变形灾害的监测与预测研究是重大的安全问题之一。通过对已有变形监测数据的处理和分析研究，构建合理的预测模型，对变形体的安全监测与灾害预报工作具有极其重要的实际意义。灰色理论为预测模型的建立提供了有效的理论支持，其在建筑物的沉降监测预测中具有潜在的优势。近几年来，国内外学者围绕灰色理论在沉降监测预测方面的应用进行了大量研究。文献[1]将灰色理论与神经网络算法相结合，进行了矿区滑坡沉降监测预测分析，该方法可以获得较高精度的矿区滑坡沉降预测结果。文献[2]应用3种不同的灰色GM(1, 1)模型预测高速铁路隧道围岩沉降，在短期的预测中灰色GM(1, 1)模型能够满足隧道围岩沉降监测的需求。文献[3-6]利用初值的选取、背景值重构以及残差修正等，进行了传统灰色GM(1, 1)模型的优化研究。但传统的灰色GM(1, 1)模型没有充分考虑处于同一沉降体上各沉降点间的相关信息，不足以反映整个建筑物的沉降规律。同时考虑到处于同一沉降体的各个离散沉降监测点，建立多变量灰色MGM(1, n)模型^[7]将会产生更好的预测效果。文献[8, 9]将优化的灰色MGM(1, n)模型分别应用到路基沉降和滑坡监测工程中，得到了比传统模型更好的预测结果。但对于沉降监测实测数据波动性大的问题，传统灰色及其优化模型都不能很好地解决。马尔科夫理论可有效地修正预测模型的残差，以弥补建模数据波动性给模型带来的局限性。文献[10-16]将灰色理论和马尔科夫理论相结合，构建了灰色马尔科夫模型，提高了预测模型的预测精度，改善了模型的稳定性。本文将多变量灰色MGM(1, n)模型与马尔科夫理论结合起来，建立多变量灰色马尔科夫模型，并应用于某高层建筑物沉降监测中，进行预测验证，并与传统模型进行比较分析。

1 多变量灰色马尔科夫模型 1.1 灰色MGM(1, n)模型

多变量灰色MGM(1, n)模型能够较好地反映系统中各变量之间相互制约、相互影响的关系，且当n=1时，模型就退化为灰色GM(1, 1)模型。参考文献[7-9]，其建模步骤如下：假设沉降体上有n个相关联的沉降观测点，实测n个观测点的m周期的沉降观测数据，其相应的沉降观测数据序列，记为{X_i⁽⁰⁾}。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {X_i^{\left( 0 \right)}\left( k \right) = \left[ {X_i^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right),X_i^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right), \cdots ,X_i^{\left( 0 \right)}\left( m \right)} \right],}\\ {k = 1,2, \cdots ,m;i = 1,2, \cdots ,n} \end{array} $

(1)

对数据{X_i⁽⁰⁾}序列进行一次累加，生成累加数据序列，记为{X_i⁽¹⁾}。

$ X_i^{\left( 1 \right)}\left( k \right) = \left[ {X_i^{\left( 1 \right)}\left( 1 \right),X_i^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right), \cdots ,X_i^{\left( 1 \right)}\left( m \right)} \right] $

(2)

式中，$ X_{_i}^{^{(1)}}\left( k \right) = \sum\limits_{j = 1}^k {X_{_i}^{^{(0)}}} \left( j \right);k = 1, 2, \cdots , m;i = 1, 2, \cdots , n $。

灰色MGM(1, n)模型的白化微分方程组形式为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}X_1^{\left( 1 \right)}}}{{{\rm{d}}t}} = {a_{11}}X_1^{\left( 1 \right)} + {a_{12}}X_2^{\left( 1 \right)} + \cdots + {a_{1n}}X_n^{\left( 1 \right)} + {b_1}\\ \frac{{{\rm{d}}X_2^{\left( 1 \right)}}}{{{\rm{d}}t}} = {a_{21}}X_1^{\left( 1 \right)} + {a_{22}}X_2^{\left( 1 \right)} + \cdots + {a_{2n}}X_n^{\left( 1 \right)} + {b_2}\\ \vdots \\ \frac{{{\rm{d}}X_n^{\left( 1 \right)}}}{{{\rm{d}}t}} = {a_{n1}}X_1^{\left( 1 \right)} + {a_{n2}}X_2^{\left( 1 \right)} + \cdots + {a_{nn}}X_n^{\left( 1 \right)} + {b_n} \end{array} \right. $

