在工程实践中，针对具有不确定的动态控制系统，模糊If-then规则后件为模糊集的Mamdani型模糊逻辑系统是一种常见的逼近工具，并且逼近精度与模糊规则质量和数目紧密相关^[1]，由于Mamdani型模糊逻辑系统的输出可以写成一些模糊基函数的线性组合形式，因此产生了基于这些组合系数的模糊自适应控制方法^[2-5]，在这种模糊自适应控制方法中，自适应律的数目取决于模糊规则数目，这就造成了一种矛盾：一方面为了提高逼近精度和控制效果需要选用大量的模糊规则; 另一方面过多的自适应律往往会增大运算量和在线调节时间, 以至于导致闭环系统不稳定.

为了减少自适应律和在线运算量，文献[6]采用未知参数向量范数平方的Backstepping方法来降低自适应参数的数目; 文献[7]利用加装在模糊逻辑系统输入和输出端的伸缩器和饱和器, 通过调节伸缩器和饱和器的参数达到减少自适应律的目的.值得注意的是，这些研究方法中，规则前件中的隶属度函数在整个控制过程中是固定不变的，一般认为, 模糊隶属函数能够定量反映语言值的含义，隶属函数的确切定量描述有助于提高模糊逻辑系统的逼近精度^[8].由于高斯型隶属度函数有最佳的逼近性能，当高斯型的隶属度函数的中心和宽度都固定时，上述模糊自适应方法意味着控制过程中即使系统的不确定性发生改变，相应的模糊隶属度函数也并不为之改变，这可能导致较大的逼近误差，降低控制性能，甚至造成控制失效.由此可见，如何依据有限条模糊If-then规则，改变以往根据逼近对象的采样或历史数据而构成的自适应模糊逻辑系统^[9], 以控制目标为准则，着眼于规则前件的隶属函数，在线动态地调整高斯型隶属度函数的中心和宽度而构造相应的自适应律，从而改善被控系统的控制效果是一个值得研究的问题.

鉴于以上问题，针对一类非线性不确定系统，本文着眼于带有高斯型隶属度函数的有限多个模糊规则，首先将一个时变参数引入到规则前件中的高斯型隶属度函数之中, 形成一种带有可调参数的模糊逻辑系统, 然后依据控制目标, 利用这种带有可调参数的模糊逻辑系统逼近非线性系统中未知非线性函数，同时构造这个时变参数的更新律和原模糊逻辑系统逼近精度的自适应律，进而设计相应的自适应跟踪控制器.相比已有的一些模糊自适应控制方法^{[3-4, 10-11]}，本文提出的方法不仅减少了自适应参数的数目，而且简化控制器的设计步骤.最后，通过Duffing系统的仿真实例证明了本文方法的可行性和有效性.

1 系统描述 1.1 模糊系统描述

由模糊产生器、模糊规则库、模糊推理机、解模糊器构成的Mamdani型模糊逻辑系统F，模糊规则库由以下N条模糊If-then规则构成：

$ \begin{array}{l} {R_l}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;A_1^l\;{\rm{and}}\; \cdots \;{x_n}\;{\rm{is}}\;A_n^l,{\rm{then}}\;y\;{\rm{is}}\;{B^l}\;\left( {l = 1,} \right.\\ \left. {2, \cdots ,{\rm{N}}} \right), \end{array} $

(1)

这里z =[x₁, x₂, ..., x_n]^T ∈ Rⁿ，y∈R分别为模糊逻辑系统的输入和输出, A_i^l和B^l为相应的模糊集合x_i∈U_i∈ R, y∈V∈ R, U_i, V是相应的紧致集合.

