在三维空间中测量3个不共线点，能得到空间平面在测量坐标系下的方程，但是在精密工程领域要求精度极高的条件下，这就要求足够多的多余观测对平面进行拟合，以获取最佳的平面方程。鉴于空间平面方程的特殊性(观测值存在误差，方程中参数未知)，对于空间平面的拟合，目前大都是基于最小二乘配置原理^[1]。常规的方法就是获取大量的观测数据，将观测值组成系数矩阵，计算方程参数的近似值，依据最小二乘计算参数改正数，从而得到相关参数。但是上述方法不考虑观测值的误差，因此对计算结果有很大影响。本文考虑到观测值误差(系数矩阵存在误差)，加入参数改正，依据总体最小二乘平差(total least squares, TLS)^{[2, 3]}，采用逐步迭代^[4]计算方式获取最佳的平面方程参数值。

激光跟踪仪作为高精度的工业大尺寸测量仪器，凭借其优势已应用于工业制造、设备安装等各个领域。激光跟踪仪有动态测量模式和静态测量模式^[5]，对于其静态模式下的精度可以采用较多的方法进行标定，但是对于动态测量的检定和评定需要靶球在运动状态下进行。因此，本文考虑激光跟踪仪靶球的运动，利用TLS算法拟合平面，计算平面精度，并提出对跟踪仪进行精度评定的参考平面的选择方法。

1 跟踪仪测量原理与空间平面方程

激光跟踪仪采用球坐标测量原理^[5]，如图 1所示，获取水平角观测值α、垂直角观测值β和距离观测值ρ，目标点的空间三维坐标(x, y, z)为：

$ \left\{ \begin{array}{l} x = \rho \cos \beta \cos \alpha \\ y = \rho \cos \beta \sin \alpha \\ z = \rho \sin \beta \end{array} \right. $

(1)

激光跟踪仪采用球坐标原理进行定位，测距精度高于测角精度，其测角误差是影响点位误差的主要因素^[6]，测量点位得到的是三维坐标(x, y, z)，在本文中仅考虑测角和测距的综合影响。

在空间中，平面方程可以写成一般式：

$ Ax + By + Cz + D = 0 $

(2)

根据激光跟踪仪测量原理，空间中平面不可能经过坐标原点(0, 0, 0)，故D≠0，将方程两边同除以D，可得到空间平面方程为：

$ ax + by + cz + 1 = 0 $

(3)

平面外一点(x₀, y₀, z₀)到平面的距离d_i为：

$ {d_i} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} $

(4)

认为空间中测量点都是独立等精度的，在参考平面满足要求的前提下，动态测量的精度参照平面拟合中误差用η代替，即有：

$ \eta = \sqrt {\frac{{{{\sum {{d_i}} }^2}}}{n}} $

(5)

2 平面TLS算法及动态测量精度需求分析 2.1 平面TLS算法原理

利用激光跟踪仪在动态模式下对参考平面上的点位进行测量时，参考平面的放置位置与测量坐标系下平面xoy、xoz、yoz平行的概率近乎为零，因此，式(3) 中未知参数a、b、c都不为零，则有：

$ {\hat z_i} = - \frac{a}{c}{\hat x_i} - \frac{b}{c}{\hat y_i} - \frac{1}{c},i = 1,2, \ldots ,n, 且n \ge 3 $

(6)

空间中确定一个平面至少需要3个点，但是要进行平差计算必须要有多余观测^[1]，即n≥4。这里令$A=-\frac{a}{c} $，$ B=- \frac{b}{c}$，$C=- \frac{1}{c} $，于是有：

$ {\hat z_i} = A{\hat x_i} + B{\hat y_i} + C $

(7)

其中，

$ \left\{ \begin{array}{l} {\hat x_i} = {x_i} + v{\hat x_i}\\ {\hat y_i} = {y_i} + v{\hat y_i}\\ {\hat z_i} = {z_i} + v{\hat z_i} \end{array} \right. $

(8)

