基于随机有限集(Random Finite Set, RFS)的跟踪算法提供了在目标数目未知时变条件下的多目标估计框架，受到广泛关注[1]。主要包括：概率假设密度(Probability Hypothesis Density, PHD)滤波器[2]、势概率假设密度(Cardinality PHD, CPHD)滤波器[3]、多贝努利(Multi-Bernoulli, MB)滤波器[4]，以及在这几种滤波器基础上的部分改进算法[5-7]。
群目标通常指一系列具有相似运动方式的空间临近目标，当群内目标分布密集时，可采用与跟踪扩展目标相同的模型和算法进行跟踪[8]。假设群内目标量测数目服从泊松分布，群质心状态服从高斯分布，扩展状态服从逆威夏特分布，并且在量测数目分布的泊松率未知时将群目标状态建模为伽马高斯逆威夏特(Gamma Gaussian Inverse Wishart, GGIW)分布是一种常用的群状态描述算法[9]。文献[10-11]用GGIW分布描述群目标状态，引入交互式多模型算法跟踪多机动群目标，增强了算法对多机动群目标的跟踪能力。但文献[9-11]都是采用PHD或CPHD滤波算法实现的多群目标状态估计，在目标消失的时候会出现对目标数目的“过估”问题，且不能直接形成目标航迹。广义标签多贝努利(Generalized Labeled Multi-Bernoulli, GLMB)算法[12-13]以更大的计算量为代价解决了PHD和CPHD面临的以上问题。文献[14]将GLMB滤波算法用于多扩展目标跟踪，提出了一种GGIW-GLMB滤波算法，获得了比GGIW-PHD和GGIW-CPHD更好的估计性能，但跟踪目标机动的能力不足，且忽略了测量噪声对目标扩展状态的影响。本文提出一种多模型GGIW-GLMB(MM-GGIW-GLMB)算法，通过采用多模型进行运动建模和引入强跟踪滤波器(Strong Tracking Filtering, STF)提高了算法对机动群目标的跟踪能力。
1 背景知识假设X和L分别为多目标的状态空间和离散标签空间，令ξ∈X，ℓ∈L，则χ={(ξ, ℓ)i}, i=1, 2, …, |χ|, 为空间X×L上的随机有限集。|χ|为集合中的元素个数。
令
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(1) |
式中：
GLMB随机有限集的概率密度分布可表示为
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(2) |
式中：C为离散索引集; 
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(3) |
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(4) |
式中：I为标签集合。
对状态为(ξ, ℓ)的一个群目标，作出如下假设[14]：
假设1 目标检测概率为pD(ξ, ℓ)，漏检概率为qD(ξ, ℓ)=1-pD(ξ, ℓ)。
假设2 在被检测到的情况下，目标可产生一系列的量测集W，其似然函数为
假设3 观测区域的杂波强度为k(·)，传感器检测到的杂波量测为服从泊松分布的随机有限集K，杂波量测与目标量测相互独立(杂波随机有限集K的概率密度为gC(K)=e-〈k, 1〉kK，〈·, ·〉表示求内积)。
由此可将多群目标的量测似然函数的概率密度函数表示为
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(5) |
式中：Z为有限的量测集；
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(6) |
假设k时刻，γk~GAM(γk; αk, βk)表示泊松分布的量测比率；
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(7) |
式中：
由于群目标状态的概率密度函数如式(7)所示，对GGIW分量的预测与更新即为对参数ζk的预测与更新。需要注意的是，此处对GGIW分量的预测针对的是存活目标的分量，新生群目标GGIW分量将会作为单独的一部分，同存活目标的GGIW分量共同构成对GLMB的预测分量(详见式(45))。假设k-1时刻第j个GGIW分量全维状态空间中参数的估计为ζk-1|k-1(j)=(αk-1|k-1(j), βk-1|k-1(j), mk-1|k-1(j), Pk-1|k-1(j), vk-1|k-1(j), Vk-1|k-1(j))。
1) 群目标GGIW分量的BFG近似预测
最适高斯(BFG)算法是跳跃马尔可夫线性系统下的多模型估计方法，其在保证预测状态一阶矩和二阶矩相同的情况下进行多模型融合，在更新阶段只需要估计近似模型的状态。假设在全维状态空间中第j个GGIW分量的预测参数为ζk|k-1(j)=(αk|k-1(j), βk|k-1(j), mk|k-1(j), Pk|k-1(j), vk|k-1(j), Vk|k-1(j))，其值可通过BFG近似经式(8)~式(14)计算得到：
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(8) |
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(9) |
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(10) |
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(11) |
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(12) |