根据文献[12], 采用单点模糊化、乘积推理和中心平均解模糊，模糊逻辑系统F的输出可以表示为

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = \frac{{\sum\limits_{l = 1}^N {y_l^ * \prod\limits_{i = 1}^n {{\mu _{A_i^l}}\left( {{x_i}} \right)} } }}{{\sum\limits_{l = 1}^N {\prod\limits_{i = 1}^n {{\mu _{A_i^l}}\left( {{x_i}} \right)} } }}, $

(2)

这里μ_Ai^l(x_i)为模糊语言变量x_i的隶属度函数，i=1, 2, …, n，本文选取高斯型隶属度函数，即${\mu _{A_i^l}}\left({{x_i}} \right) = {\rm{exp}}\left({-{{\left({\frac{{{x_i}-a_i^l}}{{b_i^l}}} \right)}^2}} \right)$，${\mu _{{B^l}}}\left(y \right) = {\rm{exp}}(-{\left({y-y_l^*} \right)^2})$; y_l^*为模糊输出集B^l的隶属度函数μ_B^l(y)取最大值时对应的中心值.关于模糊逻辑系统的更多信息可以参见文献[12-13].

现在将一个时变参数θ=θ(t)引入到形如式(1)的模糊If-then规则前件的隶属度函数μ_Ai^l(x_i)中，形成带有时变参数的隶属度函数

$ {\mu _{A_i^l}}\left( {\frac{{{x_i}}}{\theta }} \right) = \exp \left( { - {{\left( {\frac{{\frac{{{x_i}}}{\theta } - a_i^l}}{{b_i^l}}} \right)}^2}} \right), $

从而形成 N条带有参数的新规则：

$ \begin{array}{l} {{\tilde R}_l}: = {\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;\tilde A_1^l\;{\rm{and}}\; \cdots \;{x_n}\;{\rm{is}}\;\tilde A_n^l,{\rm{then}}\;y\;{\rm{is}}\;{B^l}\;\left( {l = 1,} \right.\\ \left. {2, \cdots ,{\rm{N}}} \right), \end{array} $

(3)

其中$\tilde A_i^l$为带有参数θ=θ(t)模糊集合，其隶属函数为 ${\mu _{\tilde A_i^l}}\left( {{x_i}} \right) = \exp \left( { - {{\left( {\frac{{\frac{{{x_i}}}{\theta } - a_i^l}}{{b_i^l}}} \right)}^2}} \right),\;i = 1,2, \cdots ,n. $

基于模糊规则(3)的模糊逻辑系统记为${\tilde F}$, 其输出为

$ \tilde F\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = F\left( {\frac{\mathit{\boldsymbol{x}}}{\theta }} \right) = \frac{{\sum\limits_{l = 1}^N {y_l^ * \prod\limits_{i = 1}^n {\exp \left( { - {{\left( {\frac{{\frac{{{x_i}}}{\theta } - a_i^l}}{{b_i^l}}} \right)}^2}} \right)} } }}{{\sum\limits_{l = 1}^N {\prod\limits_{i = 1}^n {\exp \left( { - {{\left( {\frac{{\frac{{{x_i}}}{\theta } - a_i^l}}{{b_i^l}}} \right)}^2}} \right)} } }}. $

(4)

注1   (1)从论域覆盖的角度看, 一组模糊规则的前件语言变量取值范围形成了对其输入论域的一组(完全或不完全)覆盖, 其中每一条规则对应于覆盖中的一个“补丁”^[14].模糊规则(3)可以看作是模糊规则(1)的一种参数化形式, 由于参数θ=θ(t)的时变性，因此与规则(1)相比较，规则(3)中的“补丁”具有动态性, 因而规则(3)具有动态的语言可解释性. (2)本文将根据控制目标设计时变参数θ=θ(t的更新律，这意味着模糊规则(3)能够依据控制目标在线变化，而高斯型隶属度函数有全局支撑的性质(即隶属度函数值处处不为0)，这也意味着当专家给出有限的语言信息(模糊If-then规则(1))时，通过时变参数θ的引入, 规则前件中的隶属函数的中心值和宽度实时地变化，派生出新的动态变化的模糊If-then规则，这不仅将原有规则(1)中的语言信息细化了，而且极大地丰富了原有的专家经验.

