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一类反馈型非线性系统的跟踪控制
虞江航, 徐军, 黄雨可     
北京理工大学 宇航学院, 北京 100081
摘要: 为了完成对一类反馈型非线性系统的控制,研究了该类非线性系统。首先,根据LaSalle不变性原理论证了一类自治系统收敛的引理。然后,引入误差函数,通过误差函数的Lyapunov函数寻找使得误差函数渐近稳定的控制器,再根据引理得出系统状态所跟踪的轨迹全部收敛,从而使得系统状态均有界,系统的输出趋于输入;论述了控制器使系统状态稳定的条件,给出了闭环系统稳定性的证明。最后,给出了一个固定翼飞机纵向运动飞行控制系统的算例,并且按照所提的方法设计了控制器,在MATLAB的Simulink模块下进行了仿真验证。结果表明,对于阶跃信号和正弦信号,所提出的控制方法能够使得飞机俯仰角快速收敛跟踪指令。
关键词: 非线性系统     反馈     Lyapunov方法     系统稳定性     飞行控制系统    
Tracking control for a class of nonlinear systems in feedback form
YU Jianghang, XU Jun, HUANG Yuke     
School of Aerospace Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
Received: 2018-11-22; Accepted: 2019-02-16; Published online: 2019-02-26 13:42
Corresponding author. XU Jun, E-mail: xujun2324@x263.net
Abstract: In order to achieve the control of a class of nonlinear systems in feedback form, the system is studied. First, according to LaSalle's invariance principle, the convergence of a class of autonomous systems is proved. The error function is introduced, and the Lyapunov function of the error function is used to find the controller which makes the error function asymptotically stable. Then, according to the lemma, the trajectories tracked by the system states are all converged, so that the system states are bounded and the output of the system converges to input. The condition and the proof of the stability of the closed-loop system are given. Finally, an example of longitudinal dynamics of an fixed-wing aircraft flight control system is presented, and the controller is designed according to the proposed method. The simulation is verified under the Simulink module of MATLAB. The results show that, for step signals and sinusoidal signals, the proposed controller can enable the pitch angle of aircraft to quickly converge the tracking command.
Keywords: nonlinear systems     feedback     Lyapunov methods     system stability     flight control systems    

非线性系统的控制问题一直是国内外研究的热点。目前非线性控制已与自适应控制、模糊控制和神经网络等学科紧密结合[1-4]。反步法(backstepping)是解决非线性系统控制问题的重要方法之一,是一种递归设计算法,它是由Lozano、Brogliato[5]和Kokotovic[6]于1992年所提出的[5-6],经过二十几年的发展,已逐渐成熟[7-8],在工业生产、航空航天等领域均有广泛应用[9-11]

反步法主要是通过递归的方法,寻找使闭环系统稳定的Lyapunov函数,从而得到反馈控制器。反步法一大特点是递归。为了完成递归,保证闭环系统的稳定性,反步法需要系统满足在某次递归时,系统的Lyapunov函数仅包含此前递归设计中所稳定的状态。这对于系统本身的结构提出了一定的要求。满足反步法设计要求的系统称为严格反馈型系统。

本文提出了一种控制方法,对于某一类反馈型非线性系统,无须再满足以上要求,从而改为满足一种有界要求。并且利用一个飞机纵向运动的算例说明了该方法的有效性。

1 问题的提出

考虑如下反馈型单输入单输出系统:

(1)

式中:x=[x1 x2xn]T为系统状态;u为系统输入;y为系统输出;ϕ为关于状态x的非线性连续函数向量,满足局部Lipschitz条件;b=[0 … 0 1]Tc=[1 0 … 0];An×n维矩阵。

由于传统的反步法所要求的系统为严格反馈型系统,对于式(1)这样的系统,要求A阵对角线及以下元素都为0。除此之外,反步法所要求的ϕi仅仅是关于x1, x2, …, xi的非线性函数。而在实际应用中,对象常常很难全部满足以上要求。此时无法利用反步法实现对系统的控制。所以研究针对这类系统的控制方法有重要意义。现研究一个无法满足以上要求的低阶的系统,Aϕ具有以下形式:

(2)
(3)

设计出使系统镇定的非线性控制器,完成系统的跟踪问题。

2 控制器的设计

设误差函数e=[e1 e2en]T

(4)

式中:αi-1(t)为状态xi的期望轨迹;r(t)为指令信号,也即状态x1的期望轨迹。r(t)应满足二阶可导,且r(t)及其导数应满足有界。

定理1  形如式(1)的三阶系统,若系统满足:

1)

2) 设DcR上一闭区间,当x1Dc, x2, x3R时,ϕ1ϕ2有界。

当系统的输入定义为

(5)

式中:

(6)

