航天测控网是对运载火箭、航天器等进行跟踪、测量和控制的综合电子系统，它由一系列测控设备及指挥控制通信系统组成^[1]。测控设备在安装、测试和使用时需要根据大地测量提供的方位基准、距离基准和仰角基准进行标校^[2]。仰角基准实际上为垂直角基准，其传统数据处理方法主要有以下两种^{[3, 4]}：①在设备点观测了垂直角时，采用近似算法把实测的垂直角改算到指定位置，结果为物理仰角；②在设备点没有测量垂直角时，利用三角形几何关系计算得到指定位置的仰角，结果为几何仰角。第一种方法得到的仰角虽然为物理值，但在计算过程中存在精度损失，而第二种方法得到的几何仰角没有顾及大气垂直折光等因素的影响，存在一定误差^[5-7]。本文研究了传统的数据处理方法，提出了物理仰角基准改算的精确算法以及将几何仰角换算为物理仰角的方法。

1 物理仰角改算的算法探讨

如果点位上的测控设备没有安装，仰角基准测量时，设备点与方位标的测量位置与应测位置通常不一致，需要通过一定算法将实测垂直角改算到指定位置。

实测边CD和应测边AB的相互位置关系存在6种情况, 如图 1所示。

图 1中，A为应测位置(一般为设备中心)；C为仪器中心；B为方位标应测位置；D为方位标实测位置；α′、d′分别为实测边的垂直角和斜距；α、S为应测边的垂直角和斜距，Δα=α－α′，Δi=(i_B－i_D)－(i_A－i_C)，其中i_A、i_B、i_c、i_D依次为设备高、方位标应测中心高、仪器高、觇标高。α′、Δα、Δi的值有可能为正，也有可能为负。

根据以上6种位置关系，物理仰角改算的精确公式推导过程如下。

当Δi＞0时(实测边与应测边的关系见图 1(a)、1(c)、1(f))，Δα＞0，可得：

$ \begin{array}{l} \Delta \alpha = {\rm{arcsin}}(\frac{{\Delta i \times {\rm{sin}}(90 + \alpha ')}}{S}) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{arcsin}}(\frac{{\Delta i \times {\rm{cos}}\alpha '}}{S}) \end{array} $

当Δi＜0时(实测边与应测边的关系见图 1(b)、1(d)、1(e))，Δα＜0，可得：

$ \left| {\Delta \alpha } \right| = {\rm{arcsin}}(\frac{{\left| {\Delta i} \right| \times {\rm{sin}}\left( {90 - \alpha '} \right)}}{S}) $

化简得：

$ \begin{array}{l} \Delta \alpha = {\rm{arcsin}}(\frac{{\Delta i \times {\rm{sin}}\left( {90 - \alpha '} \right)}}{S}) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{arcsin}}(\frac{{\Delta i \times {\rm{cos}}\alpha '}}{S}) \end{array} $

即不论Δi＞0，还是Δi＜0，均有：

$ \Delta \alpha = {\rm{arcsin}}(\frac{{\Delta i \times {\rm{cos}}\alpha '}}{S}) $

(1)

所求物理仰角为：

$ \alpha = \alpha ' + \Delta \alpha $

(2)

式(1)中S为应测边的斜距，其计算公式如下：

$ S = \sqrt {d{'^2} + \Delta {i^2} + 2d' \times \Delta i \times {\rm{sin}}\alpha ')} $

(3)

式(1)和式(2)即为物理仰角改算的精确公式。

传统改算方法一般采用下列近似公式进行改算^[8]：

$ \Delta \alpha = \frac{{\Delta i \times {\rm{cos}}\alpha '}}{{}} \times \rho '' $

(4)

根据麦克劳林展开式^[9]，则有：

$ {\rm{arcsin}}\left( x \right) = x + \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \cdots + \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{{2^{2n}}{{\left( {n!} \right)}^2}\left( {2n + 1} \right)}}{x^{2n + 1}} $

把x移至等式左边，有：

$ {\rm{arcsin}}\left( x \right) - x = \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \cdots + \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{{2^{2n}}{{\left( {n!} \right)}^2}\left( {2n + 1} \right)}}{x^{2n + 1}} $

上式右边为展开式的余项，忽略极小项，有：

$ {o_1}\left( x \right) \approx \frac{{{x^3}}}{{3!}} $

令$ x = \frac{{\Delta i \times {\rm{cos}}\alpha '}}{S} $，得到弧度值代替反正弦值产生的误差估计式：

$ {o_1}\left( x \right) = \frac{1}{6}{\left( {\frac{{\Delta i \times {\rm{cos}}\alpha '}}{S}} \right)^3} $

