目前，美国的GPS(global positioning system)系统、欧盟的Galileo(Galileo navigation satellite system)系统和俄罗斯的GLONASS(global navigation satellite system)系统现代化建设不断加快，中国的BDS(BeiDou navigation satellite system)系统也在不断增强服务能力，目前空中可用卫星数可达70~80颗，预计到2020年，卫星数可达120颗(其中包括35颗BDS系统卫星，32颗GPS系统卫星，24颗GLONASS系统卫星和30颗Galileo系统卫星)^[1]。多系统组合定位已经成为GNSS(global navigation satellite system)导航定位的主要发展方向和研究热点。

在进行单点定位时，定位精度、稳定性和可靠性容易受到观测卫星数的影响，在建筑物密集区、山区、树林等区域，单系统的可见卫星数会大大减少，从而导致定位精度较差，甚至无法进行定位服务。然而，多系统组合定位即使在恶劣环境下也能使可见卫星数增加，改善空间卫星几何分布构型，提高定位稳定性、可靠性和精度^[2-4]。近年来，许多学者对单点定位进行了很多研究工作:安向东^[5]为分析BDS系统在亚太地区提供区域服务的伪距单点定位精度，利用实测数据对GPS与北斗伪距单点定位性能进行了对比分析，实验结果表明, 两大系统伪距单点定位性能相差不大，GPS系统卫星定位精度在15 m以内，BDS系统系统定位精度优于20 m；文献[6-7]对多系统组合的可见卫星数、位置精度衰减因子(position dilution of precision, PDOP)、定位精度、定位可用性等方面进行对比分析，结果表明，相比单系统伪距单点定位，多系统组合定位增加了卫星数，减小了PDOP值，在较差的观测环境下有效改善了定位精度和显著提高了系统定位可用性；贾雪等^[8]对GPS/BDS/Galileo多系统融合伪距单点定位性能进行分析，结果表明，GPS/BDS/Galileo组合定位精度优于单系统，在截止高度角较大情况下，单系统历元可用率降低，而GPS/BDS/Galileo组合仍能满足定位的要求。以上所述，主要是针对双系统和3系统的组合单点定位研究，而对于4系统的组合单点定位，也有学者做了相关的研究工作，徐龙威等^[9]采用实测数据对比了GPS与GPS/GLONASS/BDS/Galileo 4系统组合在截止高度角分别为15°、30°、45°的单点定位性能，得出4系统组合较GPS单系统增加了可见卫星数，改善了PDOP，增强了空间卫星几何分布强度和提高了定位精度。然而，文献中针对GPS/GLONASS/BDS/Galileo 4系统组合与GPS单系统进行比较只考虑了3种情况下的截止高度角，对GPS/GLONASS/BDS/Galileo 4系统组合与单系统、双系统和3系统的定位结果情况并未进行分析，研究仍有一些不足。

鉴于此，本文重点对BDS/GPS/GLONASS/Galileo 4系统组合与GPS单系统、GPS+Galileo组合、GPS+BDS组合、GPS+GLONASS组合、BDS+GLONASS+Galileo组合、GPS+GLONASS+BDS组合在不同截止高度角(7°、15°、20°、30°、40°、45°)下的单点定位性能进行比较分析。

在进行多系统组合单点定位之前需要考虑时间系统和坐标系统的统一。文献[7-8]指出, BDS/GPS/GLONASS/Galileo 4系统之间时间系统存在差异，BDS采用BDT，GPS采用GPST，GLONASS采用GLONASST，Galileo采用GST。4种时间系统都与国际原子时(AIT)和世界协调时(UTC)存在密切联系，故可以将其他3系统卫星的时间系统统一到GPS的时间系统下，即可实现时间系统的转换和统一^[9]。

文献[10-11]详细介绍了BDS所采用的坐标系统为CGCS2000坐标系，GPS采用WGS-84坐标系，GLONASS采用PZ-90坐标系，Galileo采用GTRF。CGCS2000、WGS-84、GTRF差异较小，对于单点定位m级精度而言，可忽略不计，故本文不需要考虑三者坐标系之间的统一。而PZ-90与WGS-84差异较大，两者之间坐标差异能够到达20 m，鉴于WGS-84坐标系目前已经较为成熟且被广泛使用，所以考虑将GLONASS系统坐标统一至WGS-84坐标系下^[12]。

