灰色模型具有能够利用少数据进行预测的优点。灰色模型有很多种，其中用于沉降预测的主要有GM(1，1)模型^[1]、新陈代谢GM(1，1)模型^{[2, 3]}等。实际上任何灰色系统随着时间的推移，都会不断有随机的驱动或扰动因素进入系统并且影响系统的发展。而新陈代谢模型注重的是在不断补充新数据的同时去掉旧数据，从而更好地体现出系统的发展趋势，获得更精确的预测结果。相比之下，新陈代谢GM(1，1)模型的实用性会更高一些^[4]，这是新陈代谢GM(1，1)模型的一大优点。新陈代谢GM(1，1)模型的预测方程与GM(1，1)模型一样，模型预测值也会出现误差累积，而且模型在处理一些具有较大变动幅度的数据时存在失真问题，使预测值出现偏离，大大降低模型的预测精度^{[5, 6]}。因此，本文采用了一种新的预测方案，即不再定义灰色微分方程或白化方程，直接通过一次累加生成，然后累减还原得出灰色预测的代数递推方程^[5]，这样使得预测结果仅与序列的初始值有关，提高了模型的预测精度，从而解决了新陈代谢GM(1，1)模型的预测失真问题。在此基础上，以长江紫都3期沉降监测2号点的沉降资料为例, 利用改进前后的新陈代谢GM(1，1)模型进行了分析。

1 改进的新陈代谢GM(1, 1)模型 1.1 新陈代谢GM(1, 1)模型

新陈代谢GM(1，1)模型是灰色模型中的一种, 并且是GM(1，1)模型群中最理想的模型。相对于传统GM(1，1)模型而言^[1]，新陈代谢GM(1，1)模型能够更好地反映建筑物沉降的发展趋势^[7]。

传统GM(1，1)模型原理：给定原始非负时间序列X⁽⁰⁾={X⁽⁰⁾(1), X⁽⁰⁾(2), X⁽⁰⁾(3), …, X⁽⁰⁾(n)}，其中n为定参数据长度，式中的数据多为无规律的、随机的, 通过累加生成的新序列可弱化原始数据的随机性。累加生成后的新序列为X⁽¹⁾={X⁽¹⁾(1), X⁽¹⁾(2), X⁽¹⁾(3), …, X⁽¹⁾(n)}，其中：

$ {X^{(1)}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^t {{X^{(0)}}} (i),t = 2,3, \cdots ,n $

(1)

式中, t表示定参数据期数。原始序列与新序列之间满足：

$ {X^{(0)}}(t) + m{X^{(1)}}(t) = n $

(2)

式中, 方程是GM(1，1)模型的原始形式，也被称作灰色微分方程。

对累加生成的新序列做紧邻生成：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{z^{(1)}}(t) = 1/2\left[ {{X^{(1)}}(t - 1) + {X^{(1)}}(t)} \right],}\\ {t = 2,3, \cdots ,n} \end{array} $

(3)

则GM(1，1)模型的基本形式为：

$ {X^{(0)}}(t) + a{z^{(1)}}(t) = u $

(4)

运用最小二乘法对式(4)进行参数估计，求解参数a和u，得到：

$ \mathit{\boldsymbol{A}} = {[a,u]^{\rm{T}}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{B}}} \right)^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{B}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{Y}}_n} $

(5)

式中,

$ \left\{ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1/2\left[ {{X^{(1)}}(1) + {X^{(1)}}(2)} \right]}&1\\ { - 1/2\left[ {{X^{(1)}}(2) + {X^{(1)}}(3)} \right]}&1\\ \vdots & \vdots \\ { - 1/2\left[ {{X^{(1)}}(n - 1) + {X^{(1)}}(n)} \right]}&1 \end{array}} \right]\\ {\mathit{\boldsymbol{Y}}_n} = \left[ {{X^{(0)}}(2),{X^{(0)}}(3), \cdots ,{X^{(0)}}(n)} \right] \end{array} \right. $

(6)

GM(1，1)模型的一阶一元微分方程为：

$ \frac{{{\rm{d}}{X^{(1)}}}}{{{\rm{d}}t}} + a{X^{(1)}} = u $

(7)

利用式(7)和初始条件X⁽¹⁾(1)=X⁽⁰⁾(1)，可以求出X⁽¹⁾(t)为：

$ {X^{(1)}}(t) = \left[ {{X^{(0)}}(t) - \frac{u}{a}} \right]{{\rm{e}}^{ - a(t - 1)}} + \frac{u}{a} $

(8)

改写累加公式X⁽¹⁾={X⁽¹⁾(1), X⁽¹⁾(2), X⁽¹⁾(3), …, X⁽¹⁾(n)}为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{X^{(1)}}(t) = \sum\limits_{i = 1}^{t - 1} {{X^{(0)}}} (i) + {X^{(0)}}(t) = }\\ {{X^{(1)}}(t - 1) + {X^{(0)}}(t)} \end{array} $

(9)

经过一次累减还原，即得到X⁽⁰⁾(t)序列：

$ {X^{(0)}}(t) = {X^{(1)}}(t) - {X^{(1)}}(t - 1) $

(10)