1.2 被控对象描述

考虑一类非线性系统^{[1, 5]}

$ \left\{ \begin{array}{l} {x^{\left( n \right)}} = \tilde f\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + gu + d,\\ y = x, \end{array} \right. $

(5)

其中状态向量$\mathit{\boldsymbol{x}} = {\left({x, \dot x, \cdots, {x^{(n-1)}}} \right)^{{\rm{T}}}} \in \tilde U \subseteq {{\boldsymbol{\rm{R}}}^n}$，${\tilde U}$是紧致闭集；控制输入u∈ R；${\tilde f}$(x, t)是非线性连续函数，g是常数增益, d为时变干扰，输出y=x∈ R.

定义x₁=x, x₂=${\dot x}$= ${\dot x}$₁, …, x_n=x^(n－1)= ${\dot x}$_n－1, 记x =(x, ${\dot x}$, …, x^(n－1))^T =(x₁, x₂, …x_n)^T, 从而可以将系统(5)转化成下列状态空间的形式:

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{Ax}} + \mathit{\boldsymbol{B}}\left[ {\tilde f\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + gu + d} \right],\\ y = x, \end{array} \right. $

(6)

其中$\mathit{\boldsymbol{A = }}\left(\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{O}}\; \; \; {\mathit{\boldsymbol{I}}_{n{\rm{-1}}}}\\ 0\; \; \; \; {\mathit{\boldsymbol{O}}^{\rm{T}}} \end{array} \right)$, B=(O^T1)^T, 其中O表示n－1阶零向量，I_n－1表示n－1阶单位矩阵.

对于任意给定的可微参考信号r=r(t)，记跟踪误差为e = e(t)=y(t)－r(t)=x(t)－r(t)，误差各阶导数为$\dot {\bar e} = \dot x - \dot r,\ddot {\bar e} = \ddot x - \ddot r, \cdots ,{{\bar e}^{\left( {n - 1} \right)}} = {x^{\left( {n - 1} \right)}} - {r^{\left( {n - 1} \right)}}$，参考信号向量记作r =(r, ${\dot r}$, …, r^(n－1))，误差向量为$\mathit{\boldsymbol{e = }}\left({\bar e, \dot {\bar e}, \cdots, {{\bar e}^{\left({n-1} \right)}}} \right) \in \tilde U \subseteq {{\boldsymbol{\rm{R}}}^n}$.因此该系统的误差动态方程可表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot e}} = \mathit{\boldsymbol{Ae}} + \mathit{\boldsymbol{B}}\left[ {\tilde f\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + d + gu - {r^{\left( n \right)}}\left( t \right)} \right]. $

(7)

假设1   (1)在紧致闭集${\tilde U}$上，${\tilde f}$(x, t)=f(x)+ο(x, t)，其中f(x)是未知非线性连续函数且满足Lipschitz条件，即存在常数(或未知) L, 使得对于任意的状态向量x₁, x₂∈ ${\tilde U}$, 满足|f(x₁)－f(x₂)| ≤L$\left\| {{\mathit{\boldsymbol{x}}_{\rm{1}}}-{\mathit{\boldsymbol{x}}_2}} \right\|$, ο(x, t)为未知连续函数且满足|ο(x, t)| ≤ω(x, t), 这里ω(x, t)是已知的连续函数.(2)在紧致闭集${\tilde U}$上，存在已知正常数g_min, g_max，未知增益g满足g_min≤g≤g_max；外部干扰d满足|d(t)| ≤d_max; r⁽ⁿ⁾有界且满足|r⁽ⁿ⁾| ≤ψ，这里d_max, ψ是已知的正常数.

注2  若∂f/∂x_i(i=1, 2, …, n)在${\tilde U}$上连续，则假设1中的Lipschitz常数可以取为$L = \mathop {\sup }\limits_{x \in \tilde U} \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left({\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}} \right)}^2}} } $.

假设2  在假设1成立的条件下，存在形如式(1)的模糊逻辑系统F和未知正常数 E使得$\mathop {\sup }\limits_{x \in \tilde U} \left| {\frac{{f\left(\mathit{\boldsymbol{x}} \right)}}{g}-F\left(\mathit{\boldsymbol{x}} \right)} \right| \le E$成立.