BDS/GPS/GLONASS/Galileo的观测方程参考文献[13]，表达式分别为：

式中，G、C、R、E分别表示GPS、BDS、GLONASS、Galileo卫星；i、j、k、l分别表示GPS、BDS、GLONASS、Galileo卫星序号；m、n、p、q分别表示GPS、BDS、GLONASS、Galileo卫星数量；测站坐标为(X_A, Y_A, Z_A)；(X_Gⁱ, Y_Gⁱ, Z_Gⁱ)、(X_C^j, Y_C^j, Z_C^j)、(X_R^k, Y_R^k, Z_R^k)、(X_E^l, Y_E^l, Z_E^l)分别表示为GPS、BDS、GLONASS、Galileo卫星坐标；ρ为接收机和卫星间的伪距；c为真空中的光速；V_tr为接收机钟差改正；V_ts为卫星钟差改正；V_ion为电离层延迟改正；V_trop为对流层延迟改正。

设测站近似坐标为(X_A⁰, Y_A⁰, Z_A⁰)，并记δX=X_A－X_A⁰，δY=Y_A－Y_A⁰，δZ=Z_A－Z_A⁰，对观测方程式(1)~式(4)在(X_A⁰, Y_A⁰, Z_A⁰)处用泰勒级数展开，可以得到误差方程为：

其中，常数项为：

式中，$ \frac{{{X^f}-{X_A^0}}}{{{\rho _f^0}}} = {a^f}$、$ \frac{{{Y^f}-{Y_A^0}}}{{{\rho _f^0}}} = {b^f}$、$ \frac{{{Z^f}-{Z_A^0}}}{{{\rho _f^0}}} = {d^f}$为从测站近似位置至卫星f方向上的方向余弦, f=(1, 2, 3, …, m+n+p+q)；δX、δY、δZ为测站坐标的改正数；ρ_f⁰为第f颗卫星至测站近似位置的几何距离，计算ρ_f⁰有两种方法，一般采用迭代法计算^[13]。对于观测值的求解采用间接平差法^{[14, 15]}。

式(5)中，设系数矩阵为B，待估参数矩阵为$ \mathit{\boldsymbol{\hat X}}$，常数项矩阵为L，观测值权阵为P，由此误差方程可表示为：

根据式(8)可知，待估参数$ {\mathit{\boldsymbol{\hat X}}}$必须满足V^TPV为最小的要求，4系统组合伪距单点定位待估参数中含有3个坐标分量参数和4个接收机钟差，当观测的卫星数大于伪距定位的待估参数个数时，可采用最小二乘法原理求解，此时必要观测卫星数为7颗。由最小二乘估计得：

从而求出测站的坐标为：

试验数据选取MGEX跟踪站的部分测站2016-02-01 1 d的观测数据，数据采样率为30 s。分别设置截止高度角为7°、15°、20°、30°、40°、45°，分别对GPS(G)、GPS+Galileo(GE)、GPS+BDS(GC)、GPS+GLONASS(GR)、BDS+GLONASS+Galileo(CRE)、GPS+GLONASS+BDS(GRC)、BDS+GPS+GLONASS+Galileo(GRCE)共7种模式进行单点定位解算和数据处理。在进行单点定位解算时，电离层延迟采用无电离组合改正，各系统卫星钟差改正模型参考文献[16]，对流层延迟采用Saastamoinen模型。

图 1给出了GMSD站不同截止高度角(7°、15°、20°、30°、40°、45°)下，G、GE、GC、GR、CRE、GRC、GRCE 7种模式的可见卫星数比较，图 2给出了1 d内平均可见卫星数随高度角的变化情况。从图 1和图 2中可以看出，当截止高度角为7°~20°时，无论4系统、3系统组合，还是双系统组合全天内可见卫星数都在至少8颗以上，平均可见卫星数为8.62颗，卫星利用率较高。而GPS单系统也能观测到至少5颗以上，平均可见卫星数为6.85颗。当截止高度角为30°时，G和GE组合全天有90%~95%的时间能观测卫星，此时GPS单系统可见卫星数大部分时间少于5颗，G和GE组合平均可见卫星数分别为5.28和6.57，GC、GR、CRE、GRC、GRCE这5种模式平均可见卫星数分别为11.68、8.82、11.57、15.37、16.70。当截止高度角为40°时，G和GE组合全天大约50%~60%的时间能观测到卫星，大部分时间很难提供可靠的定位服务，此时GR组合有90%左右能观测卫星，其余模式全天均能观测卫星，G、GE、GC、GR、CRE、GRC、GRCE模式平均可见卫星数分别为4.22、5.24、9.71、6.36、9.47、12.20、13.19。当截止高度角为45°时，7种组合模式受截止高度角影响较大，各种模式可见卫星数明显减少，GPS单系统和GE组合全天内仅有1/3不到的时间可观测卫星，此时GR和CRE组合有70%~80%左右的时间能观测卫星，其余模式全天内均能观测卫星且可见卫星数在7~10颗，其中GRCE组合可见卫星数比GPS单系统在截止高度角为7°时还要多。从全天内可观测卫星的时间和卫星数量综合来看可以得出如下关系：G＜GE＜GR＜CRE＜GC＜GRC＜GRCE。

