合成孔径雷达(synthetic aperture radar, SAR)因其发射的微波信号具有全天时、全天候以及穿透云雾等优势，在对地观测、军事侦察等方面有着极其重要的作用^{[1, 2]}。SAR距离向分辨率跟平台信号带宽成反比，但带宽受限于调频斜率和脉冲长度，因而不能无限增大，特别是在星载SAR中，星载SAR距离向分辨率一直与光学影像有一定的差距。

根据意大利米兰理工大学Prati和Rocca等提出的频谱偏移理论^{[3, 4]}，不同的回波数据之间有相对的频率偏移，因此可以利用对同一目标的两次或多次测量数据，通过频谱合成，得到具有更大距离向带宽的数据，进而获得具有更高分辨率的SAR影像。

本文分析了回波数据频率偏移的原理，进而讨论了频谱合成的方法，并利用ASAR数据分别对两幅及多幅影像的合成进行了实验验证，结果表明，频谱偏移方法可以改进SAR影像的距离向分辨率。

1 频谱偏移原理 1.1 SAR回波信号

首先对SAR回波信号进行推导。对于星载SAR影像，雷达成像瞬间卫星与地面点剖面如图 1所示。假设地面平坦，雷达视角等于入射角。在图 1中，y₀为地面一目标点，S₁和S₂分别为两颗卫星。可以将目标点y₀的回波认为是由相位和地面反射率r(y)构成。r(y)是一个零均值、高斯分布的复数^[3]。由此可以得到卫星S₁(位置为h, y=0)处接收到的回波信号为：

$ s(t) = \int_{{y_{\min }}}^{{y_{\max }}} {r(y)} \delta (t-\frac{2}{c}\sqrt {{h^2} + {y^2}} )dy $

(1)

式中, y表示目标地距; h表示卫星高度; c表示光速。根据式(1)可以知道，积分仅在：

$ t-\frac{2}{c}\sqrt {{h^2} + {y^2}} = 0 $

(2)

时，也就是：

$ y = \sqrt {\frac{{{c^2}{t^2}}}{4}-{h^2}} $

(3)

时才有效。此时可以得到：

$ s(t) = Ar(\sqrt {\frac{{{c^2}{t^2}}}{4}-{h^2}} ) $

(4)

式中，$ A = c\sqrt {{h^2} + {y^2}} /(2y) $为尺度因子，其值对结果没有影响，故在后面的讨论中将A忽略不计。

对于带通系统的SAR，实际得到的回波是式(4)与带通滤波器：

$ {h_{BP}}(t) = w(t){e^{j{\omega _0}t}} $

(5)

的卷积，即

$ s(t) = r(\sqrt {\frac{{{c^2}{t^2}}}{4}-{h^2}} ) \otimes w(t){e^{j{\omega _0}t}} $

(6)

式中，ω₀/2π是发射信号的中心频率。因式(6)得到的结果并不是在基带范围内，故对其进行下变频，可以得到卫星S₁处接收到的信号：

$ \begin{array}{l} {s_1}(t) = r(\sqrt {\frac{{{c^2}{t^2}}}{4}-{h^2}} ) \otimes w(t){e^{j{\omega _0}t}} \times {e^{-j{\omega _0}t}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;r(\sqrt {\frac{{{c^2}{t^2}}}{4}-{h^2}} ){e^{ - j{\omega _0}t}} \otimes w(t) \end{array} $

(7)

将式(3)代入上式，可以得到：

$ {s_1}(\frac{2}{c}\sqrt {{h^2} + {y^2}} ) = r(y){e^{-j\frac{{2{\omega _0}}}{c}\sqrt {{h^2} + {y^2}} }} \otimes w(\frac{2}{c}\sqrt {{h^2} + {y^2}} ) $

(8)

令

$ y = {y_0} + u $

(9)

$ {z_{01}} = \sqrt {{h^2} + y_0^2} $

(10)

$ \sin {\vartheta _1} = \frac{{{y_0}}}{{{z_{01}}}} $

(11)

得到近似的结果：

$ t = \frac{2}{c}({z_{01}} + u\sin {\vartheta _1}) $

(12)

