﻿ 基于代理模型的空间飞越发射窗口<sup>*</sup>
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1. 航天科工空间工程发展有限公司, 北京 100854;
2. 北京电子工程总体研究所, 北京 100854

Launch window of space fly-by based on surrogate model
XIANG Kaiheng, LI Renjie, CHEN Yang
1. CASIC Space Engineering Development Co., Ltd., Beijing 100854, China;
2. Beijing Institute of Electronic System Engineering, Beijing 100854, China
Received: 2018-05-08; Accepted: 2018-07-28; Published online: 2018-08-08 09:33
Corresponding author. XIANG Kaiheng, E-mail: xiangkaiheng@spacechina.com
Abstract: In order to analyze the influence of initial positions on the launch window in space fly-by problem efficiently, the process of space fly-by was studied firstly in this paper. Then, a numerical method to calculate the launch window under different initial conditions was proposed. For improving calculation efficiency, surrogate model technology was studied, including sample points selection methods, surrogate models construction methods, and accuracy assessment methods. On the basis, two models, radial basis function (RBF) model and Kriging model, were compared. The results show that RBF model is more accurate for the problem in this paper. So it was applied to calculate launch windows under different conditions, which costs only 0.29% of the time that the true model costs, and the accuracy meets requirement. The results prove that using surrogate models can efficiently analyze the influence of initial conditions on the launch window, which will provide valuable theoretical foundation and reference for the orbital planning and design of space fly-by missions.
Keywords: space fly-by     launch window     surrogate model     design of tests     radial basis function (RBF)

1 考虑初始条件的发射窗口计算 1.1 空间飞越任务流程

 图 1 空间飞越任务示意图 Fig. 1 Schematic diagram of space fly-by mission

1) t0时刻接收指令，此时飞越航天器和目标航天器的位置分别为rf0rt0

2) 接收飞越任务后，飞越航天器和目标航天器继续飞行Δt0时间，到达t1时刻，t1=t0t0。此时飞越航天器的位置为rf，目标航天器的位置为rt

3) 在t1时刻，飞越航天器施加脉冲进行变轨。

4) 飞越航天器变轨后，飞行Δt时间，到达t2时刻，t2=t1t。此时飞越航天器到达飞越点，实现飞越。因为飞越点与目标航天器的距离和该点与地心的距离相比极小，可以忽略，所以假定此时飞越航天器和目标航天器的位置均为rt

 图 2 空间飞越任务时序 Fig. 2 Timing sequence of space fly-by mission
1.2 不同初始条件下发射窗口计算方法

 图 3 发射窗口计算过程 Fig. 3 Calculation process of launch window

2 代理模型技术

2.1 生成样本数据

 (1)

2.2 构造代理模型

2.2.1 RBF模型

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)

2.2.2 Kriging模型

Kriging模型是由南非地质学者Krige提出的一种针对空间分布数据的无偏最优估计插值模型，由全局模型和局部偏差模型叠加而成，其基本形式为[14, 17]

 (8)

 (9)

 (10)

 (11)

 (12)

 (13)
 (14)

μσ2的表达式代入式(15)所示的一维优化问题可求解得到相关参数：

 (15)
2.3 校验代理模型精度

 (16)
 (17)

R2越接近1，表示代理模型的全局近似程度越好，一般认为大于0.9即满足要求，此处R2为统计学符号，并非平方，其值可能为负；RMSE越接近0，表示最大的局部误差越小，一般认为小于0.2即满足要求。

3 两种代理模型方法的对比

t0时刻飞越航天器和目标航天器的轨道根数如表 1所示。表中，a为半长轴，e为偏心率，i为轨道倾角，Ω为升交点赤经，ω为近地点幅角。

 航天器 a/km e i/(°) Ω/(°) ω/(°) 飞越航天器 6 978 0.06 97.1 180 0 目标航天器 7 878 0.15 102.0 180 90

