近年来，区域似大地水准面精化技术正在迅速发展和应用，中国部分地区已建立区域似大地水准面精化模型^{[1, 2]}，虽然不适用于局部区域，且难以同时获取GPS水准、重力、地形以及数字高程模型等多种数据^[3]。但是，GPS水准拟合方法仍有较广泛的应用^[4]。

目前，区域似大地水准面精化技术仍采用传统的多项式拟合等方法^[5]。传统的多项式拟合方法采用单一平面、二次曲面或三次曲面来逼近似大地水准面形状，而单一系数组合存在模型符合的局限性。本文研究并解决了多项式拟合最优模型的自动选取问题，并提出一种高程等级评定方法。

1 GPS水准拟合方法优化

正常高与大地高之间的转换关系可表示为：

$ \zeta=H-h $

(1)

式中，h为正常高；H为大地高；ζ为高程异常。

传统的多项式整体拟合法的数学模型为：

$ \begin{array}{l}{a_{5} \Delta \varphi_{i}^{2}+a_{6} \Delta \lambda_{i}^{3}+a_{7} \Delta \lambda_{i}^{2} \Delta \varphi_{i}+a_{8} \Delta \lambda_{i} \Delta \varphi_{i}^{2}+} \\ {a_{9} \Delta \varphi_{i}^{3}+\cdots}\end{array} $

(2)

式中，ζ_i为第i个GPS水准点的已知高程异常值；Δλ_i、Δφ_i分别为第i个GPS水准点经度和纬度与拟合区域中心经度和中心纬度的差值；a₀, a₁, …, a_n为多项式曲面模型未知系数。

综合GPS水准拟合方法是指引入地球重力场模型^[6](EGM2008、EGM96等)作为先验似大地水准面模型，将GPS水准点高程异常ζ与模型高程异常ζ_M做差^[7]:

$ \delta \zeta_{i}=\zeta_{i}-\zeta_{M_{i}} $

(3)

对先验模型不符值δζ_i进行传统的多项式整体拟合后，再恢复为高程异常估值$\hat{\zeta}_{\rm i}$为:

$ \hat{\xi}_{i}=\zeta_{M_{i}}+\delta \hat{\xi}_{i} $

(4)

为避免人工选择结点和检核点，本文采取全部GPS水准点进行多项式整体拟合，平差方法采用抗差最小二乘估计，误差方程和拟合中误差为：

$ \underset{m\times 1}{\boldsymbol{{V}}}\,=\underset{m\times t}{\boldsymbol{{A}}}\,\underset{m\times t\times 1}{\boldsymbol{{{\hat{X}}}}}\,-\underset{m\times 1}{\boldsymbol{\zeta }}\,,\mu =\pm \sqrt{{{{\boldsymbol{{V}}}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{{V}}}/(m-t)} $

(5)

并对拟合残差进行模型合适性检验，假定残差向量V服从正态分布，即有：

$ \boldsymbol{V} \sim N\left(0, \Sigma_{V}=\mu^{2} \boldsymbol{Q}_{{V}}\right) $

(6)

根据Baarda数据探测理论^[8]，有:

$ \left|v_{i}\right| / \sigma_{v_{i}} \sim N(0, 1) $

(7)

式中，σ_vi为Σ_V的第i个对角线元素。取3倍中误差，v_i的限差为:

$ \left|v_{i}\right| \leqslant 3 \sigma_{v_{i}} $

(8)

利用式(8)对v_i的检验称为模型合适性检验。Baarda数据探测理论一般用于粗差探测，若假设粗差已经完全剔除，则该探测方法就表示所选模型与测区GPS水准点是否匹配。

在一般情况下，局部区域的高程异常变化不会太剧烈，同时为了避免所谓的“龙格”现象^[9]，多项式整体拟合最多取至3阶项，显然存在多种模型系数组合。传统上仅取平面、二次曲面或三次曲面的方法，难免会漏掉一些更优的系数组合。

