三维激光扫描技术是一种新型的测量方法，该技术的应用是测绘由点测量转向面测量的一次重大飞跃。三维激光扫描仪采用非接触的测量方式，测量数据以三维点云的形式呈现，很好地解决了传统测量方法数据不全面、采集困难等问题。但是，点云数据相对传统测量数据处理起来更加复杂，如何有效地从大量带有噪声的三维点云数据中提取有用的信息是当下研究的热点^[1]。

三维点云数据的处理往往以提取特征点、特征线为切入点。其中，点云中轴线包含了规则点云数据的整体空间信息，是获取点云纵断面、点云空间姿态的重要特征线^[2]。从理论探索出发，三维点云中轴线提取方法极具研究价值。此外，在生产实际中，三维点云中轴线提取技术在桥梁、隧道和超高层建筑物等工程的变型监测中也有广泛的应用需求^[3]。

本文研究了三维点云数据的中轴线拟合方法，并提出用随机抽样一致性算法(random sample consensus，RANSAC)^[4]对最小二乘法进行改进。实验分析证明，RANSAC算法改进后的中轴线拟合结果具有更高的精度。

1 RANSAC算法拟合三维点云中轴线

对有一定规则形状的点云来说，中轴线可表示其姿态和走势信息，即在轴线上任意点截取一个断面都与点云走向正交^[5]。本文中，点云中轴线提取分以下两步进行：一是中心点点集提取；二是中轴线拟合。

1.1 中心点点集提取

中心点点集是拟合中轴线的基础数据。本文提出用投影的方法提取中轴线中心点点集，其基本流程如下：

1) 将三维点云数据分别投影在XOY和YOZ面上，并提取投影图像两侧的边界点；

2) 在投影面XOZ和YOZ上，采用最小二乘方法拟合出投影图像的两条边界，公式如下：

$ \left\{ \begin{array}{l} {X_1} = {a_1}{y^2} + {b_1}y + {c_1}\\ {X_2} = {a_2}{y^2} + {b_2}y + {c_2} \end{array} \right., \left\{ \begin{array}{l} {Y_1} = {a_3}{z^2} + {b_3}z + {c_3}\\ {Y_2} = {a_4}{z^2} + {b_4}z + {c_4} \end{array} \right. $

(1)

式中，a、b、c为曲线拟合的参数，当边界线为直线时，a取0。

3) 拟合得到边界后，在边界1、2上每隔一定的间距d取点集P₁、P₂。点集P₁、P₂中每个点做垂线，与另一条边界相交，获取垂线的中点，即为中心点点集。如图 1所示，红色线为拟合得到的边界线，蓝色点为中心点点集。

1.2 基于RANSAC算法的中轴线拟合

点集拟合曲线最常用的方法是最小二乘方法，其基本原理公式如下：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}}\\ {{v_2}}\\ \vdots \\ {{v_n}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {y_1^2}&{{y_1}}&1\\ {y_2^2}&{{y_2}}&1\\ \vdots&\vdots&\vdots \\ {y_n^2}&{{y_n}}&1 \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} a\\ b\\ c \end{array} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ \vdots \\ {{x_n}} \end{array}} \right] $

(2)

$ {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{PV = }}\min $

(3)

式中，V为残差向量；a、b、c为曲线拟合的参数。

最小二乘法基于一种理想的状态，即假设在数据集中总是有足够多的合格数据来消除异常数据的影响。在噪声比较多、数据比较少的情况下，用最小二乘方法拟合中轴线结果并不理想。RANSAC算法流程图如图 2所示。

图 2中，n表示确定模型所需要的最少数据，轴线为直线时，n取2。模型的好坏由局内点数和模型的错误率来判断；t是人为设置的阈值，t值越小，则模型精度越高，迭代效率越低；t值越大，则相反，所以，要权衡精度和效率的具体要求来人工取舍t值的大小；d值表示需要输出内点的最小值^[6]；k表示设定的迭代次数，k值大小会影响算法的效率和结果的质量。确定k值的具体算法如下：

