正交频分复用(OFDM)作为一种多载波窄带调制技术，被公认为未来第4代移动通信系统的核心技术^[1].相对于单载波调制，OFDM系统对载波频率偏移(CFO)更加敏感.频率偏移会破坏OFDM系统子载波间的正交性，引起子载波间的干扰(ICI)，从而造成OFDM系统解调性能的下降和误码率的提高.造成CFO的主要原因是由于发射机的载波频率和接收机本地振荡器频率之间的误差，或者是由于通信收发双方的相对移动而引发的多普勒频移.

当OFDM系统载波频率不是很高，且终端的移动速度不是很快时，对OFDM系统载波频偏估计技术的研究，通常是基于假设信道是时不变或者慢变的(即信道在一个OFDM符号周期内不变化或者变化很小).当前，对于频率选择性衰落信道下单用户的OFDM系统频偏估计技术已经日趋成熟^[2-3]，多用户的OFDM系统的频偏估计技术也得到了深入的研究^[4-5].

然而，随着移动通信技术的快速发展，从第3代移动通信系统开始，系统的载波频率已经达到2 GHz及更高的频段，移动终端的速度也由常见的100 km/h(如高速公路平均车速)向300 km/h(如高速铁路平均车速)及以上发展.在高载频和高速移动环境中，由于多普勒扩展的增大而导致信道的相干时间减小，造成信号的持续时间大于信道的相干时间，无线信道往往表现为快变的时间-频率双选择性衰落信道.在时变信道中，每一条传输路径上的信道冲击响应是随时间快速变化的，若仍采用假设信道是慢变或时不变情形下的载波频率同步算法，则无法收到算法的预定效果.所以，如何在时变信道条件下有效地提升OFDM系统载波同步技术的性能，是当前移动通信领域的一个研究热点.本文期望能为研究时变信道下OFDM系统载波频偏估计算法提供有益的借鉴和参考.

1 时变信道下OFDM系统接收信号分析

在单用户OFDM系统的发送端，考虑一个OFDM符号有N个子载波，对应的频域发送数据为X (k)，即X (k)=[X(0), X(1), …, X(N－1)]^T.经过逆傅里叶变换(IFFT)并加上循环前缀(CP)后为时域发送数据x (n)，即x (n)=[x(N－1－N_g), x(N－N_g), …, x(0), x(1), …, x(N－1)]^T，其中N_g为CP的长度.

在接收端，经过时变的多径信道后，考虑到CFO的影响，接收到的时域信号为

$ y\left( n \right) = {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\varepsilon n/N}}\sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {h\left( {n,l} \right)x\left( {n - l} \right)} + w\left( n \right), $

(1)

其中，ε为归一化频偏，L为信道的路径总数，w(n)为零均值的复高斯白噪声.经过对y(n)做傅里叶变换(FFT)运算，得到的频域接收信号为

$ Y = C\left( \varepsilon \right)HX + W, $

(2)

其中,

$ C\left( \varepsilon \right)\left( {m,n} \right) = \frac{{1 - {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\varepsilon \left( {m - n + \varepsilon } \right)}}}}{{1 - {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {m - n + \varepsilon } \right)/N}}}}\;\;, $

(3)

$ H\left( {m,k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{L - 1} {{H_i}\left( {k - m} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}mi/N}}} , $

(4)

$ {H_i}\left( k \right) = \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {h\left( {n,i} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}nk/N}}} . $

(5)

在式(2)~(5)中，W为频域的白噪声；C(ε)为一循环矩阵，频偏ε的存在会破坏子载波间的正交性，造成子载波间干扰，降低系统的解调性能；H(m, k)为信道的频率响应，为不同路径上的信道频率响应H_i(k)受到不同路径延时分量(频域上为e^－j2πmi/N)叠加而来的.该时变信道在时域上的冲击响应表现为在每一条路径上的冲击响应都是随时间而变化的，如第l条路径的信道响应为

$ h\left( {0,l} \right) \ne h\left( {1,l} \right) \ne \cdots \ne h\left( {N - 1,l} \right). $

(6)

由此可见，表示时变信道冲击响应的参量相对时不变或慢变信道大为增多，从而在很大程度上增加了对信道冲击响应估计的复杂度，同时也使得实现信道与频偏联合估计的难度增大.为此，目前通常采用信道的基带扩展模型(BEM)^[6]，利用少量已经确知的正交分量(基函数)进行加权线性叠加来近似等效表示时变信道的冲击响应.

