共模误差(common mode error，CME)是指GNSS坐标序列中一种与空间相关的误差。Wdowinski等^[1]首次提出区域内所有测站均受到具有空间相关性的CME的影响，并采取区域叠加滤波法剔除CME。Nikolaidis等^[2]改进了区域叠加滤波法，提出用加权叠加滤波法剔除CME。Dong等^[3]分别采用主成分分析(principle component analysis，PCA)法和K-L(Karhunen-Loeve)展开法对比剔除CME的效果。田云峰等^[4]提出采用加权叠加滤波法来剔除CME。周茂盛等^[5]提出利用多通道奇异谱分析法(multichannel singular spectrum analysis，MSSA)剔除CME的新思路。此外，众多学者深入研究分析了CME的空间特征及其起源与影响因子^[6-12]，致力于提高GNSS坐标序列的精度和可靠性。

区域叠加滤波和PCA法是剔除CME的传统滤方法，前者假设CME均匀分布，并不适用于大空间尺度网；PCA理论上更加严谨，但仍存在假设CME服从高斯分布、没有充分利用高阶主成分等不足^[12]。而MSSA可从无先验信息的数据中提取出尽可能多的可靠信息，如坐标序列的趋势项、季节性信号及噪声。

为了进一步探究MSSA的滤波效果，本文分别采用区域叠加滤波、PCA和MSSA提取了美国板块边界观测监测网下119个测站约10 a的坐标残差序列的CME，并对比分析了3种方法的滤波效果。

1 GNSS坐标序列滤波方法 1.1 区域叠加滤波法

目前，用于剔除CME最为广泛的方法即是区域叠加滤波法。该方法是基于区域内CME均匀分布的假设，将单日解误差视为权重因子，算法原理详见文献[1]。

1.2 PCA法

PCA是一种基于正交分解的方法，主要通过构造方差/协方差阵并进行奇异值分解来提取CME，算法原理详见文献[3]。

1.3 MSSA法

MSSA是一个用于同时分析有着共同结构特点的一组时间序列的非参数化工具。MSSA作为奇异谱分析(singular spectrum analysis，SSA)和PCA的延伸，通过设定一窗口长度M来构造多通道时延轨迹矩阵，可将时间序列分解为其谱分量，主要包括分解和重建两个互补的阶段^{[13, 14]}。

2 GNSS坐标序列处理

本文的测站坐标残差时间序列由SOPAC提供，所有序列的时间跨度长，数据有效率高。测站的位置分布如图 1所示。

2.1 GNSS坐标残差序列的获取

GNSS坐标残差序列可通过对原始坐标序列采用式(1)的模型来剔除其中的截距、趋势项和季节性信号得到。

$ \begin{aligned} y\left(t_{i}\right)=a &+b t_{i}+c \sin \left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} t_{i}\right)+d \cos \left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} t_{i}\right)+e \sin \left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} t_{i}\right) \\ &+f \cos \left(2 {\rm{ \mathsf{ π} }} t_{i}\right)+\sum\limits_{i=1}^{n} g_{i} H\left(t_{i}-T_{h i}\right)+v_{i} \end{aligned} $

(1)

式中，t_i为GPS测站单日解对应的历元时刻，单位为年；a为测站的位置(即该测站坐标时间序列的平均值)；b为线性速度；c、d和e、f分别为周年信号和半周年信号的系数；g_i为由于多种因素(如天线或仪器更换和远场大地震等)造成的阶跃式跳变；T_hi为发生跳变的历元时刻，一般已知；n为跳变个数；H为阶跃函数，跳变前值为0，跳变后变为1；v_i为观测噪声。

2.2 GNSS坐标序列预处理

本文对坐标序列的预处理包括粗差的探测和剔除、缺失数据插值两部分。

文中采用拉依达准则来剔除粗差，即

$ \left|v_{i}\right|=\left|x_{i}-\bar{x}\right|>3 \sigma $

(2)

GNSS坐标序列预处理中极其关键的问题就是观测数据不连续。连续数据缺失对坐标序列分析得到的结果影响较大^[15]。目前虽然有不少插值方法适用于GNSS坐标序列的补齐^[16-19]，但这些方法单独使用时均存在限制条件，而且不恰当的插值结果将严重影响GNSS坐标序列分析的结果。本文将分别采用线性插值、临近插值和三次样条插值3种常用插值方法^[20]，对不同的缺失情况进行插值，比较插值结果与真值间差值的RMS(root mean square)评判插值效果。

