城市平面坐标系是建立一个相对独立和统一的地方坐标系，为本城市区域的建设和发展提供服务。建立城市平面坐标系最重要的依据是投影长度变形值不大于2.54 cm/km^{[1, 2]}。早期的城市平面坐标系建立时，人们关注的是城市核心区域的长度变形，对于边远区域的农村则放宽投影变形阈值。但近年来随着城市的快速扩张和新农村高速发展，原有的城市平面坐标系已无法满足区域发展要求。随着CGCS2000的启用，很多区域提出建立本区域基于CGCS2000的城市平面坐标系。本文对城市平面坐标系建立中投影变形的各种影响因素进行了比较分析，并以江苏省某区域为例，用不同方案确定了该区域最优的坐标系参数，最后就城市平面坐标系的选取提出合理化的建议。

1 高程和高斯投影引起的长度变形分析

我国基本比例尺地形图的中、大比例尺一般采用高斯-克吕格正形投影^[3]，简称高斯投影。

在高斯投影计算时，首先将观测得到的边长归化至参考椭球面，然后再归化至高斯平面上，两次投影归算产生的长度变形称为投影变形。由此可以看出，投影长度变形主要由以下两方面组成，其计算过程如下^[4-7]。

1) 边长观测值归化至参考椭球面引起的变形值为：

$ \frac{\Delta S_{1}}{S}=-\frac{H_{m}}{R_{m}} $

(1)

式中，H_m为边长对应的平均大地高; R_m为边长区域的椭球平均曲率半径; S为边长观测值。

由式(1)可知，影响ΔS₁大小的因素为平均大地高、平均曲率半径。

① 曲率半径的影响分析

曲率半径的计算公式为：

$ R_{m}=\sqrt{M N} $

(2)

其中，

$ \begin{array}{c} M=a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2} \sin ^{2} B\right)^{-\frac{3}{2}} \\ N=\frac{a}{\sqrt{1-e^{2} \sin ^{2} B}} \end{array} $

式中，a为参考椭球长半轴; e为第一离心率; B为大地纬度。

对于CGCS2000椭球来讲，江苏省位于北纬30°45′~35°20′之间。分析可知，其曲率半径差距小于8.3×10^-6 cm/km，可忽略不计，即全省范围的曲率半径可认为相同。

② 平均大地高的影响分析

由式(1)可知，ΔS₁的大小与大地高成正比，但符号相反。对江苏全省，其大地高最小为-10 m，最大为640 m，其引起的投影在0.2 cm/km~-10 cm/km之间，当大地高为160 m时，其投影变形达到2.5 cm/km。

2) 参考椭球面边长归化至高斯平面引起的变形值为：

$ \frac{\Delta S_{2}}{S}=\frac{y_{m}^{2}}{2 R_{m}^{2}} $

(3)

式中，y_m为边长中点至中央子午线的垂直距离; R_m为边长区域的平均曲率半径; S为边长观测值。

基于上文的分析，R_m的取值可认为是常数，因此，ΔS₂的影响主要由y_m决定，其影响与边长中点至中央子午线距离的平方成正比，且符号为正。当y_m达到45.14 km时，其投影变形为2.5 cm/km。

综合式(1)和式(3)可知，高斯投影变形为：

$ \frac{\Delta S_{1}+\Delta S_{2}}{S}=-\frac{H_{m}}{R_{m}}+\frac{y_{m}^{2}}{2 R_{m}^{2}} $

(4)

由式(4)可看出，综合投影变形中，大地高和y_m的影响符号相反，两者可相互抵消一部分，在城市平面坐标系建立时，可充分利用该特性减小远离中央子午线区域的投影变形以及城市范围内投影变形的均匀分布。高精度DEM(digital elevation model)成果可以精确反映区域地貌的高低起伏，为此，利用DEM成果可准确地确定城市平面坐标系建立中的最优中央子午线和高程抵偿面。

2 利用DEM成果确定城市最优中央子午线和高程抵偿面的方案

为进一步验证区域坐标系的中央子午线和高程抵偿面的选取规律，选取江苏省某区域作为特征区域进行研究(图 1)。该区域属于丘陵地区，地形、地貌整体呈西高东低，东经119°16′10″~120°25′48″，大地高最高为465 m，最低为-7 m，中心区域大地高为18 m，东西向长度为110 km，面积约4 761 km²。

2.1 综合投影变形

由式(4)可知，引起投影变形的主要因素是中央子午线和高程抵偿面。为获得该区域的最优中央子午线和高程抵偿面，项目结合该区域高精度DEM数据进行分析。一般情况下，根据不同的情况，中央子午线和高程抵偿面有以下6种方案：A中央子午线和高程抵偿面分别选取区域平均值^[4]; B中央子午线选取平均值，高程抵偿面为0;C投影变形超过2.5 cm/km面积之和最小^[6]; D最大投影变形值最小^[7]; E投影变形中误差最小^{[8, 9]}; F高斯3°带标准投影。

为确定方案C和方案D的最佳值，项目利用移动中央子午线和高程抵偿面方式进行求取。其中步长为1 000 m，高程方向步长为0.2 m。

由表 1、表 2可以看出，对于丘陵区域，特别是地貌东西方向整体倾斜时，不适合取y方向和H方向的中数来定义坐标系。对于该实验区域来讲，选取方案C或者方案E更为合理，其中方案C超出2.5 cm/km面积最小，方案B和方案E最大变形最小，但方案B中超出2.5 cm/km面积比方案E大20%。

2.2 仅考虑中央子午线引起的变形

很多城市建立坐标系时都没有考虑地貌高低起伏对投影变形的影响，仅仅考虑中央子午线的影响。为此，本文利用实验区域对中央子午线引起的投影变形进行进一步分析。所用方法与§2.1中相同。

由表 3、表 4可知，不考虑地貌起伏的影响时，方案C超出2.5 cm/km面积最小，而方案A和方案D最大变形量最小。但结合表 4，相同的坐标系定义，其综合变形影响差异较大，最优方案的结论也不一致。在建立城市平面坐标系时，对于地貌高低起伏较大的区域必须考虑其影响，结合区域DEM可以得到更为准确、合理的最优中央子午线和高程抵偿面。

3 结束语

本文以江苏某丘陵地貌区域为例，对基于CGCS2000的城市平面坐标系建立的关键技术进行了研究，同时结合区域DEM分别用6种不同方案进行验证，说明了地貌高低起伏对投影变形分析的影响的重要性。此外，对于类似丘陵区域平面坐标系进行定义时，利用投影变形超过2.5 cm/km面积之和最小或最大投影变形值最小的原则来确定最优中央子午线和高程抵偿面更为合理。