(3)

写成矩阵形式为：

$ \frac{{{\rm{d}}{X^{\left( 1 \right)}}}}{{{\rm{d}}t}} = \mathit{\boldsymbol{A}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\left( 1 \right)}} + \mathit{\boldsymbol{B}} $

(4)

式中，$ \mathit{\boldsymbol{A = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{a_{n1}}}& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right] $；$ {\mathit{\boldsymbol{X}}^{\left( 1 \right)}} = {\left[ {X_1^{\left( 1 \right)}\left( t \right), X_2^{\left( 1 \right)}\left( t \right) ,\cdots X_n^{\left( 1 \right)}\left( t \right)} \right]^{\rm{T}}} $；B=[b₁, b₂, …, b_n]^T。

离散化式(4)，即可得到式(4)的灰色微分方程^{[8, 9]}为：

$ X_i^{\left( 0 \right)}\left( k \right) = \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}Z_i^{\left( 1 \right)}\left( k \right)} + {b_i} $

(5)

式中，$ Z_i^{\left( 1 \right)}\left( k \right) = \frac{1}{2}\left[ {X_i^{\left( 1 \right)}\left( k \right) + X_i^{\left( 1 \right)}\left( {k - 1} \right)} \right] $, i=1, 2, …, n; k=2, 3, …, m。

式(3)的时间响应方程式(预测方程)为：

$ {{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} }^{\left( 1 \right)}}\left( t \right) = {{\rm{e}}^{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \left( {t - 1} \right)}} \times \left[ {{X^{\left( 1 \right)}}\left( 1 \right) + {{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} }}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} }}} \right] - {{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} }}}^{ - 1}}\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} }} $

(6)

式中, $ {{\rm{e}}^{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} \left( {t - 1} \right)}} = \mathit{\boldsymbol{I + }}\sum\limits_{i = 1}^\infty {\frac{{{{\mathit{\boldsymbol{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over A} }}}_i}}}{{i!}}} {\left( {t - 1} \right)^i} $，I为单位矩阵。

最后，恢复时间序列，还原得到预测值为：

$ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}\left( {k + 1} \right) = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 1 \right)}\left( {k + 1} \right) - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 1 \right)}\left( k \right) $

(7)

1.2 基于马尔科夫理论修正的灰色MGM(1, n)模型

马尔科夫理论可以有效地处理沉降监测实测数据波动性大的问题，可弥补建模数据波动性给预测模型带来的局限性。将上述多变量灰色MGM(1, n)模型与马尔科夫理论相结合，建立多变量灰色马尔科夫预测模型，参考文献[10-12]，其建模步骤如下：

1) 假设通过灰色MGM(1, n)模型得到的预测数据序列为$ \left\{ {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}} \right\}$，其形式记为：

$ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}\left( k \right) = \left[ {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right),\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right), \cdots ,\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}\left( m \right)} \right] $

(8)

2) 依据预测数据序列划分s个马尔科夫状态，参考文献[12]，其状态区间记为：

$ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _i^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \in {E_i} = \left[ {{a_{1i}},{a_{2i}}} \right],i = 1,2,3, \cdots ,s $

(9)

式中，a_1i、a_2i分别表示为状态E_i的上下界。因此，总的状态集合E=(E₁, E₂, …, E_n)。为了使预测值充分利用近期的相关数据，减小随机误差的影响，构建n步状态转移概率元素P_ij⁽ⁿ⁾，并由n步转移概率元素构建n步转移概率矩阵P⁽ⁿ⁾，其形式记为：

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( n \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {p_{11}^{\left( n \right)}}&{p_{12}^{\left( n \right)}}& \cdots &{p_{1s}^{\left( n \right)}}\\ {p_{21}^{\left( n \right)}}&{p_{22}^{\left( n \right)}}&{}&{p_{2s}^{\left( n \right)}}\\ \vdots &{}&{}& \vdots \\ {p_{s1}^{\left( n \right)}}&{p_{s1}^{\left( n \right)}}& \cdots &{p_{ss}^{\left( n \right)}} \end{array}} \right],i = 1,2,3, \cdots ,s $