文中119个GPS测站的垂向坐标序列的平均数据缺失率为4.63%。本文选取p088站垂向分量坐标残差序列中时间跨度为2009.1000~2011.0973共2 a的连续数据，分析了3种插值方法的插值效果。

本文根据实验数据的连续空缺历元数的主要分布情况，例举了3种典型的数据缺失情况。3种情况下不同方法的插值结果与真值间差值的RMS如表 1所示，因篇幅有限，未给出插值前后的坐标序列。

1) 情况一，缺失2或5个历元的数据，连续数据缺失较少。人为任意打断的历元依次为：

$ \begin{array}{ll} 2009.1384 \sim 2009.1411 & 2009.4178 \sim 2009.4205 \\ 2009.6973 \sim 2009.7000 & 2009.9767 \sim 2009.9795 \\ 2010.2562 \sim 2010.2589 & 2009.1384 \sim 2009.1493 \\ 2009.7274 \sim 2009.7384 & \end{array} $

共缺失10个历元的连续数据。分析表 1可知，三次样条插值结果更接近真值。

2) 情况二，缺失10或20个历元的数据。人为任意打断的历元依次为：

$ \begin{array}{ll} { 2009.5438 \sim 2009.5685 } & { 2009.9959 \sim 2010.0205 } \\ { 2010.1849 \sim 2010.2096 } & { 2010.8671 \sim 2010.8918 } \\ { 2009.5192 \sim 2009.5603 } & 2010.5630 \sim 2010.6123 \end{array} $

均共缺失40个历元的连续数据。分析表 1可知，临近插值效果更好。

3) 情况三，缺失40或80个历元的数据，连续数据缺失较多。人为任意打断的历元依次为：

$ \begin{array}{ll} { 2009.6863 \sim 2009.7932}&{ 2010.6836 \sim 2010.7904 } \\ { 2009.9055 \sim 2010.1219 }& \end{array} $

均共缺失80个历元的连续数据。分析表 1可知，线性插值效果更好。

综上所述，本文分别采用三次样条插值、临近插值和线性插值法处理3种数据缺失情况。而这种选择性插值的新思路是否适用于所有GNSS坐标序列，还需要进一步探讨。

3 GNSS坐标序列滤波结果 3.1 区域叠加滤波

区域叠加滤波提取的CME如图 2所示。

3.2 PCA滤波

通过PCA法计算北美西部区域119个测站的N、E、U方向前3个主成分分量的空间响应，如图 3所示。其得到的N、E、U方向第一主成分贡献率依次为37.46%、39.20%、54.10%，第二主成分贡献率分别为23.07%、20.91%、4.32%，第三主成分贡献率分别为4.91%、6.97%、2.63%。前三个主成分分量的累计贡献率依次为65.44%、67.09%、61.05%，前3个分量综合包含了原坐标序列中的大部分有效信息。因此，本文PCA中选取前3个分量来剔除CME。

3.3 MSSA滤波

Chen等^[21]提出2 a或3 a的窗口长度适用于绝大多数GPS坐标序列，本文选取3 a通过MSSA来提取CME。MSSA的前p个模式分量选取异于PCA，本文提出以特征值的指数幂下降两级为准则，选取了前59个模式分量进行重构提取CME。图 4表示了MSSA的第3~100个特征值大小。

3.4 3种滤波结果分析对比

为了进一步分析对比3种空间滤波方法的效果，计算出119个测站滤波后RMS减少的百分比，如图 5所示。滤波后RMS平均减少百分比统计结果见表 2。

由图 5可知，大部分测站的PCA效果要优于区域叠加滤波和MSSA；但对于某些异常站点，MSSA效果要优于PCA和区域叠加滤波。分析表 2可知，PCA在N、E、U 3个方向的整体滤波效果均要优于区域叠加滤波和MSSA；同时，MSSA在N、U方向上的滤波效果均劣于区域叠加滤波和PCA，E方向与区域叠加滤波相当。

4 结束语

本文采用区域叠加滤波、PCA和MSSA 3种滤波方法分别对美国板块边界观测监测网下119个测站约10 a的坐标残差序列剔除CME，实验结果验证了MSSA用于剔除共模误差的可行性，但PCA的滤波效果明显优于区域叠加滤波和MSSA。由于区域叠加滤波假设CME均匀分布，仅适用于空间尺度较小且空间分布一致的GNSS网；而对于MSSA，可能主要是因为测站数量过多，MSSA的前p个较大特征值贡献率较低，导致提取的CME不完全。

同时，本文选取的测站分布较为密集。因此，在不同空间尺度且不同数量测站的背景下MSSA与传统滤波方法的比较将会是下一步的研究重点。