机载激光雷达(light detection and ranging，LiDAR)是一种先进的对地测绘遥感技术。利用该技术获取的点云数据坐标精度高，且不受天气、日照条件影响，已被广泛应用于基础测绘、建筑物三维重建、森林资源调查等领域^{[1, 2]}。利用这种技术获取的点云数据生产数字高程模型(digital elevation model，DEM)产品具有精度高、处理速度快、自动化程度高等优势，已成为测绘生产领域研究热点^[3]。

作为LiDAR数据的重要指标，点云密度从整体上反映了激光脚点分布的密集程度，对DEM产品的质量和成本有重要影响^[4]。一般而言，激光脚点越密集，其对地形的表征就更细致，通过点云数据生产的DEM产品质量就更高。随着LiDAR技术的不断发展，获取高密度点云数据已成为可能，但是实际工况中常采用降低飞行高度、减少扫描带宽、减慢飞行速度等方法增加点云密度，这些方法在增加点云密度的同时，也增加了数据采集、数据管理及数据处理的经济和时间成本，对硬件、软件和人工都有更高要求。在一些地形平坦区域，高密度点云数据冗余的缺陷会严重影响后续生产，以至于需要进行一定程度的抽稀处理。综合考虑DEM产品质量及生产成本，恰当的点云密度应在满足DEM产品精度要求的同时，还要使其生产成本最低，达到DEM产品生产精度与生产成本之间的平衡。

一些学者对LiDAR点云密度与DEM产品精度间的关系开展了研究。Anderson等^[5]根据点云密度梯度制作了一系列不同分辨率的DEM产品，并将其与原始数据制作的相同分辨率的DEM产品进行比较。结果表明，LiDAR数据能够在保持一定高程精度的同时，承受大量的数据简化。Liu等^[6]在探究LiDAR点云密度对DEM产品精度影响的同时，考虑了数据密度、数据文件大小与数据处理时间之间的关系，对原始点云数据进行50%的数据简化后，发现制作的DEM产品的精度没有发生明显变化，而数据处理的时间减少了。Jia等^[7]研究了不同点云密度数据生成的DEM产品之间的相关性，发现城区生成高精度DEM产品的最低点云密度为0.6点/m²。Zhao等^[8]以3种不同方法对点云数据进行抽稀处理，在不同抽稀条件下证实了在保证DEM产品精度的同时进行点云数据简化的可行性。然而这些研究没有考虑地形条件的差异，也没有考虑实际生产中不同比例尺DEM产品的精度要求，具有一定的局限性。

针对上述研究的不足，本文进一步考虑了地形因素的影响，研究了不同地形条件下生产不同比例尺DEM产品所需要的最佳点云密度，并根据采样定理对不同比例尺DEM产品所需的点云密度进行理论论证，以1∶2 000、1∶1 000、1∶500的DEM产品为例，利用平地、丘陵、山地3种地形数据进行实验。

1 点云密度与DEM数据采样

1) 点云密度表征。目前计算点云密度的方式主要是将三维的点云数据投影至XY平面，统计二维平面内激光脚点的数量，以单位面积内激光脚点的数量表征其密度。该方法计算简单，是目前点云密度计算的常用方法。还有一些学者提出基于三维空间的点云密度计算方法^[9]，以单位体积内的激光脚点数量作为密度的表征。基于三维空间计算的点云密度对于区分植被和激光难以穿透的固体有较好的辅助作用，但会受到重叠航带的干扰以及航向或俯仰引起的航迹偏差的影响。本文将基于二维平面计算的点云密度用于后续的讨论和实验。基于二维平面计算的点云密度公式为：

$ M = \frac{N}{A} $

(1)

式中，M为点云密度；N为投影在研究区域内激光脚点总数；A为研究区域的面积。

2) 点云密度与平均点间距。对于离散的LiDAR点云数据，一般用点云平均点间距D_P来表达LiDAR数据采样间隔。点云密度与点云平均点间距之间存在一定的换算关系：

$ M = \frac{1}{{D_P^2}} $

(2)

3) 采样定理。DEM数据是连续地形信息的数字表达，是利用采样的离散点信息进行地形重建的结果。本质上，DEM数据恢复的地形信息是由离散采样点的空间信息内插、拟合得到的，因此DEM数据源的采样频率是DEM成果质量的重要影响因素。香农采样定理在理论上阐述了信号重建与采样频率之间的关系，在数学、统计学、工程学等诸多领域有着广泛应用。