式中，$ {\vartheta _1} $为影像距离向中心点的视角。将式(12)代入式(7)中，可以得到卫星S₁处接收信号近似的表达式：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_1}(\frac{{2u}}{c}\sin {\vartheta _1}) = }\\ {r({y_0} + u){e^{-j(2{\omega _0}/c)({z_{01}} + u\sin {\vartheta _1})}} \otimes w(\frac{{2u}}{c}\sin {\vartheta _1})} \end{array} $

(13)

这就是雷达接收的地面目标点的回波信号，由y₀附近的地面反射率r(y₀+u)、相位和频率偏移e^{-j(2ω₀/c)(z₀₁+usin$ {\vartheta _1} $)}以及窗函数w((2u/c) sin$ {\vartheta _1} $)构成。

1.2 频谱偏移原理

如图 1中所示，卫星S₁接收的目标回波信号为式(13)。假设卫星S₂(位置为h₂, y=-d)与S₁的位置关系如图 1所示，则可以得到卫星S₂接收到的回波信号为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_2}(\frac{{2u}}{c}\sin {\vartheta _2}) = }\\ {r({y_0} + u){e^{-j(2{\omega _0}/c)({z_{02}} + u\sin {\vartheta _2})}} \otimes w(\frac{{2u}}{c}\sin {\vartheta _2})} \end{array} $

(14)

其中，

$ {z_{02}} = \sqrt {h_2^2 + {{({y_0} + d)}^2}} $

(15)

$ \sin {\vartheta _2} = \frac{{{y_0} + d}}{{\sqrt {h_2^2 + {{({y_0} + d)}^2}} }} $

(16)

对于星载SAR影像，卫星S₁、S₂与目标点的视角变化较小，故有：

$ \vartheta = \frac{{{\vartheta _1} + {\vartheta _2}}}{2} \approx {\vartheta _1} \approx {\vartheta _2} $

(17)

为了简化计算，可以令：

$ \tau = u\frac{2}{c}\sin \vartheta = u\gamma $

(18)

则有：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_1}(\frac{{2u}}{c}\sin {\vartheta _1}) \approx {s_1}(\tau ) = }\\ {r({y_0} + \frac{\tau }{\gamma }){e^{-j(\frac{{2{\omega _0}}}{c})({z_{01}} + \frac{\tau }{\gamma }\sin {\vartheta _1})}} \otimes w(\tau )} \end{array} $

(19)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{s_2}(\frac{{2u}}{c}\sin {\vartheta _2}) \approx {s_2}(\tau ) = }\\ {r({y_0} + \frac{\tau }{\gamma }){e^{-j(\frac{{2{\omega _0}}}{c})({z_{02}} + \frac{\tau }{\gamma }\sin {\vartheta _2})}} \otimes w(\tau )} \end{array} $

(20)

记R(ω)和W(ω)分别为地面反射率r(y₀+τ/γ)和窗口函数w(τ)的傅里叶变换，对式(19)和式(20)进行傅里叶变换，得到：

$ {S_1}(\omega ) = R(\omega + {\omega _0}\frac{{\sin {\vartheta _1}}}{{\sin \vartheta }}){e^{-j\frac{{2{\omega _0}}}{c}{z_{01}}}}W(\omega ) $

(21)

$ {S_2}(\omega ) = R(\omega + {\omega _0}\frac{{\sin {\vartheta _2}}}{{\sin \vartheta }}){e^{-j\frac{{2{\omega _0}}}{c}{z_{02}}}}W(\omega ) $

(22)

R(ω)的带宽是无限的，而窗函数W(ω)是一个带限滤波器。因此，接收信号的频谱可以看成是地面反射率频谱的一部分，不同的入射角就会获得不同的部分。卫星S₁与S₂的回波频率差(即频谱偏移)为:

