分析建筑物的沉降与倾斜变形，并精确预测变形体的变化趋势，对进一步降低工程事故的发生频率具有重要意义。用于分析和预测建筑物、构筑物及其基础变形的模型与方法很多，目前常用的有灰色模型、神经网络模型、支持向量机等，但是各个模型都有局限性。例如，灰色模型适用于研究数据频乏以及信息不确定的情况，但是只有在数据为正序指数递增的情况下，预测效果才较佳；反向传播(back propagation，BP)神经网络模型的计算受初值影响，有极佳的非线性映射能力和自学习适应力，但是稳定性不足，容易陷入局部最优；支持向量机以结构风险最小为原则，不但算法简单，对数据规模与分布要求不高，而且具有较好的鲁棒性，但是其在参数搜寻上存在随机性，需要进行大量试算^[1-7]。最小二乘支持向量机(least square support vector machine，LSSVM)模型是在统计学习的基础上建立的一种自适应模型，它以结构化风险最小为核心，在样本小、多变量等领域有非常广泛的应用^[8-11]，但是模型的参数选择存在随机性。遗传算法(genetic algorithm，GA)能够对目标进行直接搜索，并且保持函数运行的连续性，也无需进行微分求导计算，从而极大提高了搜索的效率，增强了参数全局搜索的能力，但是搜索空间变大，会相应地增加计算的复杂性^{[12, 13]}；粒子群优化(particle swarm optimization，PSO)算法是全局搜索算法中的一种，具有搜索效率高、所需参数少、易实现的特点，但是搜寻过程中容易陷入局部最优^{[14, 15]}。

本文将GA嵌入PSO算法，建立了一种粒子群-遗传算法(particle swarm optimization-genetic algorithm，PSO-GA)优化的LSSVM沉降预测模型，即PSO-GA-LSSVM模型。此算法能够降低参数寻优陷入局部最优的可能，提高模型预测的精度。本文将PSO-GA-LSSVM模型与单一LSSVM模型、PSO算法优化的LSSVM(PSO-LSSVM)模型、GA优化的LSSVM(GA-LSSVM)模型进行比较分析，以检验模型效果。

1 LSSVM基本原理

设D={ (x_i, y_i) i=1, 2, 3, …, n}，其中，x_i表示相应的参数输入，x_i∈Rⁿ；y_i是计算结果相应的输出值，y_i∈R。根据结构化风险原则，求解函数f(x)的最小值，则有：

$ \min J({\mathit{\boldsymbol{w}}}, b, e)=\frac{1}{2} {\mathit{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}} {\mathit{\boldsymbol{w}}}+\frac{1}{2} \gamma \sum\limits_{i=1}^{n} e_{i}^{2} $

(1)

$ \text { s. t. } y_{i}=\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(x_{i}\right)+b+e_{i}, i=1, 2, \cdots, n $

(2)

式中，w代表权重，用来控制系数；e表示松弛因子；J(w, b, e)为损失函数；γ表示惩戒系数；φ (x)表示映射函数；b表示偏置量。

针对w和e存在二次规划计算的问题，本文应用拉格朗日算子进行计算，其表达式为

$ \begin{array}{c} L(\boldsymbol{w}, b, e, \boldsymbol{\alpha})=\frac{1}{2} \boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{w}+\frac{1}{2} \gamma \sum\limits_{i=1}^{n} e_{i}^{2}- \\ \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}\left\{y_{i}\left(\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(x_{i}\right)+b\right)-1+e_{i}\right\} \end{array} $

(3)

式中，α =[α₁   α₂   …   α_n]^T表示拉格朗日乘子。

根据Karush-Kuhn-Tucher (KKT)原则对函数进行微分计算，得到：

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial L}{\partial {\mathit{\boldsymbol{w}}}}=0 \rightarrow {\mathit{\boldsymbol{w}}}=\sum\limits_{i=1}^{n} {\mathit{\alpha}}_{i} \boldsymbol{\varphi}\left(x_{i}\right) \\ \frac{\partial L}{\partial b}=0 \rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i}=0 \\ \frac{\partial L}{\partial e_{i}}=0 \rightarrow \gamma e_{i}=\alpha_{i} \\ \frac{\partial L}{\partial \alpha_{i}}=0 \rightarrow y_{i}\left(\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(x_{i}\right)+b\right)-1+e_{i}=0 \end{array}\right. $