香农采样定理的基本原理为对于能量有限的带限信号，若要实现信号的无失真恢复，则采样频率应不小于信号频谱中最高频率的2倍^[10]，即：

$ {F_s} \ge 2\;{F_{\max }} $

(3)

式中，F_s表示采样频率；F_max为信号频谱中的最高频率。

根据式(3)，若已知带限信号频谱的最高频率，则可以确定完全恢复信号所需的最低采样频率。将其推广至地形信号恢复，若某一地形剖面具有足够的长度来表达局部地形，则此剖面可由一组正弦波和余弦波的和进行表示^[11]。如果这组波束存在最大频率F_max，则根据香农采样定理，当采样频率大于2F_max(即采样间隔小于$\frac{1}{{{F_{\max }}}} $)时便可实现地形剖面信息的完全恢复。

在实际应用中，规则格网是DEM成果的主要表达形式。设规则格网DEM成果的格网间距为D_grid，则理论上的采样间隔D_P应满足：

$ D_{P} \leqslant \frac{D_{\text {grid }}}{2} $

(4)

式(4)表明，如果已知DEM成果的格网间距，则数据源的采样间隔应不大于格网间距的$ \frac{1}{2}$。

4) 点云密度推导结果。根据式(2)、式(4)，为生产格网间距为D_grid的DEM产品，需要的LiDAR点云密度应满足：

$ M=\frac{1}{D_{P}^{2}} \geqslant \frac{4}{D_{\text {grid }}^{2}} $

(5)

目前，国家测绘相关规范对不同分幅比例尺的DEM产品的格网间距有明确的规定^[12]。根据已知的格网间距，结合式(5)，可得到生产不同分幅比例尺DEM产品的理论点云密度。表 1为不同比例尺DEM产品需要的理论点云密度，为LiDAR数据采集提供了密度范围建议。

2 实验方法

从表 1可以看出，生产1∶2 000、1∶1 000、1∶500的DEM产品理论上需要的最小点云密度分别为1点/m²、4点/m²、16点/m²。实际生产中，由于DEM产品存在一定的高程误差，并且考虑到LiDAR点云分布并不均匀，地形条件不同也会造成DEM产品质量变化，需要对理论点云密度进行实验验证，步骤如下：

1) 点云数据精简。为得到同一区域不同点云密度数据，本研究对原始点云数据进行不同尺度的精简。采用随机抽样的方法对原始高密度点云数据进行处理，得到系列不同密度点云数据。

2) 点云数据滤波。对上述不同密度点云数据使用相同滤波算法进行滤波，得到地面点，对滤波后地面点进行人工检查与编辑修正，确保滤波质量。

3) DEM产品构建及精度评定。利用滤波及人工编辑修正后的地面点数据，可构建不同比例尺的DEM产品。将经质检部门验收的DEM产品(参考DEM产品)作为真值，对不同密度数据生产的DEM产品进行精度评定。对比参考DEM产品各格网点(检查点)高程与待评定DEM产品对应点的高程，计算高程残差，并基于残差计算相关统计量。选择高程中误差作为评价指标，计算公式为：

$ {E_{{\rm{RMSE}}}} = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{Z_C} - Z} \right)}^2}} }}{n}} $

(6)

式中，Z_C为各检查点高程；Z为待检查DEM产品的对应点高程；n为检查点数量。不同比例尺DEM产品的高程精度指标可参考相关规范^[12]。

3 实验结果与分析 3.1 实验数据

本文选取平地、丘陵、山地3组地形数据进行实验。3组实验数据分别采集于福州城区、丘陵区、山地区，如图 1所示(图中“1”为平地区域; “2”为丘陵区域; “3”为山地区域)。平地实验区域地势平坦，存在大片城区建筑，植被多为低矮灌木。丘陵实验区域地势起伏较为明显，存在零星分布的房屋、电力线及高速公路，植被覆盖较多。山地实验区域地形较为崎岖，存在若干电力塔及电力线，植被茂密。3种地形实验数据原始点云密度均较高，且地形特点不一，能够有效支持本文实验。表 2为3组实验数据的基本信息。