$ \begin{array}{l} \Delta f = \frac{1}{{2\pi }}({\omega _0}\frac{{\sin {\vartheta _2}}}{{\sin \vartheta }}-{\omega _0}\frac{{\sin {\vartheta _1}}}{{\sin \vartheta }})\\ \;\;\;\;\; = \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\frac{{\sin ({\vartheta _1} + \Delta \vartheta )-\sin {\vartheta _1}}}{{\sin \vartheta }}\\ \;\;\;\;\; \approx \frac{{{\omega _0}}}{{2\pi }}\frac{{\cos {\vartheta _1}\Delta \vartheta }}{{\sin \vartheta }}\\ \;\;\;\;\; = \frac{{{f_0}\Delta \vartheta }}{{\tan \vartheta }} = \frac{{c{B_n}}}{{{r_1}\lambda \tan \vartheta }} \end{array} $

(23)

式中，$ \Delta \vartheta = {\vartheta _2}-{\vartheta _1} $为脉冲中心频率；B_n为垂直基线；λ为波长；r₁为卫星S₁与目标斜距。这就是频谱偏移产生的原因。

相对于本文的数学推导方法，在文献[5]中，Gatelli等人在Prati和Rocca之后利用波数解释了频谱偏移的原理，更加地简单明了，得到了相同的结果。

2 距离分辨率改进方法

根据上面所讲的频谱偏移原理知，SAR两次测量得到的回波数据之间存在频率偏移，在两次回波数据存在频率重叠的情况下，通过将频谱对齐加和，可以得到具有更宽带宽的回波数据，由此可以获得更高的分辨率。

合成后的具有更高分辨率的影像为^[3]：

$ {s_3}(\tau ) = {s_1}(\tau ) + {s_2}(\tau ){e^{j\varphi }} $

(24)

式中，φ为S₁与S₂的干涉相位，由式(25)和式(26)得到：

$ E[{s_1}(\tau ) \cdot s_2^ * (\tau )] = P(\Delta f){e^{j\varphi }} $

(25)

$ \varphi = \frac{{2{\omega _0}}}{c}({z_{02}}-{z_{01}}) + 2\pi \Delta f\tau $

(26)

式中，P(Δf)表示频谱偏移为Δf时计算得到的干涉图幅度。

根据傅里叶变换的平移性质，在时域乘以一个指数函数等价于在频域的平移，故式(24)表示第二个影像相对于第一个影像偏移Δf之后与第一个影像加和，其频谱变化如图 2所示。

图 2中，B为原始影像的带宽，B_new为两个影像合成后的带宽，由于B_new为B和Δf之和，而SAR距离向分辨率与带宽成反比，故SAR的距离向分辨率得到改善。为了避免频率混叠，需要在影像合成之前对原始影像过采样，一般4倍过采样即可。

由前面的分析可知，进行频谱合成时最关键的地方就是偏移频率的计算。由文献[5]可以知道，频移频率就是干涉图的瞬时频率。为此，对两幅影像的干涉图进行距离向傅里叶变换，计算其频率峰值的平均值作为其偏移频率。综合式(26)和式(18)，可以得到：

$ \varphi = \frac{{2{\omega _0}}}{c}({z_{02}}-{z_{01}}) + \frac{{2\pi \Delta fn}}{{{f_s}}} $

(27)

式中，n为相对于计算频率偏移时使用的距离r₁的目标点的偏移像素数；f_s为数据距离向采样率。参照文献[1]中提到的迭代方法，在得到Δf之后，对式(27)的常数项进行迭代计算，在0~2π的范围内，能使合成影像振幅达到最大值时对应的常数项就是最终的常数项，由此就可以得到正确的φ。在实际的迭代计算中，将自变量由τ变成了n。在两幅影像加和前，还需要对两幅影像频谱的重叠部分进行均衡^{[6, 7]}，以避免重叠的频率功率明显高过其他频率，可以利用hanning窗来实现。

对于更多的影像，只需要将所有的影像都配准到同一个主影像，并逐个计算每对影像的偏移频率，然后进行频谱的均衡和合成，就可以得到多幅影像的频谱合成结果。

3 实验结果

本次实验采用了上海地区的ASAR数据，考虑到时间去相干和垂直基线等因素的影响，选择成像时间为2009年11月2日(主影像)、2009年1月26日(从影像1)和2010年1月11日(从影像2)的升轨影像，两对影像的垂直基线分别为320.6 m和-112.5 m。实验区域为浦东机场，如图 3所示。雷达波束从左侧入射，图 3中黑色矩形框中航站楼主要有两个弧形坡面反射SAR信号。

