断面流量的实时估计一直是水文部门关注的热点问题之一。长期以来，断面流量借助声学多普勒流速剖面仪 (acoustic Doppler current profilers, ADCP) 走航测定，虽具有流量估计精度高的特点，但存在实效性差、磁罗经不准等不足^{[1, 2]}。指标流速法借助断面流速分布特点，结合断面面积，可以实现流速的精确估计，是一种很好的断面流量实时估计解决方案^[3]。赵建虎等人对指标流速法进行了改进，借助2个座底ADCP观测的平均流速，通过构建定点平均流速与断面平均流速模型，实现了断面流量的实时估计。同时指出，在由主槽和滩地组成的复式河槽，若能了解断面流速的分布规律，基于几个定点流速则可以实现流量的实时估计^[4]。因此，开展河槽的流速横向分布研究对于断面流量的实时准确估计具有重要的作用。

天然河道多为复式河槽，洪期水流覆盖滩地形成漫滩水流，主槽与滩地间动量交换改变了流速在主槽与滩地的分布。受河床地形、摩擦力等影响，断面位置会产生二次流，严重影响断面流速分布规律^[5-9]。为此，国内外学者开展了大量研究。Shiono和Knight^[5]考虑了明渠顺直河道复杂断面水流，推导出了水深平均流速和边界剪切应力适应于任意形式河槽的解析模型，即SKM模型，并给出了二次流项估计模型，但是忽略了边坡。Ervine等人^{[10, 11]}从纳维斯托克斯方程出发，用K倍断面平均流速平方代替二次流项，并给出了顺直河道K取值范围，但对于不同河段K值如何确定不明确。杨中华等人^[12]在Ervine研究的基础上对K在不同复式河槽断面形态下的变化特点进行了研究，但仍未明确K的确定方法。若能实现二次流的精确估计，即基于SKM模型实现断面流速的分布变化模型的确定，进一步提高模型估计精度，因此有必要对模型借助少量观测流速进行精化。为此，本文提出了顾及二次流及定点流速的顺直河槽流速横向分布模型高精度构建方法。

1 断面流速分布简化模型推导

二次流是影响断面流速的重要因素，二次流SKM估计模型^[5]为：

$ \begin{align} &\ \ \ \ \rho gHJ-\frac{1}{8}\rho fU_{d}^{2}{{(1+\frac{1}{{{s}^{2}}})}^{\frac{1}{2}}}+ \\ &\frac{\partial }{\partial y}\{\rho \lambda {{H}^{2}}{{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}{{U}_{d}}\frac{\partial {{U}_{d}}}{\partial y}\}=\frac{\partial H{{(\rho \overline{U}\overline{V})}_{d}}}{\partial y} \\ \end{align} $

(1)

式中，ρ为水的密度；g为重力加速度；J为河床坡度；H为水深；s为边坡系数；f为达西-魏斯巴赫摩擦系数；U_d为水深平均流速；λ为涡流粘度系数；y为垂直于河道方向。等式右侧为二次流项，左侧依次为重力驱动项、边壁阻力项、紊动扩散项。

本文基于二次流项与重力驱动项的假设，设K为二次流系数，则有：

$ \frac{\partial H{{(\rho \overline{U}\overline{V})}_{d}}}{\partial y}=K\rho gHJ $

(2)

将式 (2) 代入式 (1) 得：

$ \begin{align} &\ \ \ \ \ -\frac{1}{8}\rho fU_{d}^{2}{{(1+\frac{1}{{{s}^{2}}})}^{\frac{1}{2}}}+ \\ &\frac{\partial }{\partial y}\{\rho \lambda {{H}^{2}}{{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}{{U}_{d}}\frac{\partial {{U}_{d}}}{\partial y}\}=(K-1)\rho gHJ \\ \end{align} $

(3)

1) 当在主槽或者滩地，水深H为常数时，坡度系数s=0，令U=U_d²，对式 (3) 简化为：

$ \frac{1}{8}fU-\frac{1}{2}\lambda {{H}^{2}}{{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{y}^{2}}}=(1-K)gHJ $

(4)

2) 在边坡时，水深Φ=H-(y-b)/s随边坡变化，此时有$\frac{\partial \mathit{\Phi }}{\partial y}=-\frac{1}{s}$，顾及假设U=U_d²，则式 (3) 简化为：

$ \begin{align} & \frac{1}{8}f{{(1+\frac{1}{{{s}^{2}}})}^{\frac{1}{2}}}U-\lambda {{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}(-\frac{1}{s})H\frac{\partial U}{\partial y}-\\ & \ \ \ \ \frac{1}{2}\lambda {{H}^{2}}{{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{y}^{2}}}=(1-K)g\mathit{\Phi }J \\ \end{align} $

(5)

对式 (4)、式 (5) 中的一阶偏导数及二阶偏导数采用差分处理，即

$ \left\{ \begin{align} &\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{{{U}_{i}}-{{U}_{i-1}}}{\Delta y} \\ &\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial {{y}^{2}}}=\frac{{{U}_{i+1}}-2{{U}_{i}}+{{U}_{i-1}}}{{{(\Delta y)}^{2}}} \\ \end{align} \right. $

(6)

将式 (6) 代入式 (4) 中，则有：

$ -\alpha {{U}_{i-1}}+(\frac{f}{8}+2\alpha ){{U}_{i}}-\alpha {{U}_{i+1}}=(1-K)gHJ $

(7)

