﻿ 热力耦合问题数学均匀化方法的物理意义<sup>*</sup>
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1. 安徽华电工程咨询设计有限公司, 合肥 230022;
2. 北京航空航天大学 航空科学与工程学院, 北京 100083;
3. 北京航空航天大学 合肥创新研究院, 合肥 230012

Physical interpretation of mathematical homogenization method for thermomechanical problem
ZHU Xiaopeng1, HUANG Jun2,3, CHEN Lei2,3, XING Yufeng2
1. Anhui Huadian Engineering Consulting and Design Co., Ltd., Hefei 230022, China;
2. School of Aeronautic Science and Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China;
3. Hefei Innovation Research Institute, Beihang University, Hefei 230012, China
Received: 2019-03-11; Accepted: 2019-05-28; Published online: 2019-06-17 11:22
Corresponding author. CHEN Lei.E-mail: chenlei2019@buaa.edu.cn
Abstract: The mathematical expression of high-order mathematical homogenization method (MHM) is formulated by constructing decoupling form of each order perturbation for the thermomechanical problem of periodical composite structure, and it is converted into a matrix form by weighted residual method, which is convenient for use as standard finite element method. The elastic influence function and the heat influence function are respectively compared to the elastic virtual displacement and the thermal virtual displacement, and the physical interpretation of each order influence function and perturbation displacement are revealed by the self-balancing characteristics and dimensional analysis and geometric visualization. The second-order perturbation displacement is emphasized for the analysis of micro structure. The numerical results verify the correctness of high-order MHM matrix form and the analysis of physical interpretation.
Keywords: periodical composite structure     mathematical homogenization method (MHM)     thermomechanical     perturbation displacement     physical interpretation

MHM本身是具有严密逻辑的数学方法，在处理力学领域具体工程问题时，如何从力学角度解释MHM是应用数学学者经常关心的问题，一旦能够研究清楚各阶摄动项的物理意义，无疑将有助于从力学角度确定合适的展开项数或阶次，避免一味追求高阶次或盲目舍弃高于某阶的项。Xing和Chen[28]在分析比较各种多尺度方法基础之上，针对线弹性平面问题揭示了MHM前三阶摄动项的物理意义，为该方法在数学和力学之间建立了联系，并通过物理意义的分析得到了二阶摄动项与一阶摄动项同为摄动主项的结论。除此之外，鲜有其他关于MHM物理意义研究的报道。相对于线弹性问题MHM物理意义的研究，热力耦合问题MHM各阶摄动项中同时包含弹性影响函数和热影响函数，以致出现更多、更复杂的虚拟载荷形式，其物理解释也变得复杂，然而确定热力耦合问题MHM的物理意义将有助于更好地理解和应用该方法处理具体的力学和物理问题，并且从物理机理的角度研究合适的展开阶次所得到的结论相对于通过具体力学和物理问题的研究所得到的结论更具有普遍性。

1 热力耦合问题MHM的数学表达式和有限元矩阵列式

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 摄动位移 影响函数控制方程 一阶弹性影响函数 一阶热影响函数 二阶弹性影响函数 二阶热影响函数 三阶弹性影响函数 三阶热影响函数 s阶弹性影响函数 s阶热影响函数

1) 一阶弹性影响函数控制方程右端项的Δyj·Eijklε和一阶热影响函数控制方程右端项的-Δyj·Eijklεaklε由单胞内材料参数所决定，与其他因素无关，且为分段集中虚拟载荷，分布在单胞内的基体和夹杂交界处，在单胞域内自平衡。

2) 二阶弹性影响函数控制方程右端项和二阶热影响函数控制方程右端项的虚拟载荷在单胞域内自平衡，其中Eipklε-EipklHEipklεaklε-EipklHaklH(EHaH分别为均匀化弹性常数张量和均匀化热膨胀系数)只和材料本身相关，三阶及以上虚拟位移控制方程右端项不再包含仅和材料本身相关的项，均和低阶影响函数相关，而影响函数与单胞边界条件密切相关，所以可以得到一阶和二阶摄动项是摄动主项，不可忽略，即使用MHM处理周期复合材料热力耦合问题时需要摄动到二阶以保证计算精度。

3) 三阶及以上阶次影响函数控制方程具有相同的递推形式。

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2 热力耦合问题MHM的物理解释

2.1 二维周期复合材料单胞结构

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 图 1 包含3块夹杂的二维周期复合材料单胞结构 Fig. 1 2D periodical composites unit cell structures with 3 inclusions

