1 拟共形映射及Holder先验估计

从z=(x, y)平面中一个区域Ω到w=(p, q)平面的连续可微映射w(z)=p(x, y)+iq(x, y)称为在Ω中是K-拟共形的, 若对某常数K≥1, 有

$ p_x^2 + p_y^2 + q_x^2 + q_y^2 = 2K\left( {{p_x}{q_y} - {p_y}{q_x}} \right) $

(1)

对所有(x, y)∈Ω成立.这里的几何意义是:在Jcobi行列式非零的点上, z平面和w平面之间的映射保持定向, 并使无穷小圆变为离心率一致有界的无穷小椭圆其短轴与长轴之比以$\alpha = K-{\left( {{K^2}-1} \right)^{\frac{1}{2}}} \in \left( {0, 1} \right)$为下界.

考虑下述不等式定义的更一般类型的映射(x, y)→(p, q)是有意义的:

$ p_x^2 + p_y^2 + q_x^2 + q_y^2 = 2K\left( {{p_x}{q_y} - {p_y}{q_x}} \right) + K' $

(2)

其中K≥1, K′≥0是常数.称满足式(2)的映射w(z)是(K, K′) -拟共形的.

关于拟共形映射理论可见文献[1-2].为了得到(K, K′)-拟共形映射的先验Holder内估计, 需要两个引理.设w在圆域B _r(z)上的Dirichlet积分:

$ \begin{gathered} \left( {r,z} \right) = \iint_{{B_r}\left( z \right)} {{{\left| {Dw} \right|}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y} = \iint_{{B_r}\left( z \right)} {\left( {{{\left| {{w_x}} \right|}^2}{\text{ + }}} \right.} \hfill \\ {\left. {{w_y}} \right)^2}{\text{d}}x{\text{d}}y. \hfill \\ \end{gathered} $

(3)

引理1^[3]  设w=p+iq圆域B_R=B_R(z₀)中是(K, K′) -拟共形的, 满足式(2), K>1, K′≥0, 在B_R中| p|≤M, 则对所有$r \le \frac{R}{2}$, 有

$ \begin{gathered} D\left( {r,z} \right) = \iint\limits_{{B_r}\left( z \right)} {{{\left| {Dw} \right|}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y} \leqslant C{r^{2\alpha }},\alpha = K - \hfill \\ {\left( {{K^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}},C = {C_1}\left( K \right)\left( {{M^2} + K'{R^2}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $

引理2^[4]  设w∈C¹(Ω), $\mathit{\tilde \Omega } \subset \subset \mathit{\Omega }$, ${\rm{dist}}\left( {\mathit{\tilde \Omega }, \partial \mathit{\Omega }} \right) > R$.若存在正常数C, α和R′, 使得对于中心z∈ ${\mathit{\tilde \Omega }}$, 半径r≤R′≤R的所有圆有

$ D\left( {r,z} \right) = \iint\limits_{{B_r}\left( z \right)} {{{\left| {Dw} \right|}^2}{\text{d}}x{\text{d}}y} \leqslant C{r^{2\alpha }}, $

则对所有使得|z₂-z₁|≤R′的z₁, z₂∈Ω′有

$ \left| {w\left( {{z_2}} \right) - w\left( {{z_1}} \right)} \right| \le 2\sqrt {\frac{C}{\alpha }} {\left| {{z_2} - {z_1}} \right|^\alpha }. $

由前面两个引理, 可得(K, K′)-拟共形映射的Holder先验估计.

定理3  设w是区域Ω中的(K, K′)-拟共形映射, K>1, K′≥0, |w| ≤M, $\mathit{\tilde \Omega } \subset \subset \mathit{\Omega }$, ${\rm{dist}}\left( {\mathit{\tilde \Omega }, \partial \mathit{\Omega }} \right) > d$, 则对所有的z₁, z₂∈ ${\mathit{\tilde \Omega }}$, 有

$ \left| {w\left( {{z_2}} \right) - w\left( {{z_1}} \right)} \right| \leqslant C{\left| {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{d}} \right|^\alpha }, $

(4)

其中, $\alpha = K-{\left( {{K^2}-1} \right)^{\frac{1}{2}}}, C = {C_1}\left( K \right)(M + d\sqrt {K\prime } )$.

证明  假定|z₂-z₁|≤ $\frac{d}{2}$, 于是引理1和引理2对R=d和$R' = \frac{d}{2}$成立, 故

$ \begin{gathered} \left| {w\left( {{z_2}} \right) - w\left( {{z_1}} \right)} \right| \leqslant L{\left| {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{d}} \right|^\alpha },L = C\left( K \right) \times \hfill \\ {\left( {{M^2} + K'{d^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} \leqslant C\left( K \right)\left( {M + d\sqrt {K'} } \right). \hfill \\ \end{gathered} $

若$\left| {{z_2}-{z_1}} \right| > \frac{d}{2}$ , 则

$ \begin{array}{l} \left| {w\left( {{z_2}} \right) - w\left( {{z_1}} \right)} \right| \le 2M \le 2M{\left| {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{{\frac{d}{2}}}} \right|^\alpha } \le \\ 4M{\left| {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{d}} \right|^\alpha },取\;{C_1}\left( K \right) = \max \left( {4,C\left( K \right)} \right). \end{array} $

2 内部Holder空间${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$及内插不等式

为了考虑在Ω的任何闭子域上的内部估计和整个Ω+Γ上的直到边界的估计, 这里简单介绍两类Holder空间.