假设3  存在一个设计的正常数α满足$\left\{ {\mathit{\boldsymbol{x}}\left| {\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\| \le \alpha } \right.} \right\} \subseteq \tilde U, \left\{ {\mathit{\boldsymbol{e}}\left| {\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| \le \alpha } \right.} \right\} \subseteq \tilde U$，且当$\left\{ {\mathit{\boldsymbol{e}}\left| {\left\| {\frac{\mathit{\boldsymbol{e}}}{\theta }} \right\| \le \alpha } \right.} \right\} \subseteq \tilde U$时，$\left\{ {\mathit{\boldsymbol{x}}\left| {\left\| {\frac{\mathit{\boldsymbol{x}}}{\theta }} \right\| \le \alpha } \right.} \right\} \subseteq \tilde U$.

注3  在工程应用中$\frac{1}{\theta }$充当一个伸缩因子，一般可以由放大器或电致伸缩器等伸缩器来实现，同时亦可利用软件的方法来实现，通过调节$\frac{1}{\theta }$可以将系统的状态始终限制在设计的正常数范围内.

显然矩阵对(A, B)是完全可控的，即存在一个1×n阶矩阵K使得对于任意给定的正定矩阵Q, 下列Lyapunov方程有唯一正定矩阵解P:

$ {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}} + \mathit{\boldsymbol{BK}}} \right)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{P}} + \mathit{\boldsymbol{P}}\left( {\mathit{\boldsymbol{A}} + \mathit{\boldsymbol{BK}}} \right) = - \mathit{\boldsymbol{Q}}. $

(8)

2 输出跟踪控制器设计

为了表示方便，本文采用$\hat L = \hat L\left(t \right)$、$\hat E = \hat E\left(t \right)$分别表示E、L的估计值，$\tilde E = \hat E-E$、$\tilde L = \hat L-L$分别表示相应的估计误差, 考虑如下形式的扩展闭环控制系统：

$ \mathit{\boldsymbol{\dot e}} = \mathit{\boldsymbol{Ae}} + \mathit{\boldsymbol{B}}\left[ {\tilde f\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + d + gu - {r^{\left( n \right)}}\left( t \right)} \right], $

(9a)

$ \dot \theta = x\left( {\mathit{\boldsymbol{e}},\theta ,\hat E,\hat L} \right), $

(9b)

$ \dot {\hat L} = \vartheta \left( {\mathit{\boldsymbol{e}},\theta ,\hat E,\hat L} \right), $

(9c)

$ \dot {\hat E} = \zeta \left( {\mathit{\boldsymbol{e}},\theta ,\hat E,\hat L} \right), $

(9d)

$ u = u\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},\mathit{\boldsymbol{e}},\theta } \right), $

(9e)

式(9a~9e)表示的扩展闭环系统的状态变量为Ζ=[e^T, θ, ${\hat E}$, ${\hat L}$]^T, x(*)表示时变参数θ的更新律，ϑ(*)和ζ(*)分别表示参数L和E估计值的自适应律，控制器(9e)是依据以下控制目标而设计的自适应控制器.

控制目标：设计形如式(9e)的控制器u和参数自适应律(9b~9d)使得扩展系统的状态变量Ζ =[e^T, θ, ${\hat E}$, ${\hat L}$]^T有界，同时使系统(5)的输出跟踪误差$\bar{e}\xrightarrow{t\to \infty }0$.

为了达到以上控制目标，本文提出如下控制方案：

$ u = \left\{ \begin{array}{l} 0,\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| > \left| \theta \right|\alpha ,\\ {u_1} + {u_2},\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| \le \left| \theta \right|\alpha , \end{array} \right. $

(10a)

$ \begin{array}{l} {u_1} = - F\left( {\frac{\mathit{\boldsymbol{x}}}{\theta }} \right),{u_2} = \mathit{\boldsymbol{Ke}} + \tau ,\tau = \\ \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}}}{{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|{g_{\min }}}}\left[ {\left\| {\mathit{\boldsymbol{Ke}}} \right\|\left( {{g_{\max }} + 1} \right) + \omega \left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + } \right.\\ \;\;\;\left. {{d_{\max }} + \psi } \right],{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}} \ne 0,\\ 0,{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}} = 0. \end{array} \right. \end{array} $

