修建地铁是地下交通发展的主要趋势，为避免地下交通事故的发生，地铁沉降监测就变得尤其重要。沉降监测属于变形监测的内容，它通过检查各种工程建筑物和地质构造的稳定性，对变形进行几何分析，掌握规律，预测、预报变形，以达到安全运营的目的^[1]。目前，常用的变形监测数据处理模型主要有：回归分析模型、时间序列分析模型、灰色系统分析模型、神经系统网络模型和卡尔曼滤波模型等。其中，灰色系统理论主要解决数据量小、信息贫瘠的数据序列，并用颜色来描述事物发展变化的状态。

近年来，灰色系统理论不断发展和改进，改进的GM(1，1)模型主要有新陈代谢GM(1，1)模型、残差优化GM(1，1)模型、灰色优化模型和无偏GM(1，1)模型^[2-4]。本文通过介绍灰色系统理论、新陈代谢GM(1，1)模型和残差优化GM(1，1)模型，利用这3种模型分别对某地区地铁沉降数据进行处理和预测，将得到的预测结果进行对比和分析，得出此次地铁沉降监测数据预测预报的最优模型为残差优化GM(1，1)模型。

1 3种灰色GM(1，1)模型

灰色系统理论主要用来解决小样本、信息不完备的随机时间序列问题。灰色理论认为杂乱无章的数据都是有顺序、有规律的，灰色的生成是从杂乱无章的原始数据中发现数据的内在规律，对解决规律性不强、信息量少的数据提供了巨大的帮助^[5]。

1.1 GM(1，1)模型

记原始时间序列为:

$ {X^{\left( 0 \right)}} = \left\{ {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right), {x^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right), \cdots , {x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)} \right\} $

对X⁽⁰⁾做一次累加(1-AGO)生成新序列为：

$ {X^{\left( 1 \right)}} = \left\{ {{x^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right), {x^{\left( 1 \right)}}\left( 2 \right), \cdots , {x^{\left( 1 \right)}}\left( n \right)} \right\} $

(1)

式中，${X^{(1)}}(K) = \sum\limits_{i = 1}^k {{X^{(0)}}} $, k=1, 2…, n。

用新序列构建GM(1，1)的微分方程：

$ \frac{{{\text{d}}{x^{\left( 1 \right)}}}}{{{\text{d}}t}} + \alpha {x^{\left( 1 \right)}} = \mu $

(2)

式中，X⁽¹⁾为一次累加生成数; t为时序; α、μ为待估参数。

构造系数矩阵B和常数项Y：

$ \mathit{\boldsymbol{Y}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right)} , {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 3 \right)} , {\cdots } , {{x^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)} \end{array}} \right]^{\text{T}}; \\ \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {- \frac{1}{2}\left[{{x^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right) + {x^{\left( 1 \right)}}\left( 2 \right)} \right]}&1 \\ { - \frac{1}{2}\left[{{x^{\left( 1 \right)}}\left( 2 \right) + {x^{\left( 1 \right)}}\left( 3 \right)} \right]}&1 \\ {\vdots }&{\vdots } \\ { - \frac{1}{2}\left[{{x^{\left( 1 \right)}}\left( {n-1} \right) + {x^{\left( 1 \right)}}\left( n \right)} \right]}&1 \end{array}} \right] $

用最小二乘法求解微分方程系数α、μ:

$ \left[\begin{gathered} \alpha \hfill \\ \mu \hfill \\ \end{gathered} \right] = {({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}})^{ - 1}}({\mathit{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{Y}}) $

(3)

将α、μ代入微分方程，得到：

$ {\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( {k + 1} \right) = \left( {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) - \frac{\mu }{\alpha }} \right){e^{ - ak}} + \frac{\mu }{\alpha } $

(4)

即得到GM(1，1)预测模型：

$ {\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) = {\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( k \right) - {\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( {k - 1} \right) $

(5)

即：

$ {\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right) = (1 - {e^\alpha })\left( {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) - \frac{\mu }{\alpha }} \right){e^{ - \alpha k}} $

(6)

1.2 新陈代谢GM(1，1)模型

在计算过程中，新数据越来越多，旧数据的重要性越来越小，所以需要修改灰色模型，建立基于新陈代谢的GM(1，1)模型。即将最新信息${\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right)$置于模型中，同时替换旧信息${\hat x^{\left( 0 \right)}}(1)$，用得到的新序列{x⁽⁰⁾(2), x⁽⁰⁾(3), …, x⁽⁰⁾(n+1)}作为初始序列，再重复以上步骤建立新背景值的GM(1，1)模型，如此反复，直到预测完最后一个值，这种计算模型即为新陈代谢GM(1，1)模型^[6-7]。