1) F1TF1Eψ1χ1

 图 2 一阶虚拟载荷矢量图 Fig. 2 First-order virtual load vector

① 只要夹杂的材料性质相同，在每一块夹杂上相同位置节点上的矢量都是相同的，这个结论普遍成立，与单胞包含夹杂的数量无关。

F1TF1E是由单胞的材料属性所决定的，而与边界条件无关，如式(18)和式(19)所示，F1E矩阵所包含的3列可以看成是3种相互独立的分段线性载荷作用在平面结构上，而F1T矩阵所包含的1列可以看成是1个独立的分段线性载荷作用在平面结构上。

ψ1χ1反映了单胞内材料的不连续性，因为它们是由分布在夹杂和基体交界处节点的分段线性载荷计算得到的。另一方面也反映了夹杂和基体之间的相互作用，是单胞内材料不均匀性的最基本关系，因为在基体和夹杂的内部节点是没有载荷作用的。

u1为一阶摄动主项，本质上是χ1矩阵的3列和ψ1的1列虚拟位移的线性组合，所以一般来说，如果基体和夹杂的弹性模量、热膨胀系数相差不大时，使用MHM处理周期结构复合材料热力耦合问题摄动到一阶的精度就足够了。

2) F2TF2Eψ2χ2

 图 3 二阶虚拟载荷矢量图 Fig. 3 Second-order virtual load vector

F2TF2E矩阵表达式中的第一项中所包含的均匀化弹性常数张量EH、均匀化热膨胀系数aH、材料的弹性模量Eε及材料的热膨胀系数aε与单胞边界条件无关，如式(10)所示，所以u2u1一样同为主项而不可忽略。F2EF2T矩阵表达式中的第2项分别与χ1ψ1有关，即与单胞边界条件相关。

F2TF2E是面载荷，在基体和夹杂内部均不为0，所以相对于F1TF1E刻画了更详细的细观信息，而由F2TF2E分别计算得到的ψ2χ2反映了单胞内基体与夹杂及基体内部、夹杂内部复杂的相互关系。

3) F3TF3Eψ3χ3

 图 4 三阶虚拟载荷矢量图 Fig. 4 Third-order virtual load vector

1) 一阶弹性影响函数χ1和一阶热影响函数ψ1反映的是单胞内基体和夹杂之间的相互作用的结果，一阶摄动项u1χ1矩阵中3列向量和ψ1的线性组合，反映单胞细观信息的位移场；包含一阶摄动项的MHM计算精度对于基体和夹杂之间弹性模量和热膨胀系数相差不大的情况下是足够精确的。

2) F2EF2T矩阵表达式中的第1项只包含均匀化弹性模量及材料的热膨胀系数，与单胞边界条件无关，而第2项及F2EF2T(r≥3)都和单胞边界条件相关，所以二阶摄动项与一阶摄动项均为主项。

3) 一阶影响函数χ1ψ1反映了基体内部、夹杂内部及基体和夹杂相互作用的结果，二阶摄动项u2χ2矩阵中6列向量线性组合与ψ2矩阵中2列向量线性组合的和，反映单胞内材料更加准确的细观信息，所以对于一般周期复合材料而言，包含二阶摄动项的MHM的计算精度是足够的，但对于单胞内的基体和夹杂材料参数相差特别大的周期复合材料，极限情况下，如具有孔洞的周期结构，将孔洞视为夹杂，则基体和夹杂的材料弹性模量比例无限大，或某些颗粒增强结构，基体和夹杂的弹性模量比值无限小，此时包含二阶摄动项的计算精度是否足够需要专门研究。

2.2 周期复合材料杆单胞结构

 图 5 包含一块夹杂的周期复合材料杆单胞结构 Fig. 5 Periodical composites rod unit cell structure with one inclusion

1) 一阶热影响函数控制方程

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2) 一阶弹性影响移函数控制方程

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3 数值分析 3.1 二维周期复合材料单胞结构

 图 6 二维周期复合材料单胞结构 Fig. 6 Unit cell of 2D periodical composite structure

 图 7 沿纵线A、B、C、D上节点位移曲线 Fig. 7 Nodal displacement curves along longitudinal lines A, B, C and D

 摄动位移 Π/(10-6J) MHM FEM MHM1 -2.475 15.8 MHM2 -2.916 -2.939 0.78 MHM3 -2.937 0.068

3.2 二维周期复合材料多胞结构

 图 8 二维周期复合材料多胞结构 Fig. 8 2D periodical composite multi-cell structure

 摄动位移 Π/(10-8J) MHM FEM MHM1 -3.547 7 20 MHM2 -4.335 6 -4.436 1 2.27 MHM3 -4.396 8 0.89

 图 9 沿纵线A′、B′、C′、D′上节点位移曲线 Fig. 9 Nodal displacement curves along longitudinal lines A′, B′, C′ and D′
4 结论

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#### 文章信息

ZHU Xiaopeng, HUANG Jun, CHEN Lei, XING Yufeng

Physical interpretation of mathematical homogenization method for thermomechanical problem

Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2019, 45(11): 2139-2151
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2019.0088