(10b)

$ \begin{array}{l} \dot \theta = \\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{2\theta {\alpha ^2}}}\left\{ {\upsilon + 2\sqrt {n - 1} {{\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|}^2} + 2\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| \mathit{\boldsymbol{B}} \right\|\left[ {\hat L\alpha + } \right.} \right.\\ \;\;\;\;\left. {\left. {\omega \left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + {d_{\max }} + \psi } \right]} \right\},\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| > \left\| \theta \right\|\alpha ,\\ - 2{\gamma _1}{\theta ^{ - 1}}\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|\left[ {\left( {\hat L\alpha \left| {\theta - 1} \right| + {g_{\max }}\hat E} \right.} \right],\\ \;\;\;\;\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| \le \left\| \theta \right\|\alpha . \end{array} \right. \end{array} $

(11)

$ \dot L = \left\{ \begin{array}{l} 2\beta \left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| \mathit{\boldsymbol{B}} \right\|\alpha ,\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| > \left| \theta \right|\alpha ,\\ 2{\gamma _3}\alpha \left| {\theta - 1} \right|\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|,\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| \le \left| \theta \right|\alpha . \end{array} \right. $

(12)

$ \dot E = \left\{ \begin{array}{l} 0,\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| > \left\| \theta \right\|\alpha ,\\ 2{\gamma _2}{g_{\max }}\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|,\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\| \le \left\| \theta \right\|\alpha . \end{array} \right. $

(13)

其中参数υ，β，γ₁，γ₂，γ₃是可调正常数.

定理1  针对系统(7)，在假设1~假设4成立的条件下，采用控制器(10a)~(10b)和参数自适应律(11)~(13), 能够保证扩展闭环系统(9a~9e)的状态向量Ζ =[e^T, θ, ${\hat{E}}$, ${\hat{L}}$]^T有界，同时使系统(7)的状态误差向量$\mathit{\boldsymbol{e}}\xrightarrow{t\to \infty }0$.

下面分两种情况证明定理1.

情形1   $\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|>\ \ \left\| \theta \right\|\alpha $

在这种情形下，采用开环控制，即u=0.在假设1和假设4成立的条件下, 首先可以证明状态向量Ζ =[e^T, θ, ${\hat{E}}$, ${\hat{L}}$]^T能够在有限的时间内进入集合Φ=$\left\{ \left. \mathit{\boldsymbol{e}} \right|\ \ \left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\le \left\| \theta \right\|\alpha \right\}$中.记s= ${{\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|}^{2}}-{{\theta }^{2}}{{\alpha }^{2}}+0.5{{\beta }^{-1}}{{{\tilde{L}}}^{2}}$，容易看出当$\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|>\ \ \left\| \theta \right\|\alpha $时，s>0.考虑关于s的正定函数V=0.5s²，利用式(10)~(13)，沿着扩展闭环系统(9a~9e), V关于时间t的导数为

$ \begin{array}{l} \dot V = s\left\{ {2{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Ae}} + 2{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}\left[ {f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + o\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + d - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {{r^{\left( n \right)}}\left( t \right)} \right] - 2\theta \dot \theta {\alpha ^2} + {\beta ^{ - 1}}\tilde L\dot {\hat L}} \right\} \le \\ s\left\{ {2\sqrt {n - 1} {{\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|}^2} + 2\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| \mathit{\boldsymbol{B}} \right\|\left[ {\hat L\alpha + \omega \left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + {d_{\max }} + } \right.} \right.\\ \left. {\left. \psi \right] - 2\theta \dot \theta {\alpha ^2} + {\beta ^{ - 1}}\tilde L\left( {\hat L - 2\beta \left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| \mathit{\boldsymbol{B}} \right\|\alpha } \right)} \right\} = - \upsilon s. \end{array} $

(14)

由文献[15]的结果可知，不等式(14)意味着，状态向量Ζ =[e^T, θ, ${\hat{E}}$, ${\hat{L}}$]^T能够在有限的时间内到达滑模面s=0, 注意到$\left\{ \mathit{\boldsymbol{Z}}\left\| s=0 \right. \right\}\subseteq \tilde{U}$, 情形1得证.