1.3 残差优化GM(1，1)模型

残差GM(1，1)模型是把GM(1，1)模型预测的残差作为原始序列，重新建立GM(1，1)模型对其残差值进行预测，然后根据预测结果对GM(1，1)模型进行优化^[8]。该模型的建立步骤如下：

首先, 由建立的GM(1，1)模型可得到各期的残差值：

$ {e^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) = {x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) - {\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) $

(7)

从而可以得到残差序列：

${e^{\left( 0 \right)}}\left( k \right) = \left\{ {{e^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right), {e^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right), \cdots {e^{\left( 0 \right)}}\left( n \right)} \right\} $

(8)

残差可能存在正负相间的情况，所以需要先将残差序列进行平移，即让残差数列整体加上一个常数C。即：

$\begin{matrix} {{e^{\left( 0 \right)}}{\left( k \right)_1} =} \\ {\left\{ {{e^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) + C, {e^{\left( 0 \right)}}\left( 2 \right) + C, \cdots {e^{\left( 0 \right)}}\left( n \right) + C} \right\}} \\ \end{matrix} $

(9)

式中, C需要经过反复实践后才可得到，按照上文所述建立GM(1，1)的步骤建立残差优化GM(1，1)模型，从而能够得到残差数列的表达式为：

$\begin{matrix} {{\hat e^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right) = } \\ {\left( {{e^{ - {a'}}} - 1} \right)\left[{{e^{\left( 0 \right)}}{{\left( 1 \right)}_1}-\frac{{{u'}}}{{{a'}}}} \right]{e^{ - {a'}k}} - C} \\ \end{matrix} $

(10)

以${\hat e^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right)$作为GM(1，1)模型预测结果${\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right)$的修正值，从而得到残差GM(1，1)模型，其表达式为：

$\begin{matrix} {{\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right) = \left( {{e^{ - a}} - 1} \right)\left[{{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right)-\frac{u}{a}} \right]{e^{ - ak}} + } \\ {f\left( k \right)\left\{ {\left( {{e^{ - a}}' - 1} \right)\left[{{e^{\left( 0 \right)}}{{\left( 1 \right)}_1}-\frac{{{u'}}}{{{a'}}}} \right]{e^{ - {a'}k}} - C} \right\}} \\ \end{matrix} $

(11)

上式中，当k=0时，f(k)=0；其他情况，f(k)=1。

2 模型的检验

GM(1，1)模型建立之后不能直接运用，必须对其进行精度检验，在该模型精度检验达到一定要求后方可运用到预测中。GM(1，1)的精度检验方法有残差检验法、关联度检验法、后验差检验法^[9-10]等3种。本文仅详细介绍后验差检验法，其具体步骤如下：

1) 计算原始序列向量的方差

$ S_1^2 = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{x^{(0)}}(k) - {{\bar x}^{(0)}}} \right)} $

(12)

2) 计算残差向量及其方差

$ {\varepsilon ^{(0)}}(k) = {x^{(0)}}(k) - {\hat x^{\left( 0 \right)}}(k) $

(13)

$ S_2^2 = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{\varepsilon ^{(0)}}(k) - {{\bar \varepsilon }^{(0)}}} \right)} $

(14)

3) 计算后验差比值

$ c = \frac{{{s_2}}}{{{s_1}}} $

(15)

4) 计算小误差概率

$ p = \left\{ {\left| {{\varepsilon ^{(0)}}(k) - {{\bar \varepsilon }^{(0)}}} \right| < 0.674\ 5{S_1}} \right\} $

(16)

对模型精度的估计见表 1^[10]。

3 工程应用计算分析

为确定某市地铁沉降情况，相关单位在2015-05-19~2015-11-05期间，使用天宝DINI12数字水准仪，按照二等水准测量要求对地铁沉降变形进行监测对其进行了沉降监测，间隔时间为2周。本文选用监测点号为DZ181的数据进行灰色预测，共13期数据，监测数据见表 2。利用前7期监测数据作为原始数据，后6期数据进行灰色验证。具体运算过程通过Matlab编程实现。

3.1 模型的建立

1) GM(1，1)模型的建立。以前7期数据为原始数据创建传统GM(1，1)模型：

$ {X^{\left( 0 \right)}} = \left\{ {0.12, 0.26, 0.40, 0.54, 0.63, 0.73.0.93} \right\} $

待估参数α=-0.214 7，μ=0.260 5，预测模型为：${\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right)$=(x⁽⁰⁾(1)+1.213 3)e^{0.214 7k}-1.213 3，模型精度检验：小概率误差p=1，后验差比值c=0.1227，由表 1可知，p与c均为1级(优)。

