全球定位导航系统(GPS)已广泛应用于生活与工作的各个领域，如何提高导航定位精度，一直是学者的研究热点，而周跳^[1]探测与修复则是高精度的GPS定位的核心问题之一。目前已有的周跳方法主要有多项式拟合法、差分法、多普勒频移法、电离层残差法、滤波方法和站间或站星间差分法等^[2]。这几种方法各有优缺点，采用何种方法要根据具体的情况而定，也可以采用几种方法来联合处理周跳。

1999年1月25日, 美国副总统以文告形式提出GPS现代化概念，其中最为重要的一项即增加了第3民用信号L₅，从而为周跳探测提供了更多的线性组合方式，基于3个频率构成的组合观测值的优点即在于可以形成具有更长波长、更小噪声、更小电离层影响等优良特性的组合观测量，这将对于周跳的监测和修复带来更大的便利条件。本文研究了三频伪距相位组合周跳探测与修复模型，并用实例进行了验证。

1 三频组合观测值

在不考虑钟差、多路径误差、对流层误差等各种误差项的基础上，载波相位观测方程的最简形式可以写为：

$ {\varphi _i} = \frac{\rho }{{{\lambda _i}}} - {N_i}(i = 1, 2, 3) $

(1)

式中，ρ为站星距离；N_i为整周模糊度；φ_i为以周为单位的载波相位观测值。组合观测方程^[2]为：

$ {\varphi _{\rm{c}}} = \frac{\rho }{{{\lambda _c}}} + N + \frac{{i + \frac{{77}}{{60}}j + \frac{{154}}{{115}}k}}{{i + \frac{{60}}{{77}}j + \frac{{115}}{{154}}k}} \bullet \frac{1}{{{\lambda _c}}} \bullet {V_{ion}} + \frac{{{V_{trop}} + \delta r + {m_i} + {n_i}}}{{{\lambda _c}}} $

(2)

式中，λ_c为波长；V_ion为电离层误差；V_trop为对流层误差；δ_r为卫星轨道误差；m_i为观测噪声误差；n_i为多路径误差。

2 组合观测系数的筛选

在GPS测量中，具有实际意义的组合是要求能保持整周模糊度的整数特性，具有适当的波长，具有较小的电离层折射误差的影响，具有较小的观测噪声影响的组合。当(i, j, k)均为整数时，可以保证整周模糊度的整数特性，为此，可根据适当的波长、弱电离层误差、较小观测噪声3个标准来选取组合系数^[2]。

根据上述原理，利用C⁺⁺编制程序实现组合观测值系数的选取。表 1中从左到右各个参数分别代表的意义为：组合系数i、j、k, 组合频率f_c, 组合波长λ_c, 组合波长λ_c与L₃波长比α_λ，组合电离层误差V_ionc, 组合电离层误差和单个电离层误差的比α_ion，观测噪声σ_c，历元差后的模糊度误差σ_ΔN。假设波长为W_bc，电离层误差为w_c。计算过程中, 将L₁电离层误差假设为V_ion1=0.3 cm，将观测噪声假设为σ_L=0.002 m。

通过C⁺⁺编制程序进行筛选，筛选标准为：(4 & & α_ion < α_λ < 100 & & σ_ΔN < 0.3)‖(30 & & α_ion < α_λ < 300 & & σ_ΔN < 0.3)‖(3 & & fabs (w_c) < W_bc < 0.1 & & σ_ΔN < 0.3)), 共选出了40组符合标准的组合, 再对这40组系数的组合进行人为筛选，去除一些成比例的组合，如(0，1，-1)、(0，2，-2)、(0，3，-3)等。综合各种误差一起考虑，最有意义的组合系数列表见表 1。

从表 1中可以得到很多波长长、电离层误差影响弱、观测噪声小的组合，如(0, 1，-1)、(-3, 1, 3)、(3, 0，-4)、(-1, 8, -7)、(-2，-7, 10)、(7，-8，-1)、(1，-6, 5)等，每种组合虽然不能在每一种条件下都能达到最优，但每一种组合都有其自身的优点，或组合波长很长，或电离层误差很小，可以在不同的使用条件下进行组合系数的选择。

3 三频载波伪距组合观测值探测周跳原理

根据上文所述各个观测值的表达式，当单个组合观测值的模糊度在两历元间相减时，便可得到历元间模糊度的差值^{[3, 4]}：

$ \begin{align} & \Delta {{N}_{c}}\bf{=}{{\mathit{N}}_{\mathit{c}}}{{\mathit{t}}_{\rm{2}}}-{{\mathit{N}}_{\mathit{c}}}{{\mathit{t}}_{\rm{1}}}\bf{=}[{{{\tilde{\varphi }}}_{\mathit{c}}}({{\mathit{t}}_{\mathit{2}}})-{{{\tilde{\varphi }}}_{\mathit{c}}}({{\mathit{t}}_{\mathit{1}}})]- \\ & [\frac{R({{t}_{2}})-R({{t}_{1}})}{{{\lambda }_{c}}}]-[{{V}_{\rm{ionc}}}(t+1)-\\ & {{V}_{\rm{ionc}}}(t)]+[\delta (t+1)-\delta (t)] \\ \end{align} $

(3)

式中，δ(t)代表随机噪声的影响，其影响在历元间求差后可以忽略；其他符号同前所述。当历元间未发生周跳时，该值应为一平稳的常数序列，取值接近0，当在某一历元发生周跳时，组合观测值的模糊度也会相应发生变化，变化值的大小为跳变的周数和该载波上组合系数的乘积。