式中，x_i、y_i、z_i为观测值；$ v{\hat x_i}$、$v{\hat y_i} $、$ v{\hat z_i}$为观测值改正数。

将式(7) 写成矩阵形式为：

$ \hat {\boldsymbol{L}}=\hat {\boldsymbol{B}}\hat {\boldsymbol{X}} $

(9)

式中，$\hat {\boldsymbol{X}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&B&C \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $；$\boldsymbol{L} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}}& \cdots &{{z_n}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $; $\boldsymbol{V} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {v{{\hat z}_1}}& \cdots &{v{{\hat z}_n}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $; $\hat {\boldsymbol{B}} = \boldsymbol{B} + \Delta \boldsymbol{B} $，其中，

$ \boldsymbol{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}&1\\ {{x_2}}&{{y_2}}&1\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{x_n}}&{{y_n}}&1 \end{array}} \right],\Delta \boldsymbol{B} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {v{\hat x_1}}&{v{\hat y_1}}&0\\ {v{\hat x_2}}&{v{\hat y_2}}&0\\ \vdots &{}& \vdots \\ {v{\hat x_n}}&{v{\hat y_n}}&0 \end{array}} \right] $

构成典型的EIV(errors in variables)^[7]模型有：

$ \boldsymbol{L}+\boldsymbol{V}=[\boldsymbol{B}+\Delta \boldsymbol{B}]\hat {\boldsymbol{X}} $

(10)

平差准则为$\|[\hat {\boldsymbol{B}},\hat {\boldsymbol{L}}]-[\boldsymbol{B},\boldsymbol{L}]\|_2=\min $，‖·‖₂表示矩阵的2范数^[8]。根据TLS迭代法^[8]，得到迭代方程：

$ \left\{ \begin{array}{l} {\hat {\boldsymbol{B}}^{\rm T}}\hat {\boldsymbol{B}}\hat {\boldsymbol{X}} = {\hat {\boldsymbol{B}}^{\rm T}}\boldsymbol{L}\\ \boldsymbol{N}{\hat {\boldsymbol{B}}^{\rm T}} = \boldsymbol{B}^{\rm T} +\hat {\boldsymbol{X}}{\boldsymbol{L}^{\rm T}} \end{array} \right. $

(11)

式中，N=E+$ \hat {\boldsymbol{X}} \hat {\boldsymbol{X}}$^T。然后依照整体最小二乘迭代步骤^[9]进行求解。

1) 根据所测平面上的3个点初次计算未知参数的近似值$ \hat {\boldsymbol{X}}$⁰；

2) 根据观测值L和未知参数的近似值$ \hat {\boldsymbol{X}}$⁰，求系数阵$ \hat {\boldsymbol{B}}$⁰=B，利用式(11) 中的第1个公式计算$ \hat {\boldsymbol{X}}$¹；

3) 利用N=E+$ \hat {\boldsymbol{X}}\hat {\boldsymbol{X}}$^T计算N¹，并将$ \hat {\boldsymbol{X}}$¹、$ \hat {\boldsymbol{B}}$⁰和L代入式(11) 中的第2个公式求解$ \hat {\boldsymbol{B}}$¹；

4) 根据得到的$ \hat {\boldsymbol{B}}$¹，按式(11) 第1个公式得到$ \hat {\boldsymbol{X}}$²。

计算两次得到的参数之差，如果差值大于规定的值，则重复步骤1)~4)，直到满足条件为止。

通过TLS迭代算法得到空间参考平面的方程，并以此方程参数为基准对动态测量模式下测量得到的点位进行精度分析。

2.2 动态测量平面需求分析及精度评定

激光跟踪仪动态测量精度检定和评定所需的平面的平面度要根据仪器的精度进行选定。工业中平面度能达到4 μm，但是这种平面的造价相当昂贵，在满足要求的前提下，不得不选择合适的平面对测量仪器进行检定或标定。本文以徕卡AT901为例，其标称点位精度^[6]为μ₀=±(15 μm+6 μm/m)，对其检定所需的平面进行分析。

