利用激光进行各种精密测量时，摄像系统的物面分辨率和图像中目标的定位精度是很重要的。物面分辨率提高的代价非常昂贵，因而，通过软件处理提高定位的精度是光学测量及数字图像处理中的重要技术^[3]。目前，常见的激光光斑中心拟合算法有：质心法、空间矩^[4]、圆拟合^[5]、椭圆拟合、高斯拟合算法，本文重点研究椭圆拟合法定位激光光斑的中心。针对椭圆形构件，文献[6-8]介绍了一种特征根法及二次曲线标准化法椭圆拟合拟合椭圆；文献[7]中，介绍了一种二次曲线标准化法拟合椭圆；文献[8]对这两种方法进行比较，发现特征根法拟合椭圆对初值得依赖程度高。

1 OpenCV激光光斑中心定位

图 1展示了OpenCV激光光斑中心定位的流程图。首先，调用OpenCV的库函数，将一幅多通道的彩色影像转换为单通道的R、G、B影像。其次，OpenCV中可以剪裁感兴趣的矩形区域，该区域也被称为ROI。接下来，影像二值化一般选取大津算法^[9]，分类的原理是计算背景和前景的最大类间方差；当然，若灰度阈值明确时，可直接通过输入灰度阈值分类即可。为了剔除二值化影像中的孤立像素、毛刺和小桥(连通两块区域的像素)，而总的位置和形状不变，所以采用开运算对图像进行处理^[10]。经过上述处理后，图像上仍可能存在多个连通域，故需要对连通域进行分割，再通过连通域的属性(面积、周长等)，进一步提高光斑所在连通域的定位^[11]。计算连通域的轮廓，再调用OpenCV中的椭圆拟合算法，拟合激光光斑对应的椭圆，求解激光光斑中心。

2 改进的二次曲线标准化法

以平面坐标X=(x  y)^T表示的一般二次曲线方程为：

$ a_{0}+a_{1} x+a_{2} y+a_{3} x^{2}+a_{4} x y+a_{5} y^{2}=0 $

(1)

式(1)中，实对称矩阵可对角化^[12]，实际就是求解式(2)：

$ \left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{cc} a_{3} & \frac{a_{4}}{2} \\ \frac{a_{4}}{2} & a_{5} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) $

(2)

由矩阵的对交项为0可知：a₃sinθcosθ-0.5a₄sin²θ+0.5a₄cos²θ-a₅sinθcosθ=0，可推出：1/tan²θ=(a₅-a₃)/a₄，令(a₅-a₃)/a₄=$ \varsigma $，则有：

$ \tan ^{2} \theta+2 \varsigma \tan \theta-1=0 $

(3)

根据求根公式，当$\varsigma $≥0，tanθ≥0，及当$\varsigma $ < 0，tanθ < 0有：

$ \tan \theta=\left\{\begin{array}{l} -\varsigma+\sqrt{\varsigma^{2}+1}, \varsigma \geqslant 0 \\ -\varsigma-\sqrt{\varsigma^{2}+1}, \varsigma<0 \end{array}\right. $

(4)

令：

$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} p \\ q \end{array}\right)=R\left(\begin{array}{l} p \\ q \end{array}\right) $

(5)

可得：

$ a_{0}+\left(\begin{array}{ll} b_{1} & b_{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} p \\ q \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ll} p & q \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} p \\ q \end{array}\right)=0 $

(6)

其中：

$ \left(\begin{array}{ll} b_{1} & \left.b_{2}\right)=\left(a_{1} \cos \theta-a_{2} \sin \theta\right. & \left.a_{1} \sin \theta+a_{2} \cos \theta\right) \end{array}\right. $

将公式展开，坐标分量的交叉项已经消失：

$ a_{0}+b_{1} p+b_{2} q+\lambda_{1} p^{2}+\lambda_{2} q^{2}=0 $

(7)

将其合并为：λ₁xx²+λ₂yy²+b₀=0，即

$ \left(\begin{array}{ll} x x & y y \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} \lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x x \\ y y \end{array}\right)+b_{0}=0 $

(8)