C^{k, α}(Ω)是C^k(Ω)的一个子空间, 它由k阶偏导数在Ω中具有指数α的Holder连续函数所组成的类^[5-6].其拟范数及范数定义如下:

$ {\left[ u \right]_{k,\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}} = {\left[ {{D^k}u} \right]_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}} = \mathop {\sup }\limits_{\left| \beta \right| = k} \left[ {{D^\beta }u} \right]; $

$ {\left[ u \right]_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}} = \mathop {\sup }\limits_{x,y = \mathit{\bar \Omega x} \ne \mathit{y}} \frac{{\left| {u\left( x \right) - u\left( y \right)} \right|}}{{{{\left| {x - y} \right|}^\alpha }}},0 < \alpha \le 1; $

$ \begin{array}{l} {\left\| u \right\|_{{C^{K,\alpha }}\left( {\mathit{\bar \Omega }} \right)}} = {\left| u \right|_{k,\alpha ,\mathit{\bar \Omega }}} = {\left| u \right|_{k;\mathit{\bar \Omega }}} + {\left[ u \right]_{k,\alpha ,\mathit{\bar \Omega }}} = \\ {\left| u \right|_{k,\mathit{\bar \Omega }}} + {\left[ {{D^k}u} \right]_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}}. \end{array} $

令d_x=dist(x, ∂Ω), x∈Ω, 对任意两点x、y, 令d_{x, y}=min(d_x, d_y).对于在Ω上连续且在Ω内有直到k阶连续导数的任何函数u, 规定加权的内部拟范数与范数:

${\left[u \right]_{k, 0;\mathit{\Omega }}}^* = {\left[u \right]_{k;\mathit{\Omega }}}^* = \mathop {{\rm{sup}}}\limits_{x \in \mathit{\Omega }\left| \beta \right| = k} {d_x}^k\left| {{D^\beta }u\left( x \right)} \right|{\rm{ }}, {\rm{sup}}$是对k阶所有导数取的, k =0, 1, 2, …;

$ \left[ u \right]_{k;\mathit{\Omega }}^ * = \sum\limits_{j = 0}^k {\left[ u \right]_{j;\mathit{\Omega }}^ * } ; $

$ \begin{array}{l} \left[ u \right]_{k,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * = \mathop {\sup }\limits_{x,y \in \mathit{\Omega }\left| \beta \right| = k} d_{x,y}^{k + \alpha }\frac{{\left| {{D^\beta }u\left( x \right) - {D^\beta }u\left( y \right)} \right|}}{{{{\left| {x - y} \right|}^\alpha }}},\\ 0 < \alpha \le 1; \end{array} $

$ \left| u \right|_{k,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * = \left| u \right|_{k;\mathit{\Omega }}^ * + \left[ u \right]_{k,\alpha ;{\mathit{\Omega } }}^ * . $

内部Holder空间${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$表示在Ω上连续, 在Ω内有直到k阶的连续导数且|u|_{k, α; Ω}^*有限的函数u所成的函数类.显然, 若u在${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$中, 它必定在C^{k, α}(Ω)关于Ω的任何闭子域所成的函数类之中, 并且两者都是Banach空间(内插不等式见文献[7]).

设j+β < k+α, j, k=0, 1, 2, …, 0≤α, β≤1.Ω是Rⁿ中开子集, u∈ ${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$.则对∀ε>0及某正常数C=C(ε, k, j), 有

$ \left[ u \right]_{j,\beta ;\mathit{\Omega }}^ * \le C{\left| u \right|_{0;\mathit{\Omega }}} + \varepsilon \left[ u \right]_{k,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * , $

(5)

$ \left| u \right|_{j,\beta ;\mathit{\Omega }}^ * \le C{\left| u \right|_{0;\mathit{\Omega }}} + \varepsilon \left[ u \right]_{k,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * . $

(6)

定理4  设Ω是Rⁿ中有界开集, A是Banach空间${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$(k=0, 1, 2, …, 0≤α≤1)中的有界子集, 若A中函数在Ω上是等度连续的^[8], j+β < k+α, 则A在${\mathit{\hat C}}$^{j, β}(Ω)中准紧.

证明  因A在Ω上等度连续, 又在${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$中有界, 则它含一序列{u_m}在Ω上一致收敛于一函数u∈ ${{\mathit{\hat C}}^{k, \alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right)$, 于是|u_m|_{k, α; Ω}^*≤M(与m无关).由内插不等式(4), 对∀ε>0及某正常数C=C(ε), 有

${\left| {{u_m}-u} \right|_{j, \beta ;\mathit{\Omega }}}^* \le C\left| {{u_m}-u} \right|{_{0;\mathit{\Omega }}} + \varepsilon C{\left| {{u_m}-u} \right|_{0;\mathit{\Omega }}} + \varepsilon {\left| {{u_m} - u} \right|_{k, \alpha ;\mathit{\Omega }}}^*$, 这时若对充分大的N有$\left| {{u_m}-u} \right|{_{0;\mathit{\Omega }}} \le \frac{\varepsilon }{C}$, 则当m>N, 就有|u_m-u|_{j, β; Ω}^*≤ε(1+2M), 于是{u_m} ${\mathit{\hat C}}$^{j, β}(Ω)中收敛于u, 即证.

3 一类线性椭圆方程Du的Holder内估计

有了前面的准备, 现在可以考虑线性一致椭圆型方程

$ Lu = a{u_{xx}} + 2b{u_{xy}} + c{u_{yy}} = f $

(7)

的解的梯度的Holder内估计, 其中a, b, c, f定义在z=(x, y)平面的一个有界区域Ω中.设λ = λ(z), Λ=Λ(z)表系数阵的最小和最大特征值, 由椭圆型条件, 系数矩阵是正定的, 有

$ \begin{array}{l} \lambda \left( {{\xi ^2} + {\eta ^2}} \right) \le a{\xi ^2} + 2b\xi \eta + c{\eta ^2} \le \mathit{\Lambda }\left( {{\xi ^2} + {\eta ^2}} \right),\\ \forall \left( {\xi ,\eta } \right) \in {{\bf{R}}^2}. \end{array} $

(8)

又L在Ω中是一致椭圆的, 即∃常数γ≥1使

$ \frac{\mathit{\Lambda }}{\lambda } \le \gamma . $

(9)

另假定$\mathop {{\rm{sup}}}\limits_\mathit{\Omega } \left( {\frac{{\left| f \right|}}{\lambda }} \right) \le \mu < \infty $, 不妨令λ =1, 不然可在式(7)两端同除以最小特征值λ, 于是Λ≤γ, |f|≤μ.

