线阵 Figure 2 Virtual uniform linear array |
接收信号矢量可表示为
| $ \mathit{\boldsymbol{\tilde X}}\left( t \right) = {\left[ {{x_{ - h}}\left( t \right),{x_{ - \left( {h - 1} \right)}}\left( t \right), \cdots ,{x_0}\left( t \right), \cdots ,{x_h}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}}. $ | (14) |
Z轴上有p个均匀线阵，第q个阵列接收信号协方差矩阵可表示为
| $ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{Zq}} = E\left[ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}_{zq}}\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}_{zq}^{\rm{H}}} \right] = \mathit{\boldsymbol{\tilde A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_{ss}}\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{\mathit{\boldsymbol{Zq}}}^{\rm{H}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}}^{\rm{H}}} + {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}^2}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{2h + 1}}, $ | (15) |
Rss=E[s(t)s(t)H]为有用信号的协方差矩阵；I2h+1为(2h+1)×(2h+1) 单位矩阵.式(15) 协方差矩阵的第m行、第n列的元素可表示为[13]
| $ r\left( {m,n} \right) = \sum\limits_{i = 1}^K {{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zm}}\left( {l,:} \right){d_{m,n}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zn}}\left( {i,:} \right){{\rm{e}}^{{\rm{jsin}}{\varphi _i}}}} + \sigma _n^2{\delta _{m,n}}, $ | (16) |
| $ \begin{array}{l} m,n = - h, \cdots ,0, \cdots ,h.\\ {d_{m,n}} = \left\{ \begin{array}{l} {P_{1,1}}\beta _i^ * \sum\nolimits_{l = 1}^L {{\beta _l}{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}k\sin {\varphi _l}}},i = 1, \cdots ,L,} \\ {P_{i,i}}\beta _i^ * {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}k\sin {\varphi _i}}},i = L + 1, \cdots ,P, \end{array} \right. \end{array} $ | (17) |
| $ {P_{l,i}} = E\left\{ {{s_l}\left( t \right)s_i^ * \left( t \right)} \right\},l,i = 1,L + 1, \cdots ,K, $ | (18) |
| $ {\delta _{m,n}} = \left\{ \begin{array}{l} 1,m = n,\\ 0,m \ne n. \end{array} \right. $ | (19) |
σn2=E{n(t)n*(t)}, φZq (k, :)表示矩阵φZq的第k行，以协方差矩阵第m行元素重构包含DOA估计信息的Toeplitz矩阵：
| $ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{Z{\rm{Toep}}}} = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r\left( {m,0} \right)}&{r\left( {m,1} \right)}& \cdots &{r\left( {m,h} \right)}\\ {r\left( {m, - 1} \right)}&{r\left( {m,0} \right)}& \cdots &{r\left( {m,h - 1} \right)}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {r\left( {m, - h} \right)}&{r\left( {m, - h + 1} \right)}& \cdots &{r\left( {m,0} \right)} \end{array}} \right] = \\ {\mathit{\boldsymbol{A}}_r}\mathit{\boldsymbol{D}}\left( m \right)\mathit{\boldsymbol{A}}_r^H + \sigma _n^2{\mathit{\boldsymbol{I}}_h} + 1. \end{array} $ | (20) |
Ar=
| $ \mathit{\boldsymbol{J}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}\left( {k,:} \right)} \right) = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}{{\left( {k,:} \right)}^{\rm{H}}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}}^{\rm{H}}}{\mathit{\boldsymbol{U}}_{Zn}}\mathit{\boldsymbol{U}}_{Zn}^{\rm{H}}\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}\left( {k,:} \right)}}{{{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}{{\left( {k,:} \right)}^{\rm{H}}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}\left( {k,:} \right)}}, $ | (21) |
k=1, 2, …, K, 求出J(φZq (k, :))的最小值便可求出φZq(k, :), 令QX=