利用式(3)所求出的是组合周跳的大小，为分离出周跳发生的频率和真正的值，需利用不同的观测组合分别进行解算，再通过联立方程组的形式求得周跳发生的频率和大小，具体方程如下^[5]，若

$ \left\{ \begin{array}{l} {\varphi _{{\rm{c}}1}} = {i_1}{\varphi _1} + {j_1}{\varphi _2} + {k_1}{\varphi _3}\\ {\varphi _{{\rm{c2}}}} = {i_2}{\varphi _1} + {j_2}{\varphi _2} + {k_2}{\varphi _3}\\ \Delta {\varphi _{{\rm{c3}}}} = {i_3}{\varphi _1} + {j_3}{\varphi _2} + {k_3}{\varphi _3} \end{array} \right. $

(4)

则

$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta {N_{{\rm{c}}1}} = {i_1}{N_1} + {j_1}{N_2} + {k_1}{N_3}\\ \Delta {N_{{\rm{c2}}}} = {i_2}{N_1} + {j_2}{N_2} + {k_2}{N_3}\\ \Delta {N_{{\rm{c3}}}} = {i_3}{N_1} + {j_3}{N_2} + {k_3}{N_3} \end{array} \right. $

(5)

其中，等号左边代表3种组合探测到的值经四舍五入得到的结果；等号右边为发生在每个频率上的周跳分别和相应频率上的组合值系数的和。通过求解该方程组，即可得到发生在每个频率上的周跳。

经计算，发生在每个频率的周跳为^[6]：

$ \left\{ \begin{array}{l} {N_1} = 31\Delta {N_{{\rm{c}}1}} + \Delta {N_{{\rm{c2}}}} - 4\Delta {N_{{\rm{c3}}}}\\ {N_2} = 24\Delta {N_{{\rm{c}}1}} + \Delta {N_{{\rm{c2}}}} - 3\Delta {N_{{\rm{c3}}}}\\ {N_3} = 23\Delta {N_{{\rm{c}}1}} + \Delta {N_{{\rm{c2}}}} - 3\Delta {N_{{\rm{c3}}}} \end{array} \right. $

(6)

结合误差传播定律，可得到周跳的估计精度计算方法为：

$ \mathit{\sigma }_{\Delta {\mathit{N}_\mathit{c}}}^{\rm{2}} = {\rm{2}}\mathit{\sigma }_{{\mathit{\varphi }_\mathit{c}}}^{\rm{2}} + {\rm{2}}\frac{{\mathit{\sigma }_\mathit{p}^{\rm{2}}}}{{\mathit{\lambda }_\mathit{c}^{\rm{2}}}} + {\rm{2}}\mathit{V}_{{\rm{ionc}}}^{\rm{2}} $

(7)

其中，取σ_Δp=30 cm，程序解算求得组合观测值噪声σ_φc、组合电离层噪声V_ionc后，便可得到每一种组合方式的周跳估计精度，以周为单位的各个组合的周跳估计精度σ_ΔN已在表 1中列出，在实际计算过程中，可以取4倍的标准差作为阈值来进行判断。

模型利用组合模型的选取标准，本例中选取的是(0, 1，-1)、(-3, 1, 3)、(-1，8，-7)这3种组合，3种组合各量的特性如表 2所示。

4 实例分析

在本例中，对于伪距的计算采用的是3种频率上伪距的平均值，程序实现中的公式表达式为^[7]：

$ \begin{array}{l} \Delta {N_c} = [a\Delta {\varphi _1}({t_2}-{t_1}) + b\Delta {\varphi _2}({t_2}-{t_1}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c\Delta {\varphi _5}({t_2}-{t_1})] - [(\Delta {R_1}({t_2}-{t_1}) + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta {R_2}({t_2}-{t_1}) + \Delta {R_5}({t_2}-{t_1}))]/(3{\lambda _c}) \end{array} $

(8)

图 1为原始未加入周跳观测值在经过三频组合后3种组合方式下的检验量波动图，从该图可以看出，(0，1，-1)、(-3，1，3)、(-1，8，-7)这3种组合方式分别在0.1~0.2、0.1~0.25、-0.1~0.15范围波动，波动程度相对比较平稳。

图 2为分别在L₁、L₂上加入了1周、2周的周跳后(0，1，-1)、(-3，1，3)、(-1，8，-7)的3种组合方式的探测结果，从结果中可以看出，当周跳不存在时，三频数据探测结果应为在很小范围内波动的序列，对该结果进行四舍五入，得3种情况下的探测量结果分别为(2, -1, 15)，计算可得L₁、L₂上的周跳分别为(1, 2)周，正好与实际加入周跳相符，说明探测结果正确。

经验证，该方法不仅能探测到小周跳，可以弥补高次差法和相位减伪距法无法探测小周跳的不足；可以探测到9:7的周跳，并且能够分离出发生在每一个频率上的周跳的大小，弥补了电离层残差法中不能分离周跳和不能探测到9:7周跳的不足；而且该方法能够探测到f₁、f₂频率发生的1:1的周跳，弥补了宽巷减伪距法无法探测等周周跳的不足。图 3显示的是通过C⁺⁺编制程序，分别在50历元、60历元、70历元的f₁、f₂频率上加入了(1, 2)、(9, 7)、(40, 40)周的周跳后的探测结果输出。