基准站间整周模糊度的确定和电离层、对流层参数的估计是网络RTK (real-time kinematic)的关键技术之一。随着基准站间距离的增大，观测值误差之间的相关性减弱，双差之后残差仍然较大，整周模糊度难以准确固定。为此，国内外学者对此进行了大量的研究^[1-5]。基准站间模糊度的解算已经比较成熟，但要在十几分钟、几分钟甚至一个历元内完成网络RTK基准站网模糊度的解算，还存在一定的难度^[6]。现有的基准站间模糊度的解算大都采用观测值组合法，未能充分利用观测值信息，同时引入了相关性。本文基于双差非组合模型和Kalman滤波，提出了一种模糊度解算方法。首先，对观测数据进行周跳探测与修复，因静态数据周跳探测方法已经相对成熟，此处不作赘述；然后，用Saastamoinen模型和NMF (niell mapping function)映射函数大幅度削弱观测值中对流层延迟影响，组成双差观测方程，采用Kalman滤波估计出模糊度和电离层参数，固定模糊度后，进一步计算得到对流层参数。

1 基于双差非组合模型及Kalman滤波的模糊度解算 1.1 双差非组合数学模型

在通常情况下，参考站均选在较开阔的地方，因此，可忽略多路径效应带来的误差影响，参考站A、B对于卫星p、q的双差观测方程可表示为：

$\begin{align} & \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\rho\!\!\rm{ }_{A,B}^{pq}=\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{R}}_{A,B}^{pq}+\frac{\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{I}}_{0A,B}^{pq}}{{{f}^{2}}}+\nabla \Delta {{\mathit{\boldsymbol{O}}}^{pq}}+ \\ & \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T}}_{A,B}^{pq}+\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\varepsilon\!\!\rm{ } \\ \end{align}$

(1)

$\begin{align} & \frac{c}{f}\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\varphi\!\!\rm{ }_{A,B}^{pq}=\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{R}}_{A,B}^{pq}-\frac{c}{f}\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{N}}_{A,B}^{pq}+\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T}}_{A,B}^{pq}- \\ & \frac{\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{I}}_{0A,B}^{pq}}{{{f}^{2}}}+\nabla \Delta {{\mathit{\boldsymbol{O}}}^{pq}}+\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{ }}\!\!\varepsilon\!\!\rm{ } \\ \end{align}$

(2)

式中，∇Δ是双差因子；ρ表示伪距观测值; φ是以周为单位的载波相位观测值；f为载波的频率；c为真空中的光速；R为卫星到接收机的几何距离；I₀是与频率无关的电离层误差(一阶项)；O为卫星轨道误差；T为对流层误差；N为载波相位模糊度；ε为观测噪声。

对于短基线及中等距离基线，直接采用广播星历即可满足要求，双差轨道误差的影响很小，可不予考虑。但长距离基线解算中需使用快速预报的精密星历，如果使用0.5 m的精密预报轨道，对200 km基线的最大影响为0.005 m^[7]。

通过模型改正的方法消弱大部分对流层误差，若用∇Δη_{A, B}^{p q}来表示双差对流层经模型改正后的误差，则有:

$\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\eta }}_{A,B}^{pq} = \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T}}_{A,B}^{pq} - \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T'}}_{A,B}^{pq}$

(3)

式中，∇ΔT_{A, B}^{′p q}表示对流层模型双差改正值，其中, T=mf(E)·ZTD，E为卫星高度角; ZTD为对流层误差模型计算出的天顶对流层延迟。

由于参考站位置已知，经整理可得：

$\begin{gathered} \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\rho }}_{A,B}^{pq} - \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T'}}_{A,B}^{pq} - \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{R}}_{A,B}^{pq} = \frac{{\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{I}}_{0A,B}^{pq}}}{{{f^2}}} + \hfill \\ \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\eta }}_{A,B}^{pq} + \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} \hfill \\ \end{gathered} $

(4)

$\begin{gathered} \frac{c}{f}\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{A,B}^{pq} - \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T'}}_{A,B}^{pq} - \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{R}}_{A,B}^{pq} = - \frac{c}{f}\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{N}}_{A,B}^{pq} - \hfill \\ \frac{{\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{I}}_{0A,B}^{pq}}}{{{f^2}}} + \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\eta }}_{A,B}^{pq} + \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\varepsilon }} \hfill \\ \end{gathered} $

(5)

本文采用Saastamoinen模型计算天顶对流层延迟，采用NMF映射函数^[8]计算路径上的对流层延迟。经过模型改正后的双差对流层残差已经很小，本文中未将其作为参数进行估计，认为其存在于残差项中。

1.2 滤波模型

观测方程中的估计参数为两部分。①双差模糊度：这部分参数作为常量，可看作过程噪声为0的随机游走过程；②双差电离层参数：由于时间间隔短，电离层参数也可看作过程噪声为0的随机游走过程。若k-1历元时，状态向量的估计量为$\mathit{\boldsymbol{\hat{X}}}$((k-1)/(k-1))，其协方差为Q((k-1)/(k-1))，则k历元时的状态方程可表示为：

$\mathit{\boldsymbol{\hat X}}\left( {k/\left( {k - 1} \right)} \right) = \mathit{\boldsymbol{\hat X}}\left( {\left( {k - 1} \right)/\left( {k - 1} \right)} \right)$

(6)

又有观测方程：

$\mathit{\boldsymbol{L}}\left( k \right) = {\mathit{\boldsymbol{B}}_k}\mathit{\boldsymbol{X}}\left( {k/k} \right) + d$

(7)