其中：

$ \left\{\begin{array}{l} x x=p+b_{1} /\left(2 \lambda_{1}\right) \\ y y=q+b_{2} /\left(2 \lambda_{1}\right) \\ b_{0}=a_{0}-b_{1}^{2} /\left(4 \lambda_{1}\right)-b_{2}^{2} /\left(4 \lambda_{2}\right) \end{array}\right. $

转化为椭圆的标准式，可得：

$ \frac{x x^{2}}{-b_{0} / \lambda_{1}}+\frac{y y^{2}}{-b_{0} / \lambda_{2}}=1 $

(9)

标准坐标系坐标(xx  yy)^T与测量平面坐标系坐标(x y)^T的关系为：

$ \left(\begin{array}{l} x x \\ y y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} b_{1} /\left(2 \lambda_{1}\right) \\ b_{2} /\left(2 \lambda_{2}\right) \end{array}\right)+\boldsymbol{R}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) $

(10)

在测量平面坐标系中，椭圆的中心为：$ {{X_0} = - \mathit{\boldsymbol{R}}\left( \begin{array}{l} {b_1}/\left( {2{\lambda _1}} \right)\\ {b_2}/\left( {2{\lambda _2}} \right) \end{array} \right)}$，长半轴或短半轴为：$ {\sqrt { - \frac{{{b_0}}}{{{\lambda _1}}}} }$或者$ {\sqrt { - \frac{{{b_0}}}{{{\lambda _2}}}} }$。

3 计算实例

本文采用3幅激光光斑影像，截取仅包含激光光斑部分的影像。在使用改进的二次曲线标准化法提取椭圆中心时，需要考虑按照几倍中误差的原理剔除粗差点，一般情况下，按照两倍或三倍中误差阈值删除粗差点，本文将分别对两种情况讨论。对激光光斑的轮廓点使用OpenCV椭圆拟合函数拟合，计算激光光斑的椭圆参数，结果见表 1。表 1中，x₀、y₀、a及b分别表示椭圆中心在屏幕坐标系中的横坐标、纵坐标、椭圆长半轴及椭圆短半轴。

使用改进的二次曲线标准法，设置三倍中误差阈值删除粗差点，对光斑轮廓点拟合椭圆，可得三幅影像光斑的椭圆参数见表 2。表 2中，前五列的含义与表 1一致，有效点表示参与椭圆拟合的点数，删除点表示排除的点数，中误差表示椭圆拟合的精度。

图 2中，绘制了三幅影像轮廓点与拟合椭圆之间的关系，绿色点表示有效点数，蓝色线段表示拟合成功的椭圆。

使用改进的二次曲线标准法，设置二倍中误差阈值删除粗差点，对光斑轮廓点拟合椭圆，可得三幅影像光斑的椭圆参数见表 3。

图 3中，绘制了三幅影像轮廓点与拟合椭圆之间的关系，绿色点表示有效点，红色点表示删除点，蓝色线段表示拟合成功的椭圆。

从表 1和表 2的结果可知，当粗差探测的阈值设置为三倍中误差时，三幅影像轮廓点使用改进的二次曲线法均未探测到粗差点，拟合椭圆的中误差在0.05个像素左右，椭圆中心的横纵坐标与OpenCV方法获得的坐标相差均在0.02个像素，椭圆长短半轴差值最大为0.001个像素；从表 3和表 2的结果可知：当粗差探测的阈值设置为二倍中误差时，各影像轮廓点中均会出现粗差点，由于粗差点的删除，使得椭圆拟合的单位权中误差变小，拟合椭圆的中误差在0.03个像素，椭圆的长短半轴及中心坐标最大出现约3个像素的变动。

4 结束语

本文描述了OpenCV激光光斑中心定位的原理，并详细的给出了一种改进的二次曲线标准化法椭圆拟合理论推导。从实验结果分析，OpenCV方法拟合椭圆与设置三倍中误差阈值的改进的二次曲线标准化法结果基本一致。由此可知，OpenCV方法拟合椭圆可能不考虑如何剔去粗差点，而是直接采用所有点参与椭圆拟合。因而，本文建议：采用本文的改进的二次曲线法拟合椭圆，并设置二倍中误差作为粗差探测的阈值，可以获得拟合精度更高的椭圆及其对应的光斑中心。