设p=u_x, q=u_y, 就可以把式(7)改写成方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{a}{c}{p_x} + \frac{{2b}}{c}{p_y} + {q_y} = \frac{f}{c},\\ {p_y} = {q_x}. \end{array} \right. $

(10)

把上式两端乘以cp_x, 由式(8)得到

p_x²+p_y²≤ap_x²+2bp_xp_y+cp_y²=cN+fp_x, N=q_xp_y-q_yp_x, 类似有

$ q_x^2 + p_y^2 \le aN + f{q_y}. $

相加上面两个不等式并结合正定矩阵的性质有2≤a+c=1+Λ≤1+γ, 于是

$ \begin{array}{l} {\left| {Dp} \right|^2} + {\left| {Dq} \right|^2} \le \left( {a + c} \right)N + f\left( {{p_x} + {q_y}} \right) \le \\ \left( {1 + \gamma } \right)N + \left( {1 + \gamma } \right)\mu \left( {\left| {{p_x}} \right| + \left| {{q_y}} \right|} \right). \end{array} $

(11)

由带ε的Cauchy不等式$ab \le \frac{\varepsilon }{2}{a^2} + \frac{1}{{2\varepsilon }}{b^2}, a, b \ge 0, \varepsilon > 0$, ε>0(见文献[9]),

$ \begin{array}{l} \left( {1 + \gamma } \right)\mu \left( {\left| {{p_x}} \right| + \left| {{q_y}} \right|} \right) \le \frac{\varepsilon }{2}\left( {p_x^2 + q_y^2} \right) + \frac{1}{\varepsilon }\left( {1 + } \right.\\ {\left. \gamma \right)^2}{\mu ^2}, \end{array} $

取ε=2, 由上式得

$ {\left| {Dp} \right|^2} + {\left| {Dq} \right|^2} \le 2\left( {1 + \gamma } \right)N + \frac{{{{\left( {1 + \gamma } \right)}^2}{\mu ^2}}}{2}. $

(12)

上式满足式(2), 若令w(z)=w((x, y))=p(x, y)-iq(x, y), 则w(z)就是一个(K, K′)-拟共形映射, 其中K=1+γ, $K\prime = \frac{{{{\left( {1 + \gamma } \right)}^2}{\mu ^2}}}{2}$.这里p=u_x, q=u_y, 分别表示式(7)的解的一阶偏导数, 这样拟共形映射w便与解u(x, y)发生了联系, 这就是意义所在.

下面导出线性一致椭圆方程(7)的解的一阶导数Du的Holder内估计, 这是后面讨论非线性问题所需要的, 定理中的范数是在${\mathit{\hat C}}$^{k, α}(Ω)空间中定义过的.

定理5  令u是Lu=au_xx+2bu_xy+cu_yy=f的有界的C²(Ω)解, Ω⊂R², L是在Ω中满足(7)和(8)的一致椭圆算子.则对某α=α(γ)∈(0, 1), 有

$ \begin{array}{l} \left| u \right|_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * \le C\left( {{{\left| u \right|}_{0;\mathit{\Omega }}} + \mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right),C = \\ C\left( \gamma \right). \end{array} $

(13)

证明  设∀z₁, z₂∈Ω,

$ 2d = {d_{1,2}} = \min \left( {{d_{{z_1}}},{d_{{z_2}}}} \right), $

$ \mathit{\Omega ' = }\left\{ {z \in \mathit{\Omega }\left| {{d_z} > d} \right.} \right\}, $

$ \mathit{\Omega '' = }\left\{ {z \in \mathit{\Omega '}\left| {{\rm{dist}}\left( {z,\partial \mathit{\Omega ' > d}} \right.} \right.} \right\}, $

则z₁, z₂∈Ω″.应用定理3, 这里Ω′, Ω″代替其中的Ω, ${\mathit{\tilde \Omega }}$, K=1+γ, $K\prime = \frac{{{{\left[{\left( {1 + \gamma } \right)\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{\mathit{\Omega }\prime } \left| {\frac{f}{\lambda }} \right|} \right]}^2}}}{2}, \alpha = \left( {1 + \gamma } \right) -{\left( {{\gamma ^2} + 2\gamma } \right)^{\frac{1}{2}}} \in \left( {0, 1} \right)$.上述的拟共形映射w=p-iq=u_x-iu_y, 于是模

$ \left| {w\left( {{z_2}} \right) - w\left( {{z_1}} \right)} \right| = \left| {{\rm{Du}}\left( {{z_2}} \right) - {\rm{Du}}\left( {{z_1}} \right)} \right|, $

|w|=|Du|, Du=(u_x, u_y), 得由梯度Du表出的不等式(4)即为:

$ \begin{array}{l} {d^\alpha }\frac{{\left| {{\rm{Du}}\left( {{z_2}} \right) - {\rm{Du}}\left( {{z_1}} \right)} \right|}}{{{{\left| {{z_2} - {z_1}} \right|}^\alpha }}} \le C\left( {\mathop {\sup }\limits_{\mathit{\Omega '}} \left| {Du} \right| + } \right.\\ \left. {\mathop {d\sup }\limits_{\mathit{\Omega '}} \left| {\frac{f}{\lambda }} \right|} \right),C = C\left( \gamma \right) \le \frac{C}{d}\left( {\mathop {\sup }\limits_{\mathit{\Omega '}} {d_z}\left| {{\rm{Du}}\left( z \right)} \right| + } \right.\\ \left. {\mathop {\sup }\limits_{\mathit{\Omega '}} d_z^2\left| {\frac{f}{\lambda }} \right|} \right), \end{array} $