2) 新陈代谢GM(1，1)模型的建立。用第8期的最新沉降量替换第一期的原始沉降量，得到：

$\begin{matrix} {{X^{\left( 0 \right)}}}= \\ { \left\{ {0.26, 0.40, 0.54, 0.63, 0.73.0.93, 1.268\ 3} \right\}} \\ \end{matrix} $

待估参数α=-0.233 0，μ=0.239 8

预测模型为：

$\begin{matrix} {{\hat x^{\left( 1 \right)}}\left( {k + 1} \right) = } \\ {\left( {{x^{\left( 0 \right)}}\left( 1 \right) + 1.029\ 2} \right){e^{0.233\ 0k}} - 1.029\ 2} \\ \end{matrix} $

模型精度检验：小概率误差p=1，后验差比值c=0.038 9，由表 1可知，p与c均为1级(优)。

3) 残差GM(1，1)模型。在传统GM(1，1)建模的基础上，利用残差优化GM(1，1)构建数列，由于GM(1，1)模型要求建模值为正数，所以先对残差数列进行处理，即将残差序列整体进行平移(数列整体加上一个常数C)。原始残差数列为：

$\begin{matrix} {{e^{\left( 0 \right)}} =} \\ {\left\{ {0, - 0.059\ 3, 0.004\ 2, 0.049\ 4, 0.021\ 9, - 0.023\ 7} \right\}} \\ \end{matrix} $

将该残差序列整体平移(数列整体加1)后得到可以构建GM(1，1)模型的数列，即

$ \begin{matrix} {{e^{\left( 0 \right)}} = } \\ {\left\{ {1, 0.940\ 7, 1.004\ 2, 1.049\ 4, 1.021\ 9, 0.976\ 3} \right\}} \\ \end{matrix} $

在Matlab中编程实现，可得：α′=-0.004 6，μ′=0.974 8

残差模型表达式为：

$\begin{matrix} {{\hat e^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right) = } \\ {\left( {{e^{0.004\ 6}} - 1} \right)\left[{{e^{\left( 0 \right)}}{{\left( 1 \right)}_1} + 211.913\ 0} \right]{e^{0.004\ 6k}} - 1} \\ \end{matrix} $

残差GM(1，1)模型为：${\hat x^{\left( 0 \right)}}\left( {k + 1} \right)$=(e^{0.214 7}-1)[x⁽⁰⁾(1)+1.213 3]e^{0.214 7k}+f(k){(e^{0.004 6}-1)[e⁽⁰⁾(1)₁+211.913 0]e^{0.004 6k}-1}模型精度检验：小概率误差p=1，后验差比值c=0.221 6，由表 1可知，p与c均为1级(优)。

3.2 模型预测结果分析

3种灰色GM(1，1)模型，其预测结果如表 3和图 1所示。经计算得到传统GM(1，1)模型、新陈代谢GM(1，1)模型和残差优化GM(1，1)模型预测结果的精度检验值全部为优，但由表 3和图 1可以看出，传统GM(1，1)模型存在随着预测期数的增加，误差在不断增大的问题，说明传统GM(1，1)模型在数据的预测预报方面存在明显不足，在应用过程中需不断改进。

从表 3和图 1还可以看出，3种模型预测误差的最大值都出现在最后一期预测数据中，从预测的整体效果来看，传统GM(1，1)模型的平均相对误差是9.69%，新陈代谢GM(1，1)模型的平均相对误差是7.38%，残差优化GM(1，1)模型的平均相对误差是1.34%。残差优化GM(1，1)模型是这3种模型中预测结果最好的模型，新陈代谢GM(1，1)模型次之，传统GM(1，1)模型预测结果最差。所以在此次地铁沉降监测数据预测中选用残差优化GM(1，1)来对监测数据进行预测。

4 结束语

地铁沉降监测数据预测预报表明：新陈代谢灰色模型GM(1，1)模型在获得新信息的同时去掉旧信息，能够反映当前数据的变化特征，因而比传统灰色模型GM(1，1)模型更接近实测数据^[11]；残差优化GM(1，1)模型基于对残差的分析处理，比传统灰色模型和新陈代谢灰色模型在精度上有了更大的提高，将其运用于地铁沉降监测数据的预测，更能满足工程建设的需求。另外，从此次地铁沉降预测结果来看，新陈代谢GM(1，1)模型和残差优化GM(1，1)模型在短期预测中都有很高的精度，但是在实际运用中，应根据观测次数的不断增加不断的修正所运用的预测模型，才能逐渐提高观测精度^[12-14]。