图 1(Fig.1)

图 1 GMSD站可见卫星数对比 Fig.1 Comparison of the Number of Visible Satellites in GMSD Station

图 2(Fig.2)

图 2 平均可见卫星数随高度角变化情况 Fig.2 Variation of the Average Number of Visible Satellites with the Altitude Angle

为了分析BDS/GPS/GLONASS/Galileo多模组合单点定位解算在不同截止高度角下的定位稳定性。将解算结果与已知值(从国际GNSS服务(International GNSS Service, IGS)的SINEX文件中提取站坐标)作差^[17-19]，可以得到X、Y、Z方向的定位偏差，图 3和图 4分别给出了7种模式在不同截止高度角下X、Y、Z方向的偏差、点位偏差和1 d内历元可用率随高度角变化的统计结果。结合图 3和图 4分析可知：X方向上，随着高度角的增加，曲线离散程度越来越差，截止高度角为7°~20°时，GRCE组合的X方向偏差小于5 m，当截止高度角为30°~40°时，X方向偏差小于10 m，此时GPS单系统历元可用率有所降低，全天内1/2左右的时间无法进行连续定位。而当截止高度角为45°时，在X方向上无论哪种模式，离散程度都较差，相比之下，GRCE组合较其他模式稳定且历元可用率较高，全天内可用，G、GE、GR、CRE历元可用率降低，定位稳定性和可靠性相对较差。GC和GRC组合虽然全天内历元可用，但定位稳定性不如GRCE组合。Y方向上，对于GRCE组合而言，截止高度角为7°~20°时，偏差优于5 m，曲线波动情况较其他模式较为稳定，截止高度角为30°时，偏差优于8 m，即使在40°、45°时，偏差也优于10 m，但此时离散程度较差，相比其他模式仍然较稳定。Z方向上，在截止高度角为7°、15°、20°、30°、40°时，GRCE组合偏差都优于3~8 m，即使在高度角为45°时，全天内偏差也优于10~15 m，定位稳定性良好。从平面点位偏差方面看，GCRE组合在截止高度角为7°、15°、20°、30°、40°时，定位偏差优于5~10 m，5种情形的截止高度角情况下，点位稳定性较其他模式好。在截止高度角为45°时，点位离散程度变差，GRCE组合点位偏差全天内大约为20 m，虽然点位偏差较大，但相比其他模式特别是GPS单系统，稳定性和可靠性都较好^[20-22]。

图 3(Fig.3)

图 3 24 h内X、Y、Z方向的偏差和点位偏差(截止高度角分别为7°、15°、20°、30°、40°、45°) Fig.3 Deviation of the X, Y, Z Directions and Point Deviation within 24 h (Cut-Off Height Angle Is 7°, 15°, 20°, 30°, 40°, 45°, Respectively)

图 4(Fig.4)

图 4 1 d内历元可用率随高度角变化统计 Fig.4 Statistics of Epoch Availability with Height Angle Within 1 d

为了分析不同截止高度角下各种模式的历元可用率、定位精度、Z方向和水平方向的改善率，表 1给出了GMSD站不同截止高度角下Z方向和水平方向的RMS(root mean square)值^{[23, 24]}以及改善率统计结果，图 5给出了GMSD站不同截止高度角下X、Y和Z方向的RMS值。从表 1和图 5中分析可知：①当截止高度角为7°、15°、20°时，7种模式历元可用率都为100%，Z方向和水平方向RMS均小于6 m。GRCE组合虽然较GPS单系统改善效果稍差，可能是因为单GPS可见卫星数充足，引入其他系统时也引入了相应的观测误差。但GRCE较GC组合有明显改善，Z方向改善大约10%~13%，水平方向改善大约6%~8%；而GRCE较GRC组合在Z方向和水平方向分别改善4%和2%左右。②当截止高度角为30°、40°时，GPS单系统历元可用率由92%降到52%，GE组合由95%降到66%，GR组合由100%降到92%，GPS和GE组合历元可用率较低，GR组合的Z方向和水平方向RMS值最大，GE和CRE组合水平方向RMS值分别为16.7 m和10.62 m，除此之外其他RMS值均在10 m以下，从改善率来看，GRCE组合比GRC组合较GPS改善效果明显，Z方向改善率大约为15%~44%，水平方向改善率大约为2%~25%。GRCE组合Z方向较GC组合和GRC组合分别改善大约6%~10%和2%~6%，水平方向GRCE较GC组合和GRC组合分别改善大约1%~6%和0.7%~4%。③当截止高度角为45°时，GPS、GE组合历元利用率较低，全天不足1/3，GR、CRE组合也分别只有71%、83%，然而GC、GRC、GRCE组合历元仍然全天可用，GPS部分历元精度优于GRC和GRCE组合，但整体定位性能较差。全天历元可用的前提下，GRCE组合的Z方向和水平方向较GC组合分别改善7.43%和13.15%，较GRC组合分别改善2.72%和1.85%。GRCE组合在全天历元可用和实现单点定位前提下，Z方向和水平方向RMS值分别为7.49 m和15.92 m，整体定位性能优于其他模式。

