现实生活中, 地表建筑物往往会受到各种外力影响, 从而产生变形。沉降预测对变形监测是相当重要的, 可确保建筑物安全, 减少和避免不必要的损失。目前常用的预测方法有: 灰色模型、时间序列模型、人工神经网络等。灰色模型具有算法简单、能够处理残缺信息^[1]、所需数据量小等优势, 但后效性较大, 预测值存在沿原趋势的惯性; 时间序列模型精度高, 但是要求序列零均值且足够平稳, 对数据样本量要求较高; 人工神经网络精度较前两者更高, 工程中较为常用, 但是需要考虑到建筑物所处区域的多方面因素, 对建模者专业知识要求高, 算法复杂。黄传胜使用基于时间序列的BP神经网络预测深基坑沉降, 中长期预测精度较佳, 然而这需要找准大量影响因素, 且工程初期数据量无法达到模型要求^[2]; 张振勇用灰色模型拟合序列的趋势项, 用时序模型拟合序列的波动项, 组合模型在仅具有少量数据的条件下取得了较好的沉降预测效果^[3]。马尔科夫链(Markov Chain)仅关注现在状态的影响, 具有无后效性, 常与时间序列、灰色模型组合使用。本文提出了一种状态区间取值修正方法, 消除了一部分状态区间划分误差, 提高了马尔科夫链的可靠性。与灰色模型、残差修正灰色模型、修正前的组合模型对比的结果表明, 该方法具有可行性, 精度有较大提升。

1 改进的灰色-马尔科夫链组合模型的建立 1.1 灰色模型

传统GM(1, 1)总体思路是根据已知实测数据构建原始序列、累加序列和紧邻均值序列, 解求模型参数, 累减后得到预测值序列。过程如下:

1) 将不等时距的观测数据通过线性插值^[4]得到等时距数据序列X⁽⁰⁾。

2) 由原始序列X⁽⁰⁾一次累加得到1-AGO序列X⁽¹⁾和紧邻均值序列Z⁽¹⁾。

3) 最小二乘估计灰参数a、u^[5]。

4) 计算预测值累加序列$ {\hat{X}}^{\left(1\right)} $。

5) 累减还原预测值序列$ {\hat{X}}^{\left(0\right)} $:

$ {\hat{X}}^{\left(0\right)}=\left\{{x}^{\left(0\right)}\left(1\right), {\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(2\right), {\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(3\right), \dots , {\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(n\right)\right\} $

(1)

式中, $ {\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)={\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left(1-{e}^{a}\right)\left({x}^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}\right){e}^{-ak} $, 当k < n时, 为模型模拟值; k=n时, 为模型滤波值; k > n时, 为模型预测值^[6]。

1.2 灰色模型残差修正

当用于灰色模型建模的数据较多时, 一般采用残差修正的方法, 由较新数据的残差建立灰色模型, 将残差预测值用于模型修正, 改善模型精度。具体步骤如下:

1) 由残差构建原始序列V⁽⁰⁾:

$ {V}^{\left(0\right)}={\hat{X}}^{\left(0\right)}-{X}^{\left(0\right)} $

(2)

一般仅取接近预测时刻的[n/2]期数据。

2) 按照§1.1的建模步骤, 得到残差预测值序列$ {\hat{V}}^{\left(0\right)} $。

3) 计算残差修正后的模型预测值序列$ {\hat{X}}_{1}^{\left(0\right)} $。

1.3 状态区间取值修正改进的马尔科夫链模型

马尔科夫链具有无后效性, 即已知过去t₁-t_n-1和现在t_n时刻状态的条件下, 将来t_n+1时刻状态仅依赖于现在t_n时刻状态, 而与过去t₁-t_n-1时刻状态无关^[7], 具体实现过程如下:

1) 由§1.2得到模型预测值曲线γ'(k), 在曲线的上部和下部, 依据已知数据的相对误差绘制折线图, 划分状态区间(图 1), 由此构造出条形带状区域, 每一区域代表一个状态^[8]。

2) 计算转移概率矩阵: 一步转移概率矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{P}}}^{\left(1\right)} $表达任意时刻到相邻时刻状态的转移概率。