BEM模型本质上是相当于对信道中的多普勒扩展频谱进行采样，并用这些采样频点的值来近似表示一定长度的数据块内信道响应的变化.具体来说，每一条路径对应的时变信道响应用M个基函数的线性组合来表示.如果M的取值很小，那么，用较少数量(即LM个)的基函数就可以描述整个观察间隔内的时变信道响应.观察间隔内所包含的样值数N通常很大(从几百到几千)，而当信道响应采用基扩展模型来表示时，待估计的未知信道参数仅为LM个.通用BEM模型表达式如下^[6]：

$ h\left( {n,l} \right) = \sum\limits_{q = - Q}^Q {{a_q}\exp \left( {\frac{{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}nq}}{{gN}}} \right)} , $

(7)

其中－[gf_maxT]≤q≤[gf_maxT]，0≤n≤(N－1)=「T/T_S」, 0≤l≤(L－1)=「τ_max/T_S」，T为OFDM符号周期，T_S为采样周期，f_max为最大多普勒频率a_q对应第q个基函数系数，共(2Q+1)个基函数，g为一个正整数，取决于多普勒扩展的值.根据采用的基函数种类不同，主要的BEM模型有复指数BEM(CE-BEM)、多项式BEM(P-BEM)和卡洛BEM(KL-BEM).相比之下，KL-BEM的性能最优，常被用来进行时变信道的建模.

从式(1)或(2)可知，在时变信道下，由于信道的冲击响应的时变性，给OFDM系统的频偏估计带来了新的挑战.因此，研究时变信道下OFDM系统的载波频率频偏估计，是一项有待解决的重要而迫切的课题.本文对现有时变信道下OFDM频偏估计算法进行归类，并对3种典型的算法做较详细的分析和总结.

2 时变信道下OFDM系统载波频偏估计算法分析

现有的时间-频率双选择性信道下OFDM系统的载波频偏估计算法，可以分为数据辅助类算法^[7-11]和非数据辅助类算法^[12-15].数据辅助类算法主要是利用导频或者训练序列的确知性，运用不同的信号估计方法对接收信号进行处理得到CFO；非数据辅助类算法指盲估计算法，不需要在发送端设定特殊的训练序列或者导频，直接对接收信号的统计特性运算得到CFO的估计.从算法的主要思路来看，这两类算法具体又可以划分成以下3种典型的算法：

第1种是通过设计导频或者训练序列的结构，可以较快速地得到CFO精确的估计值，并且更容易实现信道和频偏的联合估计；第2种是利用数据的辅助，巧妙地利用一些经典的信号估计方法，诸如贝叶斯(Bayesian)估计方法和最大似然(ML)估计方法，从而得到CFO的估计；第3种是利用自适应滤波的方式，通过对接收信号多次迭代运算实现CFO估计.

2.1 基于导频设计类频偏估计算法

文献[7]针对单用户OFDM系统中提出了一种新的导频结构，如图 1所示.在一个OFDM符号块中，划分P个字符号块，每个子符号块的L个样本中包含1个导频符号m和(L-1)个0，CP中的长0消除了多径信道的影响.该算法的主要思想是用时变信道的CE-BEM模型的正交对称性结合导频，即利用一个OFDM符号建立的全导频，通过修正的BEM模型来表达信道的状态信息，在最大似然(ML)准则下对接收信号做运算处理得到频偏估计.

根据图 1中导频的设计结构，则第p个子块中第l个数据接收数据为^[7]：

$ r\left( {p,l} \right) = h\left( {pL + l,l} \right){{\rm{e}}^{\left( {{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\varepsilon \left( {pL + l} \right)/N} \right)}} + w\left( {pL + l} \right), $

(8)

其中, p=0, …, P－1，l=0, …, L－1.

