随着GNSS的发展，现代化之后的GPS、BDS等已经开始三频信号的发射，其中北斗是目前唯一全星座提供三频信号的卫星导航系统^[2]。研究表明，使用三频信号可以提高定位精度、加快模糊度解算，但由于北斗卫星三频载波相位观测值中存在明显的不一致性，导致利用B₁/B₂观测值生成的精密卫星钟差产品并不适用于基于B₁/B₃观测值的精密单点定位(precise point positioning, PPP)，即采用不同频率组合观测的卫星钟差间存在一定差异^[1]。由于这种不一致性最终会引入到卫星钟差中，因而这种不一致性称作卫星钟差频间偏差(inter-frequency clock bias, IFCB)。

Montenbruck等^{[3, 4]}提出采用最小二乘，多次模拟计算得到卫星钟差频间偏差(IFCB)和模糊度的大概解。Hauschild等^[5]对日本QZSS卫星系统的IFCB进行了特性分析，发现其具有系统性和周期性。最小二乘可以估计求得IFCB，但是比较费时并且因为要计算模糊度所以算法比较复杂，对此，李浩军等^[1]提出了历元间差分(epoch-differenced, ED)及历元和卫星双差(satellite-and epoch-differenced, SDED)模型。另外，还有太阳-地球-卫星模型^[6]和高阶谐波函数模型^[7]，它们是根据地球的运动规律提出的经验模型。本文利用全球分布的5个测站连续两周的观测数据对北斗地球静止轨道(GEO)卫星和倾斜地球同步轨道(IGSO)卫星以及中地球轨道(MEO)卫星中的IFCB进行了特性分析^[8]，并将前一天数据计算得到的IFCB改正值用于第二天基于B₁/B₃的北斗精密单点定位，比较了其定位精度的变化情况。考虑到低高度角的观测噪声比较大，本文通过降权来减弱其影响。

1 卫星钟差频间偏差估计方法

卫星s和测站r间的三频相位观测方程为^[9]：

$\begin{matrix} {L_r^s(K) = \rho + T + c{\text{d}}{t_r} + ( - c{{\text{dt}}^s} + {b^s}) -} \\ { {I_1} \cdot f_1^2/f_K^2 + {\text{const}} = \rho + T + c{\text{d}}{t_r} - c\overline {{\text{d}}{t^s}} - } \\ {{I_1} \cdot f_1^2/f_K^2 + {\text{const}}} \\ \end{matrix} $

(1)

式中，ρ是站星距; T是对流层延迟; cdt_r是接收机钟差; 而cdt^s是卫星钟差，能和卫星误差b^s一起归为$c\overline {{\text{d}}{t^s}} $; I₁是B₁信号的电离层延迟; f为相应信号频率; const为相应载波相位模糊度。

在频率i和j之间的电离层自由组合测量为：

$ \begin{gathered} {\text{IF}}({B_i}, {B_j}) = \frac{{f_j^2}}{{f_j^2 - f_i^2}} \cdot {B_j} - \frac{{f_i^2}}{{f_j^2 - f_i^2}} \cdot {B_i} \\ = \rho + T + c{\text{d}}{t_r} - c\overline {{\text{d}}{t^s}} (i, j) + {{\text{const}}_{if}} \\ \end{gathered} $

(2)

式中, B_i为相应i频率的相位观测值; B₁、B₂和B₃频率上的观测值可以组成不同的消电离层组合; B₁/B₂和B₁/B₃消电离层相位组合观测值作差，可以消除几何距离和对流层延迟参数，只剩下模糊度项和卫星钟差频间偏差。差分的消电离层组合(differenced ionosphere-free, DIF)观测值为^[3-4]：

$\begin{matrix} {{\text{DIF}}({B_1}, {B_2}, {B_3}) = {\text{IF}}({B_1}, {B_2}) - {\text{IF}}({B_1}, {B_3}) =} \\ {{\text{IFCB}} + {{\text{const}}_{1, 2}} - {{\text{const}}_{1, 3}}} \\ \end{matrix} $

(3)

$ {\text{IFCB}} = - c\overline {{\text{d}} {t^s}} (1, 2) + c\overline {{\text{d}}{t^s}} (1, 3) $

(4)

式中，const_{1, 2}和const_{1, 3}分别表示B₁/B₂和B₁/B₃消电离层组合观测值中的模糊度项; $c\overline {{\text{d}}{t^s}} (1, 2)$和$c\overline {{\text{d}}{t^s}} (1, 3)$分别表示基于B₁/B₂和B₁/B₃消电离层组合观测值得到的卫星钟差; IFCB即为卫星钟差频间偏差。