情形2   $\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\le \ \ \left\| \theta \right\|\alpha $

考虑正定函数V(t)= e^TPe +0.5γ₁^－1θ²+0.5γ₂^－1${\hat{E}}$²+0.5γ₃^－1${\hat{L}}$²，如果假设1~假设4成立，利用控制器(10a), 系统误差的动态方程可改些为

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot e}} = \left( {\mathit{\boldsymbol{A}} + \mathit{\boldsymbol{BK}}} \right)\mathit{\boldsymbol{e}} + \mathit{\boldsymbol{B}}\left[ {f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + g{u_1}} \right] + \mathit{\boldsymbol{B}}\left[ { - \mathit{\boldsymbol{Ke}} + } \right.\\ \left. {o\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + d - {r^{\left( n \right)}}\left( t \right) + g{u_2}} \right]. \end{array} $

(15)

V(t)沿着扩展闭环系统(9a~9e)关于时间t的导数为

$ \begin{array}{l} \dot V\left( t \right) = - {\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Qe}} + 2{e^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}\left[ {f\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + g{u_1}} \right] + \\ 2{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}\left[ { - \mathit{\boldsymbol{Ke}} + o\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + d - {r^{\left( n \right)}}\left( t \right) + g{u_2}} \right] + \\ \gamma _1^{ - 1}\theta \dot \theta + \gamma _2^{ - 1}\tilde E\dot {\hat E} + \gamma _3^{ - 1}\tilde L\dot {\hat L}. \end{array} $

(16)

利用式(10b)得

$ \begin{array}{l} 2{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}\left[ { - \mathit{\boldsymbol{Ke}} + o\left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + d - {r^{\left( n \right)}}\left( t \right) + g{u_2}} \right] \le \\ \left\| {{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|\left[ {\left\| {\mathit{\boldsymbol{Ke}}} \right\|\left( {{g_{\max }} + 1} \right) + \omega \left( {\mathit{\boldsymbol{x}},t} \right) + {d_{\max }} + \psi } \right]\left[ {1 - } \right.\\ \left. {\frac{g}{{{g_{\min }}}}} \right] \le 0, \end{array} $

(17)

$ \begin{array}{l} 2{\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PB}}\left[ {f\left( x \right) + g{u_1}} \right] \le 2\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|\left[ {L\alpha \left\| {\theta - 1} \right\| + } \right.\\ \left. {{g_{\max }}E} \right], \end{array} $

(18)

所以由(16)~(18)得

$ \begin{array}{l} \dot V\left( t \right) \le - {\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Qe}} + 2\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|\left[ {L\alpha \left\| {\theta - 1} \right\| + } \right.\\ \left. {{g_{\max }}E} \right] + \gamma _1^{ - 1}\theta\; \dot \theta + \gamma _2^{ - 1}\tilde E\dot {\hat E} + \gamma _3^{ - 1}\tilde L\dot {\hat L} = - {\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Qe + }}\\ \gamma _1^{ - 1}\theta \left\{ {2{\gamma _1}{\theta ^{ - 1}}\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|\left[ {\left( {\hat L\alpha \left\| {\theta - 1} \right\| + {g_{\max }}\hat E} \right.} \right] + } \right.\\ \left. {\dot \theta } \right\}\gamma _2^{ - 1}\tilde E\left( {\dot {\hat E} - 2{\gamma _2}{g_{\max }}\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|} \right) + \gamma _3^{ - 1}\tilde L\left( {\dot {\hat L} - } \right.\\ \left. {2{\gamma _3}\alpha \left\| {\theta - 1} \right\|\left\| \mathit{\boldsymbol{e}} \right\|\left\| {\mathit{\boldsymbol{PB}}} \right\|} \right). \end{array} $

(19)

利用式(11)~(13)可以得

$ \mathit{\boldsymbol{\dot V}}\left( t \right) \le - {\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{Qe}}. $

(20)

不等式(20)表明扩展闭环控制系统(9a)~(9e)的状态向量Ζ =[e^T, θ, ${\hat{E}}$, ${\hat{L}}$]^T是有界的，由(9a)、(10a)、(10b)以及假设1和假设2可以看出，在第二种情况下${\mathit{\boldsymbol{\dot{e}}}}$(t)同样是有界的, 因此利用Barbalat引理^[15]可得$\mathit{\boldsymbol{e}}\xrightarrow{t\to \infty }0$.综合情形1和情形2的证明可知定理1的结论成立.