(10)

式中，$ P_{_{ij}}^{^{(n)}} = \frac{{m_{_{ij}}^{^{(n)}}}}{{{M_i}}} $，m_ij⁽ⁿ⁾为状态E_i经过n步转移到达状态E_j的次数，M_i为E_i出现的次数。选取离预测目标最近的s个原始对象，分别以各个对象所对应的状态为初始状态，在n步转移概率矩阵中取各自所对应的行向量，从而构建新的概率矩阵R：

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {p_{i1}^{\left( 1 \right)}}&{p_{i2}^{\left( 1 \right)}}& \cdots &{p_{is}^{\left( 1 \right)}}\\ {p_{i1}^{\left( 2 \right)}}&{p_{i2}^{\left( 2 \right)}}&{}&{p_{is}^{\left( 2 \right)}}\\ \vdots &{}&{}& \vdots \\ {p_{i1}^{\left( s \right)}}&{p_{i2}^{\left( s \right)}}& \cdots &{p_{is}^{\left( s \right)}} \end{array}} \right] $

(11)

3) 取$ {\rm{max}}\left\{ {{P_i} = \sum\limits_{n = 1}^s {P_{_{si}}^{^{(n)}}} , i \in E} \right\} $所对应的状态作为预测对象的状态，得到预测值状态区间为E_i，利用状态区间中位数作为未来时刻预测值的相对值，求取修正后的预测值。对于第m+1对象的预测，首先将第m对象的状态计入新的概率矩阵中，然后构建新的概率矩阵R中，最后对第m+1对象的预测值进行计算。

2 工程应用

本文研究对象为银川市某项目新建的居民楼，在9#~16#栋居民楼布设28个沉降观测点，按照二等水准测量的要求进行往返测量，每次施测时对监测点进行累计沉降记录，以确定每栋楼沉降的稳定性。选取位于15#楼的A、B、C3个监测点的12期累计沉降量数据作为本次实验数据，其中前8期数据用于建模，后4期数据用于检验和比较预测值的准确性，原始的观测数据如表 1所示。

2.1 多变量灰色马尔科夫模型的数据计算

选取表 1中A、B、C 3个监测点的前8期数据，以Matlab7.0软件为平台，按照§1.1的建模过程，并构建灰色MGM(1, 3)模型，同时计算3个监测点的前8期拟合值和后4期的预测值。在得出灰色MGM(1, 3)模型拟合值和预测值的基础上，利用马尔科夫理论分别对3个监测点的模型结果进行修正，得出最终的多变量灰色马尔科夫模型的预测结果。以监测点A前8期的MGM(1, 3)模型的拟合数据，进行马尔科夫修正过程，以及计算本文新模型第9期的预测值为例。其计算过程如下。

1) 经过MGM(1, 3)模型进行计算，监测点A的MGM(1, 3)模型的前8期拟合值，如表 2所示。

同时得到A点MGM(1, 3)模型的第9期预测值$ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _{A9}^{\left( 0 \right)} = 26.56\;{\rm{mm}} $。

2) 为计算方便，将表 2中的拟合数据序列划分为4种马尔科夫状态，划分标准如表 3所示^[12-16]。

3) 按照式(10)，计算4步转移概率矩阵：

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( 1 \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ 0.3333\\ 0\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0.3333\\ 0.5\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0.3333\\ 0.5\\ 1 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \end{array}} \right] $

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( 2 \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ 0.1111\\ 0.1667\\ 0 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0.2778\\ 0.4167\\ 0.5 \end{array}&\begin{array}{l} 1\\ 0.2778\\ 0.4167\\ 0.5 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0.3333\\ 0\\ 0 \end{array} \end{array}} \right] $

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( 3 \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0\\ 0.0926\\ 0.1389\\ 0.1667 \end{array}&\begin{array}{l} 0.5\\ 0.5648\\ 0.3472\\ 0.4167 \end{array}&\begin{array}{l} 0.5\\ 0.2315\\ 0.3472\\ 0.4167 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0.1111\\ 0.1667\\ 0 \end{array} \end{array}} \right] $