在信道不弥散的情况下，利用CE_BEM模型将信道表述成一个3阶复指数序列的叠加形式

$ h\left( {pL + l,l} \right) = \sum\limits_{q = - 1}^1 {h\left( {q,l} \right){{\rm{e}}^{\left( {{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}q\xi \left( {pL + l} \right)/N} \right)}}} . $

(9)

式(9)中，ξ=f_maxN_ofdmT_s，N_ofdm=N+N_g，N_ofdm为一个OFDM符号的长度，T_s为采样间隔，N_g为循环前缀.经过推导证明，在CFO得到很好补偿的情况下有

$ r'\left( {p,l} \right) \cdot \alpha = r'\left( {p - 1,l} \right) + r'\left( {p + 1,l} \right). $

(10)

式(10)中，r′(p, l)=r(p, l)e^{－j2πε′(pL+l)/N}是经过预补偿后的接受信号，α =e^(2πjLξ/N) +e^{(- 2πjLξ/N)}为加权因子，那么通过最大似然准则得到CFO的估计量为

$ \hat \varepsilon = \arg \min \left\{ {{{\left| {{\Sigma _1} - {\Sigma _2}} \right|}^2}} \right\}, $

(11)

其中，

$ {\Sigma _1} = \alpha \sum\limits_{i = 1}^{P - 2} {\sum {_{k = 0}^{L - 1}r'\left( {k,i} \right)} } , $

(12)

$ {\Sigma _2} = \sum\limits_{i = 0}^{P - 3} {\sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {r'\left( {k,i} \right)} } + \sum\limits_{i = 2}^{P - 1} {\sum\limits_{k = 0}^{L - 1} {r'\left( {k,i} \right)} } . $

(13)

该算法特点鲜明，所设计的导频结构，为做CFO估计提供非常便利的条件.但是其条件的约束性太强，想通过提高CE-BEM模型的阶数来改善精度的可能性不大.

2.2 基于运用概率统计特性类的频偏估计算法

文献[8]针对单用户的OFDM系统，根据是否知道信道的统计特性，提出了两种方案：当信道的统计特性未知时，通过采用最大似然(ML)估计法实现信道和CFO的联合估计；当信道的统计特性已知时，通过最大后验概率(MAP)估计法估计得到CFO.

在信道统计特性未知的情形下，通过建立BEM模型等效代替时变信道，则接收信号为

$ y = \mathit{\Omega }\sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {{\mathit{\boldsymbol{A}}_1}\mathit{\boldsymbol{F}}{a_l}} + w = \mathit{\Omega }{\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}}a + w, $

(14)

其中Ω=diag(1, e^j2πθ/M, …, e^{j2π(M－1)θ/M})^T为频偏向量，A_F=[A₀F,A₁F, ...,A_L－1F]，A_l为导频输入数据，F为BEM基函数向量，a为基函数系数，w为零均值复高斯噪声.对应的条件概率密度为

$ p\left( {y\left| {\theta ,a} \right.} \right) = \frac{1}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^M}\left| {{R_w}} \right|}}\exp \left[ {{{\left( {y - \omega {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}}a} \right)}^H}R_w^{ - 1}\left( {y - \omega {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}}a} \right)} \right], $

(15)

采用最大似然法则(ML)对式(15)作CFO和信道参数的联合估计得

$ \hat \theta = {\mathop{\rm arg}}\mathop {\max }\limits_\theta {y^H}\mathit{\Omega }\mathit{\boldsymbol{A}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^H}\mathit{\boldsymbol{A}} + {\sigma ^2}R_h^{ - 1}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^H}{\mathit{\Omega }^H}y. $

(16)

对于任意θ，由式(16)得到a的最小值为

$ \hat a = {\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}^H{\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}^H{\mathit{\Omega }^H}y. $

(17)

当有足够量的基函数，A_F为高阶矩阵及(A_F^HA_F)^－1存在，则CFO估计为^[8]

$ \hat \theta = arg\mathop {\max }\limits_\theta {y^H}\mathit{\Omega }{\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}}{\left( {\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}^H{\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}}} \right)^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{A}}_\mathit{\boldsymbol{F}}^H{\mathit{\Omega }^H}y. $

(18)

在信道统计特性已知的情形下，即通过Jakes模型给定信道的自相关矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{R}}_h^{\left( l \right)} = {p_l}{\mathit{\boldsymbol{R}}_h} = {p_l}{\mathit{\boldsymbol{J}}_0}\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_d}T\left( {i - j} \right)/M} \right), $

(19)