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(13) |
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(14) |
式中：ηk-1, r=1/(1-1/ω)为指数衰减因子，ω>1为预测的有效窗长度；M为运动模型个数；pk|k-1, r(j)为第r个模型的预测概率；πir为模型转移概率；pk-1, r(j)为k-1时刻第j个GGIW分量中第r个模型的估计概率；Ts为采样间隔；τk-1, r为扩展状态在第r个模型下的随时间变化的敏捷度。
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(15) |
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(16) |
式中：
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其中：Fk|k-1r和Qk|k-1r分别为模型r的状态转移矩阵和过程噪声协方差。
2) STF修正
STF引入时变的渐消因子，迫使输出残差正交，自适应修正状态协方差矩阵，能够增强滤波器对目标状态变化的跟踪能力，提高对目标机动阶段的状态估计精度。多群目标跟踪需要将同一时刻测量得到的所有量测划分成若干子集，每个子集对应一个可能的群目标产生的量测。量测子集W通过STF引入强跟踪渐消因子
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(17) |
式中:
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(18) |
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(19) |
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(20) |
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(21) |
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(22) |
其中：Hk为量测矩阵；Rk为量测噪声协方差；Xk|k-1(j)为第j个GGIW分量扩展状态的预测值，根据文献[15]，可假设Xk|k-1(j)=Xk-1|k-1(j)；λ为弱化因子，通常λ≥1；
GGIW分量的待估状态ξk中，量测比率γk同质心状态xk和扩展状态Xk独立，其对量测子集W的似然函数的概率密度分布为
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(23) |
式中：PS(·;γk)为均值为γk的泊松概率密度函数。
由Bayes准则可知，GGIW分量所表示的群目标状态的后验概率密度函数可表示为
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(24) |
式中：p(ξk)为状态预测的概率密度函数；ΨkW
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令
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(25) |
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(26) |
第j个GGIW分量的更新步骤为
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(27) |
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(28) |
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(29) |
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(30) |
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(31) |
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(32) |
式中：
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(33) |
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(34) |
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(35) |
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(36) |
另外
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(37) |
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(38) |
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(39) |
归一化常量Ψk(j, W)将会在GLMB分量的权值计算中使用(详见式(52)、式(55))。
由逆威夏特分布的性质可知
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(40) |
假设跟踪模型集中的模型个数为M。对于新生目标分量，其模型概率为