(4)

齐次线性方程可以表示为：

$ \left[\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & K\left(X_{1}, X_{1}\right)+1 / \gamma & K\left(X_{1}, X_{2}\right) & \cdots & K\left(X_{1}, X_{n}\right) \\ 1 & K\left(X_{2}, X_{1}\right) & K\left(X_{2}, X_{2}\right)+1 / \gamma & \cdots & K\left(X_{2}, X_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & K\left(X_{n}, X_{1}\right) & K\left(X_{n}, X_{2}\right) & \cdots & K\left(X_{n}, X_{n}\right)+1 / \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} b \\ \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}\right] $

(5)

式中，K(X_i, X_j)表示核函数。

对式(5)进行整理，可以得到如下矩阵：

$ \left[\begin{array}{lc} 0 & \boldsymbol{l}_{v}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{l}_{v} & \boldsymbol{Z} \boldsymbol{Z}^{\mathrm{T}}+\gamma^{-1} \boldsymbol{I} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} b \\ \boldsymbol{\alpha} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ \boldsymbol{y} \end{array}\right] $

(6)

式中，Z =[φ (x₁)^T  φ (x₂)^T   …   φ (x_n)^T]^T; y =[y₁   y₂   y₃   …   y_n]^T; l_v=[1    1   …   1]^T。

令Ω = ZZ^T+γ^-1 I，得到α与b之间的函数关系为：

$ \boldsymbol{\alpha}=\left(\boldsymbol{y}-b \boldsymbol{l}_{v}\right) {\mathit{\pmb{Ω}}}^{-1} $

(7)

$ b=\left(\begin{array}{lll} \left.\boldsymbol{l}_{v}^{\mathrm{T}} {\mathit{\pmb{Ω}}}^{-1} \boldsymbol{l}_{v}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{l}_{v}^{\mathrm{T}} {\mathit{\pmb{Ω}}}^{-1} \boldsymbol{y} \end{array}\right. $

(8)

映射函数φ (x)与对应的核函数K(X_i, X_j)存在着以下关系：

$ K\left(X_{i}, X_{j}\right)=\boldsymbol{\varphi}\left(X_{i}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\varphi}\left(X_{i}\right) $

(9)

则LSSVM的回归模型表达式为：

$ f(x)_{\mathrm{LS}}=\operatorname{sgn}\left[\sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i} K\left(X_{i}, X_{j}\right)+b\right] $

(10)

式中，α_i和b是式(6)的解；f(x)_LS为所求的回归函数。

2 PSO-GA与PSO-GA-LSSVM预测模型 2.1 PSO-GA

相对于GA，PSO算法设置种群数目的多少对其运算效率影响不大，并且该算法拥有很好的自记忆能力，能够在循环过程中将相对较优的粒子很好地记录下来。但是在GA中无法实现该功能，当算法迭代结束时，只能将循环中最好的种群个体记录保存下来。因此，将GA中的算子嵌入PSO算法，能够很好地弥补其不足，从而提高全局搜索能力，具体算法流程见图 1。

在嵌入内容方面，PSO-GA以GA进化编码为依据，将GA因子嵌入PSO算法中，将选择、交叉与变异算子加入其中，从而模仿GA进化编码过程，并将此编码过程作为PSO算法中的一个干扰项。在嵌入位置方面，因为PSO算法在寻找参数的过程中很容易陷入局部最优，并且在未达到最大循环次数前已经搜寻到局部最优解，从而出现表象的迭代稳定。因此在训练过程中嵌入干扰项，任何一次循环都会经过该干扰项，从而降低PSO算法在搜寻最优参数过程中陷入局部最优的可能。