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}}^{\left(1\right)}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_{11}}} & \cdots & {{p_{1n}}}\\ \vdots & {} & \vdots \\ {{p_{n1}}} & \cdots & {{p_{nn}}} \end{array}} \right] $

(3)

n步转移概率矩阵可用来表达任意时刻到n步后时刻状态的转移概率^[13]。

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}}^{\left(n\right)}={\mathit{\boldsymbol{P}}}^{{\left(1\right)}^{n}} $

(4)

3) 根据状态区间为组合模型预测值$ {\hat{\gamma }}^{'}\left(k\right) $取值:

$ {\hat{\gamma }}^{'}\left(k\right)=\frac{{\mathrm{\gamma }}^{'}\left(k\right)}{1+\frac{{f}_{1}M+{f}_{2}N}{{f}_{1}+{f}_{2}}} $

(5)

式中, M, N取相对误差作为区间左右端点, $ {f}_{1} $, $ {f}_{2} $为区间两端的权值, 传统马尔科夫链取$ {f}_{1}={f}_{2}=0.5 $, 其$ {\hat{\gamma }}^{'}\left(k\right) $取值为: $ {\hat{\gamma }}^{'}\left(k\right)=\frac{{\mathrm{\gamma }}^{'}\left(k\right)}{1+\frac{M+N}{2}} $。

4) 状态区间修正: 考虑到测量数据误差的不确定性以及系统中各种影响因素的作用, 各个状态区间中的数据(本文取相对误差)往往不会均匀地分布, 甚至会出现聚集在某一区间端点附近的情况。因此, 本文提出状态区间取值修正改进的方法, 具体如下: 计算转移概率矩阵的同时, 记录数据在状态区间中的位置; 根据数据位置确定区间两端的权值:

对于Q_i状态区间[M_i, N_i]中的数据平均位置L_i(距左端点的距离), 有:

$ {L}_{i}=\frac{1}{{n}_{i}}\sum\limits _{j=1}^{{n}_{i}}({x}_{j}-{M}_{i}) $

(6)

左、右两端权值f₁、f₂:

$ {f}_{1}=\frac{{L}_{i}}{{N}_{i}-{M}_{i}} $

(7)

$ {f}_{2}=1-{f}_{1} $

(8)

式中, n_i为被划分为Q_i状态的数据个数, x_j为Q_i状态中的数据, M_i、N_i为Q_i状态区间左、右端点。

1.4 改进的灰色-马尔科夫链组合模型的建立流程

依据上述原理, 基于状态区间取值修正的灰色-马尔科夫链组合模型构建流程如图 2所示。

2 工程应用与效果分析

本文选取了某建筑物连续15期实测累计沉降量数据(见表 1), 用1~10期进行建模预测11~15期的累计沉降量, 并与实测进行比较。

2.1 状态区间取值修正的灰色-马尔科夫链组合预测模型的构建

按照§1.4的流程, 取1~10期数据建模。其中, 根据相对误差划分状态区间如下: Q₁∈[0.010, 0.050], Q₂∈[0, 0.010], Q₃∈[-0.010, 0], Q₄∈[-0.020, -0.010]。1~10期的相对误差状态分布情况如表 2所示, 平均位置及权值如表 3所示。

2.2 结果分析与比较

为了说明本文模型的有效性, 选取了灰色模型、残差修正灰色模型、灰色-马尔科夫链组合模型与其比较, 经过计算, 各模型11~15期预测值结果如表 4和图 3所示。

结合图 3和表 4可知, 本文模型预测曲线最接近实测, 相对误差比其他三者小, 精度最高。进一步分析可以看出, 马尔科夫链对灰色模型有较好的修正效果, 而状态区间修正则是在马尔科夫链的基础上作进一步修正, 对精度有一定的改善。

3 结束语

为减小状态区间划分和以往传统灰色-马尔科夫链取值的误差, 本文提出了一种状态区间取值修正方法, 并依此构建了基于状态区间取值修正的灰色_马尔科夫链组合模型。建筑物沉降量实际数据和不同模型预测的对比结果显示, 修正后的组合模型精度更高, 说明了该方法的实用性。