故

$ \begin{array}{l} d_{1,2}^{1 + \alpha }\frac{{\left| {{\rm{Du}}\left( {{z_2}} \right) - {\rm{Du}}\left( {{z_1}} \right)} \right|}}{{{{\left| {{z_2} - {z_1}} \right|}^\alpha }}} \le C\left( {\mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } {d_z}\left| {{\rm{Du}}\left( z \right)} \right| + } \right.\\ \left. {\mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } d_z^2\left| {\frac{f}{\lambda }} \right|} \right). \end{array} $

由${\mathit{\hat C}}$^{k, α}(Ω)空间中范数的定义, 即

$ \begin{array}{l} \left[ u \right]_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * \le C\left( {\left[ u \right]_{1;\mathit{\Omega }}^ * + \mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } d_z^2\left| {\frac{f}{\lambda }} \right|} \right) \le \\ C\left( {\left[ u \right]_{1;\mathit{\Omega }}^ * + \mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right), \end{array} $

当j=k=1, β=0时的内插不等式(5)即为

$ \left[ u \right]_{1;\mathit{\Omega }}^ * \le {C_1}{\left| u \right|_{0;\mathit{\Omega }}} + \varepsilon \left[ u \right]_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * , $

(14)

C₁=C₁(ε)代入式(14)就有

$ \left[ u \right]_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * \le C\left( {{C_1}{{\left| u \right|}_{0;\mathit{\Omega }}} + \varepsilon \left[ u \right]_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * + \mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right), $

取$C\varepsilon = \frac{1}{2}$及适当的常数C=C(γ), 可得

$ \left[ u \right]_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * \le C\left( {{{\left| u \right|}_{0;\mathit{\Omega }}} + \mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right). $

而  |u|_{1, α; Ω}^*=|u|_1;Ω^*+[u]_{1, α; Ω}^*, |u|_1;Ω^*=|u|_0;Ω+[u]_1;Ω^*, 再由(13)、(14)两式得到

$ \left| u \right|_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * \le C\left( {{{\left| u \right|}_{0;\mathit{\Omega }}} + \mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right). $

4 二阶线性椭圆方程相关性质及Dirichlet问题

设Ω是有界开区域, 考虑

$ Lu = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{a^{ij}}\left( x \right){D_{ij}}u} + \sum\limits_{i = 1}^n {{b^i}\left( x \right){D_i}u} + c\left( x \right)u, $

(15)

a^ij=a^ji, bⁱ及c都是Ω上的实函数, 当系数阵A(x)= (a^ij(x))在每一点x∈Ω处都正定, 称算子L在Ω中是椭圆的, 若用λ(x)、Λ(x)表A(x)的最小和最大特征值, 椭圆条件等价于:

$ \begin{array}{l} \lambda \left( x \right){\left| \xi \right|^2} \le \sum\limits_{i,j = 1}^n {{a^{ij}}\left( x \right){\xi _i}{\xi _j}} \le \mathit{\Lambda }\left( x \right){\left| \xi \right|^2},\forall x \in \\ \mathit{\Omega },\xi \in {{\bf{R}}^n}. \end{array} $

(16)

若∃λ₀>0使当x∈Ω时, λ(x)≥λ₀, 称L在Ω中是严格椭圆的.此外, 为了限制低阶项b_iD_iju, cu, 总假定如下附加条件:∃常数M₀>0使得

$ \frac{{\left| {{b^i}\left( x \right)} \right|}}{{\lambda \left( x \right)}} \le {M_0},i = 1,2, \cdots n,x \in \mathit{\Omega }, $

(17)

弱极大值原理见文献[10].

设L在Ω中是椭圆的, 系数c(x)=0, u∈C²(Ω)∩C⁰(Ω), 且在Ω中满足Lu≥0(≤0).则u在Ω上的最大值(最小值)在∂Ω上达到, 即

$ \mathop {\sup }\limits_{x \in \mathit{\bar \Omega }} u\left( x \right) = \mathop {\sup }\limits_{\partial \mathit{\Xi }} u\left( x \right)\left( {\mathop {\inf }\limits_{x \in \mathit{\bar \Omega }} u\left( x \right) = \mathop {\inf }\limits_{x \in \partial \mathit{\Omega }} u\left( x \right)} \right). $

唯一性定理见文献[11].

若椭圆方程Lu=0, c≤0, 则它至多有一个解u∈C²(Ω)∩C⁰(Ω), 在∂Ω上取得给定的边界值φ.

推论  若u在Ω上满足方程Lu=0, c≤0, 在Ω上连续, 在边界上非负且在Ω内满足Lu≤0, 则u在Ω内非负, 即u≥0.最大模估计见文献[10].

设L在Ω中是椭圆的且c≤0, u∈C²(Ω)∩C⁰(Ω)且在Ω中满足Lu≥f, 则

$ \mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } \left| u \right| \le \mathop {\sup }\limits_{\partial \mathit{\Omega }} \left| u \right| + C\mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } \frac{{\left| f \right|}}{\lambda },C = C\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega },{M_0}} \right). $

由弱极大值原理和最大模估计, 可以得到一类二阶拟线性算子Q的一个简单性质.考虑:

$ Qu = {a^{ij}}\left( {x,u,{\rm{Du}}} \right){D_{ij}}u + b\left( {x,u,{\rm{Du}}} \right), $

(18)

其中, a^ij=a^ji, x∈Rⁿ, 为了方便, 这里省略了求和符号, i, j都是指从1到n的求和, 以下不再说明.Q的系数a^ij(x, z, p), b(x, z, p)对Ω×R×Rⁿ中所有(x, z, p)定义的, 当系数阵[a^ij(x, z, p)]对所有(x, z, p)是正定的, 称算子Q是椭圆的, 这和式(16)中的条件是一样的.