推论1  考虑系统(5), 在定理1成立的条件下，在假设1~假设4成立的条件下，采用控制器(10a)~(10b)和参数自适应律(11)~(13), 能够保证系统(5)的输出跟踪误差$\bar{e}\xrightarrow{t\to \infty }0$，即系统(5)的输出y渐近地收敛于参考信号r(t).

注4   (1)参数自适应律(11)~(13)具有下一特点：参数自适应律(12)和(13)在[0, +∞]上是单调递增的，因此初始条件${\hat{L}}$ (0)>0和${\hat{E}}$(0)>0可以保证 $ {\hat{L}}$(t)>0和${\hat{L}}$(t)>0, 同时，时变参数θ²(t)在$\left\{ t\left| \left\| \mathit{\boldsymbol{e}}\left(t \right) \right\|>\left\| \theta \left(t \right) \right\|\alpha \right. \right\}$时单调递增，在$\left\{ t\left| \left\| \mathit{\boldsymbol{e}}\left(t \right) \right\|\le \left\| \theta \left(t \right) \right\|\alpha \right. \right\}$时单调递减，因此时变参数θ(0)≠0可以保证在$\left\{ t\left| \left\| \mathit{\boldsymbol{e}}\left(t \right) \right\|>\left\| \theta \left(t \right) \right\|\alpha \right. \right\}$内θ(t)≠0；(2)在以上参数的初始条件下，如果误差向量e(t)随着时间增大，由式(11)可以看出，$\left\| \theta \left(t \right) \right\|$增加得更快，从而使得$\frac{\mathit{\boldsymbol{e}}\left(t \right)}{\theta \left(t \right)}$在有限的时间内落入$\left\{ \mathit{\boldsymbol{e}}\left| \left\| \mathit{\boldsymbol{e}}\left(t \right) \right\|\le \left\| \theta \left(t \right) \right\|\alpha \right. \right\}$，从而保证系统的状态进入Mamdani型模糊逻辑系统(1)的论域以内; (3)如果误差向量进入$\left\{ \mathit{\boldsymbol{e}}\left| \left\| \mathit{\boldsymbol{e}}\left(t \right) \right\|\le \left\| \theta \left(t \right) \right\|\alpha \right. \right\}$以内，此时$\left\| \theta \left(t \right) \right\|$随着时间单调递减，采用带有时变参数θ(t)的Mamdani型模糊逻辑系统(3)构成的控制器(10a)和(10b)以及自适应律(11)~(13)，不但可以保证输出跟踪误差${\bar{e}}$(t)趋近于0，而且可以保证跟踪误差的1到n阶导数趋近于0;(4)在实际应用中，为了保证${\hat{L}}$(t)和${\hat{E}}$(t)有界，需要选择较小的可调参数β、γ₁、γ₂、γ₃.

3 仿真算例

考虑Duffing受迫振动系统^[9-10]

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2},\\ {{\dot x}_2} = - 0.1{x_2} - x_1^3 + 12\cos \left( t \right) + u\left( t \right),\\ y = {x_1}, \end{array} \right. $

(21)

将式(21)转化形如式(6)的形式后，$\mathit{\boldsymbol{A = }}\left({\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 0&0 \end{array}} \right)$, B =[0, 1]^T, ${\tilde f}$(x, t)=－0.1x₂－x₁³+12cos(t)，g=1.当干扰d=0,

系统(21)在未控时状态呈现混沌.