| $ {{\hat \theta }_{k - 1}} = \arccos \left( {\frac{{\lambda {\rm{angle}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Zq}}\left( {k,:} \right)} \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}lq}}} \right),k = 1,2, \cdots ,K. $ | (22) |
同样，X轴上有n个均匀线阵，第m个阵列接收信号协方差矩阵可表示为
| $ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{Xm}} = \mathit{\boldsymbol{E}}\left[ {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}}_{Xm}}\mathit{\boldsymbol{\tilde X}}_{Xm}^{\rm{H}}} \right] = \mathit{\boldsymbol{\tilde A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xm}}{R_{ss}}\varphi _{\mathit{\boldsymbol{Xm}}}^{\rm{H}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}}^{\rm{H}}} + {\mathit{\boldsymbol{\sigma }}^2}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{2h + 1}}, $ | (23) |
Rss=E[s(t)s(t)H]为有用信号的协方差矩阵；I2h+1为(2h+1)×(2h+1) 单位矩阵.式(23) 协方差矩阵的第m行、第n列的元素可表示为
| $ r\left( {m,n} \right) = \sum\limits_{i = 1}^K {{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xq}}\left( {i,:} \right){d_{m,n}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xq}}\left( {i,:} \right){{\rm{e}}^{{\rm{jsin}}{\varphi _i}}}} + {\sigma ^2}{\delta _{m,n}}, $ | (24) |
其中dm, n、σ2、δm, n定义与之前所述一样，以矩阵RXm第m行元素构成包含DOA估计信息的Toeplitz矩阵：
| $ \begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{X{\rm{Toep}}}} = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r\left( {m,0} \right)r\left( {m,1} \right) \cdots r\left( {m,h} \right)}\\ {r\left( {m, - 1} \right)r\left( {m,0} \right) \cdots r\left( {m,h - 1} \right)}\\ { \vdots \vdots \ddots \vdots }\\ {r\left( {m, - h} \right)r\left( {m, - h + 1} \right) \cdots r\left( {m,0} \right)} \end{array}} \right] = }\\ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{g}}\mathit{\boldsymbol{G}}\left( m \right)\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{g}^{\rm{H}} + {\sigma ^2}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{h + 1}},\\ {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{g}} = \mathit{\boldsymbol{\tilde A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{\mathit{Xq}}},\mathit{G}\left( \mathit{q} \right) = {\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{\mathit{Xq}}}{\rm{diag}}\left\{ {{\mathit{d}_{\mathit{m}{\rm{,1}}}},{\mathit{d}_{\mathit{m}{\rm{,2}}}}, \cdots ,{\mathit{d}_{\mathit{m}{\rm{,}}\mathit{k}}}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{\mathit{Xn}}}. \end{array} \end{array} $ | (25) |
同理分析，矩阵为满秩，照样可以达到解相干的目的, 对RXToep进行特征值分解，同样可得到K个大特征值和M-K+1个小特征值，相应特征向量空间为
UXs=span{ VX1, …, VXK}=span{
| $ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{J}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xm}}\left( {k,:} \right)} \right) = \\ \frac{{{\varphi _{Xm}}\left( {k,:} \right){}^{\rm{H}}{{\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}}^{\rm{H}}}{\mathit{\boldsymbol{U}}_{Xn}}\mathit{\boldsymbol{U}}_{Xn}^{\rm{H}}\mathit{\boldsymbol{\tilde A}}{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xm}}\left( {k,:} \right)}}{{{\varphi _{Xm}}{{\left( {k,:} \right)}^{\rm{H}}}{\varphi _{Xm}}\left( {k,:} \right)}}, \end{array} $ | (26) |
k=1, 2, …, K, 求出J(φXm (k, :))的最小值便可求出φXm (k, :)，令QX=
| $ {{\hat \varphi }_{k - 1}} = \arccos \left( {\frac{{\lambda {\rm{angle}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{Xm}}\left( {k,:} \right)} \right)}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}lm\sin \left( {{{\hat \theta }_k}} \right)}}} \right),k = 1,2, \cdots ,K, $ | (27) |
完成信号二维角的波达方向估计.