其中p_l为第l个信道抽头的能量，{i, j}为R_h的输入，f_d为多普勒频率，T为符号周期.通过最大后验概率(MAP)估计得到

$ \begin{array}{l} \left\{ {\hat \theta ,\hat h} \right\} = {\mathop{\rm arg}}\mathop {\max }\limits_{\theta ,h} p\left( {y\left| {\theta ,h} \right.} \right)p\left( h \right) = \\ {\mathop{\rm arg}}\mathop {\max }\limits_{\theta ,h} \frac{1}{{{\sigma ^2}}}{\left\| {y - \mathit{\Omega }\mathit{\boldsymbol{A}}h} \right\|^2} + {h^H}\mathit{\boldsymbol{R}}_h^{ - 1}h. \end{array} $

(20)

对于任何θ，通过式(20)的最小代价函数求的h为

$ \hat h = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^H}\mathit{\boldsymbol{A}} + {\sigma ^2}\mathit{\boldsymbol{R}}_h^{ - 1}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^H}{\mathit{\Omega }^H}y. $

(21)

将式(21)代入式(20)，即可得到CFO估计为^[8]

$ \hat \theta = {\mathop{\rm arg}}\mathop {\max }\limits_\theta {y^H}\mathit{\Omega }\mathit{\boldsymbol{A}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}^H}\mathit{\boldsymbol{A}} + {\sigma ^2}\mathit{\boldsymbol{R}}_h^{ - 1}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^H}{\mathit{\Omega }^H}y. $

(22)

该算法能否成功实现CFO估计，关键在于解决好“可识别性问题”^[9].这要求必须保证信道的未知参量的个数要大于(L+1), 其中L为路径的总数；同时导频矩阵与其共轭转置矩阵的乘积不能为单位矩阵I.

2.3 基于自适应滤波类频偏估计算法

若参量的未知方程可以预先估计出来，自适应滤波能够跟踪、预测相应的回归参量.文献[10]针对单用户的OFDM系统提出了基于扩展的Kalman滤波(EKF)与QR-equalize(正交-均衡)的频偏信道联合估计的算法.该算法的精髓在于建立频偏和BEM系数的观测方程、状态方程，在递推过程中，不断预测和修正信道和CFO估计参数，从而实现两者的联合估计.

忽略BEM模型的误差，经过代数运算后获得的接收信号为^[10]

$ {y_n} = {\mathit{\boldsymbol{K}}_n}\left( \upsilon \right) \cdot {\mathit{\boldsymbol{c}}_n} + {w_n}, $

(23)

其中, LN_c×1向量${\mathit{\boldsymbol{c}}_n} = {\left[ {\mathit{\boldsymbol{c}}_0^{{{\left( n \right)}^{\rm{T}}}}, \cdots \pmb{c}_{L - 1}^{{{\left( n \right)}^{\rm{T}}}}} \right]^{\rm{T}}}$为BEM模型基函数系数向量，N×LN_c向量K_n(υ)定义为卡尔曼增益，υ为归一化频偏，w_n为加性复高斯白噪声.进一步的，

$ {\mathit{\boldsymbol{K}}_n}\left( \upsilon \right) = \frac{1}{N}\left[ {Z_0^{\left( n \right)}\left( \upsilon \right), \cdots ,Z_{L - 1}^{\left( n \right)}\left( \upsilon \right)} \right], $

(24)

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{Z}}_l^{\left( n \right)}\left( \upsilon \right) = \left[ {{\mathit{\boldsymbol{M}}_d}\left( \upsilon \right){\rm{diag}}\left\{ {{x_n}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{f}}_l}, \cdots ,} \right.\\ \left. {{\mathit{\boldsymbol{M}}_{{N_c} - 1}}\left( \upsilon \right){\rm{diag}}\left\{ {{x_n}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{f}}_l}} \right], \end{array} $

(25)

其中向量f_l为N×L的傅里叶变换矩阵的第l列，M_d(υ)为N×N矩阵, 而且

$ {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{M}}_d}\left( \upsilon \right)} \right]_{k,m}} = \sum\limits_{q = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\frac{{vq}}{N}}}{{\left[ \mathit{\boldsymbol{B}} \right]}_{q + {N_g},d}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}\frac{{m - k}}{N}q}}} , $

(26)

其中B为BEM模型的基函数向量，N为子载波数，N_g为循环前缀的长度.