定理6  设算子Q在有界开区域Ω中是椭圆的, λ (x, z, p)>0是系数阵[a^ij(x, z, p)]的最小特征值, 若∃非负常数k₁, k₂, 使$\frac{{b\left( {x, z, p} \right){\rm{signz}}}}{{\lambda \left( {x, z, p} \right)}} \le {k_1}\left| p \right| + {k_2}, p = {\rm{Du}}$.若u∈C²(Ω)∩C⁰(Ω)在Ω中满足Qu≥0, 则有

$ \mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } \left| u \right| \le \mathop {\sup }\limits_{\partial \mathit{\Omega }} \left| u \right| + C{k_2}, $

(19)

其中C =C(k₁, diamΩ)

证明  假若b=0, 则由弱极大值原理直接得到.否则, 可考虑子区域Ω⁺={x∈Ω|u(x)>0}, 于是

$ \begin{array}{l} 0 \le Qu = {a^{ij}}{D_{ij}}u + b{\rm{sign}}u \le {a^{ij}}{D_{ij}}u + \\ \lambda {k_1}\left( {{\rm{sign}}{D_i}u} \right){D_i}u + \lambda {k_2}. \end{array} $

这就转化为线性椭圆方程的情形, 由最大模估计便得到

$ \mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } u \le \mathop {\sup }\limits_{\partial \mathit{\Omega }} {u^ + } + C{k_2},C = C\left( {{k_1},{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right), $

然后以-u代替u即得式(19).

设Ω是Rⁿ的有界开区域, 对一般二阶线性椭圆型方程(15), 简记为:

$ Lu = {a^{ij}}{D_{ij}}u + {b^i}{D_i}u + cu = f. $

(20)

在Ω内假设系数满足:∃0 < λ≤Λ使得

$ \begin{array}{l} \lambda \left( x \right){\left| \xi \right|^2} \le {a^{ij}}\left( x \right){\xi _i}{\xi _j} \le \mathit{\Lambda }\left( x \right){\left| \xi \right|^2},\forall x \in \mathit{\bar \Omega },\\ \xi \in {{\bf{R}}^n}, \end{array} $

(21)

即是严格椭圆的.

a^ij, bⁱ, c, f∈C^α(Ω), 0 < α < 1, 即系数在Ω中具有只是为α的Holder连续性, 且

$ \begin{array}{l} \frac{1}{\lambda }\left\{ {\sum\limits_{i,j} {{{\left| {{a^{ij}}} \right|}_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}}} + \sum\limits_i {{{\left| {{b^i}} \right|}_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}} + {{\left| c \right|}_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}}} + } \right.\\ \left. {{{\left| f \right|}_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}}} \right\} \le {\mathit{\Lambda }_\alpha }, \end{array} $

(22)

这个显然满足条件式(17)的, 其中Schauder内估计见文献[12].

设方程(20)的系数满足条件(21)、(22), u∈C^{2, α}(Ω)是其有界解, 则对于任意的Ω′⊂⊂Ω, 有

$ {\left| u \right|_{2,\alpha ;\mathit{\bar \Omega '}}} \le C\left( {\frac{1}{\lambda }{{\left| f \right|}_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}} + {{\left| u \right|}_{0;\mathit{\bar \Omega }}}} \right), $

(23)

其中, $C = C(n, \alpha, \frac{\mathit{\Lambda }}{\lambda }, {\mathit{\Lambda }_\alpha }, {\rm{dist}}(\mathit{\Omega }\prime, \partial \mathit{\Omega }))$.

由C^{k, α}(Ω)中范数的定义, 便可知$\begin{array}{l} {\left| u \right|_{0;\mathit{\bar \Omega }\prime }} + {\left| {{\rm{Du}}} \right|_{0;\mathit{\bar \Omega }\prime }} + {\left| {{\rm{Du}}} \right|_{0;\mathit{\bar \Omega }\prime }} + \\ {\rm{ }}\left| {{D^2}u} \right|{_{0;\mathit{\bar \Omega }\prime }} + {\left[{{D^2}u} \right]_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }\prime }} \le C(\frac{1}{\lambda }\left| f \right|{_{\alpha ;\mathit{\bar \Omega }}} + {\left| u \right|_{0;\mathit{\bar \Omega }}}) \end{array}$.

于是可知对于适合条件(21)、(22)的椭圆方程Lu=f的一致有界解及解的一阶、二阶导数在Ω的紧子集上都是等度连续的, 显然对于在紧子集Ω′⊂⊂Ω中满足上述条件的一族方程L_nu =f也是成立的.这里Schauder内估计的式(23)、(24)是就C^{k, α}(Ω)空间及其范数给出的, 当然也可以据空间${\mathit{\hat C}}$^{k, α}(Ω)中加权的内部范数得到类似的估计, 只是要带上加权系数, 本质上是相同的.

下面考虑Dirichlet问题:

$ Lu = {a^{ij}}{D_{ij}}u + {b^i}{D_i}u + cu = f, $

(25)

在Ω内, u=φ, 在∂Ω上的可解性.

引理7^[13]  设∂Ω属于${C^{\left[{\frac{n}{2}} \right] + 4}}$, 方程Lu=f满足条件(21)、(22), c≤0, f∈C^α(Ω), φ∈C^{2, α}(Ω), 则Dirichlet问题(25)存在唯一的解u∈C^{2, α}(Ω).

引理中对边界∂Ω的光滑性要求太高, 这里考虑一般的具有外球性质的区域Ω:有界区域Ω⊂Rⁿ, 若对∀x₀∈∂Ω, ∃球B_r(y)⊂ Rⁿ\Ω, B_R∩Ω={x₀ }.

定理8  设Ω具有外球性质, Dirichlet问题(25)满足条件(21)、(22), 且c≤0, f∈C^α(Ω), φ∈C(Ω), 则Dirichlet问题存在唯一的解u∈C^{2, α}(Ω)∩C(Ω).

定理可以通过不同途径给出证明^[14], 由于利用闸函数论证法^[15]证明解满足边界条件的技巧, 在偏微分方程中具有普遍意义, 同时在后面的讨论中还要反复用到这种方法, 故这里用闸函数及Schauder内估计把定理的证明重写一遍.