以上就是传统GM(1，1)模型的预测过程。用新陈代谢模型进行预测时的不同点在于：首先，由原始数据序列建立GM(1，1)模型并且求出预测值X⁽⁰⁾(n+1)；然后，在原始数据序列中置入新求得的数据X⁽⁰⁾(n+1), 同时去掉最老信息X⁽⁰⁾(1), 形成新序列{X⁽⁰⁾(2), X⁽⁰⁾(3), …, X⁽⁰⁾(n)，X⁽⁰⁾(n+1)}，再次建立GM(1，1)模型, 如此反复依次递补, 直到完成预测目标, 即为新陈代谢GM(1，1)模型^[8]。

1.2 新陈代谢GM(1, 1)模型的改进

合并式(3)和式(4)可以得到：

$ {X^{(0)}}(t) + a/2\left[ {{X^{(1)}}(t - 1) + {X^{(1)}}(t)} \right] = u $

(11)

将式(10)代入式(11)可以得到：

$ (1 + a/2){X^{(0)}}(t) + a{X^{(1)}}(t - 1) = u $

(12)

再将式(8)代入式(12), 可以得到新的灰色预测迭代方程为：

$ {X^{(0)}}(n) = \frac{{2{{(2 - a)}^{n - 2}}}}{{{{(a + 2)}^{n - 1}}}}\left( { - a{X^{(0)}}(1) + u} \right) $

(13)

式中, 采用了新的代数递推方程替代原始的灰色微分方程或白化方程，使得预测值的结果仅与X⁽⁰⁾(1)相关，避免了误差累积，提高了预测精度，在处理具有较大变动幅度的数据时效果更明显。在进行测量时，直接用式(13)的方程求解预测值，即为新陈代谢模型的改进。

1.3 模型精度检验

1) 模型残差为：

$ \varepsilon (i) = {{\hat X}^{(0)}}(i) - {X^{(0)}}(i),i = 1,2,3, \cdots $

(14)

式中，${\widehat X^{\left( 0 \right)}}\left( i \right)$表示观测值；X⁽⁰⁾(i)表示预测值。

2) 序列X⁽⁰⁾(t)的均值和方差为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\bar X = \sum\limits_{i = 1}^n {{X^{(0)}}} (i)/n}\\ {S_1^2 = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X^{(0)}}(i) - \bar X} \right)}^2}} } \end{array}} \right. $

(15)

3) 残差ε(i)的均值和方差为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\bar \varepsilon = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varepsilon ^{(0)}}} (i)/n}\\ {S_2^2 = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{\varepsilon ^{(0)}}(i) - \bar \varepsilon } \right)}^2}} } \end{array}} \right. $

(16)

4) 后验方差比为C=S₂/S₁。

5) $P = P\left[ {\left| {\varepsilon \left( i \right) - \overline \varepsilon } \right| < 0.674\;5{S_1}} \right]$被称为小误差概率，对于给定的P₀>0, 如果P>P₀，则可以认为模型为小误差概率合格模型，模型的精度级别为{P所处在级别，C所处在级别}_max，模型预测精度分级标准如表 1所示。

2 工程应用和结果分析 2.1 原始数据

为了考查改进模型的可行性，本文以长江紫都3期沉降监测2号点的沉降资料为例进行了实验与分析。为了确保施工期间建筑物安全性及质量的可控性，需要对建筑物以及地下设施进行沉降监测。2号点观测数据详如表 2所示，从数据可以看出，第8期~第17期的数据变动幅度比较大，所以本文选取了第9期~第16期的数据进行了实验与分析。

2.2 模型预测计算

首先，本文选用第3期~第8期数据{2, 2.6, 2.9, 3.5, 4.3, 5.2}作为原始时间数据序列建立模型，求出第9期的预测值6 mm；然后，在原始时间序列中使用第9期的预测值作为新的数据，并去掉第3期的观测数据，构建新的时间数据序列{2.6, 2.9, 3.5, 4.3, 5.2，6}；重复上述步骤预测第10期的观测值, 逐步循环, 直到得出第16期的观测值；最后，再用改进的新陈代谢模型重复上述方法进行预测，结果如表 3所示。

2.3 精度检验与分析

从表 3的预测值中可以看出，随着时间间隔变长，新陈代谢GM(1，1)模型的预测误差逐渐增大，而相比之下改进模型的预测值仍保持着较高的精度。新陈代谢和改进的新陈代谢模型精度对比如表 4所示。从表 4可以看出，两个模型的精度等级均为一级，但是通过对平均相对误差和均方差比值两个指标的对比可以看出，改进后的模型预测精度明显高于新陈代谢GM(1，1)模型的预测精度。

3 结束语

本文在研究建筑物的沉降预测时，对新陈代谢GM(1，1)模型做了改进，并在此基础上以长江紫都3期的沉降数据为例，利用改进后的模型与新陈代谢模型进行实验分析。结果表明，改进后的模型不仅继承了新陈代谢模型原有的特点，还明显提高了预测精度，避免了预测失真问题，说明改进后的新陈代谢GM(1，1)模型切实可行。