分别建立BEM系数向量(c_n)和CFO(υ)的AR模型及两者的状态方程如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{c}}_n} = {\mathit{\boldsymbol{A}}_c} \cdot {\mathit{\boldsymbol{c}}_{n - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_{cn}}, $

(27)

$ {\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}_n} = a \cdot {\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}_{n - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_{{\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}_n}}}, $

(28)

$ {\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n} = {\left[ {\mathit{\boldsymbol{c}}_n^{\rm{T}},\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}_n^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} = \mathit{\boldsymbol{A}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\mu }}_{n - 1}} + {\mathit{\boldsymbol{u}}_n}, $

(29)

其中A_c=blkdiag{A, …,A }为LN_c×LN_c矩阵，A =blkdiag{A_c, a}为(LN_c+1)×1矩阵，u_n为零均值复高斯噪声向量.而且，

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = \mathit{\boldsymbol{R}}_{{c_l}}^{\left( 1 \right)}{\left( {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{c_l}}^{\left( 0 \right)}} \right)^{ - 1}}, $

(30)

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{R}}_{{c_l}}^{\left( s \right)} = E\left[ {\mathit{\boldsymbol{c}}_l^{\left( n \right)}\mathit{\boldsymbol{c}}_l^{{{\left( {n - s} \right)}^H}}} \right] = \\ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^H}\mathit{\boldsymbol{B}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^H}\mathit{\boldsymbol{R}}_{{a_l}}^{\left( s \right)}\mathit{\boldsymbol{B}}{\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^H}\mathit{\boldsymbol{B}}} \right)^{ - 1}}, \end{array} $

(31)

$ {\mathit{\boldsymbol{U}}_l} = \mathit{\boldsymbol{R}}_{{c_l}}^{\left( 0 \right)} + \mathit{\boldsymbol{AR}}_{{c_l}}^{\left( 1 \right)}, $

(32)

其中方差矩阵U =blkdiag{U_c, σ_ν²}为LN_c+1×LN_c+1矩阵，U_c=blkdiag{ U₀, …,U_L－1}.

设$\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}$(n|n－1)和$\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}$(n|n)分别对应于μ_n的第n步的状态预测和后验状态估计，P(n|n－1)和P(n|n)分别对应于方差矩阵U的先验和后验估计误差.设定初始状态$\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}$(0|0)=0_{LNc+1, 1}，则有

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {0\left| 0 \right.} \right)}} = {\rm{blkdiag}}\left\{ {\mathit{\boldsymbol{R}}_c^{\left( 0 \right)},b} \right\},\\ \mathit{\boldsymbol{R}}_c^{\left( s \right)} = {\rm{blkdiag}}\left\{ {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{c_0}}^{\left( s \right)}, \cdots ,\mathit{\boldsymbol{R}}_{{c_{L - 1}}}^{\left( s \right)}} \right\}. \end{array} $

(33)

在卡尔曼滤波过程中，需要计算g(μ_n)的雅可比行列式矩阵G_n如下：

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{G}}_n} = \nabla _{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{g}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n}} \right)\left| {_{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n} = \mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} \right. = \\ \left[ {\nabla _{{\mathit{\boldsymbol{c}}_n}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{g}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n}} \right)\left| {_{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n} = \mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} \right.,\nabla _{{\mathit{\boldsymbol{\upsilon }}_n}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{g}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n}} \right)\left| {_{{\mathit{\boldsymbol{\mu }}_n} = \mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} \right.} \right]. \end{array} $

(34)

整个扩展的卡尔曼滤波(EKF)递推算法分为时间更新方程式(35)与计算更新方程式(36)两个步骤来实现信道和频偏的联合估计^[10], 即

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{{\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}}_{\left( {n - 1\left| {n - 1} \right.} \right)}},\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n - 1\left| {n - 1} \right.} \right)}}{\mathit{\boldsymbol{A}}^H} + U. \end{array} \right. $

(35)

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{K}}_n} = {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}}\mathit{\boldsymbol{G}}_n^H{\left( {{\mathit{\boldsymbol{G}}_n}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}}\mathit{\boldsymbol{G}}_n^H + {\sigma ^2}{\mathit{\boldsymbol{I}}_N}} \right)^{ - 1}},\\ {{\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}}_{\left( {n\left| n \right.} \right)}} = {{\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} + {\mathit{\boldsymbol{K}}_n}\left( {{y_n} - \mathit{\boldsymbol{g}}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat \mu }}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}}} \right)} \right),\\ {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n\left| n \right.} \right)}} = {\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}} - {\mathit{\boldsymbol{K}}_n}{\mathit{\boldsymbol{G}}_n}{\mathit{\boldsymbol{P}}_{\left( {n\left| {n - 1} \right.} \right)}}. \end{array} \right. $