证明  作区域列{Ω_N}使得Ω_N⊂Ω, ∂Ω_N属于${C^{\left[{\frac{n}{2}} \right] + 4}}$, 且$\mathop {{\rm{sup}}}\limits_{x \in \partial {Q_N}} {\rm{dist}}\left\{ {x, \partial \Omega } \right\} \le \frac{1}{N}$, 作函数列φ_N∈C^{2, α}(Ω), 使得${\left| {{\varphi _N}-\varphi } \right|_{0;\mathit{\Omega }}} \le \frac{1}{N}$, 考虑Dirichlet问题族:

$ L{u_N} = {a^{ij}}{D_{ij}}{u_N} + {b^i}{D_i}{u_N} + c{u_N} = f. $

(26)

在Ω_N内, u_N=φ_N, 在∂Ω_N上.

由引理7, 存在u_N∈C^{2, α}(_N)适合式(26), 对于任意的Ω′⊂⊂Ω, 由Schauder内估计, 当N充分大时,

$ \begin{array}{l} {\left| {{u_N}} \right|_{2,\alpha ;\mathit{\Omega '}}} \le C\left\{ {{{\left| f \right|}_{\alpha ;\mathit{\Omega }}} + {{\left| {{u_N}} \right|}_{0;{\mathit{\Omega }_N}}}} \right\} \le \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C\left\{ {{{\left| f \right|}_{\alpha ;\mathit{\Omega }}} + {{\left| \varphi \right|}_{0;\mathit{\Omega }}} + \frac{1}{N}} \right\}, \end{array} $

其中C不依赖于N, 第二个不等式是由最大模估计得到的, 由Arzala-Ascoli定理, {u_N}在C²(Ω′)中存在收敛的子序列, 应用对角线方法可选取{u_N}的子序列{u_Nk}与函数u∈C^{2, α}(Ω), 使得对任意的Ω′⊂⊂Ω, 当k→∞时u_Nk在C²(Ω′)中收敛于u.在Ω内, 对Lu_N=f取极限就有Lu=f, 余下只需证明u∈C(Ω)且满足边界条件.为此, 采用闸函数论证的方法.设x₀∈∂Ω, B _r(y)是前面定义的外球, 在x₀点的闸函数是指满足如下性质的函数ω(x):

(1) ω(x₀)=0, ω(x)>0当x∈Ω-{x₀}时;

(2) ω∈C²(Ω), Lω≤-1.

可以构造闸函数:

ω(x)=τ(R^-σ-r^-σ), r=|x-y|, 其中τ和σ是待定的正常数, 这样ω(x)显然满足性质(1), 下面说明Lω≤-1, 不妨取y=0, 由于方程的系数满足条件(21)、(22)且c≤0, 则对∀x∈Ω,

$ \begin{array}{l} L\left( {{R^{ - \sigma }} - {r^{ - \sigma }}} \right) \le \sigma {r^{ - \sigma - 4}}\left[ { - \left( {\sigma + 2} \right){a^{ij}}{x_i}{x_j} + } \right.\\ \left. {{r^2}\left( {\sum {{a^{ij}} + {b^i}{x_i}} } \right)} \right] \le \sigma {r^{ - \sigma - 2}}\left[ { - \left( {\sigma + 2} \right)\lambda + \left( {\sum {{a^{ij}}} + } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{b^i}{x_i}} \right)} \right], \end{array} $

故只要取σ充分大, 上式右端是负的, 并有负的上界, 于是对适当的τ和σ, 有Lω≤-1.因φ∈C(Ω), 对任意的ε>0, 存在x₀的邻域U(x₀)使得, |φ(x)-φ(x₀)| < ε, 当x∈U(x₀)∩Ω时由性质(1) ω(x)>0, x∈Ω-U(x₀), 取C=C(ε)充分大, 可使

$ \begin{array}{l} - C\omega \left( x \right) + \varphi \left( {{x_0}} \right) - \varepsilon < \varphi \left( x \right) < C\omega \left( x \right) + \\ \varphi \left( {{x_0}} \right) + \varepsilon ,x \in \mathit{\bar \Omega }; \end{array} $

当N充分大时, 也有

$ \begin{array}{l} - C\omega \left( x \right) + \varphi \left( {{x_0}} \right) - \varepsilon < {\varphi _N}\left( x \right) < C\omega \left( x \right) + \\ \varphi \left( {{x_0}} \right) + \varepsilon ,x \in \mathit{\bar \Omega }. \end{array} $

由式(2), Lω≤-1, 当C充分大时有

$ \begin{array}{l} L\left( {C\omega \left( x \right) + \varphi \left( {{x_0}} \right) + \varepsilon } \right) \le L{u_N} \le L\left( { - C\omega \left( x \right) + } \right.\\ \left. {\varphi \left( {{x_0}} \right) - \varepsilon } \right),x \in {\mathit{\Omega }_N}. \end{array} $

由上述唯一性定理的推论, 则Cω(x)+φ(x₀)+ε≤u_N≤-Cω(x)+φ(x₀)-εx∈Ω_N.

令N→∞, 得到

$ \begin{array}{l} C\omega \left( x \right) + \varphi \left( {{x_0}} \right) + \varepsilon \le u\left( x \right) \le - C\omega \left( x \right) + \\ \varphi \left( {{x_0}} \right) - \varepsilon ,x \in \mathit{\Omega }. \end{array} $

令x→x₀, 得到

$ \varphi \left( {{x_0}} \right) + \varepsilon \le \overline {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} } u\left( x \right) \le \overline {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} } u\left( x \right) \le \varphi \left( {{x_0}} \right) - \varepsilon . $

由ε的任意性, 有$\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {x_0}} u\left( x \right) = \varphi \left( {{x_0}} \right), \forall {x_0} \in \partial \mathit{\Omega }$, 知可连续延拓到边界且在∂Ω上, u=φ.

