对流层导致的GPS信号传播路径增长的距离即为对流层延迟量，天顶方向的对流层延迟约为2.3 m；而卫星高度角为10°时，对流层延迟将增加至13 m左右^[1]。对流层为非弥散介质，不能用双频观测值来消除对流层延迟^[2]。在GPS数据处理中，一般采用对流层延迟模型对GPS观测数据进行修正^[3]。这种方法只能消除大部分对流层延迟的影响，延迟残差仍然能够对GPS定位精度产生较大的影响。目前，大部分解算GPS基线的随机软件都采用了建立对流层延迟模型的处理方式。

本文在微软基础类(microsoft foundation classes, MFC)框架下，编程实现了Hopfield模型和Saastamoinen模型，在得出模型值的基础上，计算出不同高度角对应的模型值以及模型间的差值。

1 对流层延迟模

1) Hopfield模型。温度T、气压P、水汽压e以及高程h的关系为：

$\left\{ \begin{align} & \frac{\text{d}T}{\text{d}h}=-6.8{}^\circ /\text{km} \\ & \frac{\text{d}P}{\text{d}h}=-\rho g \\ & \frac{\text{d}e}{\text{d}h}=-\rho g \\ \end{align} \right.$

(1)

可以看出，高程h每增加1 km, 气温T就下降6.8 ℃，直至对流层的外边缘气温等于绝对温度0 ℃时为止；气压P和水汽压e也随着高度h的增加而降低，其变化率与大气密度ρ和重力加速度g有关。顾及气态方程，可导出Hopfield模型为：

$\left\{ \begin{align} & \Delta S=\Delta {{S}_{d}}+\Delta {{S}_{w}}=\frac{{{K}_{d}}}{\sin {{\left( {{E}^{2}}+6.25 \right)}^{\frac{1}{2}}}}+ \\ & \frac{{{K}_{w}}}{\sin {{\left( {{E}^{2}}+2.25 \right)}^{\frac{1}{2}}}} \\ & {{K}_{d}}=155.2\times {{10}^{-7}}\cdot \frac{{{P}_{s}}}{{{T}_{s}}}\left( {{h}_{d}}-{{h}_{s}} \right) \\ & {{K}_{w}}=155.2\times {{10}^{-7}}\cdot \frac{4810}{T_{s}^{2}}{{e}_{s}}\left( {{h}_{w}}-{{h}_{s}} \right) \\ & {{h}_{d}}=40136+148.72\left( {{T}_{s}}-273.16 \right) \\ & {{h}_{w}}=11000 \\ \end{align} \right.$

(2)

式中，温度均采用绝对温度，以(°)为单位；气压P和水汽压e均以mbar为单位；高度角E以(°)为单位；ΔS、ΔS_d、ΔS_w均以m为单位；h_s为观测站的高程。

2) Saastamoinen模型。除Hopfield模型外，Saastamoinen^[4-7]模型也是一种应用广泛的模型，在许多GPS数据处理的软件中得到应用。有研究证明，在高海拔地区，Saastamoinen模型对对流层延迟的模拟效果要比Hopfield模型更好。推导Saastamoinen模型为：

$\begin{gathered} \Delta S = \frac{{0.002277}}{{\sin E}}\left[ {{P_s} + \left( {\frac{{1255}}{{{T_s}}} + 0.05} \right){e_s} - \frac{B}{{{{\tan }^2}E}}} \right] \cdot \hfill \\ W\left( {\varphi \cdot H} \right) + \delta R \hfill \\ \end{gathered} $

(3)

式中，W(φ·H)=1+0.002 6cos2φ+0.000 28h_s，其中，φ为观测站的纬度; B是h_s的列表函数; δR为E和h_s的列表函数。

经过数值拟合后，式(3)可转化为：

$\left\{ \begin{align} & \Delta S=\frac{0.002277}{\sin {{E}_{s}}}\left[ {{P}_{s}}+\left( \frac{1255}{{{T}_{s}}}+0.05 \right){{e}_{s}}-\frac{{{a}_{s}}}{{{\tan }^{2}}{{E}_{s}}} \right] \\ & {{E}_{s}}=E+\Delta E \\ & \Delta E=\frac{16"}{{{T}_{s}}}\left( {{P}_{s}}+\frac{4810}{{{T}_{s}}}{{e}_{s}} \right)\cot E \\ & {{a}_{s}}=1.16-0.15\times {{10}^{-3}}{{h}_{s}}+0.716\times {{10}^{-8}}{{h}_{s}}^{2} \\ \end{align} \right.$