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(41) |
对于存在目标分量，更新的模型概率为
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(42) |
Ψk, rW与ΨkW的计算相似，不同的是：ΨkW是由BFG近似后的模型对GGIW分量的预测和更新参数计算得到，而Ψk, rW是由各模型分别对GGIW分量的预测和更新参数计算得到的。
3 GLMB分量的预测与更新单模型GGIW-GLMB算法同多模型GGIW-GLMB算法的区别主要在于对GGIW分量的预测和更新部分，多模型GGIW-GLMB算法中对GLMB分量的预测和更新具体步骤为：
步骤1 预测。
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(43) |
式中：
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(44) |
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(45) |
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(46) |
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(47) |
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(48) |
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(49) |
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(50) |
其中:wB(·)和wS(c)(·)分别为新生和存活GLMB分量的概率；
步骤2 更新。
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(51) |
式中：
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(52) |
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(53) |
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(54) |
当pD(ξ, ℓ)=pD(ℓ)时
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(55) |
式中：
实际计算中，为应对多量测子集多群目标带来的计算量剧增的问题，计算量测子集同目标之间的关联代价矩阵，并采用相应排序算法选择其中代价较小的关联对进行GLMB分量更新，从而达到减小计算量的目的；同时，每一时刻的GLMB分量都会由于状态与量测子集的关联而迅速增加，为保证GLMB分量的数目控制在一个合理范围，需要对更新的GLMB进行删减，选取其中权值较大的一部分参与下一时刻运算。将删减后的GLMB分量中的群目标状态提取出来，即得到群目标状态的最终估计，具体计算可参考文献[12, 14]。
4 仿真实验 4.1 仿真场景假设有3个群目标在杂波环境下运动。群1质心的初始运动状态为[900 m, -60 m/s, 900 m, 0 m/s]T，在1~4 s做匀速直线运动; 4~36 s做匀速转弯运动，其中4~12 s的转弯角速度为0.4 rad/s，12~28 s转弯角速度为-0.2 rad/s，28~36 s转弯角速度为0.4 rad/s; 36~40 s做匀速直线运动。群2质心的初始运动状态为[-280 m, 56 m/s, 278 m, 0 m/s]T，在7~12 s做匀速直线运动，12~28 s转弯角速度为-0.2 rad/s，28~33 s做匀速直线运动。群3质心的初始运动状态为[0 m, 40 m/s, -780 m, 0 m/s]T，在28~36 s转弯角速度为0.4 rad/s，36~42 s做匀速直线运动。3个群的初始扩展状态分别满足(a1, b1)=(10, 5) m，(a2, b2)=(15, 6) m，(a3, b3)=(10, 5) m，其中，ai, bi(i=1, 2, 3)分别为扩展椭圆的长半轴和短半轴。
假设在任何观测时刻，新生GGIW分量的数目均为3，且位置为真实群目标的初始位置，新生概率为0.03。群目标的检测概率为0.99，存活概率为0.95。所有新生分量运动状态的初始协方差均为P0=diag{1002, 452}，IW(X0; v0, V0)分布的初始参数为v0=10, V0=diag{1, 1}。GAM(γ0; α0, β0)分布的初始参数为α0=10, β0=1。杂波服从均值λk=10的泊松分布。测量噪声标准差为0.1，采样间隔为1 s。
选取1个匀速运动(Constant Velocity, CV)模型和2个匀速转弯(Contant Turning, CT)模型对群目标进行运动建模。其中，CT模型的转弯速率分别为±0.5 rad/s，各模型对应的扩展状态随时间变化的敏捷度分别为τ=8, 5, 5，伽马分布预测的指数衰减因子分别为η=5, 6, 6，模型的过程噪声标准差分别为1, 5, 5。模型初始概率分别为0.5, 0.25, 0.25，STF的弱化因子λ=1, 转移概率矩阵
图 1描述了3个群目标的运动轨迹、仿真背景以及质心位置的一次仿真结果。黑色“·”为群目标和杂波产生的量测；椭圆表示置信水平为0.9条件下群目标扩展状态范围；“□”为群1质心的估计位置；“△”为群2质心的估计位置；蓝色“〇”为群3质心的估计位置；“→”指向群目标运动方向。从图中可以看出，算法能够较好地对群目标质心状态进行估计和正确分辨出航迹。