 模型 R2 RMSE RBF模型 0.993 0.018 Kriging模型 0.952 0.049

 图 4 测试样本点分布 Fig. 4 Distribution of test sample points

4 实例验证

 s 模型 代理模型构建时间 发射窗口计算时间 总计算时间 真实模型 57 688 57 688 RBF模型 3 473 168 3 641

 图 5 真实模型和RBF模型的发射窗口长度等值线图 Fig. 5 Contour map of launch window length of true model and RBF model

1) 对于飞越航天器和目标航天器为非共面圆轨道的情况，发射窗口长度取决于初始时刻两者的平近点角，平近点角之差相同并不能保证发射窗口长度相同。图 6中的虚线为两者平近点角之差为零的点的集合，这些点对应的发射窗口长度不等，最长为2 204.4 s，最短为0 s。

 图 6 平近点角相等时的发射窗口长度 Fig. 6 Launch window length of equal mean anomalies

2) 对于任意的mf0，都存在对应的可行mt0区间，使发射窗口存在，即当目标航天器位于该区间内时，飞越航天器在速度增量和时间约束下能够实现飞越。不同的mf0对应的mt0区间不同，区间长度108°~172°；同样，对于任意的mt0，都存在mf0区间，区间长度108°~188°。如图 7所示，当mf0=160°时，可行mt0区间为[40°, 158°]，区间长度118°；当mt0=160°时，可行mf0区间为[162°, 288°]，区间长度126°。

 图 7 可行的平近点角区间示意图 Fig. 7 Schematic diagram of feasible region of mean anomaly

3) 从图 5能够直观地看出发射窗口长度的分布情况和变化趋势，可以选取发射窗口较长的点，在实施空间飞越任务时将其作为初始条件。从图 5(b)可以看出，当以mf0=112°、mt0=72°为初始条件时发射窗口最长，为5 743.1 s。而飞越航天器的轨道周期为5 801.1 s，这意味着在一个周期之内基本都可以实施飞越。

4) 对任意一点，可以根据图 5直接判断其是否具备飞越条件及其发射窗口长度；若以某点为初始条件的发射窗口为0，则可以判断出多长时间后可以具备飞越条件。如图 8所示，A点对应的mf0mt0为(40°, 80°)，以其为初始条件，发射窗口为0，根据飞越航天器和目标航天器的轨道根数，两者平均角速度n1/n2=1.2，则两者的位置随时间的变化在图上表示为以A为起点、斜率为1.2的线段，如图中的虚线所示。可以看出，经过2 526.2 s后虚线与等值线图首次相交于B点，以该点为初始点发射窗口长度为500 s；若要求发射窗口长度不少于某值，如2 000 s，则需要从A点起经过4 124.6 s后到达C点，以C点为初始条件开始飞越。以A点为起点，发射窗口长度随时间变化如图 9所示。

 图 8 任意一点的发射窗口分析 Fig. 8 Analysis of launch window of one point
 图 9 发射窗口长度随时间的变化 Fig. 9 Change of launch window length with time
5 结论

1) 本文分析了空间飞越任务流程，建立了用于分析初始条件对发射窗口影响的数值计算模型，该模型包含4个变量的循环，计算耗时约60 h，效率较低。

2) 研究了代理模型技术，采用全析因试验设计方法生成样本数据，构建了RBF模型和Kriging模型，以R2和RMSE准则对比了2种模型的精度，结果表明RBF模型精度较高。

3) 应用RBF模型计算发射窗口长度，计算耗时仅为真实模型0.29%，而且精度校验满足要求。根据发射窗口长度的等值线图，分析了初始条件对发射窗口的影响。

4) 后续可以在2个方面进一步开展研究：一方面，提高发射窗口计算模型的精度，如采用高精度轨道动力学模型，考虑飞越点状态约束、飞越过程燃料约束等；另一方面，提高代理模型的效率和精度，如改善样本点选取方法来减少构建代理模型的成本，研究代理模型的更新和修正方法来提高模型精度等。

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#### 文章信息

XIANG Kaiheng, LI Renjie, CHEN Yang

Launch window of space fly-by based on surrogate model

Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronsutics, 2018, 44(12): 2613-2620
http://dx.doi.org/10.13700/j.bh.1001-5965.2018.0264