由于地球自转轴相对于地球本体的相对位置变化使得极点在地球表面的位置随时间而变化的现象称为极移 (pole motion, PM)。极移是地球定向参数 (earth orientation parameters, EOP) 中重要的一部分。目前，EOP的获取需要经过一系列空间大地测量技术的应用以及复杂的数据处理分析过程，这就导致了一定的时延，使得高精度导航定位、深空探测等需要精确实时的EOP数据的领域的应用受到影响。国内外对于EOP的预报开展了广泛的研究，极移作为EOP预报的重要组成部分，其预报工作值得深入研究^{[1, 2]}。

近年来，国内外出现众多的极移预报模型，如最小二乘谐波模型、频谱分析、神经网络及ARMA模型等。但是极移受多种激发源的影响，其变化不仅包括多种周期趋势，还有线性趋势和复杂的不规则趋势，给极移的预报工作带来巨大困难，使得预测精度受到影响^[3]。

本文采用R语言对极移的时间序列数据进行分析。通过对极移的时间序列进行二阶差分分析极移中不规则变化的特点，并以自回归滑动平均混合模型 (ARMA) 为例探讨了极移的不规则变化对模型拟合与预报的影响，给出了极移不规则变化与模型拟合效果之间的关系。

1 数据准备及差分处理 1.1 数据准备

IERS综合多种空间测地技术联合解算EOP，以1 d为时间间隔提供极移的时间序列，并将其公布在IERS网站上。本文分析数据为EOP 08 C04 series for 1962-2014(IAU2000) 序列，该序列含有1962-01-01~2014-10-05共19 271个数据。目前极移的模型模拟都是将x分量和y分量分别进行拟合，本文选取极移的y分量进行分析。极移y分量的时间序列图如图 1所示。

极移的成分中包括长期趋势、Chandler摆动、季节性摆动、高频变化及不规则变化等^[4]。

1.2 差分原理

极移的模型可以表示为：

$ {{Y}_{t}}=Y_{t}^{'}+\alpha t+\beta $

(1)

式中，Y′_t是不包含线性项和常数项的时间模型，主要由周期项、不规则变化项组成^[5]；α和β分别为线性项的系数和常数项。为了研究极移的不规则变化，需要去除趋势项、常数项及周期项的影响。通过对极移序列一阶差分可得：

$ \nabla {{Y}_{t}}=\left( Y_{t}^{'}-Y_{t-1}^{'} \right)+\alpha \left[ t-\left( t-1 \right) \right]=\nabla Y_{t}^{'}+\alpha $

(2)

其中，∇t=1 d为两个差分值的时间间隔; ∇Y′_t中包含了不规则变化的一阶差分部分。极移的一阶差分所得结果的物理意义为极移运动的速度。通过差分去除了极移长期趋势，但是周期项变化的影响依然存在。对一阶差分结果再次差分得到二阶差分结果如下：

$ {{\nabla }^{2}}{{Y}_{t}}=\nabla {{Y}_{t}}-\nabla {{Y}_{t-1}}=\nabla Y_{t}^{'}-\nabla Y_{t-1}^{'} $

(3)

二阶差分后线性项的影响已经去除，周期项的平稳变化进一步被消去，所得结果反映了短期内极移的不规则变化特征。根据文献[3]极移的不规则变化与短期的动力学因素有关，由于二阶差分结果既消去了极移平稳变化的影响，又具有加速度的物理意义，所以极移时间序列的二阶差分能更好地反映极移的不规则变化特征^{[6, 7]}。

1.3 差分序列分析

对间隔一天的极移序列进行二阶差分后的结果如图 2所示。

二阶差分序列存在明显的分段特征，大约以MJD 45 000和MJD 51 000为分界时点分为3个部分。为了便于分析，将极移不规则变化幅度大的中间部分称为活跃期，在此期间不规则变化比较剧烈。幅度小的另两部分称为平静期，此期间不规则变化则相对平静。由于此极移序列的持续时间约52 a，所以不足以判断其周期性。但是活跃期大约持续了6 100 d，与地震的近6 500 d的长活动周期以及章动的18.6 a周期较接近，那么这几种现象之间是否有某种联系^[8]？