3 算法步骤(1) 利用模式激励将均匀圆阵转换为均匀线阵；
(2) 利用相位旋转因子式(10) 和式(12) 将均匀线阵分别在X轴、Z轴方向进行虚拟平移；
(3) 分别得出虚拟平移后的信号协方差矩阵，利用式(20) 和式(25) 构造相应的Toeplitz矩阵；
(4) 首先对Z轴方向上构造的Toeplitz矩阵特征分解，利用式(21) 最小值，求出俯仰角的估计值；
(5) 对X轴方向上构造的Toeplitz矩阵特征分解，利用式(26) 最小值，求出来波方位角的估计值，完成信号二维角的波达方向估计.
4 仿真结果分析为验证算法的可行性和有效性，本文进行了Matlab仿真实验.仿真DOA算法估计性能、均方根误差实验中采用(仿真图中二维空间谱估计及DOA估计角度单位均为度)：
(1) 8阵元均匀圆阵，阵间间距为d=λ/2；
(2) 激励模式的最大模式数h=3，可激发2h+1个相位模式，形成阵元数为7的虚拟均匀线阵；
(3) 在X轴、Z轴方向上，每次平移的距离为0.1r(r为均匀圆阵半径)；
(4) 3个入射角信息，其中信号1为独立信号，信号2、信号3为强相干信号，入射角度分别为：(θ1, φ1)=(80°, 70°)、(θ2, φ2)=(90°, 75°)、(θ3, φ3)=(150°, 50°).
图 3、图 4中所示为信噪比SNR=20 dB、快拍数为1 024、基于两垂直方向虚拟平移的波达方向判定算法的空间谱估计以及入射信号俯仰角、方位角的来波方向估计，从两图中可以看出，当入射信号为强相干信号，入射角度比较邻近时，该算法能够很好地抑制相干信号之间的干扰，也能够精确地估算出入射信号的来波方向，精确度较高.
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图 3 二维空间谱估计 Figure 3 Two-dimensional spatial spectrum estimation |
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图 4 DOA估计 Figure 4 DOA estimation |
图 5所示为本文算法与文献[8]MODE-TOEP算法与文献[10]垂直平滑算法在不同信噪比条件下DOA估计的均方根误差关系曲线图.由图 5可见，在信噪比SNR＜15 dB情况下，本文算法相对于MODE-TOEP算法和垂直平滑算法而言，DOA估计的误差及波动更小，估计精度更高.当SNR＞15 dB，3种算法性能均趋于稳定.仿真实验表明，基于两垂直方向虚拟平移的波达方向估算算法在低信噪比环境中，比MODE-TOEP算法[8]和垂直平滑算法[10]DOA估计误差更小，估计精度更高.
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图 5 均方根误差与信噪比关系曲线图 Figure 5 Graph of root mean square error and signal-to-noise ratio |
图 6所示为本文算法在不同信噪比下均匀圆阵阵元数M分别为6、8、10的均方根误差曲线图，由图 6可见，随着阵元数的增加，二维估计角度均方根误差不断减小，估计精度相应提高.这是由于均匀圆阵阵元数增加，转化为虚拟均匀线阵的相位模式相应增加，使得接收数据中含DOA估计信息更加丰富具体.但与此同时，阵元数增加会导致硬件成本的增加，所以，在实际应用中，估算精度和阵元数目还应折衷处理.
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图 6 不同阵元数下均方根误差曲线图 Figure 6 Graph of root mean square error with different array elements |
本文提出了一种基于两垂直方向虚拟平移的Toeplitz矩阵算法.该算法利用阵列信号在Z轴、X轴方向上旋转因子的不同，将信号在Z轴、X轴两垂直方向上进行虚拟平移，经过模式激励，将均匀圆阵转化为阵列流型具有范德蒙德形式的虚拟均匀线阵，构造两个包含DOA估计信息的Toeplitz矩阵，利用信号子空间和噪声子空间的正交特性，完成均匀圆阵相干信号的DOA估计.仿真对比实验验证了算法对于提高均匀圆阵相干信号尤其是在低信噪比情况下DOA估算精度的可行性和有效性.同时，在实际应用中，针对算法在Z轴、X轴方向上每次平移的距离对算法性能的约束问题，还有待进一步研究讨论.
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