其中:k1k2k3为可调的参数,是正实数。则该系统镇定,系统的所有状态及控制信号有界。并且在理论上,跟踪误差最终趋于0。

定理2  形如式(1)的四阶系统,若系统满足:

1)

2) 设DcR上一闭区间,当x1Dcx2, x3, x4R时,ϕ1ϕ2ϕ3有界。

当系统的输入定义为

(7)

式中:

(8)

其中:k1k2k3k4为可调的参数,是正实数。则该系统镇定,系统的所有状态及控制信号有界。并且在理论上,跟踪误差最终趋于0。

为了证明上述定理,首先论证2个引理。

引理1[12](LaSalle不变性原理)  设f(x)是定义域DdRn上的局部Lipschitz函数,ΩDd是一个紧集,并且是关于的正向不变集。设V(x)为定义在区域Dd上的连续可微函数,在Ω内满足≤0。设EΩ内所有满足=0的x组成的集合,记JE内的最大不变集。那么当t→∞时,始于Ω内的每个解都趋于J。最后,如果Dd=Rn,且V(x)是径向无界的,那么对于任意初始状态x(0),当t→∞时,轨迹x(t)都将趋于J

由上述引理1,可以证明以下引理2。

引理2  考虑如下n维系统:

(9)

式中:f(x)为定义在Rn上的n维函数向量,满足Lipschitz条件。

(10)

若满足:

1) M的所有特征值均大于0。

2) M的特征空间维数等于n

3) 存在常数cf,使得任意xRn,都有‖f(x)‖≤cf

则系统对于任意的初始状态x(0),t>0时‖x(t)‖都满足有界。

证明  由于f(x)的2-范数有界,其各分量也都有界。所以存在实数序列{an}和{bn},使得aifi(x)<bi。设xix不包含xi分量的向量,即xi=[x1xi-1 xi+1xn]T,因此有

(11)

(12)

用2个函数hmin(x)和hmax(x)来表示的下界和上界:

(13)

式中:

注意,αβ并不连续,但hmin(x)和hmax(x)是连续的。令

(14)

所以有

(15)

V(x)对t求导:

(16)

可知, 对于任意xRn都有≤0。取Ω={xRn|V(x)≤l},l是正实数。对于所有xΩ,有≤0。若在t=0时刻,V(x(0))≤l,那么x(0)处于Ω内,所以;因此在下一时刻有V(x(t))≤V(x(0))≤l。所以下一时刻的x(t)也包含在Ω内。从而对于所有的t>0,都有x(t)∈Ω。因此, Ω是关于系统的正向不变集。

Mn个特征值为λ1, λ2, …, λn,由于M的特征空间维数为n,所以有n个线性无关的特征向量。因此对于任意非零向量xRn,总是存在n个实数c1, c2, …, cn,使得

(17)

式中:pi为对应特征值λi的特征向量。设λmin(M)表示M的最小特征值,由式(14)、式(17),有

(18)

x‖→∞时,‖β‖为实数,λmin(M)>0,因此Vmin(x)→∞。Vmin(x)是径向无界的,对于Vmax(x)也有相同的结果。又由式(15),可以得出V(x)也是径向无界的。所以对于任意一个l>0,集合Ω={xRn|V(x)≤l}都是有界的。根据Ω的定义,它又是一个闭集,故Ω是一个紧集。设,则。而就是系统的平衡点,故E为不变集。其最大不变集J等于自身。根据引理1,集合Ω是关于系统的正向不变的紧集,在Ω内满足≤0。集合,其最大不变集J=E。又V(x)径向无界,故对于任意的初始状态x(0),当t→∞时,轨迹x(t)都将趋于集合J。也就是系统的解x(t)→M-1f(x)。而‖f(x)‖有界,因此‖x(t)‖在全局上都满足有界。         证毕

接下来仅证明定理2,定理1的证明方法与定理2类似。

证明  如式(1)的四阶系统状态方程可以写为

(19)

考虑由误差函数e构成的系统,取正定函数V(e):

(20)

式中:I为单位阵。则

(21)

V(e)求导,并且代入式(4)、式(19)得

(22)

利用Lyapunov逆向法,先令

(23)

最后令

(24)

则可以使得

(25)

V(e)径向无界,则由误差函数e构成的系统全局渐近稳定。也就有当t→∞,有e0,即x→[r α1 α2 α3]T。注意,此时已有x1有界。若能证明函数α1α2α3t→∞时收敛,则有系统镇定,所有状态均有界。

由式(23),消去α3

(26)

式中:g1g2为关于e的连续函数。e收敛,信号的导数也有界,所以g1g2有界。x1有界时,ϕ1ϕ2ϕ3有界。由引理2,α1α2有界。由式(23)第1式,α3α1α2和有界量的线性组合,所以α3也有界。所以状态x都有界,因而ϕ4有界。α3满足局部Lipschitz条件,故也有界。由式(24)可知u也有界。所有状态及控制信号有界。       证毕