本文将a₀限制为必选项，故所有的组合共有C₉¹+C₉²+…+C₉⁹=511种，在多项式整体拟合模型合适性检验中，将对511个模型逐一进行，并按内符合精度μ最小来选取最优模型，从而保证所转换的正常高将有最高的精度。

GPS水准拟合能否达到水准测量相应的高程等级，是衡量GPS水准拟合应用可靠性的关键问题^[10]。本文采用GPS水准拟合正常高的高差来评定GPS水准拟合结果的高程等级。任选两个已知等级水准点作为一条水准路线，对拟合正常高的高差进行相应等级的附合路线闭合差检验，可以较全面地衡量GPS水准拟合能否达到相应的高程等级。这种评定方法利用所有已知水准点进行高程等级的评定，且可靠性也会随着已知点数量的增加而提高。

设任意两点间附合路线不符值为v₁₂ⁱ，即两点间拟合残差之差为：

$ v_{12}^{i}=h_{12}^{i}-\hat{h}_{12}^{i} $

(9)

式中，h₁₂ⁱ、$\hat{h}_{12}^{i}$分别为两点间的已知正常高高差和拟合正常高高差。取3倍中误差，根据误差传播率，v₁₂ⁱ的限差为：

$ \Delta_{\mathrm{限}}=3 \sqrt{2} k_{w} \sqrt{L} $

(10)

式中，k_w为GPS水准点中所有已有高程等级中最低等级水准测量的每公里高差中数的全中误差。

本文认为GPS水准拟合达到比GPS水准点中所有已有高程等级中最低等级还高的精度不切实际，不予考虑。

2 GPS水准拟合实践分析

测区为某靶场高程控制网，共有GPS水准点63个，GPS观测来自D级GPS网，水准观测采用了三等水准网，测区点位分布如图 1所示。从图 1中可以看出，测区点位分布基本均匀，平面分布较为复杂，近似波浪形，更能检验整体拟合的稳定性。

本文利用GPS水准拟合优化软件(GPSLEVEL)，采用EGM2008地球重力场模型作为先验模型，由模型计算的高程异常不符值如图 2所示。从中可以看出，先验模型高程异常不符值在0.2 m以内。对于模型合适性检验，以3倍阈值为限，分别对有无先验地球重力场模型两种情况进行检验，共遍历511×2=1 022种模型，通过检验的模型共99种。

为了验证模型合适性检验的有效性，分别统计了有、无先验地球重力场模型两种情况下的拟合结果，如图 3所示。从图 3中可以看出，有先验模型的情形下，通过检验的组合拟合中误差集中分布于小值区域，而无先验模型的情形并无此种规律。同时，通过对比两种情形的拟合结果发现，引入重力场模型对整体提高拟合精度有显著作用。

对于通过检验的模型，从中选取拟合中误差最小的模型，其系数组合为选定a₀, …, a₈，不选a₉，其拟合残差如图 4所示，其残差分布在±0.08 m之内，拟合中误差为0.029 m。

对该最优模型的系数组合进一步进行三等高程等级评价(阈值取为3倍)，其中，任意两个水准点间的附和路线数为1 953条，通过限差检验的为1 951条，实际检验通过率为99.898%，高于应用通过率，达到了三等高程等级。

3 结束语

本文提出了GPS水准拟合方法的优化流程，通过引入数理检验方法进行模型合适性检验以挑选最优系数组合，克服了平面法、二次曲面法和三次曲面法适应性单一的缺点，避免了人工选择结点，实现了多项式整体拟合方法的自动优化，并提出了一种合理的高程等级评定方法。同时，本文编制了GPS水准拟合优化软件，并结合实例进行了验证和分析。

进一步将对多面函数法、移动插值法等拟合方法进行相应的优化，并结合更多的实测数据，验证和分析对拟合方法的适用性和可靠性。