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| 图 1 运动轨迹仿真背景及质心位置一次仿真估计结果 Fig. 1 Motion trajectory, background and estimated centroid position in one simulation |
记文献[14]的算法为GGIW-GLMB，本文算法记为MM-GGIW-GLMB。2种算法跟踪所给场景的100次蒙特卡罗仿真结果对比如图 2和图 3所示。
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| 图 2 质心状态、扩展状态及量测比率OSPA距离及其一倍标准差 Fig. 2 OSPA distance of centroid state, extension state and measurement rate and their one standard deviation |
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| 图 3 目标数目估计及其一倍标准差 Fig. 3 Target number estimation and its one standard deviation |
图 2和图 3为MM-GGIW-GLMB算法和GGIW-GLMB算法对目标状态估计的最优次模式分配(Optimal Sub-Pattern Assignment，OSPA)距离和目标数目的估计，并标出了估计的一倍标准差范围。图中，浅绿色区域表示MM-GGIW-GLMB估计的一倍标准差范围，浅蓝色区域表示GGIW-GLMB算法估计的一倍标准差范围，暗绿色区域表示2种算法一倍标准差范围的重叠区域。对目标状态估计的OSPA距离和目标数目估计值反映算法对目标状态及目标数目估计的准确性，一倍标准差范围反映算法的稳定性。从图 2和图 3可以看出，MM-GGIW-GLMB算法与GGIW-GLMB算法对目标数目估计的准确性相当，但前者对目标状态(包含质心状态、扩展状态和量测比率)估计的OSPA距离更小，准确性更高，且对目标状态和数目估计的稳定性更好。
图 4为100次蒙特卡罗仿真中，真实航迹在每个时刻出现的次数。图中，track:[a, b]表示在a时刻新生的第b个目标，3条曲线对应仿真中的3条正确航迹。从图 4可以看出，2种算法对航迹1和航迹2的正确关联概率(对航迹正确加标签的次数除以蒙特卡罗仿真总次数)高，且航迹延迟的次数较少，MM-GGIW-GLMB算法对航迹3的正确关联概率要高于GGIW-GLMB算法，但2种算法对航迹3的正确关联概率相对都偏低，只有不到70%，其主要是航迹起始的延迟造成的，在错误关联的情况中，大部分都是跟踪了第23 s所新生的第3个目标，导致航迹标签出错，延迟了1 s起始，另有少数几次延迟2~3 s，还有数次出现了航迹丢失。这是由于本文为了减小算法计算量，在采用截断技术减少小权值的GLMB分量时，对存在GLMB分量和新生GLMB分量的权值进行了统一排序处理，而在目标3新生的时刻，表示群1和群2的GLMB权值较大，且分量数目较多，导致群3的新生分量在进行截断近似过程中被删除，这就导致了群3航迹起始的延迟和航迹的丢失；群2新生时刻，因为此时只存在表示群1状态的大权值GLMB分量，数目相对较少，所以群2新生分量在截断过程中被删除的次数较少，航迹延迟和丢失现象不明显。在此也可以看出，将存活和新生分量共同排序的方法适用于目标数目少的场景，当目标数目增多时，将会导致对晚出现目标的跟踪延迟和漏跟，此时，需要对新生分量和存活分量分别进行截断排序，但会造成算法计算量的增加。图 4中，在22~23 s航迹标签正确率出现较大起伏，主要是由于相比于大权值的已存在分量，群3的新生分量在第22 s虽得以保留，但存在确认延迟(如：第22 s新生的目标在23 s时确认，但此种情况下的航迹标签是正确的，注意与前文情况区分)。航迹确认的延迟导致在目标真实新生的后续时刻，航迹标签的正确概率高于目标真实新生的时刻(第23 s，群3的正确航迹标签次数为：第22 s，群3的正确航迹标签次数加上第23 s，群3确认的正确航迹标签次数，减去第22 s确认的正确航迹在第23 s发生丢失的次数)。在图 2和图 3中只能得到跟踪的整体信息，而不能判断各条航迹的标签是否正确。通过对航迹标签的分析(见图 4)，可以了解算法对每一个目标航迹跟踪的起始和终止情况，弥补了只采用OSPA距离评估方法对算法进行评估的不足。
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| 图 4 MM-GGIW-GLMB及GGIW-GLMB算法各时刻真实航迹频次 Fig. 4 Frequency of real track at each moment in MM-GGIW-GLMB and GGIW-GLMB algorithms |
1) 针对多机动群目标跟踪的问题，提出了MM-GGIW-GLMB算法，利用随机矩阵将群目标扩展外形建模为椭圆，用GGIW分量描述群目标状态。GLMB分量通过加标签方法产生加标签的航迹估计，引入BFG和STF算法增强对目标机动的跟踪能力。
2) BFG算法通过多模型融合，增强了算法对群目标机动模式的适应性，STF算法通过对预测协方差的修正，增强了算法对群目标机动跟踪的鲁棒性。将加标签正确率作为补充的算法性能度量标准，弥补了仅利用OSPA距离评估GLMB算法性能的不足。
3) 仿真结果表明，MM-GGIW-GLMB算法跟踪多机动群目标的精度、稳定性和航迹标签正确率皆优于文献[14]算法。
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