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}^{\left( 4 \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0.1667\\ 0.0772\\ 0.1157\\ 0.1389 \end{array}&\begin{array}{l} 0.4167\\ 0.3596\\ 0.2894\\ 0.3472 \end{array}&\begin{array}{l} 0.4167\\ 0.4707\\ 0.4560\\ 0.3472 \end{array}&\begin{array}{l} 0\\ 0.0926\\ 0.1389\\ 0.1667 \end{array} \end{array}} \right] $

4) 计算MGM(1, 3)模型的第9期预测值所处的马尔科夫状态。

在转移概率矩阵中挑选初始状态所对应的行向量组成概率转移矩阵，对对应的新矩阵列向量求和，其中的最大值，则是第9期预测值所对应的状态，如表 4所示。

从表 4中的合计结果可以看出，最大值对应的状态为状态2。因此，MGM(1, 3)模型的第9期预测值所处的马尔科夫为状态E₂。

5) 计算多变量灰色马尔科夫模型的第9期预测值。

从步骤4)可得出MGM(1, 3)模型的第9期预测值所处的马尔科夫状态为E₂，参照表 3划分的马尔科夫状态表，MGM(1, 3)模型的第9期预测值所处的修正区间为$ [0.95\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _A^{\left( 0 \right)}\left( {k + 1} \right), 1.00\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _A^{\left( 0 \right)}\left( {k + 1} \right)) $，利用状态区间中位数作为未来时刻预测值的相对值，求取修正后的预测值。因此，监测点A的多变量灰色马尔科夫模型的第9期预测值为：$ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over Y} _9^{\left( 0 \right)} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over X} _9^{\left( 0 \right)} \times \left[ {\frac{{0.95 + 1.00}}{2}} \right] = 25.90\;{\rm{mm}} $。

2.2 数据结果分析

按照马尔科夫修正过程，分别建立A、B、C 3个监测点的多变量灰色马尔科夫模型, 利用郭兰兰等^[6]提出的基于残差修正的模型建立灰色GM(1, 1)模型；按照§1.1中阐述的理论建立多变量灰色MGM(1, 3)模型。以Matlab7.0软件为平台，编写计算方式的相关程序，并计算3个监测点的第9~12期的预测值。A、B、C 3个监测点的3种模型预测结果如表 5所示。3种模型的数据与实测数据曲线比较图如图 1所示。

从表 5中可以看出，点A的多变量灰色马尔科夫模型的预测值残差中误差0.52 mm小于灰色GM(1, 1)模型的预测值残差中误差5.61 mm以及灰色MGM(1, 3)模型的预测值残差中误差1.21 mm；点B的多变量灰色马尔科夫模型的预测值残差中误差0.47 mm小于灰色GM(1, 1)模型的预测值残差中误差4.22 mm以及灰色MGM(1, 3)模型的预测值残差中误差1.04 mm；点C的多变量灰色马尔科夫模型的预测值残差中误差0.67 mm小于灰色GM(1, 1)模型的预测值残差中误差4.46 mm以及灰色MGM(1, 3)模型的预测值残差中误差1.78 mm。同时，从图 1中可以看出，3个监测点的多变量灰色马尔科夫模型的数据与实测值曲线拟合效果最好。从3个监测点的预测值可以看出，多变量灰色马尔科夫模型的预测值更具参考价值。

3 结束语

本文针对传统的灰色GM(1, 1)模型只能进行单个建筑物沉降点的数据预测的问题，考虑到处于同一建筑物的各个离散沉降监测点具有相同的沉降特征和相关的动态沉降过程，使用灰色MGM(1, n)模型更加有效。同时，由于利用马尔科夫理论可以修正预测数据的扰动性，本文将灰色MGM(1, n)模型与马尔科夫理论耦合起来，建立了多变量灰色马尔科夫模型，并应用于某建筑物的沉降监测中，进行了预测验证与比较分析。结果表明，多变量灰色马尔科夫模型的预测稳定性和精度都要优于灰色GM(1, 1)和MGM(1, n)模型的结果，有效地克服了以往预测模型中信息不关联和因素扰动性大的缺陷。本文建立的多变量灰色马尔科夫模型，考虑到构建马尔科夫状态的方便，建议建模数据不要低于6期。同时应根据实测数据，及时更新建模数据，用最新的、更可靠的数据建立预测模型。