根据式(3)、式(4)，参照卫星钟差产品的生成过程，即可估计得到IFCB^{[3, 10]}。

$ \text{IFCB}=\text{DIF}({{B}_{1}}, {{B}_{2}}, {{B}_{3}})-\text{cons}{{\text{t}}_{1, 2}}+\text{cons}{{\text{t}}_{1, 3}} $

(5)

假设相邻两个历元没有周跳发生，那么历元间作差就可以把式(5)中的模糊度项消除^[2]。对于相邻两个历元m和m-1，差分公式如下：

$ \Delta \text{IFCB}(m)=\text{DIF}({{B}_{1}}, {{B}_{2}}, {{B}_{3}})(m)-\text{DIF}({{B}_{1}}, {{B}_{2}}, {{B}_{3}})(m-1) $

(6)

式中，“Δ”表示历元间差分操作; ΔIFCB是历元间差分的IFCB。

IFCB与时间和卫星相关^[2]，而后面实验发现，IFCB与测站位置不相关，理论上对于所有测站ΔIFCB(m)均应相等，但实际因为观测噪声的存在有所差异，不同测站解算的结果不完全一致。为了提高解的可靠性，降低不可靠性观测带来的影响，一方面可以增加参考网中测站数量求平均；另外可以采取加权的方法，根据实验研究，当高度角低于40°时，观测噪声开始明显增大，为了削弱低高度角观测值噪声的影响，对其ΔIFCB值进行降权。其权的形式如下：

$ w=\left\{ \begin{align} &\sin E\ \ E<{{40}^{\circ }} \\ &\ \ 1\ \ \ \ E\ge {{40}^{\circ }} \\ \end{align} \right. $

(7)

式中，E是卫星的高度角; w是各测站ΔIFCB对应的权值。

假设参考网中有n个测站，对各测站得到的ΔIFCB(m)(k=1~n)加权取平均，即可得：

$ \Delta \text{IFCB}(m)={\sum\limits_{k=1}^{n}{(\Delta \text{IFCB}{{(m)}_{k}}}\cdot {{w}_{k}})}/{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{w}_{k}}}}\; $

(8)

假设第一个历元的IFCB为零，那么第m个历元的IFCB可以表示如下：

$ \text{IFCB}(m)=\sum\limits_{t=2}^{m}{\Delta \text{IFCB}(t)} $

(9)

为解决第一个历元IFCB值不确定这个问题，由IFCB的周期性和随机性两个特性，引入了一个限制条件，即IFCB所有历元都添加一个系统常数，以使得一个周期内所有历元的IFCB之和为零。假设一周期内有p个历元，那么第m个历元最终的IFCB可以按如下求得：

$ \overline{\text{IFCB}}(m)=\text{IFCB}(m)-{\left( \sum\limits_{\text{t=1}}^{\text{p}}{\text{IFCB(t)}} \right)}/{p}\; $

(10)

由此获得的IFCB可能所有历元均含有一个常数偏差，不同周期该常数偏差可能还存在一定差值。在PPP浮点解中，该偏差会被模糊度参数吸收，并不受影响；但在PPP固定解中，会影响整周模糊度的固定。

2 IFCB数据计算及对定位精度影响分析 2.1 IFCB与测站位置相关性分析

为了考察IFCB与测站位置的相关性，同时考虑目前北斗的覆盖区域仍限于亚太地区，为观测到尽可能多的北斗卫星，本次实验从全球MGEX(Multi-GNSS Experiment)测站选取5个在2015年11月1日的数据进行分析。测站分布信息如图 1所示，且均装有“Trimble NetR9”型GNSS接收机，可以提供北斗B₁、B₂、B3三频数据，观测数据的采样间隔是30 s，截止高度角设为10°。

进行相关性分析前，首先需对观测数据进行预处理^[11]，并使用三频观测值进行周跳探测与修复^[12]，继而通过对卫星连续观测历元的DIF求平均近似得到模糊度项，由各历元DIF减去DIF平均值后，即可粗略得到IFCB^[4]。但是上述方法只能获得相对的DIF，并且各测站对同一颗卫星跟踪时间长短不一致，导致不同测站相同卫星同一历元的IFCB不同。为了便于对比分析，在各卫星连续观测历元弧段的IFCB中均加入了一个常数偏差，使得不同测站相同卫星相同历元的IFCB差异最小。求取图 1中5个测站各卫星的IFCB，除去北斗系统中未使用的试验卫星和失控卫星，总共考虑13颗卫星，结果如图 2所示。