式中，L(k)为k历元时的观测向量；B_k为系数矩阵；d为观测噪声，且d~N(0, R)，R为测量噪声的协方差阵。

预测的状态向量残差和协方差为：

$\mathit{\boldsymbol{V}}\left( k \right) = \mathit{\boldsymbol{L}}\left( k \right) - {\mathit{\boldsymbol{B}}_k}\mathit{\boldsymbol{\hat X}}\left( {k/k - 1} \right)$

(8)

$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {k/\left( {k - 1} \right)} \right) = \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {\left( {k - 1} \right)/\left( {k - 1} \right)} \right)$

(9)

可得增益矩阵为：

$\begin{gathered} \mathit{\boldsymbol{K}} = \mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {\left( {k - 1} \right)/\left( {k - 1} \right)} \right)\mathit{\boldsymbol{B}}_k^T \cdot \hfill \\ {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_k}\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {\left( {k - 1} \right)/\left( {k - 1} \right)} \right)\mathit{\boldsymbol{B}}_k^T + \mathit{\boldsymbol{R}}} \right]^{ - 1}} \hfill \\ \end{gathered} $

(10)

从而新的状态向量估值和协方差阵分别为：

$\mathit{\boldsymbol{\hat X}}\left( {k/k} \right) = \mathit{\boldsymbol{\hat X}}\left( {k/\left( {k - 1} \right)} \right) + \mathit{\boldsymbol{KV}}\left( k \right)$

(11)

$\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {k/k} \right) = \left( {\mathit{\boldsymbol{E}} - \mathit{\boldsymbol{K}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_k}} \right)\mathit{\boldsymbol{Q}}\left( {k/\left( {k - 1} \right)} \right)$

(12)

1.3 参考站间模糊度确定

本文中采用LAMBDA方法固定模糊度，LAMBDA方法的主要理论基础是整数最小二乘理论和整数变换，形成了一个和Cholesky分解相结合的搜索方法，具有较高的搜索效率和可靠性。LAMBDA算法的核心是对获得的协方差阵做降相关处理后进行整周搜索。降相关通过整数变换(Z变换)来实现，目的是降低双差模糊度之间的相关性，从而提高搜索效率。

1.4 对流层估计

得到双差模糊度和双差电离层参数估计量后，可推求双差对流层误差：

$\begin{gathered} \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{T}}_{A,B}^{pq} = \frac{c}{f}\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{A,B}^{pq} - \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{R}}_{A,B}^{pq} + \hfill \\ \frac{c}{f}\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{N}}_{A,B}^{pq} + \frac{{\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{I}}_{0A,B}^{pq}}}{{{f^2}}} \hfill \\ \end{gathered} $

(13)

1.5 质量控制

模糊度的正确解算是网络RTK基线解算的最重要一步。常用的检验方法有ADOP检验、Ratio检验、Fisher检验等^[9]。经验证，Ratio检验是其中一种比较好的方法^[10]。

由式(11)分离出的模糊度的浮点解$\mathit{\boldsymbol{\hat{a}}}$及相应的协方差阵${{\mathit{\boldsymbol{Q}}}_{{\hat{a}}}}$，模糊度的整数解$\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}$必须满足以下检验条件：

${\rm{Ratio = }}\frac{{\sigma _{次优解}^2}}{{\sigma _{最优解}^2}} = \frac{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - {{\mathit{\boldsymbol{\tilde a}}}_2}} \right\|_{{Q_{\hat a}}}^2}}{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{\hat a}} - \mathit{\boldsymbol{\tilde a}}} \right\|_{{Q_{\hat a}}}^2}} \geqslant {\xi _{F\left( {f,f,1 - \mathit{\boldsymbol{a}}/2} \right)}}$

(14)

式中，$\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}$为最优候选值; ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde{a}}}}_{2}}$为次优候选值。

对于网络RTK基准站间组成的基线闭合环，整周模糊度之和应该为零，即有：

$\nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{N}}_{A,B}^{pq} + \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{N}}_{B,C}^{pq} + \nabla \Delta \mathit{\boldsymbol{N}}_{C,A}^{pq} = 0$

(15)

式中，A、B、C、D均为参考站; p、q为卫星号。利用此关系，也可检验模糊度解算结果是否准确。

2 实例分析

为了验证本文中提出方法的可行性和准确性，利用2015-03-21美国CORS中基线长度33~42 km的三角网CPAC-FRTG-MINH和基线长度78~143 km的三角网TXSL-TXMT-TXP1的观测数据进行分析，如图 1所示，数据采样间隔为5 s。

采用本文中所述方法解算三角网CPAC-FRTK-MINH、TXSL-TXMT-TXP1，均以01号卫星为参考卫星。固定后，某一个历元的双差模糊度解算结果如表 1、表 2所示，分析可知，确定的所有卫星的双差整周模糊度均满足模糊度质量控制中的约束条件，即闭合环模糊度闭合差为0，说明本文提出的方法是可靠的。

对三角网中的基线TXMT-TXP1的解算结果进行分析，该基线长105 km，以01号卫星为参考卫星，双差模糊度解算结果如图 2所示，图中仅显示了部分卫星双差模糊度结果。可见，采用本文所述的解算方法，经历较少的历元，双差模糊度值迅速收敛，趋于稳定，得到固定解。

3 结束语

本文提出了一种参考站间模糊度解算方法。通过模型改正消弱对流层延迟误差所带来的影响，采用双差非组合观测值模型，充分利用观测信息，采用Kalman滤波估算模糊度和电离层参数，固定模糊度，进一步计算得到对流层参数。利用美国CORS网部分参考站数据进行处理分析，结果显示，经历较少历元就可实现模糊度的固定，同时模糊度解算结果满足质量控制中的约束条件，说明该方法是能够准确解算参考站间模糊度的一种有效方法。

对于长距离参考站解算仍存在初始化时间较慢等问题，有待进一步研究。