假设空间中存在平面度为0的参考平面，在激光跟踪仪动态模式下对其表面进行测量。在只考虑随机误差的条件下，通过最优方法拟合得到平面，则测量点到拟合平面的距离不超过μ₀，否则就认为存在其他误差。因此，根据仪器的标称点位精度，参考平面的平面度为0，对其表面进行测量，推测平面拟合中误差不超过η_max=μ₀。

依据测量中的三倍中误差原理，可以得到对AT901激光跟踪仪进行精度评定所需参考平面的拟合中误差η₀满足如下关系：

$ \eta < \frac{1}{3}{\eta _{\max }} $

(12)

于是，在平均测量距离为3 m的情况下，要用平面对AT901型激光跟踪仪进行检定，代入式(12) 计算得该平面拟合的中误差至少为11 μm。同理，对于标称点位精度μ=±(a μm+b μm/m)的激光跟踪仪，如果要用参考平面对其进行动态测量精度评定，所要求的平面拟合中误差η与激光跟踪仪标称精度存在如下的函数关系：

$ \eta < \frac{1}{3}\left( {a\;\mu {\rm{m}} + b \times D\;\mu {\rm{m}}} \right) $

(13)

式中，D为平面上点到坐标原点的平均距离，单位为m。

2.3 平面拟合

激光跟踪仪在正常工作状态下具有较高的内符合精度，稳定性好^[10]。在对平面进行动态测量时，需要人移动靶球，这就不可避免地存在误差，本文利用减慢靶球移动速度和加大力度的方法减少该项误差。利用参考平面的方法对激光跟踪仪动态测量进行检定和精度评定^[11]。该方法同样适用于静态测量。

在算法分析时，采用实测平面数据，以此来验证TLS算法对平面拟合和仪器检定、精度评定所需参考平面确定方法的可行性。本文以徕卡AT901型激光跟踪仪进行计算分析，实验数据如表 1所示。

首先利用本文所提出的平面拟合的TLS算法对实验数据进行处理，通过两次迭代得到的平面方程为：

$ -1.971\;5x+0.749\;8y+0.193\;9z+10^6=0 $

(14)

利用式(4)、式(14) 计算每个点到拟合参考平面的距离，计算结果如表 2所示。然后根据式(5) 及表 2中数据计算参考平面的拟合中误差η₁=0.056 369 mm。

为了进一步验证本文TLS算法拟合平面的可行性，利用现有的商业软件SA重新对实验数据进行处理，计算得到每个点到拟合平面的距离如表 3所示。

同理，根据式(5) 对SA软件拟合平面的精度进行分析计算，得到η₂=0.056 372 mm。

对比两种平面拟合方法的精度可以看出，μ₁与μ₂相差不大，可见，利用本文提出的平面拟合的TLS算法所计算的结果具有很高的精度，具有可行性。

2.4 测量平面的要求

本次测量平面到跟踪仪坐标原点的距离大约为D=4.5 m，根据式(5) 计算得到所要求的拟合中误差η=14 μm，并且η>η₁。因此，本文实验过程所测量的平面不能够满足AT901型激光跟踪仪动态测量精度评定的要求。假设采用理想平面(平面度不为0)，模拟数据如表 4所示。

采用本文中的TLS算法对参考平面进行拟合，得到平面拟合中误差η₃=4.5 μm，并且η₃＜η。可见，采用模拟参考平面能够满足AT901型激光跟踪仪动态测量精度评定的要求。

3 结束语

本文主要针对激光跟踪仪动态测量的检定和精度评定，提出了利用空间平面进行标定的方法；在数据处理过程中，对空间直线拟合的TLS迭代法^[2]进行改进，将其成功应用于空间平面的拟合，并得到很高的精度；对平面度为0的参考平面和激光跟踪仪的标称点位精度进行分析，在只考虑随机误差的条件下，得出了平面η＜$ \frac 13$(a μm+b×D μm)的选用标准。因获取高精度参考平面比较困难，本文没有对满足条件的参考平面进行实测，只从理论上论证了该方法的可行性，在以后的工作中将会对精度评定方法做进一步的研究。