5 一类拟线性椭圆方程Dirichlet问题的可解性

考虑定义在(x, y)平面上有界区域Ω中的一类形式为

$ \begin{array}{l} Qu = a\left( {x,y,u,{u_x},{u_y}} \right){u_{xx}} + 2b\left( {x,y,u,{u_x},{u_y}} \right){u_{xy}}\\ + c\left( {x,y,u,{u_x},{u_y}} \right){u_{yy}} + f\left( {x,y,u,{u_x},{u_y}} \right) = 0. \end{array} $

(27)

的拟线性椭圆方Dirichlet问题, 假设算子Q满足:

(1) 函数a=a(x, y, u, p, q), b(x, y, u, u_{x, uy}), c(x, y, u, u_x, u_y)及f(x, y, u, u_x, u_y)对所有(x, y, u, p, q)∈Ω×R×R²有定义, 对β∈(0, 1), a, b, c, f∈C^β(Ω×R×R²).

(2) Q对有界的u在Ω中是一致椭圆的, 即系数阵的最小和最大特征值λ = λ (x, y, u, p, q), Λ=Λ(x, y, u, p, q)满足条件:

$ 1 \le \frac{\mathit{\Lambda }}{\lambda } \le \gamma \left( {\left| u \right|} \right), $

$ \forall \left( {x,y,u,p,q} \right) \in \left. {\mathit{\Omega } \times R \times {R^2}} \right), $

∀(x, y, u, p, q)∈Ω×R×R²), 其中γ是非减的.

(3) 对任意的

(x, y, u, p, q)∈Ω×R×R², 函数f满足

$ \frac{{\left| f \right|}}{\lambda } \le \mu \left( {\left| u \right|} \right)\left( {1 + \left| p \right| + \left| q \right|} \right). $

(28)

$ \frac{f}{\lambda }{\rm{signu}} \le k\left( {1 + \left| p \right| + \left| q \right|} \right), $

(29)

这里μ是非减的, k是正常数.

下面介绍一个推广的Shauder不动点定理, 这个定理是讨论非线性问题(27)的基础(推广的Shauder不动点定理见文献[16]).设A是Banach空间B中的一个闭凸集, 又设T是A到自身中的一个连续映射, 使得像TA是准紧(即其闭包是紧的), 则T有一个不动点.

定理9  设Ω是R²中的一个满足外部球条件的有界区域, φ是∂Ω上的连续函数, 若Q是满足条件(1)~(3)的拟线性椭圆算子, 则Dirichlet问题(30):在Ω内Qu=0, 在∂Ω上u=φ, 有一个解

$ u \in {C^{2,\beta }}\left( \mathit{\Omega } \right) \cap C\left( {\mathit{\bar \Omega }} \right). $

(30)

证明  假定$\frac{{\left| f \right|}}{\lambda } \le \mu < \infty $, μ为常数, 这是比条件(28)更强的.推理的基础是依上述的Shauder不动点定理, 为了定义连续映射T, 设v是Ω中具有Holder连续的一阶导数的有界函数, 把它代替Q系数中的u, 并令a=a(x, y)=a(x, y, v, v_x, v_y), b, c, f也同样定义, 这样Q的系数就是只关于两个变量x和y的Holder连续函数.

因为$\frac{f}{\lambda }$有界, 由定理8, 知线性Dirichlet问题(31):

在Ω内, au_xx+2bu_xy+cu_yy+f=0;在∂Ω上, u=φ有唯一解u∈C^{2, α}(Ω)∩C(Ω), 因C^{2, α}(Ω)是C²(Ω)的子空间, 当然更有

$ u \in {C^2}\left( \mathit{\Omega } \right) \cap C\left( {\mathit{\bar \Omega }} \right). $

(31)

由最大模估计, 有

$ {\left| u \right|_0} = \mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } \left| u \right| \le \mathop {\sup }\limits_{\partial \mathit{\Omega }} \left| \varphi \right| + {C_1}\mu = {M_0}, $

此外不妨设$\mathop {{\rm{sup}}}\limits_\mathit{\Omega } \left| v \right| \le {M_0}$(v有界), γ₀=γ(M₀), 据定理5可得

$ \begin{array}{l} \left| u \right|_{1,\alpha ;\mathit{\Omega }}^ * \le C\left( {{{\left| u \right|}_{0;\mathit{\Omega }}} + \mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right) \le C\left( {{M_0} + } \right.\\ \left. {\mu {{\left( {{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right)}^2}} \right) = K. \end{array} $

(32)

其中, α=α(γ₀), C=C(γ₀).

下面考虑Banach空间${\mathit{\hat C}}$^{1, α}(Ω)= u∈C^{1, α}(Ω)| u_{1, α; Ω}^* < ∞的子集合:

$A = \left\{ {v \in {{\hat C}^{1,\alpha }}\left( \mathit{\Omega } \right){{\left| {|v{|_{1,\alpha }}} \right.}^*} \le K,{v_0} \le {M_0}} \right\}$, 在A上定义映射T:设u=Tv是线性Dirichlet问题(31)对v∈A的唯一解.由式(32)和|u|₀≤M₀知道u∈A, 因此T把A映到自身.因为A是凸的, 且在Banach空间B={u∈C¹(Ω)| u_1;Ω^* < ∞}中是闭的, 只要T在B中连续且像TA准紧, 就可以用Shauder不动点定理得T在A中有一个不动点, u=Tu, 从而问题(30)在条件$\frac{{\left| f \right|}}{\lambda } \le \mu $下有一个解.