将式 (6) 代入到式 (5) 中，则有：

$ \begin{align} &-(\alpha +\beta ){{U}_{i-1}}+[\frac{f}{8}{{(1+\frac{1}{{{s}^{2}}})}^{\frac{1}{2}}}+\beta +2\alpha]{{U}_{i}} \\ & \ \ \ \ \ -\alpha {{U}_{i+1}}=(1-K)g\mathit{\Phi }J \\ \end{align} $

(8)

式中，$ \alpha =\frac{\lambda {{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}{{H}^{2}}}{2{{(\Delta y)}^{2}}};\beta =\frac{\lambda {{(\frac{f}{8})}^{\frac{1}{2}}}H}{s\Delta y}$。

式 (7) 和式 (8) 给出了断面平均流速与二次流项之间的关系模型，也即U与K的关系。为反映断面流速分布，可将整个断面划分为m个格网，若断面两端流速已知 (复式河段，断面两端位于浅滩边缘，近似认为流速为0)，则可借助式 (7) 或式 (8) 构建每个格网方程，并形成系数阵为三对角阵的方程组，采用追赶法实现各格网点流速U_i的求解。

2 基于定点流速约束的K及断面流速模型迭代确定方法

式 (7)、式 (8) 中U_i的求解是在K已知的情况下进行的，而K随断面形态变化，确定了K也即确定了断面流速模型。为了准确地确定K及实现不同断面位置流速的准确估计，下面给出基于定点流速约束的K迭代确定方法。按照实际应用的不同，本文给出了基于全断面定点流速约束下的确定方法。

根据固定点的实测流速与计算流速值偏差error，通过迭代计算实现K的调节及最终断面流速分布的确定，过程如图 1所示。

3 实验及分析 3.1 实验概况

为了检验给出的简化模型及断面流速确定方法的正确性，借助英国SERC (Science and Engineering Research Council) 的FCF (Flood Channel Facility) 提供的SERC-FCF0205断面模拟实验数据以及长江荆州河段的3个实测断面流速数据开展了实验。FCF水槽的断面形态如图 2所示，包括了主槽1、主槽边坡2、滩地3、滩地边坡4共4个子区，因滩地边坡较小，将其视为滩地，实验中设涡粘系数λ=0.07，摩擦系数f通过SERC-FCF实测数据求出，其他参数如表 1所示。长江上3个实测断面均为顺直河段。ADCP走航测量参数如表 2所示。各断面子区纵向坡度依地形数据计算。

3.2 影响断面流速分布模型精度的因素分析 3.2.1 K对U的影响

以FCF0205实验数据为对象，取各区中心位置流速为定点流速，改变某一区域的K值，分析K对本区及相邻区平均流速U的影响，实验结果如图 3所示。

由图 3可知，K增大流速减小，K减小流速增大，且单一子区域K调整会轻微影响其邻区流速。由式 (7) 和式 (8) 可知，当K值增大时，模型右侧偏小，导致U估计值偏小；反之偏大。理论和实验表明，K在断面流速和二次流之间起着调节作用。上游来水流速一定的情况下，K增大二次流速作用增大，断面流速减小；反之增大。

3.2.2 定点实测流速位置对K、U的影响

定点流速在U模型构建中起着约束作用，其代表性直接决定着K和U_d的真实性。

仍采用FCF0205数据，在不同区选取不同数量及位置的定点流速，通过迭代确定K和U，以实测数据为参考，计算U确定精度。计算结果如图 4所示，统计结果如表 3所示，其中加粗部分表示实验中的最优选择。由图 4和表 3可知，定点位置的选取影响U的计算精度。对于主槽、主槽边坡和边滩，定点流速选择在各自区的中心、接近坡顶和接近中间位置时，确定的整个断面的流速模型精度最高。由图 2可知，主槽和边滩区相对平坦，中间位置流速最具代表性；边坡区流速变化较大，坡面略上位置流速最具代表性，可使模型最能真实反映相应区的流速变化。以上结论与客观情况相符，对于天然河段仍然适用。

3.3 断面流速分布模型估计

根据3个断面的河床地形，将每个断面分成7个区，如图 5所示。借助本文提出的方法确定各断面流速分布模型。将待计算位置水深代入模型计算其流速 (见图 5(b))，以用于建模的本次测量数据为参考，计算流速与之较差作为模型的偏差，对该偏差进行统计，模型的内符合精度如表 4所示；将3个月后断面流速测量数据对应位置的水深代入模型，计算其流速，与实测流速比较 (见图 5(c))，并对模型偏差进行统计，其外符合精度统计结果如表 4所示。由图 5可以看出，基于建立的模型，无论是实现本期断面流速估计还是未来一段时间内断面流速的预报，模型结构与实际观测结构保持了一致。从表 4可以看出，无论是内符合精度还是外推精度，3个断面模型误差绝对值的最大值小于0.15 m/s，标准差STD小于0.04 m/s，与实际流速观测精度接近。估计流速最大误差出现模型的预报应用中，分析认为，由于3个月后断面地形可能存在少量冲刷变化，导致基于不变地形梯度g、二次流系数K实施模型应用，必然会带来预报误差。为了确保模型预报精度，建议定期对断面流速计算模型实施重构。

4 结束语

顾及二次流及定点流速的顺直河槽流速横向分布模型构建方法解决了断面流速分布的高精度确定难题，极大地简化了断面流量估计的工作量，实现了顺直河槽流速的实时估计。实验表明，该方法可取得与实测流速同精度的估计流速。

基于断面分布定点流速约束和几个定点流速约束的二次流系数K和断面流速分布模型确定方法，不但解决了K确定的难题，还实现了断面流速分布模型的高精度确定。但需要注意的是，在河床地形发生变化时，需要及时地更新模型，以实现后续断面流速的高精度估计。