(4)

式中，符号含义与Hopfield模型相同。

2 湿气压的确定和数据准备

计算对流层延迟模型值，需要用到湿气压值。可以利用CDDIS提供的气象数据文件中的气温T、气压P、相对湿度H_R等气象数据来计算湿气压e^{[8, 9]}，计算公式为：

$e = {H_R} \times {e^{\left( { - 37.2465 + 0.213166 \times T - 0.000256908 \times {T^2}} \right)}}$

(5)

然后，根据湿气压值计算对流层延迟的模型值。

IGS服务组织可以提供全球范围内多种格式的观测数据。本文采用IGS站BJFS的观测数据。BJFS观测站位于北京市境内，观测数据可从CDDIS网站下载。本文的研究用到的数据有：①气象观测数据(*.m格式，用于计算对流层延迟模型值)；②精密星历(*.sp3格式，结合BJFS站坐标计算高度角)；③精确对流层延迟值(*.zpd格式，作为参考值与延迟模型值对比)。

3 算法实现与分析

本文在MFC框架下, 利用C++语言对Hopfield模型和Saastamoinen模型进行了实现。由于CDDIS提供的数据都是文本文件，数据存储有着严格的定义，所以，在读取文本数据时，需要严格按位读取，存放到事先定义的结构体中。

通过程序分别计算出Hopfield模型和Saastamoinen模型对应的延迟值，并和IGS提供的对流层延迟参考值一起以折线图表示，结果如图 1所示。

在图 1中，竖轴表示天顶方向对流层延迟值，精确到1 mm；横轴表示观测时间，单位是h。从图 1可以看出，Hopfield模型和Saastamoinen模型的模型值相差很小，在几个mm以内。而两种模型和IGS提供的.zpd格式的对流层延迟参考值差值的量级在cm级。

根据模型值和对流层延迟参考值，相互求差计算，结果如图 2所示。

从图 2可以看出，Hopfield模型和Saastamoinen模型的差值稳定在5 mm左右，Hopfield模型与对流层延迟参考值的差值稳定在20~25 mm之间，Saastamoinen模型和参考值之间的差值稳定在25~30 mm之间。由此可见，两种模型对对流层延迟模拟的效果较好，模型差值的量级稳定在mm级。

笔者根据*.SP3格式的精密星历文件和BJFS站的坐标计算卫星高度角，并在程序中筛选出高度角大于10°的部分，以折线图的形式输出，结果如图 3所示。

从图 3得出，两种模型的延迟值随高度角的减小而增大。当卫星高度角为90°时，对流层延迟值最小，约为2.3 m；当卫星高度角减小时，对流层延迟值逐渐增大，增大速率也逐渐加快；当高度角减小到10°时，对流层延迟值达到13 m左右。

笔者在前面工作的基础上，通过模型间求差，进一步计算出PG10号卫星不同高度角时的模型差值，结果如图 4所示。

从图 4可以看出，当卫星高度角为90°时，模型间差值最小，约为5 mm; 当卫星高度角减小时，模型间差值逐渐增大，增大速率也逐渐加快；当高度角减小到10°时，模型间差值达到24 cm左右，模型之间的差异逐渐显著。模型对对流层模拟的效果变差。因此，根据测站情况，设置合适的高度角十分必要。

4 结束语

通过对Hopfield模型和Saastamoinen模型进行程序实现，结合IGS提供的对流层延迟参考值，并进行分析比较，得出如下结论。

1) Hopfield模型、Saastamoinen模型以及参考值在天顶方向随时间变化的趋势相同。

2) 天顶方向的对流层延迟约2.3 m，对于一般的工程实践，会产生很大的影响。因此，消除对流层延迟的影响显得格外重要。

3) 天顶方向的Hopfield模型和Saastamoinen模型之间的差值稳定在5 mm左右，两种模型与参考值之间的差值稳定在2~3 cm。模型间、模型与参考值间的差值的量级较小。两种模型之间能够较好的吻合，能够消除绝大部分对流层延迟的影响。

4) 两种模型的延迟值随高度角的减小而增大。随着高度角的减小，对流层延迟快速增大，即使用改正模型消除了大部分误差的影响，但残差的量级仍足以影响观测数据的可用性。