下证TA在B中准紧, 由集合A的定义知TA中的函数在Ω内的每一点是等度连续的, 进一步可以得到TA中的函数在每一点z₀∈∂Ω也等度连续.设ω(z)是定理8中使用的闸函数, 由上面的证明过程知道, 对任意的ε>0和不依赖于v∈A的适当常数k_ε, 问题(31)的解u=Tv在| u(z)-φ(z₀)|≤ε+k_εω(z)中满足不等式|u(z)-φ(z₀)|≤ε+k_εω(z), 由闸函数的定义, z→z₀时ω(z)→0, 这就证明了TA中函数都在z₀点等度连续, 由z₀的任意性知TA中函数在∂Ω上等度连续, 从而TA中函数在Ω上是等度连续的, 这样依定理4, TA是${\hat C} $ ^{1, α}(Ω)中的有界等度连续集, 故它在B是准紧的.

再证T在B中是连续的, 设v, v_n∈A, |v_n-v|_1;Ω^*→0, n→∞, 由Schauder内估计知, 存在一子序列{u_m}⊂{u_n}, 它本身连同一阶和二阶导数均在Ω的紧子集中一致收敛到极限方程(31)的一个在Ω中的解${\mathit{\tilde u}}$, 由定理8中的闸函数论证法, 当以u代替u_m时仍成立, 故对∀z₀∈∂Ω, 取极限便得${\mathit{\tilde u}}$(z)→φ(z₀), z→z₀, 于是由唯一性定理知${\mathit{\tilde u}}$=u, 在Ω上得到对任意子序列{v_m}, Tv_m→Tv成立.因为序列{Tv_m}包含在TA中, TA在B中是准紧的, 故存在{Tv_m}的一子序列在B中收敛到Tv, 对于{v_n}的任意子序列, 同样地有|Tv_n-Tv|_1;Ω^*→0成立, 故T在B中是连续的, 由此在A中便存在一不动点u=Tu, 这样定理在$\frac{{\left| f \right|}}{\lambda }$有界下就证明了.

不妨设在Ω×R×Rⁿ中, λ(x, y, u, p, q)=1, 否则将各系数除以λ即可, 这时条件(28)、(29)就变成

$ \left| f \right| \le \mu \left( {\left| u \right|} \right)\left( {1 + \left| p \right| + \left| q \right|} \right), $

(33)

$ f{\rm{sign}}u \le k\left( {1 + \left| p \right| + \left| q \right|} \right). $

(34)

若f无界, 则可通过在实变函数论中常用的截断函数的方法, 将问题(30)转化为f有界的情形, 令

$ {\eta _N}\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} t,\left| {t \le N} \right|,\\ N{\rm{sign}}t,\left| t \right| > N, \end{array} \right. $

则函数f的截断可表示为

$ {f_N}\left( {x,y,u,p,q} \right) = f\left( {x,y,{\eta _N}\left( u \right),{\eta _N}\left( p \right),{\eta _N}\left( q \right)} \right), $

于是由(33)就有|f_N|≤μ(N)(1+2N).

下面考虑问题族:

$ \begin{array}{l} {Q_N}u = \\ \left\{ \begin{array}{l} a\left( {x,y,u,{\rm{Du}}} \right){u_{xx}} + 2b\left( {x,y,u,{\rm{Du}}} \right){u_{xy}} + \\ c\left( {x,y,u,{\rm{Du}}} \right){u_{yy}} + {f_N}\left( {x,y,u,{\rm{Du}}} \right) = 0,\\ u = \varphi ,在\;\partial \mathit{\Omega }\;\mathit{上}\mathit{.} \end{array} \right. \end{array} $

(35)

由式(34)和定理6的式(19), 这一族方程的任一解u有不依赖N的界

$ \mathop {\sup }\limits_\mathit{\Omega } \left| u \right| \le \mathop {\sup }\limits_{\partial \mathit{\Omega }} \left| \varphi \right| + {C_1}\left( {k,{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right) = M, $

(36)

由于f_N有界, 由前面对f有界的情形讨论知, 问题(35)有一解:

$ {u_N} \in {{\hat C}^{1,\alpha }}\left( \Omega \right) \cap {C^{2,\beta }}\left( \Omega \right) \cap C\left( {\bar \Omega } \right), $

$ \alpha = \alpha \left( \gamma \right),\gamma = \gamma \left( M \right). $

由定理5, 可以估计[u_N]_{1, α}^*≤C(|u_N|₀+|f|(diamΩ)²), C=C(γ), 由式(33)和式(36)便有不等式[u_N]_{1, α}^*≤C (1+[u_N]₁^*), C=C(M, γ, μ, diamΩ), 再由内插不等式(14), 就得到

$ \left| {{u_N}} \right|_{1,\alpha }^ * \le C = C\left( {M,\gamma ,\mu ,{\rm{diam}}\mathit{\Omega }} \right). $

(37)

于是, (36)和(37)两式表明u_N∈A, 由Schauder内估计在Ω的任一紧子集上考虑方程族^[17] Q_Nu_N=0, 就得到一子序列{u_n}⊂{u_N}, 它收敛到Qu=0在Ω的解u.

最后证明u满足边界条件u=φ, 设u_n是线性方程

$ {Q_n}v = a_n^{ij}{D_{ij}}v + b_n^i{D_i}v + {f_n} = 0,i.j = 1,2 $

的解, 其中系数a_n^ij(x, y)=a(x, y, u_n, Du_n), b_nⁱ（x, y）=b(x, y, u_n, Du_n)以及f_n(x, y)=f(x, y, u_n, Du_n)均有与n无关的界.对∀z₀∈∂Ω, 由前面的闸函数论证法, 对这一族方程可选取同一闸函数ω(z), 它仅依赖于γ, μ和在z₀处的外球半径, 并且在Ω中对∀ε>0, 可选取适当的不依赖于n的常数k_ε, 有

$ \left| {{u_n}\left( z \right) - \varphi \left( {{z_0}} \right)} \right| \le \varepsilon + {k_\varepsilon }\omega \left( z \right), $

令n→∞, 由于u_n收敛于u的, 于是以u代替u_n此不等式也成立, 进而当z→z₀时, 有u(z)→φ(z)₀, 而φ是∂Ω上的连续函数, 由z₀的任意性便知, 在∂Ω上, u=φ.