2.2 PSO-GA-LSSVM预测模型

设建筑物原始时间序列为{X(t), t=1, 2, …, m}，将前t期数据作为训练样本集合，剩余的数据作为测试样本集合，建立PSO-GA-LSSVM预测模型，通过模型预测分析得到输出值F={F₁, F₂, …F_j}，模型预测流程见图 2。

3 工程案例

本文以上海某地铁车站深基坑西北方向7幢高层建筑的实测沉降数据为实验数据，根据技术设计的监测方案要求，在深基坑的四周及外围设置了水准网与监测基点，采用二等水准测量对深基坑周边建筑物的沉降量进行监测。由于布设点较多，本文在典型特征点中挑选出JZ9号点进行展示，其周期性监测原始数据曲线如图 3所示。

3.1 PSO-GA的模型参数寻优与训练

本文将GA的遗传因子嵌入PSO算法中，建立PSO-GA，对最优参数进行搜寻。PSO-GA的最大迭代次数为300，种群的规模为20，交叉概率为0.4，变异概率为0.1，核参数C的取值范围为[0.1, 5 000]，γ的取值范围是[0.01, 100]，代表其局部搜索能力的c₁为1.5，代表其全局搜索能力的c₂为1.7，种群变化系数为1，速度转换关系k为0.5。采用三折交叉验证法进行验证，不同优化算法的最佳适度值曲线比对见图 4。

由图 4可知，PSO算法寻优过程中曲线上下波动较大，迭代140次左右逐渐趋于平缓，可能是因为迭代进入局部最优解，虽然循环已经保持稳定，但所得结果不是最优值；GA的全局搜索能力很强，迭代次数为40和120时效果较好，170次以后适应度值又跳出优值重新迭代计算，在240次左右适应度值呈下降趋势，直至循环结束。由此可以看出，GA能够降低搜寻参数陷入局部最优的可能，但是计算时间相对较长；PSO-GA结合了两种算法的优点，其搜寻最优参数的能力强，并且计算搜寻的效率也比较稳定，总体运行时间在1~2 min左右。将GA中的遗传算子嵌入PSO算法，可以提高算法的全局搜索能力，以及相同次数的循环中得到最优解的可能性。最终PSO算法、GA与PSO-GA得到的最优参数组合(核参数和惩戒系数)分别为C₁=4 568.573，γ₁=0.168；C₂=4 604.360，γ₂=0.167；C₃=4 730.724 0，γ₃=0.148 6。

3.2 模型分析

利用监测点序列的前20期观测序列进行训练学习，余下的6期数据进行测试分析。为了检验提出的模型的可靠性与精确性，将其与其余3种算法进行对比，并以平均相对误差(mean relative error，MRE)、均方根误差(root mean square error，RMSE)与均方误差(mean square error，MSE)为评定指标进行精度评定。各模型训练集合的各项评定指标结果见表 1；各模型的拟合结果对比见表 2；不同模型的法拟合结果见图 5；各模型对应的评定精度见表 3。

从表 1可以看出，相较于其他模型，PSO-GA-LSSVM模型在MRE、RMSE、MSE方面均有一定的精度优势。

由表 3可知，PSO-LSSVM模型预报的MRE为3.41%，RMSE为0.099 mm；GA-LSSVM模型预测的MRE为3.22%，RMSE为0.101 mm；PSO-GA-LSSVM模型预测的MRE为2.30%，RMSE为0.066 mm。分析可知，PSO-GA-LSSVM模型及GA-LSSVM模型拟合的稳定性相对更高；PSO-GA-LSSVM模型及PSO-LSSVM模型的拟合精度相对较高，与测试集合的吻合度更高。

4 结束语

1) 本文将GA嵌入PSO算法，建立了新的参数寻优方法PSO-GA。在同等情况下，PSO-GA相较于传统优化算法能够有效降低陷入局部最优的可能。

2) 本文建立了PSO-GA优化的LSSVM模型，即PSO-GA-LSSVM模型，并分别从MRE、RMSE和MSE 3个方面对比了PSO-LSSVM模型、GA-LSSVM模型、LSSVM模型与该模型的拟合情况，PSO-GA-LSSVM模型在MRE、RMSE、MSE 3个精度指标方面明显优于其他模型，拟合精度更好。