3 算例

机体轴下,某固定翼飞机纵向运动的动力学方程与运动学方程分别为[13]

(27)
(28)

式中:V为飞行速度;VuVw分别为机体轴下飞行速度在x轴和z轴的分量;D为阻力;L为升力;T为发动机推力;M为俯仰力矩;α为飞机迎角;θ为速度倾角;q为俯仰角速率;m为飞机的质量;Iy为绕y轴的转动惯量;zT为发动机推力线到重心的距离;ϕT为推力线与机体轴的安装角。

做以下假设:

假设1  T为常数,即油门杆位置不变。

假设2  V为常数,只关心飞机姿态的变化,而不关注飞机速度的变化。

式(27)、式(28)可以化为

(29)

式中:

其中:ρ为飞机所在高度的空气密度;Sw为机翼面积;cA为平均气动弦长;CLCM分别为升力系数和俯仰力矩系数。

假设3  忽略升降舵对升力的作用。由于控制舵面的贡献主要是产生转动力矩,其生成的气动力很小。

因此升力系数可以写为

(30)

式中:CL0为零升力系数;C为受迎角α影响的系数。

俯仰力矩系数写为两部分构成:一部分由控制升降舵偏角δe直接作用,另一部分由飞机当前状态决定。

(31)

式中:CM2=-cδ(δe+α)[14]cδ为关于δe的一个正的常数;CM1由插值得出,不必知道其函数表达式。

x=[θ α q]Tu=δe,系统可以写为

(32)

式中:cαce都为正实数。cαceϕ2ϕ3表达式分别为

可以看出, ϕ2满足定理1中的有界条件。作变量代换z=Tx

(33)

式(32)变为

(34)

再设

式(34)变为

(35)

显然, φ2也满足定理1中的有界条件。系统(35)满足定理1所有条件,因此根据定理1可以设计出控制器。

以某喷气式飞机为例,马赫数Ma=1.2,飞行高度H=16 764 m,将飞机及大气的各数据[13-15]代入系统,并且在MATLAB的Simulink模块下进行仿真验证。并用低通滤波器和限幅器对输入信号舵偏角u进行过滤。

1) 阶跃信号

对于给定的阶跃值r=12°,设计参数为k1=5, k2=10, k3=1,飞机俯仰角变化如图 1所示。

图 1 阶跃信号下俯仰角变化曲线 Fig. 1 Pitch angle change curve under step signal

图 1可以看出,俯仰角与指令信号的误差收敛的非常快,在t=5 s时几乎完成了对指令的跟踪,并且稳态误差很小。阶跃信号下系统的3个状态变化如图 2所示。

图 2 阶跃信号下系统状态变化曲线 Fig. 2 System states change curves under step signal

图 2可以看出,系统的3个状态最终均收敛。俯仰角和俯仰角速率收敛较快,迎角收敛于5.6°,故飞机将以6.4°的速度倾角爬升。

2) 正弦信号

对于正弦信号r=25°sin(0.5t)+5° ,飞机的俯仰角变化如图 3所示。

图 3 正弦信号下俯仰角变化曲线 Fig. 3 Pitch angle change curve under sinusoidal signal

俯仰角在经过半个周期后,已经完成了对指令的跟踪。这说明对于俯仰角剧烈变化的情形,控制器依然能够有效完成跟踪。正弦信号下系统的3个状态变化如图 4所示。

图 4 正弦信号下系统状态变化曲线 Fig. 4 System states change curves under sinusoidal signal

图 4中可以看出,系统状态均随指令信号保持稳定的周期变化。

4 结论

本文针对一类反馈型非线性系统,在系统低阶的情况下,提出了一种控制方法。该方法能保证系统所有状态即控制信号都有界。以某固定翼飞机纵向运动为例进行仿真,对于阶跃信号和大幅度剧烈变化的正弦信号,仿真结果说明:

1) 控制器能够保证闭环系统的稳定性,所有状态全部有界。

2) 控制器可以有效的完成跟踪任务,通过调整设计参数,跟踪误差可以收敛于满足需要的小范围内。

3) 系统输出的收敛速度非常快。

后续的工作将专注于控制系统的鲁棒性,以及将控制方法推广至高阶系统。

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http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2018.0688
北京航空航天大学主办。
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虞江航, 徐军, 黄雨可
YU Jianghang, XU Jun, HUANG Yuke
一类反馈型非线性系统的跟踪控制
Tracking control for a class of nonlinear systems in feedback form
北京航空航天大学学报, 2019, 45(7): 1444-1450
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2019, 45(7): 1444-1450
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2018.0688

文章历史

收稿日期: 2018-11-22
录用日期: 2019-02-16
网络出版时间: 2019-02-26 13:42

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