情形1  在仿真的过程中，假设f(x)是未知的，记f(x)=－0.1x₂－x₁³, 根据图 2可选取模糊系统的论域为${\tilde U}$ =[－10, 10]×[－10, 10]，将论域划分为三个模糊集{负(N), 零(0), 正(P)}.采用文献[4]中隶属度函数的表示方法：μ_N(x_i)=exp(－(x_i+10)²)，μ_Z(x_i)=exp(－x_i²), μ_P(x_i)=exp(－(x_i－10)²), i=1, 2. μ(y)=exp(－(y－y_l^*)²)，选择9条模糊规则组成的模糊逻辑系统来逼近未知函数f(x)，规则如下：

$ {R_1}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'N'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'N',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_1^ * = 100; $

$ {R_2}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'N'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'Z',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_2^ * = 100; $

$ {R_3}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'N'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'P',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_3^ * = 100; $

$ {R_4}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'Z'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'N',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_4^ * = 1; $

$ {R_5}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'Z'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'Z',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_5^ * = 0; $

$ {R_6}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'Z'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'P',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_6^ * = - 1; $

$ {R_7}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'P'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'N',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_7^ * = - 100; $

$ {R_8}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'P'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'Z',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_8^ * = - 100; $

$ {R_9}:{\rm{If}}\;{x_1}\;{\rm{is}}\;'P'\;{\rm{and}}\;{x_2}\;{\rm{is}}\;'P',{\rm{Then}}\;y\;{\rm{is}}\;y_9^ * = - 100. $

选取K =[－1, －2], Q =diag^{[10, 10]}, 初始条件x₁(0)=x₂(0)=2, θ(0)=1, ${\hat L}$(0)=0.5, ${\hat E}$(0)=0.4，其他参数为: υ=50, α=20, β=0.001, γ₁=0.002, γ₂=0.002, γ₃=0.001, ω(x, t)=12，g_max=g_min=1.取参考信号r(t)=0.5(sin(0.5t)+0.5sin(2t))，干扰为白噪声时，选取ψ=1，d_max=5.仿真结果如图 1~图 3.

注5   (1)由图 1~图 3可以看出不但系统的输出可以渐近地跟踪输入信号，而且系统的其他状态不但保证了有界同时也实现良好的跟踪，同时所有自适应参数有界；(2)自适应律仅有3个，保证了控制算法运算量小.

情形2  作为对比仿真，本文采用文献[9]的模糊多模型自适应控制(FMMAC).选择K =[6,5]^T, Q=diag[10,10]，采用情形1的模糊论域及模糊划分，参考信号r(t)=sin(t)，初始条件x₁(0)=x₂(0)=2，文献[1]中的自适应参数向量${{\mathit{\boldsymbol{\hat \theta }}}_f}$和${{\mathit{\boldsymbol{\hat \theta }}}_g}$中各元素的初始值取0.1，自适应律参数设定γ_f=100，γ_g=0；采用本文提出的方法，参考信号r(t)=sin(t)，没有干扰时，选取ψ=1，d_max=0.其他各项仿真参数设置如情形1，对比仿真结果如图 4~图 5.

注6   (1)由对比图 4的输出跟踪误差可以发现，本文提出自适应控制方法不仅可以保证输出跟踪误差渐近地趋近于零，而且响应的速度要比文献[9]更快; (2)由对比图 5可以看出，文献[9]中系统的状态x₂的跟踪误差在开始阶段是震荡的，因此本文提出的自适应控制算法的状态跟踪效果要优于文献[9].

4 结论

本文主要着眼于当专家给出一组有限数目的模糊规则时，首先将一个时变参数引入到这组模糊规则前件的高斯隶属函数中将原有规则参数化.通过时变参数的变化，改变了高斯隶属函数的中心和宽度，进而改变了原模糊逻辑系统的输出，从而得到一种新的带有时变参数的Mamdani模糊逻辑系统.如果利用这种新的模糊逻辑系统逼近系统中未知的非线性函数，并且以此为基础构造控制器和自适应律, 那么所给出的模糊自适应控制方法不仅能够保证被控系统的输出跟踪误差渐近趋近于零，而且与现有的模糊自适应控制方法相比较, 具有较少的自适应律和较强的模糊逻辑系统规则的语言可解释性.