(36)

该类算法呈现的是一个动态的反馈运算模式，数据存储量少，运算量小，特别是避免了高阶矩阵求逆问题，提高了运算的效率.但是在OFDM系统中，需要大量的导频数据不断进行有关的预测和更新，才能达到对CFO估计的精度要求.如果观测数据较少的话，该方法很难实现对CFO估计的预期效果.

3 算法仿真性能分析

下面是对这3类算法做的仿真分析，首先设定初始参数如下：文献[7]取子载波数N=256，OFDM子符号块数P=32, 每个符号块的样本数L=8，频偏ε=0.1；文献[8]取子载波数N=256，信道冲击响应长度L=4，信道的功率谱p_l=c10^－βl，c为光速，β=1/20；文献[10]取子载波数N=128，循环前缀N_g=N/8, 路径数L=6，频偏υ=0.1.在归一化多普勒f_d=f_maxNT_S=0.1时对上述几类算法进行仿真，得到算法的最优仿真性能如图 2所示.

从图 2中可以看到，文献[7]的算法的性能受信噪比的影响不大，能够保障性能的稳定性.不足之处在于导频会占用较多的频带资源，而且对导频的设计有较高要求，同时从仿真图上看它的效果是最差的.在文献[8]的算法中，当信道已知时的算法性能要优于信道未知时的情形，这主要是因为在信道未知的情况下，很难找到合适的BEM模型的基函数，使得算法的参数估计满足足够低的均方误差.文献[10]算法是建立在对状态方程的动态迭代的基础上，只有保证了足够的迭代次数，才能获得仿真图中的效果，这就意味着需要大量的观测数据.对比其他两类算法，自适应滤波算法在仿真中避免了搜索过程，从而相对地减小了计算量，所呈现出的性能是最好的.可以看到，当SNR大于10 dB后，性能得到明显的提升.

当归一化多普勒取f_d=0.3时，上述各种算法的CFO估计仿真结果如图 3所示.由于多普勒的扩展导致信道相干时间进一步减小，信道的时变性更加明显.对于时变信道而言，f_d越大代表信道在某一路径当前时刻的冲击响应和其他时刻的冲击响应相关性越小，从而造成一次实验下的效果偏差比较大.从图 3可以看出，文献[8]算法和文献[10]算法受此影响较大，与图 2的仿真结果相比较，CFO的均方误差相对增大得比较明显，性能大打折扣；而文献[7]中基于导频类算法的性能仍然保持稳定，这也体现了导频类算法的优势.

4 总结与展望

本文对现有的时变信道下OFDM系统载波频偏估计算法进行归纳总结，并且对各类算法在不同应用环境下的仿真结果进行对比分析，以期能为快变信道下的OFDM系统的载波同步技术的进一步研究提供参考和借鉴.本文建议从优化导频结构、简化参数估计的计算复杂度等方面尝试对频偏估计算法进行改进.对于纯导频的算法，可以尝试采用数据加导频的方案来提高频带利用率.另外，对于在时变信道下的多用户OFDM系统的多载波频偏估计的问题，目前公开发表的有关算法论文还很少见，其中可公开查到的有Eric Pierre Simon等^[16-17]提出的针对MIMO-OFDM系统的频偏与信道联合估计算法.该算法利用扩展的卡尔曼滤波算法在BEM模型下完成多频偏和时变信道状态值的估计，但算法所使用的自回归迭代的方式使得该算法复杂度相当大，迭代速度也比较慢.在时变信道条件下的多用户OFDM系统中，在存在用户间多址干扰的情形下对多个载波频偏值进行估计，以及在存在用户间频偏残差的影响下实现系统接收端的多载波频偏补偿等是目前有关研究的关键和难点.对此，本文建议尝试采用基于正交导频和压缩感知技术的频偏估计方案，以及基于多参数联合估计的载波同步方案来获取多用户OFDM系统的多频偏估计.