2 模型拟合及结果对比 2.1 模型信息

关于极移有众多的预报模型，本文以自回归滑动平均混合模型 (ARMA) 为例分析极移不规则项对其拟合与预报的影响。根据二阶差分序列图中显示的不规则变化项特征，选取4个不同时段的极移数据进行拟合。选取的4个时段及拟合模型信息如表 1所示。

其中，a时段处于平静期，b时段处于平静期且紧邻活跃期。ARMA (p, q) 模型中p、q的值可以通过分析模型识别中自相关函数、偏自相关函数和扩展的自相关函数的特征得出^[9]。

从表 1中可以看出，处于平静期的时段相应的拟合模型最为简单，包含活跃期数据的序列拟合较复杂。可见高频变化的存在确实使模型拟合变得复杂。

2.2 拟合效果对比 2.2.1 残差序列对比分析

如果模型拟合恰当，则残差的行为应该基本上类似于均值为0、标准差为s的独立正态随机变量^[10]。上述4个时段残差图如图 3所示。

通过残差分布图对比分析可以看出，a时段模型拟合残差服从正态分布，大部分残差小于2 mas；b时段模型拟合残差整体服从正态分布，个别残差大于4 mas, 大部分残差小于2 mas，最后阶段残差出现变大的趋势；c时段模型拟合残差大约在MJD 45 700 d左右出现明显的分界，后半部分大量残差绝对值超过3 mas，并有部分残差超过5 mas，不符合正态分布特性；d时段模型拟合残差的正态分布特性不如a时段和b时段明显，大部分残差小于2 mas, 个别残差大于6 mas。

2.2.2 分位数-分位数图对比分析

根据文献[10], 分位数-分位数 (QQ) 图显示了数据的分位数和根据正态分布计算的理论分位数。模型拟合效果的好坏可以通过分位数-分位数图进行对比得出。如图 4所示。

可以看出，b时段的正态分布特征最明显；a时段和d时段较接近，但a时段残差的正态分布特征更显著；c时段残差不符合正态分布。

从图 4对比结果可以发现，处于平稳期的a时段与b时段拟合效果最佳，且模型最简练；处于活跃期的d时段拟合效果次之；包含平稳期与活跃期数据的c时段模型拟合效果最差；在b时段后期，模型拟合的残差出现增大的趋势，推断这可能是因为该时段后期接近活跃期，因此受不规则变化的影响使得拟合效果变差。

3 模型预测精度对比

对尚未观察的量进行预测或预报，是建立模型的重要目的。而同等重要的是评估其预测的精确度。由于c时段拟合效果不佳，此次对比只对于其余3个模型。基于模型预测未来40 d的极移数据，并与所保留的实际极移观测值进行对比。得到的差值序列如图 5所示。

极移的预报通常在一个月内，超过一个月的预报实际意义不大。选择了预报40 d只是为了大致了解残差的趋势。从图 5可以看出，前25 d左右，a时段的预报误差小于b时段，之后的预测中，a时段的误差大于b时段。因为前期的预测数据更有实用价值，所以a时段的预报精度略好，这可能是由于b时段后期数据紧邻活跃期，使得预报的精度降低；前30 d中，d时段预报误差整体明显大于a时段与b时段，且后期误差有增大的趋势，这可能是由于d时段处在极移不规则变化的活跃期造成的。很明显，极移的不规则变化降低了模型拟合和预报的精度。

4 结束语

1) 极移的不规则变化中存在明显的分段特征，可以分为活跃期和平静期。活跃期变化的幅值明显大于平静期。位于MJD 45 000和MJD 51 000之间的部分是活跃期，持续时间约6 100 d。这与地震的近6 500 d的长活动周期以及章动的18.6 a周期较接近。

2) 拟合数据处于活跃期，建模及预报的精度相对于处于平静期时差；

3) 拟合数据同时包含活跃期与平静期，拟合的残差出现病态分布，模型建立不成功；

4) 拟合精度相当的不同模型，预测数据处于平静期要比预测数据处于活跃期时精度要好。