两幅影像(主影像和从影像1)合成的结果如图 4所示。图 4(a)为原始影像(主影像)，图 4(b)为合成影像，由图中可以看出，在影像的右边航站楼区域，原始影像中只能看出一排强反射点，而在合成影像中，则可以明显地看到反射点开始分离。图 4(c)给出了图 3中航站楼部分在合成影像中的放大图，可见，合成影像对地物的分辨能力更强一些。

为了更好地展示合成影像分辨率的增强效果，给出了图 5的功率剖面对比和自相关函数对比。分别对原始影像和合成影像在行方向做自相关，在峰值处下降6 dB时计算原始影像和合成影像对应的宽度比，得到距离向分辨率的改进情况。

图 5(a)中，像素620附近的强目标得到了有效区分，而580处也有一定的改进。在图 5(b)中，自相关函数下降6 dB时，合成影像的宽度约为原始影像的70.3%，在一定程度上可以反映出分辨率的改进效果。

3幅影像的合成效果如图 6所示。图 6(c)给出了图 3中航站楼部分在合成影像中的放大图。在图 6中，同样可以看出航站楼的反射回波之间有了一定的差异，不再是一排连续的亮点，而是在中间有所分离。且从图中可以看出，白色虚线框区域非固定目标的反射(飞机)被降低，对于两块白色实线框选中的区域，由于从影像中距离向的旁瓣效应不明显，合成影像中距离向的旁瓣效应有了一定的减弱。

图 7(a)中，像素580附近处，可以看出其分辨效果要比在图 5(a)中的好。在图 7(b)中，自相关函数下降6 dB时，合成影像宽度约为原始影像的64.9%，比两幅影像的合成效果要好，这是因为3幅影像合成了更大的影像带宽，同时也在一定程度上反映出分辨率的改进效果。

由以上的实验结果可以看出，基于频谱偏移原理的影像合成不仅能够改进SAR影像距离向的分辨率，还能够对影像的质量有所改善。

此外，多次研究实验结果表明，在频谱重叠较多的情况下，虽然能够对SAR影像距离向分辨率进行改善，但使用的SAR影像过多会导致合成后的SAR影像存在稍许模糊，这是因为在用于合成的影像较多，每一次合成都会导致前面影像的频谱被均衡函数均衡，且重叠较多会使得影像的频谱偏移较少，这就与影像的相干平均有些类似，而影像的相干平均会导致影像信息的减少。在频谱重叠较少的情况下则不会出现这种情况。一般情况下，在偏移量不超过影像带宽的前提下，尽量选择频谱之间偏移量较大的影像对进行SAR影像的距离向超分辨率重建。同时，还要考虑到影像的相干性，尽量选择相干性高的影像对。对于所需影像数目，在拥有较大频谱偏移量的影像对的情况下，直接使用频谱偏移量最大的影像对，而无需使用频谱在前两者合成影像的频谱范围之内的影像。

4 结束语

通过上面的分析可以得出，当两幅影像的入射角不同时，得到的两幅影像之间会存在频率偏移，可以利用存在频率偏移的两幅影像来合成更大带宽的影像，由此改进SAR距离向的分辨率。值得注意的是，使用的两幅影像其垂直基线不能超过极限基线，超过了则使得两幅影像之间不存在频率重叠，导致无法合成新影像。通过式(23)可以计算得到两幅影像的极限基线。此外，由于存在时间去相干等因素，两幅影像的时间基线也不宜过大。当两幅影像的相干性太低时，也不能得到较好的结果。

此外，还利用3幅影像来改进距离向分辨率，获得了更高分辨率的影像，并且获得的影像质量也得到了改进，距离向的旁瓣效应得到一定的消除，而非固定目标的反射功率也得到削弱。后面还可以利用更多的影像来进行频谱的合成，以达到更好的效果^{[8, 9]}，但是参与合成的影像不宜太多，否则会造成各原始影像的频谱被削弱而导致合成影像质量变差。