(5)

从式(3)和式(5)可知，近似算法误差的大小与d′、α′、Δi值的大小有关，而Δi与测控设备的类型有关，不同的测控设备其设备高不同，设备高i_A一般在0.280~4.850 m之间，d′一般在100~3 000 m之间。表 1为分别采用近似算法和精确算法进行物理仰角改算的实例，结果相差0.65″。

2 几何仰角与物理仰角的换算关系

如果测控设备已经安装，在设备点上无法架设仪器测量设备点至方位标的垂直角，这时，可以通过归心测量方法得到设备点至方位标的平距，并把斜距S、平距d_平、高差h构成的三角形视为一个直角三角形，按下式计算几何仰角α_几：

$ {\alpha _几} = \arctan \frac{h}{{{d_平}}} $

(6)

或

$ {\alpha _几} = {\rm{arcsin}}\frac{h}{S} $

显然，几何仰角由于没有考虑地球曲率和大气垂直折光的影响，与设备标校使用的物理值有较大的差值。接着推导几何仰角与物理仰角之间的换算关系。假设方位标高程为H₂、斜距为S、物理仰角为α_物，可以列出它们的关系式^[10]：

$ \begin{array}{l} h = S{\rm{sin}}{\alpha _{物}} + \frac{{1 - K}}{{2R}}{S^2} \times {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\alpha _{物}} - \\ \;\;\;\;\;\frac{{1 - K}}{{2R}}{S^2} \times {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\alpha _{物}} \times \frac{{{H_2}}}{R} \end{array} $

(7)

式中，K为大气垂直折光系数；R为平均曲率半径。

由于式(7)中第三项较小，忽略第三项，并取cosα_物近似值为1，可得：

$ h \approx S{\rm{sin}}{\alpha _{物}} + \frac{{1 - K}}{{2R}}{S^2} $

等式两边同除以斜距S，得：

$ \frac{h}{S} \approx {\rm{sin}}{\alpha _{物}} + \frac{{1 - K}}{{2R}}S $

又

$ {\rm{sin}}{\alpha _{几}} = \frac{h}{S} $

所以

$ \begin{array}{l} {\rm{sin}}{\alpha _{几}} \approx {\rm{sin}}{\alpha _{物}} + \frac{{1 - K}}{{2R}}S\\ {\alpha _{几}} \approx {\alpha _{物}} + \frac{{1 - K}}{{2R}}S \times \rho '' \end{array} $

令

$ \Delta \alpha = \frac{{1 - K}}{{2R}} \times S \times \rho '' $

(8)

得到物理仰角与几何仰角之间的换算关系式：

$ {\alpha _{物}} = {\alpha _{几}} - \Delta \alpha $

(9)

从式(9)可以看出，几何仰角与物理仰角的差值随着大气垂直折光系数K的变化而变化，并且其绝对值与距离成正比。K值可取实测值，也可取经验值^[11]：沙漠地区K=0.09~0.10；平原丘陵地区K=0.11~0.12；沼泽森林地区K=0.14~0.15。

使用两组实测垂直角来验证换算关系式的精度，表 2首先使用式(6)计算几何仰角α_几，然后根据式(8)和式(9)将几何仰角α_几换算为物理仰角α_物，并将结果与实测值进行比较。

表 2结果表明，几何仰角与实测值相差约22″，其值不能满足设备标校的仰角基准要求。换算为物理仰角后，与实测值相差1.0″左右。

在对式(8)和式(9)的推导过程中，约去了部分微小量，并进行了部分近似处理，会对几何仰角与物理仰角之间的换算精度产生影响。为此，对式(7)进行改进，将式中第二、三项的cosα_物用cosα_几代替，得到几何仰角计算物理仰角的公式：

$ \begin{array}{l} {\rm{sin}}{\alpha _{物}} = {\rm{arcsin}}(\frac{h}{S} - \frac{{1 - K}}{{2R}}S \times {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\alpha _{几}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{1 - K}}{{2R}}S \times {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{\alpha _{几}} \times \frac{{{H_2}}}{R}) \end{array} $

(10)

基于实测值的物理仰角改算精确算法计算物理仰角，并与实测值进行比较的结果，如表 3所示。

由于方位标的高程一般采用三角高程方法测得，式(10)较好地对大气折光等误差进行改正，换算得到的物理仰角的精度与实测值相当。由表 3可知，换算值与实测值相差约0.2″。

3 结束语

仰角基准计算是设备标校计算的一项重要内容，本文在分析仰角基准传统算法的基础上，提出了基于实测值的物理仰角改算精确算法以及基于几何仰角的物理仰角计算方法。实例表明，它们是行之有效的算法。