表 1(Tab.1)

表 1 不同截止高度角下Z方向和水平方向的RMS值以及改善率统计 Tab.1 RMS Values and Improvement Rates of Z and Horizontal Directions at Different Cut-Off Height Angles

表 1 不同截止高度角下Z方向和水平方向的RMS值以及改善率统计 Tab.1 RMS Values and Improvement Rates of Z and Horizontal Directions at Different Cut-Off Height Angles 高度角 指标类型 RMS/m 改善率/% G GE GC GR CRE GRC GRCE GRCE与G相比 GRC与G相比 GRCE与GC相比 GRCE与GRC相比 7° Z/m 2.37 2.29 1.96 2.04 1.87 1.80 1.74 26.32 24.13 10.86 2.89 水平方向/m 2.40 2.30 3.09 2.29 3.92 2.88 2.82 -17.28 -19.86 8.83 2.15 历元可用率/% 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 - - - - 15° Z/m 1.59 1.48 1.87 1.43 2.18 1.68 1.61 -1.29 -5.62 13.87 4.10 水平方向/m 2.65 2.51 3.65 2.60 4.71 3.43 3.35 -26.53 -29.45 8.22 2.26 历元可用率/% 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 - - - - 20° Z/m 1.50 1.34 2.07 1.42 2.59 1.91 1.84 -22.44 -27.08 10.98 3.65 水平方向/m 2.91 2.75 4.18 2.95 5.55 4.00 3.93 -34.66 -37.06 6.06 1.75 历元可用率/% 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 - - - - 30° Z/m 2.70 2.31 2.45 2.45 4.37 2.33 2.28 15.39 13.49 6.82 2.20 水平方向/m 4.85 6.22 4.83 5.07 8.28 4.78 4.75 2.20 1.48 1.71 0.73 历元可用率/% 92.00 95.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 - - - - 40° Z/m 6.06 9.43 3.75 30.38 5.44 3.60 3.36 44.53 40.56 10.35 6.68 水平方向/m 8.98 16.70 7.12 51.03 10.62 6.96 6.67 25.75 22.47 6.35 4.23 历元可用率/% 52.00 66.00 100.00 92.00 100.00 100.00 100.00 - - - - 45° Z/m 7.37 14.44 8.09 55.45 64.69 7.70 7.49 -1.61 -4.46 7.43 2.72 水平方向/m 10.09 24.02 18.40 159.23 142.03 16.28 15.98 -58.37 -61.35 13.15 1.85 历元可用率/% 24.00 31.00 100.00 71.00 83.00 100.00 100.00 - - - -

图 5(Fig.5)

图 5 不同截止高度角下X、Y和Z方向的RMS值 Fig.5 RMS Values of X, Y and Z Directions at Different Cut-Off Height Angles

本文分别在不同截止高度角(7°、15°、20°、30°、40°、45°)下对G、GE、GC、GR、CRE、GRC、GRCE共7种模式进行单点定位解算和数据处理，并比较分析7种模式在不同截止高度角下的可见卫星数、定位稳定性、定位精度和改善率。由此得出如下结论。

1) 随着高度角的增加，卫星数逐渐减小，从全天内可观测卫星的时间和卫星数量综合来看可以得出如下关系：G＜GE＜GR＜CRE＜GC＜GRC＜GRCE。

2) GCRE组合在截止高度角为7°、15°、20°、30°、40°时，定位偏差优于5~10 m，5种情形的截止高度角情况下，点位稳定性较其他模式好。在截止高度角为45°时，点位离散程度变差，但相比其他模式特别是GPS单系统，GCRE组合稳定性和可靠性都较好。

3) 当截止高度角为45°时，GPS、GE组合历元利用率较低，全天不足1/3，GR、CRE组合可用历元大约70%~83%，然而GC、GRC、GRCE组合历元仍然全天可用，GPS部分历元精度优于GRC和GRCE组合，但整体定位性能较差。全天历元可用的前提下，GRCE组合的Z方向和水平方向较GC组合分别改善7.43%和13.15%，较GRC组合分别改善2.72%和1.85%。GRCE组合在全天历元可用和实现单点定位前提下，整体定位性能优于其他模式。