3.2 实验结果

本文利用VC++实现点云数据精简算法，并利用商业数据处理软件完成各组实验。实验过程中，点云滤波需要人为设置滤波参数，同一地形数据采用相同滤波参数。本次实验具体的滤波参数设置如下：平地区域最大建筑物尺寸为80 m，迭代距离为0.8 m，迭代角度为6.0°；丘陵区域最大建筑物尺寸为55 m，迭代距离为1.0 m，迭代角度为7.0°；山地区域最大建筑物尺寸为30 m，迭代距离为1.2 m，迭代角度为9.0°。最终生成DEM产品的格网间距分别为2 m、1 m、0.5 m。图 2为平地中不同点云密度数据生产的1∶2 000 DEM产品；图 3为丘陵中不同点云密度数据生产的1∶2 000 DEM产品；图 4为山地中不同点云密度数据生产的1∶2 000 DEM产品。

由图 2~图 4可知，随着点云密度的逐渐降低，3种地形DEM产品的变化情况有较大差别。当点云密度较高时，3种地形的DEM产品均没有明显变化。而当点云密度较低时，平地区域DEM产品表面粗糙程度略有增加；丘陵区域DEM产品在一些地形突变处丢失部分细节特征；山地区域DEM产品中，部分山脊特征减弱。分析上述现象，发现点云密度较低时，激光脚点稀疏，会导致构建的DEM产品不足以完全表征真实地形。

为了量化实验结果，定量分析点云密度与DEM产品精度的关系，本文将质检部门验收的DEM产品作为真值，对各组实验结果进行定量精度分析，评定指标为高程中误差。各组实验得到的DEM产品高程中误差如表 3所示。

观察表 3，有如下情况：

1) 对于平地、丘陵、山地3种地形数据，不同比例尺DEM产品的高程中误差均随着点云密度的降低而增大。

2) 山地区域的DEM产品高程中误差明显高于丘陵及平地区域DEM产品的高程中误差；高密度山地数据生产的DEM产品高程中误差大于较低密度丘陵及平地数据生产的DEM高程中误差。

3) 分析不同点云密度数据生产的不同比例尺的DEM产品的精度：①生产1∶2 000 DEM产品需要的理论点云密度为1点/m²。在平地实验区域，不同点云密度数据生产的DEM产品高程中误差基本在20 cm以内，点云密度为0.75点/m²时，DEM产品精度仍满足要求。而在丘陵实验区域，点云密度为1.05点/m²时，DEM产品精度满足要求，但高程中误差较大，接近规范^[12]要求的最大值。在山地实验区域，点云密度为1.36点/m²时，DEM产品精度已不满足要求。②生产1∶1 000 DEM产品需要的理论点云密度为4点/m²。在平地实验区域，点云密度在0.75点/m²时，DEM产品精度仍满足要求。而在山地区域，点云密度为14.09点/m²时生产的1∶1 000DEM产品已经不满足要求。③生产1∶500 DEM产品需要的理论点云密度为16点/m²。在平地实验区域，点云密度为15.75点/m²时，DEM产品精度仍能满足要求。而在山地区域，点云密度为28.44点/m²时生产的1∶500的DEM产品不满足要求。

LiDAR点云数据定位精度高，平地区域地势平坦，利用稀疏点云数据即可得到精度较高的DEM产品。而在丘陵及山地区域，地势起伏较大，地形信息复杂，尤其密集植被区域地面点数量较少，当测区植被茂密时，激光获取地面点的难度增大。

4 结束语

为研究生产不同比例尺DEM产品需要的合理LiDAR点云密度，本文依据香农采样定理对合理点云密度进行理论推导，并以1∶2 000、1∶1 000、1∶500 DEM产品为例，利用平地、丘陵、山地3种地形数据进行实验验证。理论推导认为生产1∶2 000、1∶1 000、1∶500 DEM产品需要的最低点云密度分别为1点/m²、4点/m²、16点/m²。实验结果表明，在平地区域，理论推导的点云密度数据能够满足相应DEM产品的精度要求，但在丘陵及山地区域，需要适当增加点云密度。考虑到平地、丘陵、山地包含范围较广，后续可对地形条件进行研究，如将坡度、地形平坦度等作为地形条件考虑生产不同比例尺DEM产品需要的合理点云密度。