1) 引入一个参数w=局内点的数目/数据集的总数，表示每次进行选取操作时能选取一个局内点的概率；

2) 假设需要选取n个点作为估计模型的样本点，得到wⁿ表示n个点都是局内点的概率；反之，选取的数据中至少有一个局外点的概率是1－wⁿ，该事件的发生表示得到了一个不好的模型，进而可以得到(1－wⁿ)^k，表示经过k次检验，选取的n个点中依然有局外点的概率；

3) 引入参数p用来表示得到合格模型的概率(计算中p值通常设定为0.99)，即迭代后从数据集中选出的点均为局内点的概率，从而可得：1－p=(1－wⁿ)^k，对该式取对数，可以得到：$ k = \frac{{\lg \left( {1 - p} \right)}}{{\lg \left( {1 - {w^n}} \right)}} $。

经过RANSAC算法迭代后，输出不含噪声的内点集，基于该点集进行最小二乘拟合轴线，可以获得精度更高的结果^[7]。

2 实验与分析

为了验证RANSAC算法改进后的中轴线拟合精度，本文进行了实验验证。实验使用Riegl VZ-400三维激光扫描仪，其单点测距精度为±5 mm，角度分辨率为0.005°。扫描对象是某圆台形强制观测墩。

2.1 数据预处理

扫描完成后，需对数据进行预处理，包括采用Geomagic Studio 12对采集的三维点云数据进行稀释，删除冗余数据，使用“Segment”功能进行简单去噪处理。然后，采用RISACAN PRO软件对扫描数据进行拼接，得到完整的三维点云数据^[8]，如图 3所示。

2.2 中轴线提取

中轴线提取采用RANSAC算法进行，获得观测墩在XOY和YOZ两个面上的中轴线投影，进而得到中轴线方程^[9]。首先对全部点云进行中轴线拟合，拟合结果如图 4所示。为了检验RANSAC算法拟合轴线的内符合精度，本文将点云沿Z轴方向等厚度分为3个部分(每部分约为0.4 m)，分别进行拟合，结果如图 5所示。

2.3 精度分析 2.3.1 外符合精度分析

本文从角度误差和平移误差两个方面来分析中轴线拟合的误差。在实验的独立坐标系中，用全站仪测得强制观测墩中轴线为垂直于XOY面的直线，X=2.855 m, Y=-1.324 m。将最小二乘拟合结果和基于RANSAC方法改进后的拟合结果进行比较，结果见表 1和表 2。

由表 1、表 2得出，从角度和空间位移两个方面分析, 基于RANSAC算法改进后的三维点云中轴线提取方法具有更高的精度^[10]。

2.3.2 内符合精度分析

本文以整体拟合的中轴线方程为标准，比较3个不同部分拟合的中轴线方程，从而分析RANSAC算法进行中轴线拟合的内符合精度。从表 1中轴线角度误差大小分析可知, 相对于整体拟合的中轴线，3个部分的拟合结果XOZ面上投影偏差最大为9′33″；在YOZ面上投影偏差最大为11′05″。从表 2中轴线平移误差大小分析可知, 相对于整体拟合的中轴线，3个部分拟合结果在X方向上最大误差为10 mm，在Y方向上最大误差为11 mm。总体来说，RANSAC算法拟合结果有较好的内符合精度。

3 结束语

本文设计了三维点云的中轴线拟合方法，并提出利用RANSAC算法对最小二乘算法进行改进。通过理论分析和实验证明，RANSAC算法可以有效地剔除观测数据中的噪声，能在一定程度上提高中轴线拟合的精度。本文方法在压力容器的形态质量监测的研究中已有一定的应用，相信未来高精度的三维点云轴线拟合方法将广泛应用于变形监测等生产实践中。