从图 2中可以看出，除了G3、IGSO2、IGSO3卫星外，不同测站GEO和IGSO卫星的IFCB变化趋势一致，表明这些卫星的IFCB高度相关。而其他卫星相关性较低，特别是MEO卫星，表现为随机噪声特性，解算的IFCB值断断续续不具有连续性且没有明显的周期性，可能是由于其IFCB趋势项并不明显，而噪声误差占优造成的。而噪声和高度角密切相关，对同一个测站而言，在卫星运行的一个周期内不同时段高度角不同，另外测站纬度越高，观测同一颗卫星为低高度角的时间相对越长，这体现在图 2中误差项有一定的时间性，由G3、IGSO2、IGSO3卫星的结果可以看出，5个测站中JFNG和CUTO测站噪声影响最大。

综上分析可知，IFCB与时间和卫星相关，而与测站位置本身无关，为了削弱低高度角带来的影响，可以采取降权处理，从而证明本文的方法是可行的。

2.2 IFCB数值估计与特性分析

利用本文提出的加权历元间差分方法对IFCB进行数值估计，实验采用2015年11月1日~14日数据，因为MEO卫星计算得到的IFCB都不具有连续性及周期性，故不考虑，得到剩余10颗北斗卫星的IFCB，如图 3所示。

从图 3中可以看出，加常数调整后的IFCB都在-4~4 cm之间变化。从图 3还可以看出大部分GEO和IGSO卫星IFCB呈明显的周期性变化，而G3、IGSO2及IGSO3的结果周期性不明显，需要进一步测试分析。

为了进行定量分析，统计了图 3中GEO和IGSO卫星IFCB的RMS值，结果如表 1所示。从表中可知，所有卫星IFCB的RMS值均小于2 cm。其中，IGSO2与IGSO3卫星IFCB最小，其RMS值约为0.3 cm；而G1、G4、G5与IGSO1卫星IFCB较大，其RMS值均大于1.3 cm。

2.3 IFCB对定位精度影响分析

考虑到IFCB具有良好的周期性，如图为24 h左右，因而可以利用前一天数据计算得到的IFCB，对第二天观测数据进行改正，从而提高定位精度。为了测试IFCB对定位性能的改善情况，采用以下3种策略进行北斗PPP：

策略1  使用B₁/B₃载波相位观测值；

策略2  使用B₁/B₃载波相位观测值，利用前一天数据计算得到的IFCB对G1、G4、G5、G6、IGSO1、IGSO4、IGSO5观测值进行改正，其他卫星观测值降权处理；

策略3  使用B₁/B₂载波相位观测值。

为了排除伪距中偏差的影响，北斗PPP并没有使用伪距观测值。为了解决接收机钟差与模糊度参数秩亏的问题，将伪距单点定位计算得到的接收机钟差作为先验约束。依此计算了每组数据最后15 min定位误差的RMS值，然后求其平均值进行，统计结果如表 2所示。

由表 2可以看出，不同频率组合适用于不同的应用场合，相较于B₁/B₃而言，明显B₁/B₂双频组合定位误差低更适用于精密单点定位；采用B₁/B₃消电离层组合观测值进行IFCB改正后，5个测站的定位精度比改正前有1.74 cm~2.38 cm的提高，但和直接基于B₁/B₂观测值的PPP相比，定位精度较低，表明仍然有部分IFCB没有改正。

3 结束语

本文总结了Montenbruck和李浩军等的理论模型^{[1, 3]}，针对低高度角观测噪声的影响，在历元间差分基础上提出一种加权的方法并对其进行了验证。实验先是考察IFCB与测站位置的相关性，继而利用5个测站连续14 d的观测数据对GEO卫星和IGSO卫星IFCB特性进行分析。其结果显示：

1) IFCB与时间和卫星有关，与测站无关；

2) 部分GEO卫星、IGSO卫星IFCB具有明显的周期性，其相邻两天的IFCB高度相关；

3) 相应卫星IFCB振幅在4 cm以内变动，其均方根误差(RMS)小于2 cm；

4) 将前一天数据计算得到的IFCB值用于第二天基于B₁/B₃观测值的北斗精密单点定位，虽然不及直接使用B₁/B₂的单点定位精度，但定位精度有显著改善，为用三频相位改正钟差偏差提供了基础。